FUNCION DE TRANSFERENCIA PULSO.pptx

2. Función de transferencia pulso
ANDRES HERNANDEZ ARZUAGA
JUAN CAMILO RODRIGUEZ LAMUS
OSMAN ALBERTO ACOSTA MONTERROSA
ANDRES FELIPE LLINAS MAESTRE
CARLOS EDUARDO PARRA POLO
CONTROL 2 – (2023-2)

3. Función de transferencia pulso
• Para un sistema continuo, la función de transferencia se define como la relación entre la
Transformada de Laplace de la salida y la Transformada de Laplace de la entrada,
asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero:
• Para un sistema discreto, la función de transferencia de pulso (FTP), se define como la
relación entre la Transformada z de la salida y la Transformada z de la entrada,
asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero.
Nociones generales

4. Función de transferencia pulso
• Conocida la función 𝑓(𝑡), la 𝐹(𝑧) se puede calcular utilizando tablas de
transformadas y las propiedades de la transformada.
• Método computacional, con un software especializado. En este caso
pueden citarse programas como el MATLAB, el ACS, el CC entre otros
• Conocida la función 𝐹(𝑆), la 𝐹(𝑧) se puede calcular utilizando tablas de
transformadas, las propiedades de la transformada y expansión en
fracciones parciales
¿Cómo calculamos la función de transferencia pulso?

5. Función de transferencia pulso
Sumatoria de Convolución
• Si se considera la respuesta de un sistema en tiempo continuo excitado por una señal
muestreada mediante impulsos (un tren de impulsos). Supongamos que x(t) = 0 para t < 0.
La señal muestreada mediante impulsos x*(t) es la entrada al sistema en tiempo continuo
cuya función de transferencia es G(s). Se supone que la salida del sistema es una señal en
tiempo continuo y(t). Si en la salida hay otro muestreador, sincronizado en fase con el
muestreador de la entrada, y ambos operan con el mismo período de muestreo, entonces la
salida es un tren de impulsos
𝒁 𝒚 𝒕 = 𝒀 𝒛 =
𝒌=𝟎
∞
𝒚 𝒌𝑻 𝒛−𝒌
Sistema de tiempo continuo G(s) excitado con una señal muestreada mediante impulsos

6. Función de transferencia pulso
Sumatoria de Convolución
𝒁 𝒚 𝒕 = 𝒀 𝒛 =
𝒌=𝟎
∞
𝒚 𝒌𝑻 𝒛−𝒌
Sistema de tiempo continuo G(s) excitado con una señal muestreada mediante impulsos
Debemos observar que si G(s) es un cociente de polinomios en s y si el
grado del polinomio del denominador excede sólo en 1 el grado del
polinomio del numerador, la salida y(t) es discontinua.
Sin embargo, si el grado del polinomio del denominador excede al
del numerador en 2 o más, la salida y(t) es continua.
Gráfica de la salida y(t) (respuesta al impulso) contra t cuando el grado del polinomio del denominador de G(s) es
de grado mayor en 1 que el de polinomio del numerador
Gráfica de la salida de y(t) contra t cuando el grado del polinomio del denominador de G(s) es de grado
mayor en 2 o más que el polinomio del numerador.

7. Función de transferencia pulso
Función de transferencia pulso de elementos en cascada
U(s) = G(s)X*(s)
Y(s) = H(s)U*(s)
- Si tomamos la transf. De Laplace asterisco de cada FT obtenemos:
U*(s) = G*(s)Z*(s)
Y*(s) = H* (s)U* (s)
En consecuencia,
y*(i) = H*(s)U*(s) = H*(s)G*(s)X*(s)
o
y*(j) = G*(s)H*(s)X*(s)
En términos de la notación de la transformada z,
Y(z) = G(z)H(z)X(z)
La función de transferencia pulso entre la salida y*(t) y la entrada x*(t) está por tanto
dada mediante:
𝑿 𝒛
𝒀 𝒛
= G(z).H(z)
Sistema muestreado con un muestreador entre los elementos en cascada G(s) y H(s)

8. Función de transferencia pulso
Ejemplo: . Obtenga la función de transferencia pulso Y(z)/X(z) para cada uno de estos dos sistemas.
Función de transferencia pulso de elementos en cascada
Sistema muestreado sin muestreador entre los elementos en cascada G(s) y H(s)
SISTEMA A
SISTEMA B

9. Función de transferencia pulso
Ejemplo: Obtenga la función de transferencia pulso Y(z)/X(z) para cada uno de estos dos sistemas.
Función de transferencia pulso de elementos en cascada
SISTEMA A
SISTEMA B
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
= 𝐺 𝑧 𝐻 𝑧 = 𝒵
1
𝑠 + 𝑏
. 𝒵
1
𝑠 + 𝑏
=
𝟏
𝟏 − 𝒆−𝒂𝑻𝒛−𝟏
𝟏
𝟏 − 𝒆−𝒃𝑻𝒛−𝟏
𝑌 𝑧
𝑋 𝑧
= 𝒵 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 = 𝒵
1
𝑠 + 𝑏
.
1
𝑠 + 𝑏
= 𝒵
1
𝑏 − 𝑎
1
𝑠 + 𝑎
−
1
𝑠 + 𝑏
=
1
𝑏 − 𝑎
1
1 − 𝑒−𝑎𝑇𝑧−1
−
1
1 − 𝑒−𝑏𝑇𝑧−1
=
𝟏
𝒃 − 𝒂
(𝒆−𝒂𝑻
−𝒆𝒃𝑻
)𝒛−𝟏
𝟏 − 𝒆−𝒂𝑻𝒛−𝟏)(𝟏 − 𝒆−𝒂𝑻𝒛−𝟏

10. Función de transferencia pulso
Ejemplo: Obtenga la función de transferencia pulso donde g(s) es:
Función de transferencia pulso de elementos en cascada
𝐺 𝑠 = 1 − 𝑒𝑇𝑠
∗
1
𝑠2
−
1
𝑠
+
1
𝑠 + 1
𝑔 𝑡 = 𝑡 − 1 + 𝑒𝑡
1 𝑡 − 𝑡 − 𝑇 − 1 + 𝑒− 𝑡−𝑇
1 𝑡 − 𝑇
𝐺 𝑠 =
1
𝑠 𝑠 + 1
1 − 𝑒−𝑇𝑠
𝑠
Si calculamos la inversa de Laplace tenemos que:
Entonces el muestreador nos queda
𝑔 𝑘𝑇 = 𝑘𝑇 − 1 + 𝑒𝑘𝑇
𝑘𝑇 − 𝑇 − 1 + 𝑒− 𝑘𝑇−𝑇
1 𝑘 − 1 𝑇
Respuesta obtenida mediante tablas
De la sumatoria de convolución obtenemos:

11. Función de transferencia pulso
Función de transferencia pulso de sistemas en lazo cerrado.
Sistema de control de lazo cerrado.
En un sistema en lazo cerrado, la existencia o no de un
muestreador de salida en el lazo hace que el comportamiento
del sistema sea diferente. (Si existe un muestreador fuera del
lazo, no habrá ninguna diferencia en la operación del lazo
cerrado.)
𝑬 𝒔 = 𝑹 𝒔 − 𝑯 𝒔 𝑪 𝒔
𝑪 𝒔 = 𝑮 𝒔 𝑬∗
(𝒔)
Por tanto, 𝑬 𝒔 = 𝑹 𝒔 − 𝑯 𝒔 𝑮 𝒔 𝑬∗
(𝒔)
Entonces, al tomar la transformada de Laplace asterisco, se
obtiene: 𝑬∗
(𝒔) = 𝑹∗
(𝒔) − 𝑮𝑯∗
𝒔 𝑬∗
(𝒔)
𝑬∗ 𝒔 =
𝑹∗ 𝒔
𝟏+𝑮𝑯∗ 𝒔
𝑪∗(𝒔) = 𝑮∗ 𝒔 𝑬∗ 𝒔
𝑪∗
𝒔 =
𝑮∗ 𝒔 𝑹∗ 𝒔
𝟏+𝑮𝑯∗ 𝒔
La transformada z inversa de esta última ecuación da los valores
de la salida en los instantes de muestreo. La función de
transferencia pulso para este sistema en lazo cerrado es
𝐶 𝑧
𝑅 𝑧
=
𝐺 𝑧
1 + 𝐺𝐻 𝑧

12. Función de transferencia pulso
Función de transferencia pulso de un controlador digital
La función de transferencia pulso de un controlador digital se puede obtener a partir de
las características entrada-salida requeridas del controlador digital. Suponga que la
entrada al controlador digital es e(k) y la salida es m(k). En general, la salida m(k)
puede estar dada mediante el siguiente tipo de ecuación en diferencias:
La transformada z de la ecuación anterior tendrá como resultado:

13. Función de transferencia pulso
Función de transferencia pulso de un controlador digital
CONFIGURACIONES TÍPICAS DE SISTEM A S DE CONTROL EN TIEM PO
DISCRETO EN LAZO CERRADO

14. Función de transferencia pulso
Función de transferencia pulso en lazo cerrado de un sistema de control digital.
Diagrama de bloques de un sistema de control digital
Diagrama de bloques equivalente que muestra las funciones de transferencia de los bloques.

15. Función de transferencia pulso
Función de transferencia pulso en lazo cerrado de un sistema de control digital.
Diagrama de bloques equivalente que muestra las funciones de transferencia de los bloques.

16. Función de transferencia pulso
Para obtener la función de transferencia pulso del controlador PID digital, se puede discretizar la ecuación anterior, Al aproximar el término
integral mediante la sumatoria trapezoidal y el término derivativo mediante la diferencia de dos puntos, se obtiene
Función de transferencia pulso de un controlador PID digital.

17. Función de transferencia pulso
Función de transferencia pulso de un controlador PID digital.
Diagrama que muestra la función f(hT)

18. Función de transferencia pulso
Función de transferencia pulso de un controlador PID digital.
Ejemplo: Considere el sistema de control con el controlador PID digital que se muestra el la figura
Diagrama de bloques de la realización del esquema de control PID en la forma de velocidad.

19. Función de transferencia pulso
Función de transferencia pulso de un controlador PID digital.
Ejemplo: Considere el sistema de control con el controlador PID digital que se muestra el la figura
Suponga que la FT
Si el periodo T es de 1 segundo, Obténgase la respuesta
escalón de este sistema cuando el controlador digital es
un controlador PID con 𝐾𝑝 = 1, 𝐾𝑖 = 0,2, 𝐾𝑑 = 0.2
𝑮𝒑 𝒔 =
𝟏
𝒔 𝒔 + 𝟏
El controlador PID esta dado en forma posicional.
Como el muestreo T es de 1 segundo, 𝑮𝒑 𝒔 =
𝟏 − 𝒆−𝒔
𝒔

20. Función de transferencia pulso
Función de transferencia pulso de un controlador PID digital.
Ejemplo: Considere el sistema de control con el controlador PID digital que se muestra el la figura
% -----Respuesta al escalón unitario —
num = [0 0.5151 -0.1452 -0.2963 0.0528];
den = [1 -1.8528 1.5906 -0.6642 0.0528];
r = ones(1,41);
v= [0 40 0 2];
axis(v);
k = 0:40;
c = filter(num,den,r);
plot(k,c,'o',k,c,'-')
grid
title('Respuesta al escalón unitario')
xlabel('k')
ylabel('c(k)')

21. Función de transferencia pulso
Función de transferencia pulso de un controlador PID digital.
Ejemplo: Considere el sistema de control con el controlador PID digital que se muestra el la figura
% -----Respuesta al escalón unitario —
num = [0 0.5151 -0.1452 -0.2963 0.0528];
den = [1 -1.8528 1.5906 -0.6642 0.0528];
r = ones(1,41);
v= [0 40 0 2];
axis(v);
k = 0:40;
c = filter(num,den,r);
plot(k,c,'o',k,c,'-')
grid
title('Respuesta al escalón unitario')
xlabel('k')
ylabel('c(k)')

22. Función de transferencia pulso
Obtención de la respuesta entre instantes de muestreo consecutivos
Obtención de la respuesta entre instantes de muestreo consecutivos. El análisis de la transformada z no dará información sobre la
respuesta entre dos instantes de muestreo consecutivos. En casos ordinarios esto no es serio, debido a que si el teorema de muestreo
se satisface, entonces la sumida no variará mucho entre cualquiera de estos dos instantes de muestreo consecutivos. En ciertos tusos.
sin embargo, se puede necesitar la respuesta entre instantes de muestreo consecutivos. Se dispone de tres métodos de uso común que
permiten conocer la respuesta entre dos Ínstanos de muestreo consecutivos:
1. El método de la transformada de Laplace
2. El método de la transformada z modificada
3. El método en el espacio de estados
• El método de la transformada de Laplace