sistemas de control

1. La función de transferencia de
sistemas lineales
Carrera de Ingeniería de Sistemas e Informática
Facultad Nacional de Ingeniería FNI
Oruro-Bolivia

2. La función de transferencia de un sistema se define como la
transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de
Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
La función de transferencia:
•Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales
lineales invariantes en el tiempo.
•Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.
•No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema
•Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo
de entrada
La función de transferencia
 
 
)
(
)
(
t
r
t
c
cia
transferen
de
Función
L
L
 entrada
t
r
salida
t
c


)
(
)
(
cero
iniciales
s
condicione
con

3. La función de transferencia
Ejemplos de funciones de transferencia:
1.- Circuito RL
L
R
)
(t
i
)
(t
v
Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:
dt
di
L
t
Ri
t
v 
 )
(
)
(
Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:
)
(
)
(
)
( s
LsI
s
RI
s
V 

la relación corriente voltaje en Laplace, queda:
1
1
)
(
)
(


s
R
L
R
s
V
s
I
Figura 1. Circuito RL

4. La función de transferencia
2.- Sistema masa amortiguador resorte
m
b
k
y(t)
r(t)
)
(
)
(
2
2
t
r
t
ky
dt
dy
b
dt
y
d
m 


Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:
donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa,
k es la constante del resorte,
    )
(
)
(
)
0
(
)
(
)
0
(
)
0
(
)
( '
2
s
R
s
KY
y
s
sY
b
y
sy
s
Y
s
M 




 


,
0
)
0
(
,
0
)
0
(
'

 

y
y
)
(
)
(
)
(
)
(
2
s
R
s
KY
s
bsY
s
Y
Ms 


K
bs
Ms
s
R
s
Y


 2
1
)
(
)
(
)
(t
y es el desplazamiento y )
(t
r
es la fuerza aplicada. Su transformada de Laplace es:
considerando:
La función de transferencia es:
Figura 1. Sistema masa
Amortiguador resorte.

5. La función de transferencia
2b.- Sistema masa amortiguador resorte con desplazamiento inicial
Considérese ahora que existe un desplazamiento inicial 0
y . Entonces para
    )
(
)
(
)
0
(
)
(
)
0
(
)
0
(
)
( '
2
s
R
s
KY
y
s
sY
b
y
sy
s
Y
s
M 




 


conservar la condición una entrada una salida se hace 0
)
( 
t
r
,
)
0
(
,
0
)
0
(
,
0
)
( 0
'
y
y
y
t
r 

 

condiciones iniciales
K
bs
Ms
b
Ms
y
s
Y



 2
0 )
(
)
(
Ahora el desplazamiento
solo depende de la
posición inicial y los
parámetros del sistema.
La función de transferencia es:

6. La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Tipo de
elemento
Elemento
físico
Ecuación
representativa
Símbolo
I
n
d
u
c
t
a
n
c
i
a
Inductancia
eléctrica
Resorte
traslacional
Resorte
rotacional
dt
di
L
v 
21
dt
df
k
v
1
21 
dt
dT
k
1
21 

1
v 2
v
i L
1
v 2
v
f
f
1
T
1

2

2
T

7. La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
C
a
p
a
c
i
t
a
n
c
i
a
Capacitancia
eléctrica
Masa
Inercia
dt
dv
C
i 21

dt
dv
m
f 
dt
d
j
T


Capacitancia
fluídica
dt
dp
C
q f
21
21 
Capacitancia
térmica
1
v 2
v
i
C
m
v
f
j
T 
1
q 2
q
2
p
1
p
f
C
q
T t
C
dt
dT
C
q t


8. La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
R
e
s
i
s
t
e
n
c
i
a
Resistencia
eléctrica
Amortiguador
traslacional
21
1
v
R
i 
bv
f 
21

b
T 
Resistencia
fluídica 21
1
p
R
q
f

Resistencia
térmica
b
T
1

q
2
p
1
p
f
R
q
1
T
t
R
21
1
T
R
q
t

Amortiguador
rotacional
1
v 2
v
i
R
21
v
f
f b
2

T
2
T

9. Diagramas de bloques
La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite
representar las relaciones de un sistema por medios
diagramáticos.
Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y
unidireccionales que representan la función de transferencia de las
variables de interés.
Diagrama a bloques
• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales
de un sistema.
• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente
al desempeño total del sistema.
• No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).
• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.
Consideraciones:

10. Diagramas de bloques
Elementos de un diagrama a bloques
Función de
transferencia
)
(s
G
Variable
de entrada
Variable
de salida
Flecha:
Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la dirección
del flujo de señales.
Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para
producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en
los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.

11. Diagramas de bloques
Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado
)
(s
G
+
-
punto de suma
punto de bifurcación
)
(s
H
)
(s
R )
(s
E )
(s
C
)
(s
B
Función de transferencia en lazo abierto )
(
)
(
)
(
)
(
s
H
s
G
s
E
s
B

Función de transferencia trayectoria directa )
(
)
(
)
(
s
G
s
E
s
C

Función de transferencia lazo cerrado )
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
s
H
s
G
s
G
s
R
s
C



12. Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en serie
)
(
1 s
G
)
(s
R )
(s
C
)
(s
D
)
(
2 s
G )
(
)
( 2
1 s
G
s
G
)
(s
R )
(s
C
Por elementos en paralelo
)
(
1 s
G
)
(s
R
)
(
1 s
G
+
+
)
(s
C
)
(
)
( 2
1 s
G
s
G 
)
(s
R )
(s
C

13. )
(s
G
+
-
)
(s
H
)
(s
R )
(s
E )
(s
C
)
(s
B
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en lazo cerrado
)
(
)
(
1
)
(
s
H
s
G
s
G

)
(s
R )
(s
C
La simplificación de un diagrama de bloques complicado se
realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas
para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloques
utilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.

14. Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
G +
-
A AG B
AG 
B
+
-
A
B
G
G
1
G
B
G
B
A B
AG 
G
A AG
AG
A
G
G
AG
AG
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente

15. Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
G
A AG
A
A
G
G
1 A
AG
+
-
A B
1
G
2
G
+
-
A B
2
G 1
G
2
1
G
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente