Este documento presenta una sesión sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica cómo clasificar ecuaciones diferenciales según su tipo, orden, grado y linealidad. También cubre conceptos como la solución general, solución particular y problemas de valor inicial. Finalmente, propone algunos ejercicios para que el estudiante identifique estas propiedades en diferentes ecuaciones diferenciales.

1. SESIÓN 07:
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
Pregrado

2. CASO 01: Ecuación Diferencial
Dada la Ecuación diferencial:
• ¿De qué tipo es?
• ¿De qué orden es?
• ¿Cuál es su grado?
• ¿Es lineal?
5
3
3
3
3
3
8
18 


















dx
y
d
x
dx
y
d
dx
dy

3. ¿Qué necesitamos recordar?
• Derivadas de funciones de una variable:
Derivadas simples.
• Derivadas de funciones de varias
variables: Derivadas parciales.

4. Logro de la sesión:
Al término de la sesión, el estudiante resuelve ejercicios de
EDO clasificándolas de acuerdo al tipo, al orden, la linealidad y
verificando sus soluciones.

5. En el estudio de las ciencias e
ingeniería se desarrollan modelos
matemáticos para ayudar a
comprender fenómenos físicos.
Estos modelos a menudo dan
lugar a una ecuación que
contiene ciertas derivadas de una
función incógnita. A una ecuación
de este tipo se le denomina
ecuación diferencial (ED).
INTRODUCCIÓN

6. y
x
dx
dy


 2
.
0
variable dependiente
variable independiente
Si una ecuación contiene las derivadas o las diferenciales de
una o más variables dependientes con respecto a una o más
variables independientes, se dice que es una ecuación
diferencial (E.D.).
ECUACIÓN DIFERENCIAL

7. les
diferencia
tiene
0
x)dy
-
(y
-
y)dx
(x
parciales
derivadas
tiene
derivadas
tiene
2
2
2














0
1
5
2
2
y
x
u
y
u
x
u
x
dx
dy
Ejemplos:

8. Notación:
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación Prima: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton:
Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …
...
,
,
,
...
..
.
x
x
x

9. Clasificación de las
Ecuaciones Diferenciales
Tipo La linealidad
El Orden
Ecuación
Diferencial
ordinaria
(EDO)
Ecuación
Diferencial
Parcial
(EDP)
Contienen
únicamente
derivadas
ordinarias
respecto a una
sola variable
independiente.
Es el orden de la
más alta derivada
presente en la
ecuación.
Lineal o no lineal
contienen
derivadas
parciales
respecto de
dos o más
variables
independientes
.

10. Por el tipo:
i) Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una
o más variables dependientes de una sola variable
independiente.
CLASIFICACIÓN:
e
y
dx
dy x

 5
.
1 y
x
dt
dy
dt
dx


 2
2.
Las EDs se clasifican por tipo, orden y linealidad.
Ejemplos:

11. t
u
t
u
x
u
y
u
x
u














2
.
2
0
.
1 2
2
2
2
2
2
2
2
ii) Ecuación diferencial parcial (EDP):
Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más
variables dependientes de dos o más variables
independientes.
Ejemplos:

12. Clasificación según el orden:
2
2
4 2
4 2
Unaecuación DiferencialOrdinariade
Unaecuación Diferenc
primerorden
segundoorden
cuarto
2 0
3
ialOrdinariade
Unaecuación Diferencia
1.
2.
3 lOrdinari orde
ad
. e n
2
dy
xy
dx
d y
xy y
dx
d y d y
dx dx
 

 
 
Ejemplos:
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en
derivadas parciales) , es igual al de la derivada de mayor
orden en la ecuación.

13. Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la
ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma
polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
3
2
1.
primergrad
5( ) 2
y
( ) 5
o
2.
segundo
Unaecuac
0
iónDiferencialOrdinariade
UnaecuaciónDiferencialOrdi
g
n
segundoorden
ariade
primer y ra o
de d
or n
y y y x
y xy
 
  
  
Ejemplos:
Clasificación según el grado:

14. Ejercicios:
Determinar el grado y orden de las siguientes
ecuaciones:
2
grado
4,
orden
7
3
5 2
5
2
2
2
4
4



























x
dx
dy
dx
y
d
dx
y
d
3
grado
2,
orden
7
3
2
2
2
6
2
2


















dx
y
d
x
dx
dy
x
dx
y
d

15. Clasificación según la Linealidad:
Se dice que una EDO de orden n (en la forma general)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 



 

 
Si una ecuación no cumple ambas condiciones, se dice
que es NO LINEAL.
Es lineal, si cumple con dos condiciones:
i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer
grado, es decir:
y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado (exponente 1).
ii) Los Coeficientes a0, a1, …,an dependen solo de la
variable independiente x.

16. Determinar si las EDOS son ¿Lineales o no lineales?
1)
2)
3)
4) orden
tercer
lineal,
2
)
cos(
)
( 





 y
y
sen 

orden
segundo
lineal,
cos
5
4
)
1
( 






 x
y
y
x
y
x
 
orden
cuarto
lineal,
0
6
3
4
5





 y
y
t
y
t
orden
segundo
lineal,
No
1
2
2
2









dx
dy
dx
y
d

17. Estas ecuaciones de acuerdo a g(x) y a los coeficientes
pueden ser:
Lineal homogénea:
El término independiente g(x) es nulo.
Lineal con coeficientes constantes:
Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.
Lineal con coeficientes variables:
Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes
a0(x),...,an(x) NO es constante.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 



 

 
Forma general de una EDO de orden n

18. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Para la Ecuación F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0, la función y=f(x,c)
que satisface dicha ecuación es la SG.
1. Solución General (integral general de la ED)
 La solución general es una familia de funciones
parametrizadas por la constante desconocida C.
Para cada valor particular de la constante C en y=f(x,c)
se obtiene una Solución Particular de la ED
2. Solución Particular

19. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL (P.V.I)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 − 2
𝑦 0 = 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 𝑦
𝑦 0 = 0
Compruebe que los PVI tienen las siguientes soluciones:
𝑦 = −𝑒𝑥
+ 2 𝑦 =
1
16
𝑥4

20. CASO 01: Ecuación Diferencial
Dada la Ecuación diferencial:
• ¿De qué tipo es?
• ¿De qué orden es?
• ¿Cuál es su grado?
• ¿Es lineal?.
5
3
3
3
3
3
8
18 


















dx
y
d
x
dx
y
d
dx
dy

21. Dada la ecuaciones diferenciales. Determine:
Tipo, orden, grado y linealidad (siempre y cuando se una EDO):
1) 1 − 𝑥 𝑦′′ − 4𝑥𝑦′ + 5𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
2) 𝑥
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
4
+ 𝑦 = 0
3) 𝑡5𝑦 4 − 𝑡3𝑦′′ + 6𝑦 = 0
4)
𝑑2𝑢
𝑑𝑟2 +
𝑑𝑢
𝑑𝑟
+ 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑟 + 𝑢
5)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
6)
𝑑2𝑅
𝑑𝑡2 = −
𝑘
𝑅2
7) 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦′′′ − 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦′ = 2
8) 𝑥 − 1 −
𝑥
3
𝑥 + 𝑥 = 0
9) 𝑥3 𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 + 2𝑥2 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 − 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 12𝑥2
10)
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2 = 𝑎2 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2