Este documento resume la evolución de la enseñanza secundaria en España desde los años 1950 hasta la actualidad. Ha habido varios planes educativos que han ido cambiando la estructura y contenidos de la educación secundaria. En los años 1950 se introdujo la división entre Bachillerato Elemental y Superior. En los años 1960 llegó la "Matemática Moderna" con nuevas metodologías. La Ley General de Educación de 1970 implantó la enseñanza obligatoria hasta los 14 años y trajo cambios importantes. La ley actual de 2013 también introdujo modific

1. Claudia Ridruejo Calavia
María del Pilar Benito Clavijo
Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática
Grado en Matemáticas
2014-2015
Título
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE GRADO
Curso Académico
Aprendizaje basado en problemas. Trigonometría y
Triángulos
Autor/es

2. © El autor
© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2015
publicaciones.unirioja.es
E-mail: publicaciones@unirioja.es
Aprendizaje basado en problemas. Trigonometría y Triángulos, trabajo fin de
grado
de Claudia Ridruejo Calavia, dirigido por María del Pilar Benito Clavijo (publicado por la
Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.
Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los
titulares del copyright.

3. Aprendizaje Basado en Problemas
Trigonometr´ıa y Tri´angulos
Autora: Claudia Ridruejo Calavia
Tutora: Mar´ıa del Pilar Benito Clavijo
Grado en Matem´aticas
Universidad de La Rioja
Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Inform´atica
Junio 2015

5. A mi familia, por aguantarme en mis duras
´epocas de ex´amenes. A mi tutora del proyecto,
porque ser´a para mi un ejemplo a seguir
en mi profesi´on.

7. Resumen
El objetivo de este Trabajo Fin de Grado es desarrollar un Taller de
Problemas para alumnos de segundo ciclo de la ESO y Bachillerato. De los
diversos contenidos correspondientes a los curr´ıculos (conforme a LOE) en
ense˜nanza en estos niveles, nos centramos en Trigonometr´ıa y Tri´angulos. El
punto de partida de esta memoria comienza por un estudio de la ense˜nanza
de las matem´aticas en la actualidad, compar´andola con los planes anterio-
res (desde 1950 en adelante). En el Cap´ıtulo 1 se incluye una selecci´on de
contenidos te´oricos presentados mediante las f´ormulas y los teoremas, con
sus respectivas demostraciones, que necesitaremos aplicar en la resoluci´on de
problemas. En el Cap´ıtulo 2, final de la memoria, se incluye un Taller de Pro-
blemas y un desarrollo metodol´ogico del mismo mediante distintas sesiones
de aula que integran los contenidos y las t´ecnicas necesarias. A lo largo de
este trabajo se persigue la idea central de que ”una im´agen vale m´as que mil
palabras”, procurando que las soluciones dadas a los problemas se apoyen en
im´agenes visuales que ayuden a una mejor comprensi´on de las estrategias.
5

9. Abstract
The aim of this Project is to develop a Problem’s Collection to Secon-
dary and High Schools. Of the variety of contents according to the curriculum
(LOE) in teaching at these levels, we focus on Trigonometry and Triangles.
The starting point of this report begins with a study of mathematics edu-
cation nowadays, compared with previous plans (from 1950). It includes a
selection of theoretical contents presented in Chapter 1 by formulas and theo-
rems, with their demonstrations, we will need to apply in solving problems. In
Chapter 2, the end of memory, includes a workshop on methodological issues
and development of the different classroom sessions by integrating content
and the necessary techniques. Throughout this report, the central idea is
that A picture is worth a thousand words, ensuring that the solutions given
to problems rely on visual images that help a better understanding of the
strategies pursued.
7

11. ´Indice general
Introducci´on 11
Evoluci´on de la ense˜nanza no universitaria en Espa˜na . . . . . . . . 11
¿Hemos ganado o perdido? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Marco y objetivo del TFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1. Contenidos y metodolog´ıa 19
1.1. Matem´aticas en ESO y Bachillerato . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2. Trigonometr´ıa y Tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. Sesiones de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2. Taller de Problemas 41
2.1. Problemas modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.1. Intuici´on y c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.2. El uso de teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.3. Combinaci´on de t´ecnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.4. Matem´aticas din´amicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2. Sesiones modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3. Miscel´anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A. Anexos 79
9

13. Introducci´on
Evoluci´on de la ense˜nanza no universitaria en
Espa˜na
La ense˜nanza secundaria constituye hoy, en todas las nacio-
nes, un problema no resuelto. Garc´ıa
Alix
Hasta los a˜nos 50, el Bachillerato era entendido como un ciclo educativo
elitista, diferenciado y orientado hacia la Universidad. Es en esta d´ecada y
posteriores cuando empieza a perder este car´acter debido tanto a los cambios
sociales, que provocaron una expansi´on de la demanda social de educaci´on
en los niveles secundarios, como a los cambios legislativos, que se orientaban
a conseguir una ense˜nanza com´un y obligatoria hasta edades m´as avanzadas.
Con la promulgaci´on de la Ley de Ordenaci´on de la Ense˜nanza media en
1953, el Bachillerato qued´o dividido en: Bachillerato Elemental, organizado
en cuatro cursos de los 10 a los 14 a˜nos, y Bachillerato Superior, que abarca
dos cursos entre los 14 y 16 a˜nos. Finalizado el Bachillerato se pasaba al
Curso Preuniversitario, PREU, a los 17 a˜nos, necesario para acceder a la
Universidad. Al final de cada periodo se establec´ıan unas pruebas selectivas
llamadas en el Bachillerato, Rev´alidas, y en el PREU, Pruebas de Madurez.
De entre las muchas deficiencias atribuidas a esta ley destacamos el fra-
caso de los objetivos del PREU, que se convirti´o en un curso de Bachillerato
m´as, o la poca intensidad en el trabajo de los alumnos ante programas y
horarios demasiado recargados. Dispuesto a corregir estos errores se elabora
el Plan de Bachillerato de 1957, que sigue las l´ıneas del plan anterior pero
reduciendo el n´umero de materias te´oricas por a˜no, y aumentando el n´umero
de horas lectivas de algunas asignaturas buscando as´ı un mayor trabajo en el
aula por parte del profesor y no tanta autonom´ıa en el estudio del alumno.
11

14. 12 INTRODUCCI ´ON
Figura 1: Jes´us Rubio, Ministro de Educaci´on, sobre el Plan del 57.
Figuras clave de esta etapa fueron los matem´aticos Pedro Puig Adam1
y
Julio Rey Pastor2
que elaboraron una colecci´on completa de libros para estos
planes de estudios.
Figura 2:
P.Puig
Adam
Figura 3:
J.Rey
Pastor
1
Puig Adam (1900-1960), Catedr´atico de matem´aticas del instituto San Isidro, Madrid,
desde 1926 y Catedr´atico de C´alculo de la Escuela Especial de Ingenieros Industriales de
Madrid, desde 1946.
2
Julio Rey Pastor (1888-1962), Catedr´atico de An´alisis Matem´atico de la Universidad
de Oviedo desde 1911, y de la Universidad Central desde 1913.

15. EVOLUCI ´ON DE LA ENSE ˜NANZA 13
Las orientaciones metodol´ogicas de esta etapa pretend´ıan completar las
matem´aticas elementales de los alumnos de ciencias y prepararlos para estu-
dios superiores.
Los a˜nos sesenta y setenta fueron cruciales en la reforma de la ense˜nan-
za de las matem´aticas. El conocido movimiento de la Matem´atica Moderna,
iniciado en Europa en 1958, llegaba con fuerza a una Espa˜na de desarro-
llo econ´omico y modernizaci´on. La metodolog´ıa en esta etapa se orienta a
introducir la matem´atica moderna implantando nuevas y eficaces normas
did´acticas, proporcionando la formaci´on necesaria para desembocar en estu-
dios superiores y lo que es m´as importante, despertando inquietudes en el
alumno y valorando su creatividad como uno de los factores m´as importantes.
Ya en 1967 tiene lugar una reforma del Bachillerato superior que afec-
ta sobre todo al 5o
curso, introduciendo elementos de teor´ıa de conjuntos,
estructuras algebr´aicas y espacios vectoriales y sustituyendo los enfoques
geom´etricos, algebraicos y anal´ıticos cl´asicos por el estudio del plano af´ın, la
geometr´ıa m´etrica y el plano eucl´ıdeo. La matem´atica moderna es m´as efi-
ciente tanto en t´erminos formativos como experimentales ya que nos permite
pensar de forma m´as clara y precisa considerando s´olo los temas fundamen-
tales y dejando los dem´as como ejercicio para el alumno.
Es en 1970 con la Ley General de Educaci´on (en secundaria en 1975),
cuando se da por implantada la matem´atica moderna en Espa˜na. Esta ley
trajo consigo la ense˜nanza obligatoria hasta los 14 con la EGB, seguida de
tres cursos de Bachillerato, BUP, y un a˜no de preparaci´on para la Univer-
sidad, COU. Muchos lo consideran como el mejor sistema educativo que ha
tenido la sociedad espa˜nola, integrado por un conjunto de profesores altamen-
te cualificados en su materia, procedentes de los duros planes de Bachillerato
anteriores.
Finalmente, la Ley de Ordenaci´on General del Sistema Educativo de 1990,
que derog´o la anterior ley, supuso un replanteamiento completo de la ense˜nan-
za no universitaria en Espa˜na con la reestructuraci´on del sistema en la ESO,
y el Bachillerato de dos a˜nos que actualmente conocemos. Ya en el siglo XXI
hemos contando con otras dos leyes educativas, Ley Org´anica de Educaci´on,
LOE, en 2006 y la actual Ley Org´anica para la mejora de la Calidad Educa-
tiva, LOMCE, 2013. Aunque s´ı las m´as importantes, estas leyes educativas
no han sido las ´unicas implantadas en Espa˜na desde 1970 hasta nuestros
d´ıas. Hemos gozado de un gran repertorio de ellas: LOECE en 1980, LODE
en 1985, LOPEG en 1995 o LOCE en 2002. Esta situaci´on contrasta con la
de otros pa´ıses como Finlandia, donde la educaci´on no es potestad del po-

16. 14 INTRODUCCI ´ON
der legislativo sino que son las comisiones de profesores y alumnos quienes
organizan su programa de estudios de manera consensuada. El sistema edu-
cativo Finland´es encabeza cada a˜no la lista del informe PISA, que mide el
rendimiento educativo de los pa´ıses de la OCDE logrando as´ı ser considerado
uno de los sistemas educativos m´as eficaces del mundo en que cuenta con un
fracaso escolar de menos del 1 %.
¿Hemos ganado o perdido?
El Cuadro 1 muestra un resumen de contenidos matem´aticos desde el
PREU3
,hasta el actual 2o
de Bachillerato LOE.
PREU COU 2o
Bahillerato
Conjuntos Numero natural,
entero y racional
Matrices y siste-
mas lineales
Matrices y deter-
minantes
Geometr´ıa
Eucl´ıdea plana
Simetr´ıas Espacios Af´ın y
Eucl´ıdeo tridimen-
sional
Sistemas de ecua-
ciones
Traslaciones Giros Programaci´on
lineal
Vectores en el espa-
cio
Homotecia y Seme-
janza
Raz´on Simple Continuidad y De-
rivadas
Ecuaciones de rec-
ta y plano
Estructuras Alge-
braicas
´Areas de pol´ıgonos
esf´ericos
Dibujo de curvas L´ımites y continui-
dad
Trigonometr´ıa
esf´erica
Movimientos y
´orbita de la Tierra
C´alculos Diferen-
cial e Integral
Derivadas e Inte-
grales
Regresi´on y corre-
laci´on
Estad´ıstica y
c´alculo de probabi-
lidades
Cuadro 1: De PREU a 2o
de Bachillerato LOE
A simple vista observamos la gran p´erdida de contenidos sufrida. La rama
de Geometr´ıa ha sido la m´as afectada: el PREU preparaba exhaustivamente
a los alumnos en temas como giros, simetr´ıas y homotecias que se mantienen,
3
Contenidos reflejados en [12].

17. ¿HEMOS GANADO O PERDIDO? 15
en cierta medida, en el COU con el estudio del Espacio Af´ın y Eucl´ıdeo pero
que se pierden por completo al llegar al Bachillerato actual quedando esta
rama reducida a la Geometr´ıa Anal´ıtica con el estudio de vectores, rectas
y planos. Por otro lado, las Estructuras Algebraicas, que gozaron de tan-
ta importancia en el PREU siendo uno de los pilares en que se sustentaba
la Matem´atica Moderna, desaparecen al finalizar este periodo. En COU se
mantuvo un estudio riguroso de la estructura de espacio vectorial. Regresi´on
y Correlaci´on junto con otros temas de Estad´ıstica, s´ı aparecen en algunos
textos de COU aunque no quede ni rastro en el Bachillerato. Cabe destacar
tambi´en la importancia que se otorgaba en esa ´epoca a las aplicaciones de
las matem´aticas en los distintos ´ambitos de la realidad. Ejemplo de ello es
el tema que estudia los movimientos y la ´orbita de la Tierra, y otros ejem-
plos encontrados en [12] como la medida del tiempo, los calendarios o las
aplicaciones de la Geometr´ıa a la Mec´anica.
Con el Cuadro 2 queremos mostrar los contenidos matem´aticos corres-
pondientes al Bachillerato Superior del Plan del 57.
5o
curso 6o
curso
Proposiciones matem´aticas Revisi´on del n´umero racional
Problemas matem´aticos El n´umero Real
Teor´ıa de la divisibilidad Nociones sobre l´ımites
Movimientos y equivalencia en
el plano
Logar´ıtmos Neperianos
Funci´on y derivada Funciones
Funciones exponencial y lo-
gar´ıtmica y aplicaciones
Introducci´on a la Geometr´ıa
Anal´ıtica
Funciones circulares de ´angu-
los agudos
Derivadas y aplicaciones
Vectores y complejos Representaci´on gr´afica de fun-
ciones
Combinatoria y Binomio de
Newton
Diferencial de una funci´on
Probabilidad y Estad´ıstica Circunferencia.Elipse.Hip´erbo-
la y Par´abola
Funci´on primitiva Integral definida y aplicaciones
Cuadro 2: Bachillerato Superior, Plan del 1957.

18. 16 INTRODUCCI ´ON
Los contenidos han sido tomados de [11] y de [4]. Estos dos cursos, llevados
a cabo en edades de 15 y 16 a˜nos, se corresponden con los actuales 3o
y 4o
de la ESO. A los 15 a˜nos el alumno ya conoc´ıa los n´umeros complejos, las
derivadas o las funciones primitivas, temas que en la actualidad se estudian
dos a˜nos despu´es. Eran contenidos muy densos para alumnos de esta edad,
que se aprend´ıan de manera casi aut´onoma. No es hasta los a˜nos 60, con
la llegada de las tendencias modernas, cuando se empieza a trabajar en la
ense˜nanza de las matem´aticas para evitar este tipo de problemas.
Por ´ultimo, un aspecto esencial en el Bachillerato actual y del que carec´ıan
los anteriores es el uso de nuevas tecnolog´ıas. Las calculadoras o los distintos
programas de software de los que hoy hacemos uso, permiten realizar c´alculos
que, en Bachilleratos anteriores, supon´ıa tediosas cuentas y el uso de tablas
trigonom´etricas o logar´ıtmicas.
Marco y objetivo del TFG
El tema propuesto para el Trabajo de Fin de Grado no podr´ıa ser m´as
adecuado cuando el objetivo que persigo desde el inicio del Grado en Ma-
tem´aticas es llegar a ser profesora de Matem´aticas de secundaria.
Un estudio de la situaci´on actual y su comparaci´on con planes de Bachille-
rato anteriores nos sirvi´o para darnos cuenta de las carencias que hoy en d´ıa
tenemos en algunos aspectos, sobre todo en Geometr´ıa. La b´usqueda de libros
relacionados con estos Bachilleratos no result´o sencillo, dada la antig¨uedad
de algunos de ellos. Ediciones del 39 al 55 no son f´aciles de localizar; tuvimos
que solicitar varios de ellos por pr´estamo interbibliotecario (debo agradecer
al servicio de biblioteca de la UR la eficacia y resoluci´on en la localizaci´on
de estos textos). En esta fase de elaboraci´on del trabajo tambi´en fue de gran
ayuda mi antiguo profesor de Bachillerato Rodolfo Larrea4
, quien adem´as
de situarnos hist´oricamente, nos proporcion´o libros personales de Baratech,
Ciriqui´an y Dom´enech que correspond´ıan al Bachillerato cursado por ´el a
finales de los 60 y hemos usado a lo largo del trabajo ([4] y [17]).
La preparaci´on de unas clases para alumnos de la ESO y Bachillerato
puede parecer elemental, pues es cierto que los contenidos matem´aticos no son
excesivamente complicados. Sin embargo, uno de los principales problemas
que encontramos, y que ocurre diariamente en las aulas, es la falta de tiempo
y espacio para mostrar todo lo que, a veces, queremos. Una buena decisi´on de
4
Catedr´atico del IES Hermanos D’Elhuyar de Logro˜no

19. MARCO Y OBJETIVO DEL TFG 17
la tutora del trabajo fue elegir las pruebas visuales como m´etodo de trabajo,
bas´andonos en tan ingeniosos libros como Math Made Visual [1], Charming
Proofs [3] o Proofs without Words [8] y [9] y Sortirios [13]. Quedarnos con
la opci´on de Trigonometr´ıa y Tri´angulos tambi´en fue un acierto ya que est´an
estrechamente ligados a la Geometr´ıa, tema que se pierde desde los planes de
Bachillerato antiguo hasta nuestros d´ıas, y que con esta memoria queremos
recuperar en cierta medida. No es dif´ıcil hacerlo mediante el uso de im´agenes
y figuras en las que basamos nuestras explicaciones.
Como todo profesor que se precie, tenemos que pensar en que algo que
algo que para nosotros puede parecer elemental, para el alumno puede re-
sultar realmente complejo. De ah´ı la importancia que mi tutora daba desde
el principio a las peque˜nas aclaraciones en cada paso de cada prueba que
inclu´ıa. Tras sucesivas correcciones consigui´o que lo hiciera instintivamente.
Preparar material te´orico y problemas para alumnos no es labor simple tam-
poco. Si algo me ha quedado claro es que el profesor debe tener una visi´on
global de cada problema propuesto para saber nivelarlo y reorganizarlo en
base a lo que quiere mostrar o a lo que los alumnos son capaces de asimilar.
A lo largo de la memoria, hemos hecho una selecci´on de problemas que
evita los meros ejercicios algor´ıtmicos. La idea ha sido enfatizar en la en-
se˜nanza basada en conocimientos y creatividad. La realidad nos dice que
este hecho no se pone pr´actica en general. Nos ayudamos de Van Hiele, de
M. de Guzm´an o de Polya para pensar c´omo hacerlo y emplear sus buenas
ideas en nuestra puesta en marcha del Taller de Problemas propuesto.
Los problemas propuestos han sido minuciosamente elegidos. Las solucio-
nes de los mismo presentan una gran diversidad de t´ecnicas. El tema Trigo-
nometr´ıa y Tri´angulos admite ser combinado con desigualdades, derivadas,
contenidos divulgativos y otros elementos de inter´es. Nuestro objetivo prin-
cipal desde el inicio del Trabajo Fin de Grado ha sido simular una situaci´on
real de un aula de matem´aticas en secundaria.

21. Cap´ıtulo 1
Contenidos y metodolog´ıa
En este cap´ıtulo incluiremos los contenidos matem´aticos, sobre Trigono-
metr´ıa y Tri´angulos, que trabajaremos en el Taller de Problemas del Cap´ıtulo
3. Estos contenidos est´an extra´ıdos de los Reales Decretos RD 1631/2006 y
RD 1467/2007 que regulan las ense˜nanzas m´ınimas correspondientes a la
Educaci´on Secundaria Obligatoria (ESO en adelante) y el Bachillerato. Am-
bos Decretos estructuran la llamada Ley Org´anica de Educaci´on (Ley Org´ani-
ca 2/2006; LOE en adelante), modificada en determinados aspectos por la
Ley Org´anica de Mejora de la Calidad Educativa (Ley Org´anica 8/2013;
LOMCE en adelante) aprobada por el Congreso de los Diputados el 28 de
Diciembre de 2013. Los Decretos que estructuran la LOMCE han sido estable-
cidos recientemente en el RD 1105/2014 y est´an en per´ıodo de implantaci´on.
En particular, en la Comunidad Aut´onoma de La Rioja desde Enero de 2015.
Comenzamos el Cap´ıtulo 2 comentando brevemente los aspectos genera-
les de las matem´aticas en ESO y Bachillerato desde la LOE. La presentaci´on
de conceptos, f´ormulas y teoremas que aparece en la Secci´on 1.2 est´a basa-
da en el uso de demostraciones visuales como m´etodo para la aprehensi´on
de contenidos. Las fuentes principales de est´a secci´on son los libros Proofs
without words I y II de Roger B. Nelsen [8, 9] y los apuntes de Geometr´ıas
no Eucl´ıdeas de 4o
curso del Grado en Matem´aticas de la Universidad de
La Rioja (curso acad´emico 14-15), elaborados por L.J. Hern´andez Paricio y
M. Teresa Rivas [6]. En la Secci´on 1.3, hacemos una propuesta metodol´ogica
para trabajar el Taller de Problemas en el aula.
19

22. 20 CAP´ITULO 1. CONTENIDOS Y METODOLOG´IA
1.1. Matem´aticas en ESO y Bachillerato
En conformidad con los RD 1631/2006 y 1467/2007, la ESO debe con-
tribuir a que el alumno desarrolle sus conocimientos cient´ıficos identificando
los problemas de la realidad y aplicando distintos m´etodos para resolver-
los. Adem´as el alumno debe adquirir una preparaci´on b´asica en el uso de las
nuevas tecnolog´ıas. La educaci´on en el Bachillerato busca que el alumno com-
prenda los conceptos y procedimientos matem´aticos y sepa aplicarlos a los
problemas cotidianos. En esta etapa tambi´en se requiere la justificaci´on de los
procedimientos, el encadenamiento coherente de los argumentos, y la preci-
si´on en las resoluciones. Para ello se debe enfatizar en el manejo de t´erminos,
notaciones y representaciones matem´aticas, as´ı como en la elaboraci´on de
demostraciones rigurosas.
La Comunidad Aut´onoma de La Rioja (CAR en adelante), con competen-
cias en educaci´on, regula los curr´ıculos para ESO y Bachillerato de Ciencias y
Tecnolog´ıa (CyT en adelante) en los Decretos 5/2011 y 45/2008. Los bloques
tem´aticos en que estos decretos distribuyen los contenidos en Matem´aticas
aparecen en los Cuadros 1.1 y 1.2.
Ciclos 1o
y 2o
de la ESO
Contenidos Comunes Geomet´ıa
N´umeros Funciones y Gr´aficas
´Algebra Estad´ıstica y Probabilidad
Cuadro 1.1: Bloques Tem´aticos de la ESO
Matem´aticas I Matem´aticas II
Aritm´etica y ´Algebra ´Algebra Lineal
Geometr´ıa Geometr´ıa
An´alisis An´alisis
Estad´ıstica y Probabilidad
Cuadro 1.2: Bloques Tem´aticos Bachillerato CyT
Nos centramos en los contenidos correspondientes a Trigonometr´ıa y Tri´an-
gulos cuyo estudio se inicia en el segundo ciclo de la ESO y se intensifica en las

23. 1.1. MATEM ´ATICAS EN ESO Y BACHILLERATO 21
Matem´aticas I del Bachillerato de CyT. Sorprendentemente, el Bachillerato
de Ciencias Sociales no incluye contenidos de Trigonometr´ıa.
En el curso 3o
de la ESO se profundiza en la semejanza de tri´angulos y los
Teoremas de Tales y Pit´agoras, ya introducidos en cursos anteriores. Tambi´en
se trabaja el c´alculo de ´areas y vol´umenes de figuras goem´etricas. Ya en 4o
curso se aprovecha la semejanza de tri´angulos y el Teorema de Pit´agoras
para iniciar los conceptos trigonom´etricos b´asicos y el c´alculo indirecto de
medidas. Tambi´en se trabaja la geometr´ıa anal´ıtica plana.
En Matem´aticas I se profundiza en el estudio de las razones trigonom´etri-
cas con identidades variadas y resoluci´on de ecuaciones. Se trabaja tambi´en
la resoluci´on de tri´angulos y la Geometr´ıa m´etrica plana (rectas, distancias,
´angulos). La Geometr´ıa m´etrica espacial se estudia en Matem´aticas II (rectas
y planos, ´angulos, distancias y vol´umenes).
En cuanto a la metodolog´ıa en el aprendizaje de las Matem´aticas en
Secundaria y Bachillerato, se aconseja proceder de forma inductiva, apro-
vechando al m´aximo los recursos disponibles para que el alumno capte los
conceptos de forma intuituva y a partir de ah´ı, de forma progresiva, desa-
rrolle el rigor matem´atico y la formalizaci´on de los procedimientos. Adem´as,
se aconseja propiciar el aprendizaje aut´onomo y el h´abito de trabajo ma-
tem´atico que les ser´a necesario en estudios superiores. Estas indicaciones son
v´alidas en cualquier etapa educativa.
Para terminar, comentamos brevemente el RD 1105/2014, de 26 de di-
ciembre que estructura la LOMCE y regula las ense˜nanzas m´ınimas en ESO
y Bachillerato. El siguiente Cuadro 1.3 detalla los bloques tem´aticos en Ma-
tem´aticas de esta Ley:
ESO Bachillerato
Procesos, m´etodos y actitudes Procesos, m´etodos y actitudes
N´umeros y ´Algebra N´umeros y ´Algebra
Geometr´ıa An´alisis
Funciones Geometr´ıa
Estad´ıstica y Probabilidad Estad´ıstica y Probabilidad
Cuadro 1.3: Bloques Tem´aticos LOMCE
La LOMCE, de contenidos similares a la LOE, incluye como novedad el
bloque Procesos, m´etodos y actitudes en matem´aticas (reminiscencia de los

24. 22 CAP´ITULO 1. CONTENIDOS Y METODOLOG´IA
llamados Contenidos Comunes de la ESO regulada por la LOE, inexistentes
en el Bachillerato). Este bloque incide en que el alumno debe adquirir habi-
lidades para expresarse verbalmente y de forma razonada en los procesos de
resoluci´on de un problema y profundizar en problemas resueltos aplicando
peque˜nas variaciones en los datos. En cursos de Bachillerato, se busca que
el alumno sea capaz de realizar demostraciones sencillas, de propiedades o
teoremas, y planificar estrategias combinadas en la resoluci´on de problemas.
La generalizaci´on, el establecimiento y la investigaci´on de propiedades y leyes
matem´aticas se considera tambi´en objetivo importante.
1.2. Trigonometr´ıa y Tri´angulos
La Trigonometr´ıa1
es la ciencia cuyo objeto es la resoluci´on algebraica de
los tri´angulos. Los seis elementos principales de todo tri´angulo son sus tres
lados y sus tres ´angulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal
de que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometr´ıa ense˜na a resolver
el tri´angulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado
de la trigonometr´ıa se definen las funciones trigonom´etricas b´asicas (seno,
coseno, tangente), de un ´angulo agudo en un tri´angulo rect´angulo, as´ı como
las razones entre dos de los lados del tri´angulo.
La Trigonometr´ıa y el estudio de tri´angulos tiene conocidas aplicaciones
en la Geometr´ıa, la navegaci´on, la agrimensura y la Astronom´ıa. La amplia-
ci´on de las funciones trigonom´etricas sobre ´angulos a funciones de variable
real, proporciona aplicaciones en el estudio del movimiento ondulatorio, las
vibraciones, el sonido, la corriente alterna, la termodin´amica y la investi-
gaci´on at´omica entre otras cuestiones. Para entender esta rama de las Ma-
tem´aticas, hay que estudiar la Geometr´ıa de los tri´angulos, que se inicia, de
manera muy elemental, en la Educaci´on Primaria. Al final de esta etapa, el
alumno debe conocer:
1
Palabra compuesta de las palabras griegas trigonon (tri´angulo) y metron (medida).
Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la T,rigonometr´ıa debido a sus
conclusiones sobre relaciones entre los lados y los ´angulos de un tri´angulo. Claudio Pto-
lomeo y Aristarco de Samos, contribuyeron a su consoladaci´on al aplicarla en estudios
astron´omicos. El texto Trigonometr´ıa, fechado en el 1600 y escrito por Bartolom´e Pitiscus
es un tratado de m´etodos para la resoluci´on de tri´angulos. Las f´ormulas sobre ´angulos
m´ultiples las aport´o F. Vi´ete y J. Neper impuls´o los c´alculos trigonom´etricos. En el siglo
XVIII Leonard Euler convierte a la Trigonometr´ıa en una nueva rama de las matem´aticas.

25. 1.2. TRIGONOMETR´IA Y TRI ´ANGULOS 23
que la suma de los ´angulos interiores de un tri´angulo es 180o
.
La f´ormula de Euler2
para un poliedro: C − A + V = 2, donde C es el
n´umero de caras, V el n´umero de v´ertices y A el de aristas.
El Teorema de Pit´agoras en su forma m´as b´asica, donde los lados son
cuadrados perfectos.
que dos rectas paralelas, cortadas por una transversal, determinan
´angulos internos alternos3
iguales y que dos ´angulos opuestos por el
v´ertice4
son iguales.
Figura 1.1: Internos alternos Figura 1.2: Opuestos por v´ertice
Ya en el primer ciclo de la ESO se profundiza en el estudio y reconoci-
miento de la semejanza de tri´angulos. Son de especial importancia en 1o
y 2o
de la ESO los Teoremas de Pit´agoras5
, Tales6
y el Teorema de la altura, por
lo que empezaremos con ellos como base de nuestro estudio.
Definici´on 1.2.1. Dos tri´angulos se dicen semejantes si cumplen una cual-
quiera de las siguientes propiedades equivalentes:
tener dos ´angulos iguales;
2
Leonhard Euler (1707-1783) uno de los matem´aticos m´as grandes de todos los tiempos.
Conocido por: el N´umero e, la Identidad de Euler, la Caracter´ıstica de Euler y la f´ormula
de Euler.
3
Dadas dos rectas paralelas cortadas por una transversal, los ´angulos internos alternos
son los que est´an entre las paralelas, a distinto lado de ellas y a distinto lado de la recta
transversal.
4
Dadas dos rectas que se cortan en un punto, dos ´angulos se dicen opuestos por el
v´ertice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.
5
Pit´agoras de Samos (569 a.C.-475a.C.), fil´osofo y matem´atico griego, considerado el
primer matem´atico puro. Contribuy´o en el avance de la geometr´ıa y la aritm´etica.
6
Tales de Mileto (625 a.C.-547 a.C.), fil´osofo y cient´ıfico griego al que se le atribuyen
importantes aportaciones a la filosof´ıa, matem´aticas, astronom´ıa y f´ısica entre otros.

26. 24 CAP´ITULO 1. CONTENIDOS Y METODOLOG´IA
tener los lados proporcionales;
tener dos lados proporcionales y el ´angulo entre ellos igual.
Teorema 1.2.2. (Teorema de Pit´agoras) En todo tri´angulo rect´angulo el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
Teorema 1.2.3. (Teorema de Tales) Dado un tri´angulo ΔABC, si se traza
un segmento paralelo, B C , a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro
tri´angulo AB C , cuyos lados son proporcionales a los del tri´angulo ABC.
Esto es7
AB
AB
=
AC
AC
=
BC
B C
Teorema 1.2.4. (Teorema de la altura) En un tri´angulo rect´angulo, la
altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos
que dividen a ´esta, esto es:
h2
= m · n
Figura 1.3: Teoremas 1o
y 2o
de la ESO
Resulta interesante para el alumno saber que puede averiguar la altura de
una gran pir´amide conociendo s´olamente su sombra, o calcular el radio de la
Tierra sin m´as que medir la sombra que proyectan dos objetos y la distancia
que los separa. De entre las m´ultiples e interesantes aplicaciones del Teore-
ma de Pit´agoras destacamos la presentaci´on de las principales identidades
trigonom´etricas denominadas F´ormulas Pitag´oricas.
7
A lo largo del trabajo nos referiremos a XY como la longitud del segmento XY .

27. 1.2. TRIGONOMETR´IA Y TRI ´ANGULOS 25
Con los teoremas enunciados, se pueden resolver cantidad de tri´angulos,
pero la aparici´on de la Trigonometr´ıa a partir del 4o
curso de la ESO ampl´ıa el
rango de resoluci´on de tri´angulos, permitiendo plantear cuestiones de m´as al-
to grado de dificultad. Tales cuestiones requieren deducciones mediante com-
binaci´on de figuras y operaciones algebraicas precisas. En este ´ultimo curso
de la ESO se introducen al menos: la identidad sen2
α+cos2
α = 1, el concep-
to de radi´an, las razones trigonom´etricas de 30o
, 45o
y 60o
y la reducci´on de
´angulos cualesquiera al primer cuadrante. En 1o
de Bachillerato se profundiza
en la Trigonometr´ıa a˜nadiendo las razones inversas (sec α, csc α y cot α) y las
funciones trigonom´etricas inversas (arc sen α, arc cos α y arctan α). Se traba-
jan tambi´en las F´ormulas Pitag´oricas, las f´ormulas de la suma, del ´angulo
doble, del ´angulo mitad y de transformaci´on de sumas en productos.
Para una mejor comprensi´on de los razones trigonom´etricas se aconseja
el uso de tri´angulos rect´angulos cuya hipotenusa sea el radio de la cinrcunfe-
rencia unitaria, esto es, circunferencia de radio 1, llamada circunferencia go-
niom´etrica. El Teorema de Tales permite trasladar las razones trigonom´etri-
cas definidas para ´estos tri´angulos, a otros tri´angulos semejantes.
Razones Trigonom´etricas 1.2.5. Apoy´andonos en la Figura 1.4, introdu-
cimos las razones trigonom´etricas b´asicas y sus razones inversas8
:
sen α =
c.o.
h
cos α =
c.c.
h
tg α =
sin α
cos α
(1.1)
sec α =
1
cos α
cosec α =
1
sen α
cotg α =
cos α
sen α
(1.2)
8
Las razones en la figura 1.4 se interpretan como longitudes de segmentos.

28. 26 CAP´ITULO 1. CONTENIDOS Y METODOLOG´IA
Figura 1.4: Circunferencia Goniom´etrica y razones
El uso combinado del Teorema de Pit´agoras y la Figura 1.5, permite
deducir de forma simple las identidades trigonom´etricas (1.3), (1.4) y (1.5).
Recombinando estas identidades se pueden mostrar otras, como por ejemplo
(1.6). Si empleamos distintas figuras bien elegidas y somos diestros en los
c´alculos algebraicos podemos obtener las identidades trigonom´etricas usuales.
Veamos el procedimiento:
F´ormulas Pitag´oricas 1.2.6.
sen2
α + cos2
α = 1 (1.3)
sec2
α = tan2
α + 1 (1.4)
cosec2
α = cot2
α + 1 (1.5)
(tan α + 1)2
+ (cot α + 1)2
= (sec α + cosec α)2
(1.6)

29. 1.2. TRIGONOMETR´IA Y TRI ´ANGULOS 27
Figura 1.5: Deducci´on visual de las F´ormulas Pitag´oricas
Demostraci´on. Usamos Pit´agoras sobre la Figura (1.5). De los tri´angulos
rect´anglos ΔACB y ΔAC B se obtienen las identidades (1.3) y (1.4). Si
usamos el tri´angulo ΔDEA llegamos a la identidad (1.5). Combinando (1.3)
y (1.4) tenemos (tan α+1)2
+(cot α+1)2
= tan2
α+1+cot2
α+1+2(
sen α
cos α
+
cos α
sen α
) = sec2
α+cosec2
α+2 sec α cosec α, es decir, (tan α+1)2
+(cot α+1)2
=
(sec α + cosec α)2
.
F´ormulas de la suma 1.2.7.
sen(a ± b) = cos a sen b ± sen a cos b (1.7)
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b (1.8)
tan(a ± b) =
tan a ± tan b
1 ∓ tan a tan b
(1.9)

30. 28 CAP´ITULO 1. CONTENIDOS Y METODOLOG´IA
Figura 1.6: F´ormulas de la suma
Demostraci´on. En una circunferencia de radio 1, centrada en el origen de
coordenadas, dibujamos una recta que pase por el origen, y forme un ´angulo
a con el eje OX. El punto de corte de esta recta con la circunferencia es
(cos a, sen a) por definici´on de seno y coseno. Si rotamos los puntos de plano
alrededor del origen un ´angulo b, el punto (1, 0) pasa a ser (cos b, sen b) y el
punto (0, 1) se traslada a (− sen b, cos b) lo que indica que un punto cualquie-
ra del plano (x, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1) pasar´a a (x , y ) = x · (cos b, sen b) +
y · (− sen b, cos b) (la rotaci´on es transformaci´on lineal). Por lo tanto el punto
que tiene por coordenadas (cos a, sen a) = cos a · (1, 0) + sen a · (0, 1) pasa
a tener (cos a cos b − sen a sen b, cos a sen b + sen a cos b). En la gr´afica vemos
que este punto se corresponde con (cos(a + b), sen(a + b)), lo que prueba las
f´ormulas (1.7) y (1.8) para la suma. Para obtener (1.9) usamos (1.7) y (1.8)
junto con la definici´on de tangente y algunos c´alculos algebraicos. Las de la
resta se obtienen cambiando b por −b9
.
F´ormulas ´angulo doble y mitad 1.2.8. En la siguiente tabla se mues-
tran las f´ormulas para el ´angulo doble y el ´angulo mitad, seguidas de una
demostraci´on basada en la semejanza de tri´angulos y con mucho peso visual.
9
Miscel´anea Ejercicio #A, apartados (a) y (b).

31. 1.2. TRIGONOMETR´IA Y TRI ´ANGULOS 29
Cuadro 1.4: F´ormulas ´angulo doble y mitad
´Angulo Doble ´Angulo mitad
sen 2θ = 2 sen θ cos θ sen
θ
2
=
1 − cos θ
2
cos 2θ = cos2
θ − sen2
θ cos
θ
2
=
1 + cos θ
2
tan 2θ =
2 tan θ
1 − tan2
θ
tan
θ
2
=
1 − cos θ
1 + cos θ
Figura 1.7: F´ormulas del ´angulo doble
Demostraci´on. Los dos tri´angulos rect´angulos ΔACB y ΔADC son se-
mejantes. As´ı se tiene que
CD
AC
=
BC
AB
lo que nos nos da la igualdad
sen 2θ
2 cos θ
=
2 sen θ
2
que equivale a sen 2θ = 2 sen θ cos θ. Aplicando de nuevo la semejanza de
tri´angulos, obtenemos que
AD
AC
=
AC
AB
lo que equivale a
1 + cos 2θ
2 cos θ
=
2 cos θ
2
⇐⇒ 2 cos2
θ = cos 2θ + 1
que nos proporciona cos 2θ = cos2
θ − sen2
θ. Para obtener la f´ormula de la
tangente del ´angulo doble10
basta con escribir la definici´on de tangente, y
10
Miscel´anea Ejercicio #A, apartado (c).

32. 30 CAP´ITULO 1. CONTENIDOS Y METODOLOG´IA
dividir numerador y denominador por cos2
θ. Las f´ormulas para el ´angulo
mitad se obtienen11
de (1.7), (1.8) y (1.3) tomando a = b = θ.
F´ormulas de transformaci´on de sumas y productos 1.2.9.
Suma y diferencia
sin A + sin B = 2 sin(
A + B
2
) cos(
A − B
2
)
sin A − sin B = 2 cos(
A + B
2
) sin(
A − B
2
)
cos A + cos B = 2 cos(
A + B
2
) cos(
A − B
2
)
cos A − cos B = −2 sin(
A + B
2
) sin(
A − B
2
)
Cuadro 1.5: F´ormulas de transformaci´on de sumas y productos.
Demostraci´on.12
Basta con sumar y restar las f´ormulas del seno de la su-
ma y de la diferencia y hacer un cambio de variable a + b = A y a − b = B.
Lo mismo para la suma o la resta de cosenos.
El Teorema de Ptolomeo13
es uno de los resultados m´as interesantes en
geometr´ıa plana. Resulta tan sencillo de enunciar como de demostrar y es
una herramienta muy ´util en las demostraciones de otros teoremas como el
Teorema del Coseno. De hecho, Ptolomeo enuncia este Teorema como lema
previo para deducir el T. del Coseno. Este resultado parte de una circunfe-
rencia y de un cuadril´atero convexo cuyos v´ertices est´an todos sobre dicha
circunferencia, lo que se denomina cuadril´atero c´ıclico.
11
Miscel´anea Ejercicio #B
12
Miscel´anea Ejercicio #C.
13
Claudio Ptolomeo fue un matem´atico griego que vivi´o entre los siglos I al II d.C. Es
autor de uno de los principales tratados de Matem´aticas aplicadas de la Historia de la Cien-
cia: su Sint´axis Matem´atica, mejor conocido como Almagesto , que se convirti´o en una obra
de referencia astron´omica y matem´atica durante m´as de 1500 a˜nos. Ptolomeo incluy´o en
el este libro sus Tablas trigonom´etricas, en las que aparec´ıan las razones trigonom´etricas
de ´angulos entre 1/2o
hasta 180o
, instrumento fundamental para los astr´onomos.

33. 1.2. TRIGONOMETR´IA Y TRI ´ANGULOS 31
Teorema 1.2.10. (Teorema de Ptolomeo) En un cuadril´atero c´ıclico ABCD,
cuyos lados consecutivos son a, b, c y d y sus diagonales e y f, se verifica:
ac + bd = ef (1.10)
Figura 1.8: Ptolomeo 1 Figura 1.9: Ptolomeo 2
Demostraci´on. Dos ´angulos inscritos en una circunferencia que abarcan el
mismo arco son iguales, lo que nos permite etiquetar los ´angulos de la figura
1.8 y saber que α + β + γ + δ = 180o
. Tomamos el tri´angulo de lados b, c, f
y los multiplicamos por a, los ´angulos no se modifican. Hacemos lo mismo
con el tri´angulo de lados d, a, f multiplicandolos por b. Si unimos ´estos dos
tri´angulos por sus v´ertices α y β obtenemos la figura 1.9.
Uniendo los v´ertices inferiores obtenemos un cuadril´atero convexo. Vemos
que el ´angulo comprendido entre los lados a y f y b y f es 180o
− α − β =
γ + δ. Fij´andonos ahora en la circunferencia inicial, observamos que coincide
con el tri´angulo de lados a, b, e multiplicados por f. Finalmente tenemos el
paralelogramo en el que se verifica (1.10).
En los tres siguientes resultados trabajaremos con un tri´angulo ΔABC
de lados a, b y c y ´angulos dispuestos como muestra la figura 1.10.

34. 32 CAP´ITULO 1. CONTENIDOS Y METODOLOG´IA
Figura 1.10: Teoremas Seno, Coseno y Tangente
Teorema 1.2.11. (Teorema del Seno) Si en un tri´angulo ΔABC, las me-
didas de los lados opuestos a los ´angulos α, β y γ son a, b y c respectivamente,
entonces:
a
sen α
=
b
sen β
=
c
sen γ
(1.11)
Demostraci´on. Probaremos que en un tri´angulo, el cociente entre cada
lado y el seno del ´angulo opuesto es constante e igual al di´ametro de la
circunferencia circunscrita, que es equivalente al enunciado del teorema.
Figura 1.11: Dem. Teorema del Seno
Dado el tri´angulo ΔABC, denotamos por O su circuncentro14
, y dibu-
jamos su circunferencia circunscrita tal y como muestra la figura 1.11. Pro-
longamos el segmento CO hasta cortarlo con la circunferencia, obteniendo el
di´ametro CP. Vemos ahora que el tri´angulo ΔPBC es rect´angulo ya que el
´angulo en B est´a inscrito en la circunferencia y abarca un arco cuya cuerda
es el di´ametro CP, y adem´as los ´angulos en A y en P son iguales puesto que
abarcan el mismo arco.
14
Se define el circuncentro como el centro de la circunferencia circunscrita a un tri´angulo

35. 1.2. TRIGONOMETR´IA Y TRI ´ANGULOS 33
sen α =
CB
CP
=
a
2R
,
donde R es el radio de la circunferencia. As´ı
a
sen α
= 2R. Si repeti-
mos el proceso con el di´ametro AP y con BP: sen β =
CA
AP
=
b
2R
y
sen γ =
AB
BP
=
c
2R
, lo que prueba (1.11).
Teorema 1.2.12. (Teorema del Coseno) En un tri´angulo ΔABC, de ´angu-
los α, β y γ y lados opuestos a estos ´angulos a, b, y c se cumple:
c2
= a2
+ b2
− 2ab · cos γ (1.12)
Demostraci´on. Demostraci´on sin palabras sobre la Figura 1.12 aplicando
el Teorema de Ptolomeo.
Figura 1.12: Dem. Teorema del Coseno
Como las rectas AD y BC son paralelas, si trazamos la perpendicular a
ambas por el punto C obtenemos que ∠BCF =
π
2
= ∠CFA. Luego en el
tri´angulo rect´angulo ΔAFC, el ´angulo ∠ACF = γ−
π
2
y ∠FAC = π−γ. As´ı,
AF = b·cos(π−γ), y con el mismo razonamiento DE = b·cos(π−γ). En este

36. 34 CAP´ITULO 1. CONTENIDOS Y METODOLOG´IA
caso, AD = a+2b·cos(π−γ) y aplicando el T. Ptolomeo sobre el cuadril´atero
tenemos b·b+a·(a+2b·cos(π−γ)) = c·c, es decir, c2
= b2
+a2
−2ab·cos γ.
Teorema 1.2.13. (Teorema de la tangente) En un tri´angulo ΔABC, de
´angulos α, beta y γ y lados opuestos a estos ´angulos a, b y c, se cumple:
a − b
a + b
=
tan(
α − β
2
)
tan(
α + β
2
)
(1.13)
Demostraci´on.15
Entre los resultados m´as simples de Geometr´ıa encontramos los llamados
Teoremas de Configuraci´on, en los que se trata un n´umero finito de puntos y
de rectas, as´ı como de su pertenencia rec´ıproca. En general pueden formularse
del siguiente modo:
“Si algunos puntos pertenecen a una recta (o algunas rectas pasan por
un punto) entonces algunos otros puntos est´an en una recta (o algunas otras
rectas pasan por un punto)”.
En este grupo de teoremas se encuentran los de Menelao y Ceva.
Teorema 1.2.14. (Teorema de Ceva) Sea un tri´angulo ΔABC y sean l, m
y n cevianas16
que pasan por los v´ertices A, B y C respectivamente. Si L es
el punto de corte de la recta l con el lado BC, M el punto de corte de la
recta m con el lado CA y N el punto de corte de la recta n con el lado AB.
Entonces, las rectas l, m y n concurren en un punto P si y s´olamente si
BL
LC
·
CM
MA
·
AN
NB
= 1.
15
Miscel´anea Problema #3
16
Una ceviana es un segmento de recta que une un v´ertice de un tri´angulo con el lado
opuesto a ´este.

37. 1.2. TRIGONOMETR´IA Y TRI ´ANGULOS 35
Figura 1.13: T. de Ceva
Teorema 1.2.15. (Teorema de Menelao) En un tri´angulo ΔABC, sean
L, M y N puntos sobre los lados BC, CA y AB (o sus prolongaciones) res-
pectivamente. Los puntos L, M y N son colineales si y s´olamente si
BL
LC
·
CM
MA
·
AN
NB
= 1
Figura 1.14: T. de Menelao
El teorema de Ceva est´a estrechamente relacionado con el de Menelao
y ambos nos permiten tratar elegantemente muchos problemas en los que
interviene la colinealidad de puntos y la concurrencia de rectas. Incluidos
en la tem´atica del Bachillerato anterior al BUP (ver [11] y [4]), dejan de
estudiarse en las aulas de Bachillerato a partir de los 70. Siguiendo las pautas
del libro [17] y los apuntes [6], en el Anexo de esta memoria incluimos una
demostraci´on de los mismos.
Los Teoremas de Ceva y Menelao tienen una versi´on trigonom´etrica que
presentamos a continuaci´on. Incluimos un Lema previo que nos servir´a para
dar una r´apida demostraci´on de ambos.

38. 36 CAP´ITULO 1. CONTENIDOS Y METODOLOG´IA
Lema 1.2.16. Dados tres puntos A, B y C colineales y un punto D no
colineal a los anteriores, se tiene:
AB
BC
=
AD · sen ∠ADB
DC · sen ∠BDC
Demostraci´on.
AB
BC
=
AB · h
BC · h
=
AADB
ABDC
. Tomando como base el segmento BD en ambos
tri´angulos tenemos que 2 · AADB = BD · hADB = BD · AD · sen ∠ADB y
2 · ABDC = BD · hBDC = BD · DC · sen ∠BDC, luego
AB
BC
=
BD · AD · sen ∠ADB
BD · DC · sen ∠BDC
Teorema 1.2.17. (Ceva trigonom´etrico) Sea un tri´angulo ΔABC y sean
l, m y n cevianas que pasan por los v´ertices A, B y C respectivamente. Si L
es el punto de corte de la recta l con el lado BC, M el punto de corte de la
recta m con el lado CA y N el punto de corte de la recta n con el lado AB.
Entonces, las rectas l, m y n concurren en un punto P si y s´olamente si
sen ∠BAL
sen ∠LAC
·
sen ∠CBM
sen ∠MBA
·
sen ∠ACN
sen ∠NCB
= 1
Demostraci´on. 17
Teorema 1.2.18. (Menelao trigonom´etrico) Sean L, M y N puntos sobre
los lados BC, CA y AB (o sus prolongaciones) respectivamente. Los puntos
L, M y N son colineales si y s´olamente si
sen ∠BAL
sen ∠LAC
·
sen ∠CBM
sen ∠MBA
·
sen ∠ACN
sen ∠NCB
= −1
Demostraci´on. 18
17
Problema #4
18
Problema #4

39. 1.3. SESIONES DE APRENDIZAJE 37
1.3. Sesiones de aprendizaje
Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en
todo problema hay un descubrimiento. G. Polya
No han sido pocos los matem´aticos que a lo largo de la historia se han
preocupado por la forma de razonamiento de los estudiantes, y m´as con-
cretamente por el procedimiento de resoluci´on de problemas. En los a˜nos
40, George Polya (1887-1985), se interesa por el proceso de descubrimien-
to y derivaci´on de los resultados matem´aticos. En su ense˜nanza enfatiza la
creatividad en los problemas m´as que el desarrollo mec´anico de ejercicios.
Polya establece que la resoluci´on de un problema debe atravesar cuatro fa-
ses: FI-Entender el problema, FII-Configurar un plan, FIII-Ejecutar el plan
y FIV-Mirar hacia atr´as. Este modelo cl´asico de resoluci´on se conoce como
M´etodo de los cuatro pasos de Polya.
En 1957, el matem´atico Pierre M. van Hiele (1909-2010), movido por su
preocupaci´on por la ense˜nanza y el aprendizaje de la Geometr´ıa, desarro-
lla el llamado Modelo de Van Hiele, en el que se establece que el apren-
dizaje en Geometr´ıa se construye pasando por 5 niveles de pensamiento:
N0-Reconocimiento o visualizaci´on (de figuras), N1-An´alisis y descripci´on
mediante propiedades, N2-Deducci´on informal y ordenaci´on, N3-Desarrollo
de deducciones formales y N4-Visi´on abstracta y rigor. A mediados de los
50 en Espa˜na cont´abamos con Puig-Adam (1900-1960), nuestro didacta de
las matem´aticas de mayor proyecci´on internacional. El libro clave que recoge
sus ideas es La matem´atica y su ense˜nanza actual. En colaboraci´on con su
maestro Rey-Pastor (1888-1962), public´o una treintena de obras did´acticas.
Ya en la d´ecada de los 80, el entra˜nable Miguel de Guzm´an (1936-2004),
desarrolla un modelo de ense˜nanza fruto de su preocupaci´on por la educaci´on
matem´atica, no s´olo en el ambiente universitario sino muy especialmente en
la educaci´on secundaria. Este modelo establece tambi´en cuatro fases en el
proceso de resoluci´on de un problema: I-Familiarizaci´on con el problema, II-
B´usqueda de estrategias, III-Llevar adelante la estrategia y IV-Revisi´on del
proceso sacando consecuencias de ´el.
Si comparamos las conclusiones de G. Polya y de M. de Guzm´an, obser-
vamos que las l´ıneas de actuaci´on propuestas por ambos matem´aticos para la
resoluci´on de problemas son las mismas. Los niveles de van Hiele hablan del
desarrollo del pensamiento en Geometr´ıa; el primero de ellos es la visualiza-
ci´on. Bas´andonos en las ideas de estos tres modelos y en las pautas marcadas

40. 38 CAP´ITULO 1. CONTENIDOS Y METODOLOG´IA
por el Bloque I: Procesos, m´etodos y actitudes en Matem´aticas descrito de
forma general en el RD 1105/2012 que regula la LOMCE19
proponemos en
esta memoria el empleo de cuatro tipos de sesiones diferentes como metodo-
log´ıa para el aprendizaje basado en la resoluci´on de problemas:
Sesi´on 0: Matem´aticas din´amicas. (Nivel 0; Fase I).
Sesi´on 1: Intuici´on y c´alculo. (Niveles 0, 1 y 2; Fases II y III).
Sesi´on 2: Uso de teoremas. (Niveles 3 y 4; Fases III y IV).
Sesi´on 3: Combinaci´on de t´ecnicas. (Nivel 4; III y IV).
Con estas sesiones de problemas, buscamos ascender escalonadamenteamen-
te desde problemas basados en la visualizaci´on de figuras y la aplicaci´on de
conceptos y definiciones b´asicas, hasta el uso de distintos teoremas y t´ecnicas
en un mismo problema. Nos centraremos en sesiones relacionados con Tri-
gonometr´ıa y Tri´angulos. En ellas, trabajaremos los contenidos introducidos
en la Secci´on 1.2 (y otros relacionados o derivados) mediante el Taller de
Problemas del Cap´ıtulo 2.
Las sesiones de tipo 0 est´an pensadas como sesiones interactivas (pro-
yecciones con ca˜n´on y en aula de laboratorio siempre que sea posible). La
idea es hacer propuestas de problemas basados en figuras que admitan reso-
luciones visuales previa exploraci´on de propiedades mediante alg´un progra-
ma inform´atico. Nos parece interesante el uso de GeoGebra por el volumen
de material libre e interactivo del que dispone (como alternativa se puede
emplear Derive, Cabri o peque˜nos programas elaborados por el profesor si
conoce el entorno). Algunas de estas sesiones pueden presentarse como divul-
gativas: v´ıdeos como la Naturaleza de los N´umeros 20
, el an´alisis de im´agenes
sobre n´umero a´ureo, y algunos libros interesantes ([1], Number Shape and
symmetry D.L. Herrmann P.J. Sally, CRC Press.)
19
El BOR, sobre este bloque, (ver BOR no
3, Secci´on I, de s´abado 3 de enero de 2015):
“ El bloque de Procesos, m´etodos y actitudes en Matem´aticas debe desarrollarse de modo
transversal y simult´anualmente al resto de los bloques, constituyendo el hilo conductor de la
asignatura; se articula sobre procesos b´asicos e imprescindibles en el quehacer matem´atico:
la resoluci´on de problemas, proyectos de investigaci´on matem´atica, la matematizaci´on y
modelizaci´on, las actitudes adecuadas para desarrollar el trabajo cient´ıfico y la utilizaci´on
de medios tecnol´ogicos ”. En la especificaci´on detallada de sus contenidos se incide en
planificaci´on, estrategias, reflexi´on de resultados y uso de medios tecnol´ogicos y, en niveles
de Bachillerato, iniciaci´on a la demostraci´on y sus m´etodos.
20
https://www.youtube.com/watch?v=9rd8Osx1mDQ

41. 1.3. SESIONES DE APRENDIZAJE 39
La finalidad de las sesiones de tipo 1 es trabajar los conceptos y las estrate-
gias mediante el apoyo visual as´ı como fortalecer en los c´alculos algebraicos.
El desarrollo que hemos seguido en la Secci´on 1.2 para la presentaci´on de
contenidos es un claro ejemplo de la metodolog´ıa en este tipo de sesiones.
Adiestrar en el tratamiento algebraico de los problemas (procedimientos y
c´alulo) es tan importante como trabajar la intuici´on y las estrategias. Una
soluci´on correcta requiere de buenas cuentas y buena organizaci´on de las mis-
mas. En estas sesiones es importante trabajar este aspecto que, en niveles de
aprendizaje b´asicos, requiere de la realizaci´on de ejercicios m´as mec´anicos.
De acuerdo con los decretos que regulan las ense˜nanzas en el segundo
ciclo de la ESO y en el Bachillerato, es conveniente presentar al alumno
demostraciones de los teoremas que son objeto de estudio en estos niveles.
Las demostraciones m´as interesantes en Matem´aticas son las aprehensivas, es
decir, aquellas que proporcionan conocimiento por medio de su estudio. Los
alumnos no solo deben conocer los teoremas y c´omo aplicarlos, sino tambi´en
comprender sus demostraciones y ser capaces de reutilizar los razonamientos
usados en las mismas para resolver problemas parecidos, generalizaciones de
los mismos y particularizaciones de inter´es. Este es el esp´ıritu de las sesiones
de tipo 2 y 3. En las primeras, se pretende afianzar el reconocimiento y uso
de teoremas mediante problemas de aplicaci´on directa (m´as bien ejercicios) o
de reconocimiento indirecto. En las sesiones de tipo 3, se trabajan problemas
de mayor grado de dificultad en los que, el uso de teoremas junto con el
planteamiento de estrategias y razonamientos est´a en la base de la resoluci´on
de los mismos.
En la Secci´on 2.2 de la memoria proponemos un modelo de cada una de
estas sesiones basado en el Taller de Problemas propuesto.

43. Cap´ıtulo 2
Taller de Problemas
Geometry has two great treasures: one is the theorem of Pyt-
hagoras; the other the division of a line into extreme and mean
the golden ratio. Johannes Kepler.
De entre las pruebas visuales m´as trabajadas, el Teorema de Pit´agoras es
una de las m´as comunes. Hay catalogadas m´as de 1000 demostraciones dife-
rentes utilizando m´etodos muy diversos1
, de hecho s´olo en pruebas visuales
hay m´as de un centenar. La figura m´as cl´asica de demostraci´on visual es la
siguiente:
Figura 2.1: Demostraci´on visual de Pit´agoras
1
En la Edad Media se exig´ıa una nueva demostraci´on del teorema para alcanzar el
grado de ” Magister Matheseos”.
41

44. 42 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Esta figura est´a en la base de algunas de las soluciones de los problemas
que se incluyen en este Cap´ıtulo y es el estandarte de este Trabajo Fin de
Grado.
2.1. Problemas modelo
En esta secci´on incluimos una colecci´on de problemas clasificados en cua-
tro subsecciones: intuici´on y c´alculo, uso de teoremas, combinaci´on de t´ecni-
cas y matem´aticas din´amicas. Cada una de estas subsecciones tiene un obje-
tivo educativo distinto.
2.1.1. Intuici´on y c´alculo
Dada una proposici´on trigonom´etrica, transformarla consiste en llegar a
una identidad que sea cierta sin lugar a dudas. Las f´ormulas descritas en la
Secci´on 1.2 son la base de estas transformaciones (bien por sustituci´on di-
recta o por manipulaci´on algebraica). Dada la importancia de estos c´alculos,
incluiremos el siguiente ejercicio, as´ı como otros del estilo en la miscel´anea.2
Ejercicio A. Demuestra las identidades trigonom´etricas (a) y (b), y resuel-
ve la ecuaci´on en (c) en funci´on de los valores de x.
(a) sen α + sen 3α + sen 5α + sen 7α = 4 sen 4α · cos 2α · cos α
(b)
cos α − sec α
sen α − csc α
= tan3
α
(c) 3 sen2
x + a sen x cos x − cos2
x = 2
Comentarios: Problema de corte mec´anico para entrenar en el manejo de
las f´ormulas trigon´ometricas vistas en la Secci´on 1.2. Apartados (a) y (b)
sacados de internet y (c) en [11, Cap´ıtulo X, p. 191].
Soluci´on: En (a) aplicamos las f´ormulas 1.2.9 llegando a: (sen α+sen 7α)+
(sen 3α + sen 5α) = 2 sen
7α + α
2
cos
7α − α
2
+ 2 sen
5α + 3α
2
cos
5α − 3α
2
=
2 sen 4α · (cos 3α + cos α) = 2 sen 4α · 2 cos
3α + α
2
cos
3α − α
2
= 4 sen 4α ·
cos 2α · cos α.
2
Ejercicio #A secci´on 2.3.

45. 2.1. PROBLEMAS MODELO 43
Para probar (b) dejamos las f´ormulas, siempre que se pueda, en funci´on de
senos y cosenos:
cos α − sec α
sen α − csc α
=
cos α −
1
cos α
sen α −
1
sen α
=
− sen2
α
cos α
− cos2
α
sen α
=
sen3
α
cos3 α
= tan3
α.
Para obtener en (c) el valor de x que verifique la ecuaci´on necesitamos
expresarla en funci´on de una s´ola raz´on trigonom´etrica. Usando las f´ormulas
1.2.8 nos queda: 2 sen2
x+2 sen 2x−cos2
x+sen2
x = 2, o lo que es lo mismo
1−cos 2x+2 sen 2x−cos 2x = 2, es decir, 2 sen 2x−2 cos 2x = 1. Si dividimos
entre cos 2x llegamos a 2 tan 2x − 2 = sec 2x, que por la f´ormula Pitag´orica
(1.4) equivale a 2 tan 2x − 2 = (±
√
tan2
2x + 1) obteniendo as´ı la euaci´on de
segundo grado 3 tan2
2x − 8 tan2
x + 3 = 0 en funci´on de tan 2x. Los valores
que se obtienen son tan 2x =
4
3
±
√
7
3
que aplicando la funci´on inversa arctan
nos quedan x = 32,8524o
+ 360k y 12,1476o
+ 360k con k ∈ Z.
Problema #1. A partir de la Figura 2.2, deducir la identidad:
2 cosec 2θ = tan θ + cot θ.
Figura 2.2: Problema #1
Comentarios: La identidad se conoce como F´ormula de Duplicaci´on de Ei-
senstein y fue propuesto por G. Eisenstein en Mathematische Werke en 1975.

46. 44 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
La Figura 2.2 es una soluci´on visual dada por Lin Tang que aparece en [9,
p.56]. En esta memoria hemos elaborado los detalles de esta demostraci´on.
Por manipulaci´on algebraica, el resultado es muy simple.3
Soluci´on:
Por semejanza con la Figura 1.5, el segmento OP = cot θ. Adem´as, el
´angulo ∠NOM =
π
2
−2θ, luego por definici´on de secante, el segmento ON =
sec(
π
2
− 2θ) =
1
cos(
π
2
− 2θ)
=
1
sen 2θ
= csc 2θ. El tri´angulo ΔPNM es
is´osceles, luego el segmento NM = cot θ − csc 2θ, y como el segmento
QT = tan θ, tambi´en se tiene que RN = csc 2θ − tan θ. El tri´angulo ΔONT
cumple que el ´angulo en O es
π
2
−θ y el ´angulo en T es π−(
π
2
−θ)−2θ =
π
2
−θ
por lo que es is´osceles y NT = NO. Como OR = QT = TM = tan θ,
NM = NT −tan θ = NO−tan θ = NR , as´ı que NR = NM, csc 2θ−tan θ =
cot θ − csc 2θ, es decir, 2 csc 2θ = tan θ + cot θ.
Problema #2.
Prueba que el ´area de un tri´angulo es igual al producto del radio de la cir-
cunferencia inscrita por el semiper´ımetro.
Comentarios: Propuesto y resuelto en [1, Part I, Section 20, Lemma 1].
Observamos que una buena organizaci´on de teselas proporciona soluciones
ingeniosas.
3
Apartado (d) del Ejercicio #A, Secci´on 2.3.

47. 2.1. PROBLEMAS MODELO 45
Soluci´on: En un tri´angulo ΔABC, de lados a, b, c, dibujamos sus bisectri-
ces, que se cortan en el incentro4
I. Desde I, trazamos perpendiculares a los
lados del tri´angulo, lo que nos proporcona seis tri´angulos rect´angulos como
se muestra en la parte izquierda de la Figura 2.3.
Reorganizando estos tri´angulos, construimos un rect´angulo de lados r y
(x + y + z), donde (x + y + x) =
a + b + c
2
= s, el semiper´ımetro. Entonces
el ´area del rect´angulo, que es igual a la del tri´angulo, vale r · (x + y + z), es
decir, r · s.
Figura 2.3: Problema #2
Problema #3.
Sobre la cl´asica figura de prueba visual del Teorema de Pit´agoras, dada por la
(Figura 2.1, comenzamos dibujando un tri´angulo rect´angulo ΔABC y traza-
mos otros dos tri´angulos rect´angulos ΔECF y ΔA C B , exactamente como
el original. Prueba que los hex´agonos DEFD AB y CAB C A B tienen la
misma ´area.
Comentarios: Propuesto y resuelto en [1, Part I, Section 6]. La figura 2.4
es la prueba visual elaborada por Leonardo da Vinci (1452-1519) para el
Teorema de Pit´agoras.
Soluci´on: Con los datos del enunciado construimos la Figura 2.4 llevando
a cabo la ingeniosa idea de Leonardo para esta prueba, trazar los segmentos
DD y CC . Por reflexi´on, tomando como eje DD , el cuadril´atero DEFD
es congruente5
con DBAD , y por rotaci´on, de centro el punto medio de
CC y ´angulo 180o
, CBA C es congruente con CAB C . Adem´as, si rota-
mos DBAD 90o
alrededor de B, en sentido horario, DBAD y CBA C son
4
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita
5
Dos pol´ıgonos se dicen congruentes si tienen todos sus lados y todos sus ´angulos
iguales.

48. 46 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
tambi´en congruentes. Por lo tanto, los hex´agonos DEFD AB y CAB C A B
tienen partes congruentes y por tanto la misma ´area.
Figura 2.4: Problema #3
Ahora observamos que ADEFD AB = b2
+ (b · c) + c2
= ACAB C A B =
a2
+ (b · c) con lo que b2
+ c2
= a2
.
Problema #4.
De un cuadril´atero ABCD se conocen las longitudes b y d de los lados ad-
yacentes AB y AD y el ´angulo α que forman. Si los ´angulos del cuadril´atero
en B y D son rectos, calcula los otros dos lados y el ´area en funci´on de α, b
y d.
Comentarios: Problema para practicar la definici´on de las funciones trigo-
nom´etricas de una manera indirecta. Propuesto y resuelto en el Seminario
de problemas para alumnos de Secundaria y Bchillerato de la Universidad de
La Rioja (Seminario UR en adelante), hoja 13, Problema #90.
Soluci´on: Prolongamos los lados AB y CD del cuadril´atero hasta que se
corten en E:

49. 2.1. PROBLEMAS MODELO 47
Figura 2.5: Problema #4
Vemos que E = α − π/2 y por tanto sen E =
d
AE
= − cos α =
x
EC
y AE =
−d
cos α
. Por otro lado, cos E =
AE + b
EC
= sen α =
b −
d
cos α
EC
, y
tan E =
− cos α
sen α
=
x
EC
b −
d
cos α
EC
=
x
b −
d
cos α
, luego x =
d − b · cos α
sin α
.
De la misma manera, si prolongamos los lados BC y AD hasta cortarlos
en un punto F, y razonamos sobre los tri´angulos rect´angulos DFC y AFB,
obtenemos: y =
b − d · cos α
sin α
y por tanto el ´area del cuadril´atero ser´a la suma
de las ´areas de los tri´angulos rect´angulos.
AABCD =
1
2
(x · b + y · b) =
2 · b · d − (b2
+ d2
) · cos(α)
2 · sin(α)
.
Problema #5.
Sobre la Figura 2.1, basada en el tri´angulo ΔABC, construimos tres nuevos
tri´angulos uniendo los v´ertices de cuadrados adyacentes. Probar que los nue-
vos tri´angulos tienen igual ´area que el original y dar una expresi´on para el
´area del hex´agono resultante.

50. 48 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Comentarios: Problema propuesto y resuelto en [1, Chapter 12, Challenges,
12.1]. Es un problema que puede ser tratado mediante la exploraci´on con
GeoGebra en niveles de la ESO.
Soluci´on: En la parte derecha de la Figura 2.6 se observa que al rotar los
tri´angulos 90o
en sentido horario y antihorario alrededor del v´ertice com´un
con el tri´angulo ΔABC, comparten dos lados con este tri´angulo. Adem´as,
si α es el ´angulo correspondiente al v´ertice A en el tri´angulo ΔABC, este
mismo ´angulo en el tri´angulo ΔAPQ es π − α. Sus senos son los mismos,
y por eso hΔABC
c = b · sen α = hΔAPQ
c . Ocurre los mismo con los tri´angulos
ΔBRS y ΔCTU, con lo que los tres tienen la misma ´area que el original.
Figura 2.6: Problema #5
Entonces el ´area del hex´agono es Ahexagono = a2
+ b2
+ c2
+ 4 · AΔABC.
Problema #5.1.
Sobre los lados de un tri´angulo se construyen hacia fuera tres cuadrados de
´areas 26, 20 y 18. Hallar el ´area del hex´agono irregular resultante.
Comentarios: Problema propuesto y resuelto en Seminario UR, hoja 4, Pro-
blema #27, curso 2014/2015. Proponemos dos soluciones que usan el resul-
tado dado en el Problema #5. La primera soluci´on utiliza el Teorema del
Coseno, m´as propio para alumnos de Bachillerato, y la segunda el Teorema
de Pit´agoras conocido en niveles de la ESO.
Soluci´on 1: Supongamos sin p´erdida de generalidad que a2
= 26, b2
= 18
y c2
= 20. Sabemos que los cuatro tri´angulos tienen la misma ´area, as´ı que
aplicando el T. Coseno al lado a tenemos:a2
= b2
+c2
−2·b·c·cos α, es decir
26 = 18 + 20 − 2 ·
√
360 · cos α. As´ı, cos α =
1
√
10
; sen2
α = 1 −
1
10
=
9
10

51. 2.1. PROBLEMAS MODELO 49
y sen α =
3
√
10
. Entonces Atriangulo =
b · c · sen α
2
=
√
18 ·
√
20 ·
3
√
10
2
= 9 y
Ahexagono = 20 + 18 + 26 + 9 · 4 = 100.
Soluci´on 2: Supongamos sin p´erdida de generalidad que a2
= 26, b2
= 18
y c2
= 20. Sabemos que los cuatro tri´angulos tienen la misma ´area as´ı que
calcularemos la de ΔABC. Sea h la altura sobre BC que corta a este lado
en el punto H. Denotemos HC = x, entonces BH =
√
26 − x. Aplicamos T.
Pit´agoras a los tri´angulos ΔBAH y ΔHAC y tenemos que h2
+(
√
26−x)2
=
20 y h2
+ x2
= 18. Restando ambas expresiones nos queda que
√
26x = 12,
luego x =
6
√
26
13
y h2
= 18 − x2
=
162
13
, as´ı que h =
162
13
. Ya podemos
calcular el ´area del tri´angulo que es A =
b · h
2
=
√
26 ·
162
13
2
=
18
2
= 9, de
modo que el ´area del hex´agono nos quede 20 + 18 + 26 + 9 · 4 = 100.
Problema #6.
En un tri´angulo rect´angulo is´osceles se trazan dos cevianas desde el v´ertice del
´angulo recto de manera que la hipotenusa quede dividida en tres segmentos.
Probar que esos tres segmentos forman un tri´angulo rect´angulo si y s´olo si el
´angulo entre las dos cevianas es de 45o
.
Comentarios: Problema propuesto y resuelto en [3, Chapter 5, Challenges,
5.13].
Soluci´on: Trazamos la altura sobre la hipotenusa, a la que podemos darle
valor 1 sin p´erdida de generalidad, que la divide en dos segmentos a + x y
b + y. Aplicamos el T. de la altura y tenemos que 1 = (a + x)(b + y), pero
en un tri´angulo rect´angulo is´osceles, la altura divide a la hipotenusa en dos
partes iguales, luego 1 = (a + x)2
siendo x = 1 − a y por tanto y = 1 − b.
Entonces c = 2 − a − b. Observamos que c > a, b luego a, b y c formar´an un
tri´angulo rect´angulo si y s´olo si c2
= a2
+b2
, esto es: (2−a−b)2
= a2
+b2
, es
decir, 4 − 4a − 4b + 2ab = 0 que se cumple si y s´olo si 2 − a − b = a + b − ab.

52. 50 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Figura 2.7: Problema #6
Por otro lado, la f´ormula de la tangente de la suma nos dice que
tan(α+β) =
tan α + tan β
1 − tan α · tan β
=
(1 − a) + (1 − b)
1 − (1 − a)(1 − b)
=
2 − a − b
a + b − ab
=
c
a + b − ab
.
As´ı, α + β = 45o
si y s´olo si tan(α + β) = 1, si c = a + b − ab.
2.1.2. El uso de teoremas
La Trigonometr´ıa es una poderosa herramienta que nos permite hacer
infinidad de medidas indirectas. Para ello s´olo necesitaremos un metro y un
aparato que nos permita medir ´angulos. Una de las aplicaciones m´as im-
portantes de la resoluci´on de tri´angulos es el c´alculo de algunas longitudes
inaccesibles, mediante la determinaci´on de otras cuya medida es f´acil de cal-
cular directamente.
Problema #1.
Se desea calcular la distancia entre dos cimas de monta˜nas, A y B, con objeto
de construir un telef´erico. Desde el valle se obtiene por medici´on directa los
datos que aparecen en la Figura 2.8. Calcular la distancia AB.
Comentarios: Propuesto en [4], texto regulado por la Orden del 57. Este
Bachillerato conced´ıa especial atenci´on a los problemas de aplicaci´on de la
Geometr´ıa a la vida real. Es un libro de 6o
de Bachillerato, correspondiente
a la edad de 16 a˜nos, lo que en la actualidad es 4o
de la ESO.

53. 2.1. PROBLEMAS MODELO 51
Figura 2.8: Problema #1
Soluci´on: Tomamos el tri´angulo ΔACD y calculamos el lado AC aplicando
el Teorema del Seno: AC =
400 · sen 46o
sen 24o
= 707,42. Con este mismo Teo-
rema aplicado al tri´angulo ΔBCD, calculamos CB: CB =
400 · sen 75o
sen 37o
=
642,01m.
Teniendo dos lados y un ´angulo del tri´angulo ΔABC ya podemos calcular
el lado desconocido con el Teorema del Coseno: AB2
= 707,422
+ 642,012
−
2 · 707,42 · 642,01 · cos 42o
,es decir, AB = 487,43m.
Problema #2.
Si D, E y F son los puntos de contacto de la circunferencia inscrita al
tri´angulo ΔABC en los lados BC, CA y AB respectivamente, demu´estre-
se que AD, BE y CF son concurrentes.6
Comentarios: Propuesto y resuelto en [6].
Figura 2.9: Problema #2
6
El punto de concurrencia se llama Punto de Gergonne

54. 52 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Soluci´on: Las rectas AD, BE y CF son cevianas del tri´angulo ΔABC.
Adem´as, siempre que desde un punto exterior, se trazan dos tangentes a
una circunferencia, los segmentos formados tienen igual longitud7
, esto es:
AF = AE; BF = BD y CE = CD. As´ı, aplicando el T. de Ceva obetenemos:
AF
FB
·
BD
DC
·
CE
EA
= 1
lo cual nos indica que son concurrentes.
Problema #3.
Probar que las bisectrices de los ´angulos internos de un tri´angulo ΔABC son
concurrentes.
Comentarios: Propuesto y resuelto en [6].
Soluci´on:
Figura 2.10: Problema #3
Usamos la forma trigonom´etrica del Teorema de Ceva:
sen ∠BAD
sen ∠DAC
=
sen ∠CBE
sen ∠EBA
=
sen ∠ACF
sen ∠FCB
= 1 pues la bisectriz divide al ´angulo en dos partes
iguales.
Problema #4.
Demu´estrese que las bisectrices de los ´angulos externos de un tri´angulo cortan
a los lados opuestos en tres puntos colineales.
Comentarios: Propuesto y resuelto en [6]. Usa la previa resoluci´on del Pro-
blema #3.
Soluci´on: Para un ´angulo cualquiera, las bisectrices de los ´angulos internos y
externos son perpendiculares entre s´ı, y adem´as las cevianas AD , BE y CF ,
son a su vez las bisectrices de los ´angulos internos, luego son concurrentes.
7
Esta afirmaci´on es consecuencia del concepto de Potencia. Pueden darse otras demos-
traciones alternativas mediante pruebas visuales.

55. 2.1. PROBLEMAS MODELO 53
Figura 2.11: Problema #4
Aplicamos la forma trigonom´etrica del T. de Menelao. Como BAD =
BAD +π/2 y DAC = π/2−D AC, entonces
sen ∠BAD
sen ∠DAC
=
− cos ∠BAD
cos ∠D AC
=
−1, pues ∠BAD = ∠D AC ya que est´an cortados por una bisectriz.
Hacemos lo mismo c´ıclicamente para el resto de ´angulos. Por un lado
CBE = π/2−CBE y EBA = E BA+π/2, luego se tiene que
sen ∠CBE
sen ∠EBA
=
cos ∠CBE
− cos ∠E BA
= −1, pues ∠CBE = ∠E BA. Y finalmente como ACF =
π/2−ACF y FCB = F CB +π/2, entonces
sen ∠ACF
sen ∠FCB
=
cos ∠ACF
− cos ∠F CB
=
−1 ya que ∠CBE = ∠E BA.
Luego entonces se cumple:
sen ∠BAD
sen ∠DAC
·
sen ∠CBE
sen ∠EBA
·
sen ∠ACF
sen ∠FCB
= −1 lo
que indica de D, E y F son colineales.
Problema #5.
Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD. Fijamos el punto X en el segmen-
to AB y denotamos por P la intersecci´on de las rectas BC y AD. Tomamos
el punto Y como intersecci´on de CD y PX, R como intersecci´on de AY con
BD y T como intersecci´on de PR con AB (ver Figura 2.12). Probar que
1
AT
=
1
AX
+
1
AB

56. 54 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Figura 2.12: Problema #5.
Comentarios: Propuesto y resuelto en Seminario UR, hoja 9, Problema
#63.
Soluci´on: Tomamos el tri´angulo ΔPAT y aplicamos Menelao, de tal forma
que como D, R, B son colineales, entonces
PD
DA
·
AB
BT
·
TR
RP
= 1.
Hacemos lo mismo con el tri´angulo ΔPTX y tenemos que, como Y, R y A
son colineales,
PR
RT
·
TA
AX
·
XY
Y P
= 1, y si multiplicamos ambas expresiones
tenemos
PD
DA
·
AB
BT
·
TA
AX
·
XY
Y P
= 1.
Observamos que los tri´angulos ΔPDY y ΔPAX est´an en posici´on de
Tales, luego
PD
DA
=
PY
Y X
, de forma que la anterior expresi´on se simplifica a:
AB
BT
=
AX
AT
, es decir
AB
AB − AT
=
AX
AT
. Operando llegamos a la expresi´on
que buscamos,
AB
AX
=
AB
AT
− 1 y
1
AX
=
1
AT
−
1
AB
Problema #6.
Un tri´angulo ΔABC es rect´angulo si y s´olo si sen2
A + sen2
B + sen2
C = 2.
Comentarios: Propuesto en [18, 2007 Irish Mathematical Olympiad, Pro-
blem 2]. Soluci´on dada por Steve Dinh.
Soluci´on: Si se verifica la identidad, entonces el tri´angulo es rect´angulo.
Sean los a, b y c los lados del tri´angulo, entonces por el T. Seno tenemos
a
sen A
=
b
sen B
=
c
sen C
, luego se cumple:
a2
sen2 A
=
b2
sen2 B
=
c2
sen2 C
=
(∗)
a2 + b2 + c2
sen2 A + sen2 B + sen2 C
=
a2 + b2 + c2
2
. (2.1)

57. 2.1. PROBLEMAS MODELO 55
En (∗) usamos la siguiente propiedad de n´umeros reales:
a
b
=
c
d
=
a + c
b + d
.
Con el T. Coseno sobre el lado a tenemos
a2
= b2
+ c2
− 2 · b · c · cos A, (2.2)
que sustituido en (2.1) da
a2
sen2 A
=
b2
+ c2
− 2 · b · c · cos A + b2
+ c2
2
=
b2
+ c2
− bc · cos A. Entonces,(b2
+ c2
− bc · cos A) · sen2
A = b2
+ c2
− 2 ·
bc · cos A, es decir, (b2
+ c2
) · (1 − sen2
A) = bc · cos A · (2 − sen2
A), luego
(b2
+ c2
) · cos2
A = bc · cos A · (1 + cos2
A). Suponiendo que el ´angulo en A
no es recto, cos A = 0 y podemos dividir entre cos A. Esto nos lleva a la
ecuaci´on: (b2
+ c2
) · cos A = b · c · (1 + cos2
A), que de forma equivalente se
puede escribir como bc · cos2
A − (b2
+ c2
) · cos A + bc = 0, una ecuaci´on de 2o
grado bc·X2
−(b2
+c2
)·X +bc = 0 con soluci´on cos A. Comprobamos que las
soluciones de esta ecuaci´on son X =
b
c
o X =
c
b
, lo que implica que si A no
es recto, o bien cos A =
b
c
o bien cos A =
c
b
. Si cos A =
b
c
, de (2.2) se deduce
que a2
= b2
+ c2
− 2b2
, es decir, c2
= a2
+ b2
, en cuyo caso la hipotenusa es
c y el tri´angulo ser´ıa rect´angulo en C. Si cos A =
c
b
de (2.2) obtenemos que
b2
= a2
+ c2
en cuyo caso el ´angulo recto ser´ıa B.
Veamos ahora que si uno de los ´angulos es recto, entonces se cumple la
identidad. Por simetr´ıa de la ecuaci´on, basta comprobarlo con uno de los
´angulos. Sea A el ´angulo recto, entonces sen A = 1 y a es la hipotenusa,
sen2
B =
b2
a2
y sen2
C =
c2
a2
, luego sen2
B + sen2
C =
b2
+ c2
a2
= 1 (usando
(2.2) ya que cos A = 0). Por lo tanto sen2
A + sen2
B + sen2
C = 1 + 1 = 2.
2.1.3. Combinaci´on de t´ecnicas
Resulta interesante en la resoluci´on de un problema combinar distintos
procedimientos: teoremas, im´agenes o pruebas intermedias que escalonan el
problema (entre otros). Este es el esp´ıritu de los problemas propuestos en
esta secci´on.

58. 56 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Problema #1.
√
x2 + x + 1 y2 + y + 1+ +
√
x2 − x + 1 y2 − y + 1 ≤ 2(x + y),
para x,y > 0
Comentarios: Propuesto y resuelto en The College Mathematics Journal,
vol. 44, n´umero 1, 2013. Soluci´on visual dada por M. Kungozhin y S. Kung
mediante la Figura 2.13. La demostraci´on se completa de forma original por
´Oscar Ciaurri en [5].
Figura 2.13: Problema #1.
Soluci´on: Aplicando el T. Coseno a los tri´angulos formados se tiene que
para ΔACB, donde ∠C =
2π
3
, AB2
= AC2
+ CB2
− 2 · AC · CB · cos C =
y2
+ 1 − 2 · y · cos
2π
3
, es decir, c = y2 + y + 1. Hacemos lo mismo con los
tri´angulos ΔBCD con ∠C =
π
3
, ΔDCE con ∠C =
2π
3
y ΔECA con
∠C =
π
3
, obteniendo las medidas del resto de lados. La desigualdad de Pto-
lomeo8
nos dice que un cuadril´atero convexo como el de la figura verifica
ac + bd ≥ ef, luego
√
x2 + x + 1 · y2 + y + 1+ +
√
x2 − x + 1 · y2 − y + 1 ≤ 2 · (x + y)
Problema #2.
Sea el cuadrado ABCD incluido en una circunferencia de centro B y radio
8
Probada en [5] y adjuntada en Anexo.

59. 2.1. PROBLEMAS MODELO 57
BD como muestra la Figura 2.14. La l´ınea que pasa por A y es paralela a
BD corta a la circunferencia en E. Calcula la medida del ´angulo ∠ABE.
Figura 2.14: Problema #2.
Comentarios: Problema propuesto y resuelto en The Ontario Secondary
School Mathematics Bulletin, Universidad de Waterloo, 1981. Se proponen
dos soluciones distintas. La primera, de car´acter m´as sint´etico, consiste tra-
zar una perpendicular desde B hasta AF y comprobando que AFBG es un
cuadrado y que el ´angulo ∠FEB = 30o
, deducir que ∠ABE = 15o
.9
La se-
gunda soluci´on, que utiliza trigonometr´ıa, la presentamos con m´as detalle a
continuaci´on.
Soluci´on: Denotemos ∠ABE = x, y d´emosle, sin p´erdida de generalidad,
medida 1 al segmento AB como aparece en la Figura 2.15.
Figura 2.15: Problema #2.
Entonces BD =
√
2 = BE. Como EA y BD son paralelas cortadas cor-
tadas por una transversal, los ´angulos internos alternos son iguales ∠HAB =
9
Se propone como ejercicio para el alumno.

60. 58 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
∠ABD = 45o
, y ∠EAD = ∠ADB = 45o
, luego ∠EAB = 90o
+ 45o
= 135o
.
Entonces, en el tri´angulo ΔABE, el ´angulo ∠E = 45o
− x.
Aplicando el Teorema del Seno tenemos:
sen(45o
− x)
1
=
sen 135o
√
2
, es de-
cir, sen(45o
− x) =
sin 45o
√
2
=
1
2
. Resolvemos la ecuaci´on trigonom´etrica y
nos quedamos con la soluci´on en (0,
π
2
), es decir, 45o
− x = 30o
por lo que
x = 15o
.
Problema #3.
Encuentra el menor n´umero A tal que, para cualesquiera dos cuadrados, la
suma de cuyas ´areas en 1, existe un rect´angulo de ´area A en el que estos cua-
drados pueden ser incluidos sin superponerse. (Asumamos que los cuadrados
se introducen con sus lados paralelos a los del rect´angulo.)
Comentarios: propuesto y resuelto en [7, Section 7].
Soluci´on: Como podemos observar en la Figura 2.16, la forma m´as ´optima
de colocarlos es pegarlos, sin llegar a superponerlos.
Figura 2.16: Problema #3
Los cuadrados suman ´area 1, luego sus lados son n´umeros tales que la
suma de sus cuadrados sea la unidad, es decir, senos y cosenos de un ´angulo
0 < x <
π
2
. Suponemos sin p´erdida de generalidad que cos x ≥ sen x, luego
x ∈ (0,
π
4
], y la expresi´on del ´area del rect´angulo es
F(x) = (cos x + sen x) · cos x = cos2
x + sen x cos x = cos2
x +
1
2
sen 2x

61. 2.1. PROBLEMAS MODELO 59
Buscamos A, el m´aximo valor de F en (0,
π
4
]:
F (x) = cos 2x − sen 2x
y resolvemos la ecuaci´on trigonom´etrica cos 2x−sen 2x = 0, es decir, cos 2x =
sen 2x que como x ∈ (0,
π
4
] se tiene que 2x =
π
4
y x =
π
8
Comprobamos que x =
π
8
es un m´aximo mediante F (x). En efecto
F (x) = −2 cos 2x − 2 sen 2x < 0.
As´ı, como cos2 π
8
=
1 + cos
π
4
2
=
1 +
1
√
2
2
=
1 +
√
2
2
√
2
, el m´ınimo valor A es
cos2 π
8
+
1
2
sen
π
4
=
1 +
√
2
2
√
2
+
1
2
√
2
=
2 +
√
2
2
√
2
=
2
√
2 + 2
4
=
√
2 + 1
2
.
Problema #4.
Para cualesquier ´angulos positivos α, β, γ tales que α + β + γ = π/2, se
cumple:
tan α · tan β + tan γ · tan β + tan α · tan γ = 1. (2.3)
Comentarios: Propuesto y resuelto en [1, Part I, Section 20, Lemma2]. En
esta memoria hemos completado los detalles de la demostraci´on.
Soluci´on: Construimos un tri´angulo rect´angulo ΔABC, de ´angulo agudo α
sobre el v´ertice A y con catetos de longitudes AB = 1, y BC = tan α. As´ı,
AC = tan2
α+1 = sec α. Compartiendo lado AC con el anterior, construimos
otro tri´angulo rect´angulo ΔACD, de ´angulo agudo β de nuevo sobre el v´erti-
ce A. Observamos que tan β =
CD
AC
de donde se tiene que CD = sec α·tan β.
Sobre el lado CD construimos un nuevo tri´angulo rect´angulo, ΔCED, cuyo
´angulo en C es exactamente α y por tanto es semejante a ΔABC. Entonces
se cumple que
DE
CB
=
CD
AC
, es decir, DE = tan β · tan α y
CE
AB
=
CD
AC
por lo
que CE = tan β.
Finalmente, a˜nadimos el tri´angulo rect´angulo restante, ΔAFD de ´angulo
agudo γ =
π
2
−α−β sobre el v´ertice A. As´ı tenemos que AF = tan α+tan β
y tan γ =
DF
tan α + tan β
, luego DF = tan γ(tan α + tan β).

62. 60 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Hemos construido as´ı un rect´angulo (Figura 2.27) cuyos lados verticales
nos dan la identidad que buscamos.
Figura 2.17: Problema #4
Problema #5.
Probar que el ´area de un tri´angulo ΔABC, de lados a, b y c, es
K = s(s − a)(s − b)(s − c), donde s es el semiper´ımetro.
Comentarios: Esta f´ormula se conoce como F´ormula de Her´on. Se proponen
dos soluciones: una en [11, 179], de car´acter algebraico, basada en transforma-
ciones de f´ormulas trigonom´etricas y otra en [1, Part I, Section 20, Theorem
(Heron’s Formula)] que usa el problema anterior y el Problema #2 de
la Secci´on 2.1.1. A continuaci´on desarrollamos la segunda propuesta dado
que nos interesa m´as en cuanto contenido trigonom´etrico y combinaci´on de
t´ecnicas.
Soluci´on :
Apliquemos el Problema #4 a 2.18:
Figura 2.18: Problema #4

63. 2.1. PROBLEMAS MODELO 61
Tenemos que 1 = tan α tan β + tan γ tan β + tan α tan γ =
r
x
r
y
+
r
z
r
y
+
r
x
r
z
=
r2
(x + y + z)
xyz
=
r2
· s
xyz
. Recordando lo visto en el Problema #2 de
la Secci´on 2.1.1, esto es
K2
sxyz
, es decir, K2
= sxyz. Como s = x + y + z =
x + a = y + b = z + c, se tiene que K2
= sxyz = s(s − a)(s − b)(s − c).
Problema #6
El cuadril´atero c´ıclico ABCD, inscrito en una circunferencia de radio 1 y
tal que el lado AD sea un di´ametro de dicha circunferencia, es bic´entrico,
es decir, admite tambi´en una circunferencia inscrita tangente a sus cuatro
lados. Probar que BC ≤ 2
√
5 − 4.
Comentarios: Propuesto y resuelto en Seminario UR, hoja 5, Problema
#35, 2014/2015.
Soluci´on:
Figura 2.19: Problema #6
Para el cuadril´atero ABCD denotemos como a = AB, b = BC, c = CD
y d = DA. Cuando se trazan las tangentes a una circunferencia desde un
punto exterior, los segmentos que se forman son iguales10
. Aplicando esto a los
puntos A, B, C y D sobre la circunferencia inscrita en el cuadril´atero, tenemos
que AH = AK = X, BH = BI = Y , CI = CJ = Z y DJ = DK = T
verific´andose as´ı la igualdad
d + b = a + c, (2.4)
10
Puede verse porque el tri´angulo formado es is´osceles o utilizando el concepto de Po-
tencia de un punto respecto de una circunferencia

64. 62 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
conocida como Teorema de Pitot.11
En efecto, d + b = X + T + Y + Z =
a + c. Adem´as, por ser ABCD un cuadril´atero c´ıclico, podemos aplicar el T.
Ptolomeo de manera que
ac + bd = ef. (2.5)
Por otro lado vemos que los ´angulos ∠ABD y ∠ACD son rectos ya que son
´angulos inscritos, que abarcan un arco de circunferencia cuya cuerda es un
di´amentro. Aplicamos en ambos el T. Pit´agoras y tenemos que d2
= a2
+ f2
y d2
= c2
+ e2
, es decir
f2
= 4 − a2
(2.6)
y
e2
= 4 − c2
. (2.7)
Aplicamos ahora la desigualdad entre las medias aritm´etica y geom´etrica12
a e2
y f2
y llegamos a que ef = e2f2 ≤
e2
+ f2
2
. Usando (2.6) y (2.7)
ef ≤
8 − a2
− c2
2
, esto es 2·ac+4b ≤ 8−a2
−c2
, es decir, 4b ≤ 8−(a+c)2
, pero
usando (2.4) tenemos 4b ≤ 8−(b+2)2
, o lo que es los mismo b2
+8b−4 ≤ 0.
Las ra´ıces de la ecuaci´on b2
+ 8b − 4 = 0 son b = −4 ± 2
√
5 y su valor es
≤ 0 en el intervalo (−∞, 2
√
5 − 4) de modo que la desigualdad se satisface
cuando b ≤ 2
√
5 − 4.
2.1.4. Matem´aticas din´amicas
Transmitir las matem´aticas como algo bonito e interactivo, y hacer que el
alumno se interese por ellas es tan importante como mostrar los c´alculos rigu-
rosos de la demostraci´on de un teorema. Con esta idea en la cabeza se pueden
plantear cantidad de cuestiones de divulgaci´on cient´ıfica, apoyados en videos
y experimentos en la naturaleza, o problemas cuya estrategia de resoluci´on
puede ser explorativa con programas como GeoGebra o Mathematica.
Problema #1.
Dada una circunferencia centrada en el origen, trazamos dos di´ametros, d1
y d2 que la cortan en puntos P y Q respectivamente. Si la paralela a d2 por
11
El Teorema de Pitot establece que en un cuadril´atero c´ıclico, el resultado de la suma
de los lados opuestos es el mismo.
12
Desigualdad MA-MG:
a + b
2
≥
√
a · b

65. 2.1. PROBLEMAS MODELO 63
el punto P forma un ´angulo de 7o
12 con d1 y la distancia entre P y Q es de
157,5m, calcula el radio de la circunferencia.
Comentarios: Esta fue la t´ecnica que Erat´ostenes de Cirene (276-194 a.C.)
utiliz´o para medir el radio de la Tierra. El experimento puede llevarse a cabo
con diferentes objetos, de hecho los alumnos del Instituto Ramiro de Maeztu,
de Madrid, lo comprobaron con la sombra de un l´apiz. 13
. La resoluci´on del
problema es muy sencilla por lo que lo usamos como actividad divulgativa
y de experimentaci´on con la naturaleza. Otras actividades de este tipo que
pueden ser propuestas son tambi´en el c´alculo de la altura de una pir´amide o
la distacia entre el Sol, la Luna y la Tierra14
. Erat´ostenes de Cirene eligi´o dos
ciudades, Alejandr´ıa y Siena y coloc´o un bast´on vertical, de igual longitud
y a la misma hora del d´ıa en ambas ciudades. Observando el ´angulo que
formaban los rayos de sol con el bast´on y midiendo la distancia entre ellas
pudo celcularlo. Con las t´ecnicas que ahora disponemos, ser´ıa muy f´acil ver
el ´angulo de incidencia: sea un bast´on de h = 2m y midamos la sombra que
proyecta s = 0,25m, entonces tan α =
s
h
=
0,25
2
y α = arctan 0,125 = 7o
12
Soluci´on: El ´angulo que forma d1 con la paralela a d2 en P coincide con el
´angulo entre los di´ametros; en efecto, son paralelas cortados por una trans-
versal. Entonces si para un ´angulo de 7o
12 la distancia es 157,5 m, para 360o
la distancia ser´ıa aproximadamente 50 veces m´as, 39.375Km. Con estos datos
el radio de la circunferencia ser´ıa 6.266,73Km.
Problema #2.
En el tri´angulo ΔABC, encuentra el punto interior F que verifique que la
suma FA + FB + FC sea m´ınima.
13
http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/2012/06/21/134204
14
Tambi´en se puede hablar de la pir´amide de Khufu y su relaci´on con los tri´angulos de
Kepler.

66. 64 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Comentarios: F es el conocido como Punto de Fermat. Problema propues-
to en [1, Section 6, 6.4]. La soluci´on que se propone es la de Bogomonly
en (1996). El ejercicio puede trabajarse usando materiales de GeoGebra, en
concreto una construcci´on din´amica de J. Manuel Infante (2013) que encon-
tramos en https://www.youtube.com/watch?v=P3mLPpQDuJ4.
Figura 2.20: Problema #2
Soluci´on: Primero damos una construcci´on general del punto de Fermat F,
y luego probaremos que, en efecto, el punto construido es el ´unico que hace
la suma m´ınima.
Sobre cada lado del tri´angulo ΔABC construimos tri´angulos equil´ateros
y unimos A, B, C con los v´ertices exteriores del tri´angulo equil´atero opuesto
dando lugar a tres cevianas que concurren en F como muestra la Figura 2.20.
Veamos que F es el Punto de Fermat. Sea un punto cualquiera P del tri´angulo
ΔABC, unimos P con los v´ertices del tri´angulo y hacemos una rotaci´on del
plano de centro B y ´angulo 60o
de tal forma que el tri´angulo ΔAPB pasa a
ser ΔA P B. Unimos A A y P P como muestra la Figura 2.21. Ahora ΔABA
y BPP son equil´ateros (pues comparten dos lados cuyo ´angulo comprendido
es de 60o
), entonces PA + PB + PC = C P + P P + PC.

67. 2.1. PROBLEMAS MODELO 65
Figura 2.21: Problema #2
La menor distancia entre dos puntos es la l´ınea recta, luego esta suma
ser´a m´ınima cuando los puntos P y P se encuentren sobre el segmento CA
(notar que, como la im´agen de A por la rotaci´on es A , no depende de P).
Por eso PA + PB + PC ser´a m´ınimo cuando P est´e en A C y en tal caso
∠BPA = 60o
. Haciendo lo mismo para los otros dos lados comprobamos que
P = F.
Problema #3.
En un tri´angulo acut´angulo ΔABC, encuentra el tri´angulo inscrito de per´ıme-
tro m´ınimo.
Comentarios: Este tri´angulo se denomina Tri´angulo ´Ortico. Propuesto en
[3, Cap´ıtulo 5, Secci´on 5.7] con soluci´on dada por Lip´ot F´ejer (1880-1959).
Soluci´on: Para encontrar P, Q y R tales que el per´ımetro de ΔPQR sea
m´ınimo, tomamos el punto R en el lado BC y calculamos sus sim´etricos R y
R por simetr´ıa de eje AB y AC respectivamente. As´ı, R P = RP y QR =
QR por lo que el per´ımetro de ΔPQR es RP +PQ+QR = R P +PQ+QR
que ser´a m´ınimo cuando R , P, Q y R sean colineales. As´ı que, para un R
cualquiera, ´esto nos da la posici´on ´optima de P y Q.

68. 66 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Notar que los tri´angulos ΔR AR y ΔRAR son is´osceles, pues por la
simetr´ıa de eje AB se tiene que AR = AR y AR = AR , lo que implica
que AR = AR . Por lo tanto el tri´angulo ΔR AR tambi´en es is´osceles y
∠R AR = 2∠BAC. Como la amplitud del ´angulo ΔBAC es independiente
del R tomado, la base R R ser´a menor cuando los lados sean menores, y los
lados son menores cuando AR es m´ınimo, es decir, cuando es perpendicular
a BC.
Problema #4.
Dado un tri´angulo ΔABC inscrito en una circunferencia, probar que los
pies de las perpendiculares desde un punto P a las rectas AB, BC y CA son
puntos colineales si y s´olo si P tambi´en est´a en la circunferencia.
Comentarios: Este enunciado se conoce como Teorema de Wallace-Simson,
aparece propuesto en [13, Chapter 4, Theorem 4.16].
Soluci´on: Para explorar el problema hemos realizado una construcci´on din´ami-
ca con GeoGebra15
siguiendo las indicaciones de
http://tube.geogebra.org/m/29093. Dado un tri´angulo y un punto, que no
est´e sobre la circunferencia circunscrita al tri´angulo, proyectamos el pun-
to ortogonalmente sobre las rectas que contienen a los lados del tri´angulo
y obtenemos un nuevo tri´angulo llamado tri´angulo pedal. Pero si proyecta-
mos los puntos de la circunferencia circunscrita, vemos que los tres puntos
que se obtienen son colineales y la recta que los contiene se llama recta de
Wallace-Simson.
15
Ver Anexo

69. 2.1. PROBLEMAS MODELO 67
Figura 2.22: Tri´angulo Pedal. Figura 2.23: Recta W-S.
Problema #5.
Probar que la suma de las perpendiculares desde un punto, del interior o
sobre un tri´angulo equil´atero, a los lados del mismo es igual a su altura.
Comentarios: Este enunciado se conoce como Teorema de Viviani. En [13,
Chapter 6, Theorem 6.2], aparece una soluci´on dada es de Kawasaki, 2005.
Nosotros implementamos actividad din´amica con GeoGebra.
Soluci´on: Exploramos la aplicaci´on con GeoGebra mediante una construc-
ci´on dir´amica que podemos encontrar en http://tube.geogebra.org/m/29093.
Figura 2.24: Problema #5.
Problema #6.
Comprueba que el coseno del ´angulo de 36o
es 1+
√
5
4
y deduce las razones de
los ´angulos de 18o
y 72o
Comentarios:
1 +
√
5
4
=
φ
2
, donde φ es el el N´umero de A´ureo (The Golden
Ratio). Problema propuesto y resuelto en [18].

70. 68 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Figura 2.25: Problema #6.
Soluci´on: La Figura 2.25, muestra un pent´agono regular y por tanto ins-
criptible en una circunferencia. Su ´angulo central vale
360o
5
= 72o
y co-
mo los tri´angulos formados desde el centro hacia los v´ertices son is´osce-
les, los dos ´angulos iguales valen 54o
y por tanto cada ´angulo interior del
pent´agono 108o
.Adem´as, sabiendo que un ´angulo inscrito en una circunfe-
rencia vale la mitad del arco que abarcan sus lados, ∠CAD =
72o
2
= 36o
, y
∠BAC = ∠DAE pues abarcan el mismo arco de circunferencia, luego ambos
valen 36o
. Por la misma raz´on deducimos que ∠AEP y ∠ABP valen tambi´en
36o
.
Observamos ahora que los tri´angulos ΔABP, ΔABE y ΔAEP son is´osce-
les, pues tienen dos ´angulos iguales, y cumplen entonces que AB = BP,
AB = AE y AP = EP. Por otro lado, los tri´angulos ΔABE y ΔABP
son semejantes ya que tienen los tres ´angulos iguales, luego se cumple que
BE
AE
=
AB
PE
, o lo que es lo mismo BE · PE = AB · AE = AB2
, esto es,
(BP + PE) · PE = AB2
, es decir (AB + PE) · PE = AB2
. Si llamamos x
a la raz´on de semejanza, x =
AB
EP
, tenemos que
AB
EP
+ 1 =
AB2
EP2
, es decir
la ecuaci´on x2
= x + 1 cuya ´unica soluci´on positiva es x = φ. Trazamos en
el tri´angulo ΔAEP una perpendicular desde P s hasta AE obteniendo dos
tri´angulos rect´angulos que nos permiten calcular cos ∠AEP =
AE
2
PE
=
φ
2
.
Como ∠AEP = 36o
queda probado lo que quer´ıamos.

71. 2.2. SESIONES MODELO 69
Sabemos que cos2
18o
=
1 + cos 36o
2
=
1 +
1 +
√
5
4
2
=
5 +
√
5
8
, luego
cos 18o
=
5 +
√
5
2
√
2
=
√
2 5 +
√
5
4
=
2(5 +
√
5)
4
. Adem´as, sen2
18o
=
1 − cos2
18o
=
3 −
√
5
8
, luego sen 18o
=
3 −
√
5
2
√
2
=
2(3 −
√
5)
4
. Por otro
lado, cos 72o
= cos2
36o
− sen2
36o
= 2 cos2
36o
− 1 =
3 +
√
5
4
− 1 =
√
5 − 1
4
.
Vemos que 72o
y 18o
son ´angulos complementarios, luego cos 72o
= sen 18o
,
en efecto, sen 18o
=
2(3 −
√
5)
4
=
6 − 2
√
5
4
=
1 + 5 − 2
√
5
4
=
(
√
5 − 1)2
4
=
cos 72o
, y cos 18o
= sen 72o
, en efecto, sen2
72o
= 1 −
(
√
5 − 1)2
16
=
5 +
√
5
8
,
luego sen 18o
=
2(5 +
√
5)
4
= cos 18o
2.2. Sesiones modelo
En base a lo visto hasta ahora, nos encaminamos a elaborar la puesta en
marcha de nuestro Taller de Problemas. La Secci´on 1.2 nos servir´a como apo-
yo te´orico en cuanto a definiciones y teoremas, mientras que de las Secciones
2.1 y 2.3 tomaremos aquellos problemas que, por sus imag´enes o contenidos,
nos parezcan de mayor inter´es para el aprendizaje del alumno.
Despu´es de iniciarse en el estudio de las razones trigon´ometricas, un
alumno de 4o
de la ESO y/o Bachillerato, debe ser capaz de reconocerlas
sobre la circunferencia goniom´etrica, en niveles de la ESO, y en otras si-
tuaciones m´as generales en el Bachillerato. Es por ello que comenzaremos
nuestros modelos de Sesiones tipo 0 con una construcci´on din´amica de Geo-
Gebra (http://tube.geogebra.org/m/7596) en la que, dada la circunferencia
goniom´etrica, podamos interactuar con distintas ´angulos y sus razones. Es
importante hacer ver al alumno que las nuevas tecnolog´ıas, que hoy en d´ıa nos
permiten estudiar estas nociones tan detalladamente, no exist´ıan a˜nos atr´as
por lo que se trabajaba con tablas trigonom´etricas como las que presentamos
en la Figura 2.26 .

72. 70 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Figura 2.26: Tablas trigonom´etricas
Usaremos esta misma aplicaci´on para proponer la elaboraci´on de tablas
con los valores de las razones de ciertos ´angulos. Presentamos la Actividad
1: Razones trigonom´etricas, distinguimos dos propuestas de elabora-
ci´on de tablas, seg´un el nivel en el que trabajemos. Para la ESO se propone
un listado de valores de las razones para distintos ´angulos que vamos viendo
en la circunferencia goniom´etrica mientras que para Bachiller exploramos la
Figura 2.27 en la que var´ıa en ´angulo al mover los segmentos de los lados del
rect´angulo.
Figura 2.27: Problema #4.

73. 2.2. SESIONES MODELO 71
Con estos recursos tambi´en es posible mostrar teoremas de inter´es de un
modo menos te´orico. Bas´andonos en el Problema #4, Teorema de Wallace-
Simson, de la secci´on 2.1.4, planificamos la Actividad 2: Exploraci´on de
Teoremas, en la que dadas las pautas para la construcci´on de las figuras 2.22
y 2.23, el alumno saque sus propias conclusiones moviendo el punto P, y sea
capaz de establecer, con indicaciones del profesor, el enunciado del Teorema
de Wallace-Simson, distinguiendo las distintas partes del enunciado de un
teorema, hip´otesis y tesis, y explorando estrategias para su demostraci´on.
Los c´alculos algebraicos cobran mayor importancia en las Sesiones de ti-
po 1. Siguiendo el hilo de nuestro trabajo conviene desarrollar una actividad
intuitiva que condense en una misma figura distintas f´ormulas trigonom´etri-
cas a probar. Preparamos para para ello la Actividad 3: Transformacio-
nes trigonom´etricas, en la que usamos la Figura 2.28 del Problema #5
de la secci´on 2.3, susceptible de ser modificada en base a la f´ormula que quera-
mos probar. Trabajamos con ella los c´alculos que suponen las demostraciones
de las seis f´ormulas trigonom´etricas y una vez adquiridas las habilidades en
este tipo de c´alculos resolvemos el Problema #15 de la Secci´on 2.3 que es
un buen ejemplo para continuar practic´andolas a la vez que ascender en el
nivel de c´alculo.
Figura 2.28: One Figure, Six Identities
Los Teoremas de Ceva y Menelao, desaparecidos en los planes de estudio
actuales, nos son de gran ayuda a la hora de desarrollar la visi´on geom´etricaen
en los alumnos. Resultan aun m´as interesantes para nuestro estudio al ofrecer
su versi´on trigonom´etrica, de modo que en este modelo de Sesi´on de tipo
2 presentaremos una Actividad 4: Trabajo con teoremas, en la que
tomamos los Problemas #3, #4 de la Secci´on 2.1.2 como ejemplo de
uso de ambos teoremas. Con el primer problema el alumno interioriza las

74. 72 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
configuraciones de puntos y rectas que presentan dichos teoremas y lo resuelve
directamente aplicando el Teorema de Ceva en su versi´on trigonom´etrica,
usando esto se continua con el siguiente problema, en el que intervienen m´as
conceptos y se necesita la versi´on trigonom´etrica de Menelao.
Despu´es de haber visualizado, interiorizado y trabajado con las distintas
t´ecnicas, desarrollamos un modelo de Sesi´on tipo 3 en la que poner a prueba
la creatividad del alumno. Dado que no son problemas elementales, esta
actividad se basar´a en presentar en el aula el Problema # de la Secci´on
2.3 que requiere de un dibujo complejo y unos c´alculos precisos, y otros como
el Problema #6 de la secci´on 2.1.3 como trabajo aut´onomo para aquellos
alumnos que quieran y puedan profundizar en el tema.
Figura 2.29: Olimpiada Matem´atica Espa˜nola
2.3. Miscel´anea
Comenzamos esta secci´on con los Ejercicios #A, #B, #C de ma-
nipulaci´on algebraica sobre las nociones trigonom´etricas. Los Problemas
#3, #4 son resultados que dejamos propuestos como trabajo aut´onomo del
alumno en la Secci´on 1.2.

75. 2.3. MISCEL ´ANEA 73
Ejercicio #A
Prueba las identidades o f´ormulas trigonom´etricas propuestas.
Comentarios: Modelos de ejercicios de manipulaci´on algebraica de identida-
des trigonom´etricas. Propuestos en las F´ormulas 1.2.7 y 1.2.8, y en el
Problema #1 de la Secci´on 2.1.1.
(a) sen(a − b) = cos a sen b − sen a cos b
cos(a − b) = cos a cos b + sen a sen b
(b) tan(a ± b) =
tan a ± tan b
1 ∓ tan a tan b
(c) tan 2a =
2 tan a
1 − tan2
a
(d) 2 csc 2a = tan a + cot a
Ejercicio #B
Deduce las f´ormulas trigonom´etricas del ´angulo mitad a partir de las del
´angulo doble.
Comentarios: Ejercicio propuesto para completar una demostraci´on en F´ormu-
las 1.2.8.
Ejercicio #C
Deduce las f´ormulas trigonom´etricas de transformaci´on de sumas en produc-
tos.
Comentarios: Ejercicio de manipulaci´on algebraica. Propuesto en las f´ormu-
las 1.2.9.
Problema #1.
Probar que si dos bisectrices de los ´angulos internos de un tri´angulo son
iguales, entonces el tri´angulo es is´osceles.
Comentarios: Este enunciado se conoce como Teorema de Steiner-Lehmus.
Propuesto y resuelto en [3, Chapter 5, Theorem 5.12].
Problema #2.
Si F es el punto de Fermat de un tri´angulo ΔABC, demuestra que ∠AFB =
∠BFC = ∠CFA = 120o
.
Comentarios: Problema propuesto y resuelto en [1, Part I, Section 6, Cha-
llenges 6.4].

76. 74 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
Problema #3.
Demostrar el Teorema de la Tangente.
Comentarios: Problema propuesto en la Secci´on 1.2, Teorema 1.2.12.
Problema #4.
Probar la caracterizaci´on trigonom´etrica de los Teoremas de Ceva y Menelao.
Comentarios: Problema propuesto en la Secci´on 1.2, Teoremas 1.2.17 y
1.2.18. Como indicaci´on para resolverlo usa el Lema 2.16
Problema #5.
Deduce de las Figuras 2.30 y 2.31 las f´ormulas (1.7) y (1.8) y de las Figuras
2.32 y 2.33 las f´ormulas (1.9).
Comentarios: Problema propuesto en [1], One Figure, Six Identities.
Figura 2.30: Seno y co-
seno de la suma
Figura 2.31: Seno y co-
seno de la diferencia
Figura 2.32: Tangente
de la suma
Figura 2.33: Tangente
de la diferencia

77. 2.3. MISCEL ´ANEA 75
Problema #6.
En un cuadril´atero convexo RQSP, las diagonales RS y PQ son perpedicu-
lares entre s´ı y se cortan en O. Sobre el punto O, dibujamos dos l´ıneas AB y
CD que cortan a los lados del cuadril´atero en A, B, C y D. Si X = AD∩PQ,
Y = CB ∩ PQ y OP = OQ. Probar que OX = OY .
Comentarios: Problema resuelto en [18]. Se conoce como Teorema de la
Mariposa de Wallace, propuesto por William Wallace en 1803.
Problema #7.
Expresa sen x en funci´on del seno y el coseno de x. Probar que sen 3x se
puede expresar una identidad m´as simple:
sen 3x = 4 sen x sen(60o
− x) sen(60o
+ x)
Comentarios: Problema propuesto y resuelto en [18].
Problema #8.
Sea ABCD un cuadril´atero convexo, P la intersecci´on de AC y BD y
∠APD = 60o
. Sean E, F, G y H los puntos medios de los lados AB, BC, CD
y DA respectivamente. Hallar el mayor n´umero real positivo k tal que
EG + 3HF ≤ kd + (1 − k)s, donde s es el semiper´ımetro del cuadril´atero
ABCD y d la suma de las longitudes de las diagonales. ¿Cu´ando se alcanza
la igualdad? (ver Figura 2.29)
Comentarios: Problema propuesto y resuelto en XLVI Olimpiada Matem´ati-
ca Espa˜nola, Fase Nacional 2010 (Valladolid, 26 y 27 de Marzo).
Problema #9.
Un tri´angulo equil´atero ΔABC est´a inscrito en una circunferencia. Si P un
punto cualquiera del arco peque˜no AB, probar que PC = PA + PB.
Comentarios: Problema propuesto y resuelto en el Seminario UR, hoja 1,
2013/2014, Problema #8.
Problema #10.
En un semic´ırculo O, de di´ametro AB, sea ΔOBC un tri´angulo equil´atero
con C en O, M en O tal que CM =
BC
2
y N la intersecci´on de AM con
CO. Probar que
CN
NO
= φ.
Comentarios: Problema propuesto y resuelto en [18].
Problema #11.

78. 76 CAP´ITULO 2. TALLER DE PROBLEMAS
(a) Prueba que los lados de un tri´angulo rect´angulo est´an en progresi´on
aritm´etica si y s´olamente si son semejantes al tri´angulo rect´angulo 3 :
4 : 5.
(b) Comprueba que los lados de un tri´angulo rect´angulo forman una pro-
gresi´on geom´etrica si y s´olo si el tri´angulo es similar al tri´angulo de
lados 1,
√
φ y φ, donde phi es el n´umero ´aureo.
Comentarios: La soluci´on del apartado (a) es una simple aplicaci´on del
Teorema de Pit´agoras y se puede resolver en niveles de ESO. El apartado (b)
aparece en [3, Chapter 5, Theorem 5.4] con soluci´on dada por Herz-Fischler
(1993). Los tri´angulos que verifican esta condici´on se dicen Tri´angulos de
Kepler.
Problema #12.
En un cono tal que el di´ametro de la base es igual a la longitud de su generatriz
se disponen tres esferas tangentes entre s´ı y tangentes a la base del cono.
Hallar la generatriz del cono que tiene su v´ertice en la base del primero y es
tangente a estas tres esferas.
Comentarios: Problema propuesto y resuelto por Emilio Fern´andez Moral,
Catedr´atico jubilado del IES Sagasta y colaborador del Taller de Problemas
de Secundaria y Bachillerato de la UR.
Problema #13.
Sean A, B y C los v´ertices de un tri´angulo y P, Q y R los respectivos pies de
las bisectrices trazadas desde esos mismos v´ertices. Sabiendo que PQR es un
tri´angulo rect´angulo en P, se pide probar: que ΔABC ha de ser obtus´angulo
y que en el cuadril´atero ARPQ pese a no ser c´ıclico, la suma de sus ´angulos
opuestos es constante.
Comentarios: Problema propuesto en el Taller de Problemas de Secundaria
y Bachillerato de la UR.
Problema #14.
Las bisectrices interiores de los ´angulos A, B y C de un tri´angulo ΔABC
cortan a los lados opuestos en los puntos D, E y F respectivamente. De-
muestra que si las rectas perpendiculares a los lados en los puntos D, E y F
son concurrentes en un mismo punto, el tri´angulo es is´osceles.
Comentarios: Problema propuesto en el Taller de Problemas de Secundaria
y Bachillerato de la UR.

79. 2.3. MISCEL ´ANEA 77
Problema #15.
Probar la siguiente f´ormula: sen α + sen β + sen γ − sen(α + β + γ) =
4 sen
α + β
2
sen
β + γ
2
sen
γ + α
2
Comentarios: Problema propuesto y resuelto en [18].

81. Ap´endice A
Anexos
79

83. Bibliograf´ıa
[1] Alsina C., Nelsen B.: Math made visual, The Dolciani Mathematical Ex-
positions, MAA, 2006.
[2] Alsina C., Nelsen B.: When less is more, The Dolciani Mathematical
Expositions, MAA, 2009.
[3] Alsina C., Nelsen B.: Charming Proofs: A journey into Elegant Mathe-
matics, The Dolciani Mathematical Expositions, MAA, 2010.
[4] Baratech Montes, B. Estevan Ciriquian, J.: Matem´aticas sexto curso de
Bachillerato, 1960.
[5] Notas para un curso de An´alisis Matem´atico de una Variable Real, ´Oscar
Ciaurri Ram´ırez, Universidad de La Rioja.
[6] Apuntes Geometr´ıas no Eucl´ıdeas, Hern´andez Paricio L.J. Rivas
Rodr´ıguez M. T.: Apuntes de Geometr´ıas no Eucl´ıdeas, Grado en Ma-
tem´aticas de la UR, curso acad´emico 2014/2015.
[7] Honsberger R.: Mathematical Diamonds, The Dolciani Mathematical Ex-
positions, MAA, 203.
[8] Nelsen R.B.:Demostraciones sin palabras, ejercicios de pensamiento vi-
sual. Proyecto Sur, 2001. (La primera edici´on es de 1993)
[9] Nelsen R.B.:Proofs without words II, More Exercises in visual thinking.
Clasroom resource materials the A.M.S, 2000.
[10] Art´ıculo de Elena Ausejo, E.: La introducci´on de la Matem´atica Moder-
na en la Ense˜nanza no Universitaria en Espa˜na (1953-1970), La Gaceta
de la RSME, vol. 16 (2013), no. 4, pg. 727-747.
81

84. 82 BIBLIOGRAF´IA
[11] Puig-Adam P., Rey Pastor J.: Matem´aticas quinto curso, Colecci´on de
obras did´acticas para Bachillerato, 1962.
[12] Puig Adam P.: Ampliaci´on de Matem´aticas para el Curso Preuniversi-
tario, 1963.
[13] Rassias M., Sotirios E., Problem-Solving and selected topics in Euclidean
Geometry (In the Spirit of the Mathematical Olympiads), Springer, 2013.
[14] Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el
curr´ıculo b´asico de la Educaci´on Secundaria Obligatoria y del Bachille-
rato.
[15] Decreto 5/2011, de 28 de enero, por el que se establece el Curr´ıculo de
la Educaci´on Secundaria Obligatoria de la Comunidad Aut´onoma de La
Rioja.
[16] Decreto 45/2008, de 27 de junio, por el que se establece el curr´ıculo de
bachillerato de la Comunidad Aut´onoma de La Rioja.
[17] Segura Dom´enech S., Matem´aticas para el curso Preuniversitario, Teor´ıa
y Pr´actica.
[18] www.cut-the-knot.org
[19] http://es.wikipedia.org/wiki/. (Historia de la educaci´on en Espa˜na
art´ıculo )