Este documento introduce las ecuaciones diferenciales, definidas como ecuaciones que involucran derivadas de una función desconocida. Explica que si la función depende de una variable es una ecuación diferencial ordinaria, y si depende de más de una variable es una ecuación en derivadas parciales. Además, describe cómo calcular el orden y grado de una ecuación diferencial, y los pasos para resolverlas y encontrar sus soluciones. Finalmente, menciona algunas aplicaciones comunes de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden en camp

1. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
Definición, solución y aplicaciones.
Profa. Nathaly
Guanda

2. Definición
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de
una función desconocida de una o más variables. Si la función depende
solo de una variable, la ecuación diferencial se llama Ecuación
Diferencial Ordinaria. Sin embargo, sí la función desconocida depende de
más de una variable la ecuación se llama Ecuación en Derivadas
Parciales.

3. Ejemplos:
●
Ecuación Diferencial Ordinaria:
●
Ecuación en Derivadas Parciales:
dy
dx
=2 x
∂
2
v
∂ x
2
+2
∂
2
v
∂ y
2
=v

4. Orden de una Ecuación Diferencial:
El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden
mayor de su derivada.
Ejemplos:
●
(orden 2 por )
●
(orden 1 por “ “ y “ “)
d
2
y
dx
2
+5 x
dy
dx
+3 y=0
d
2
y
dx
2
(x+ y)dx=( y−x)dy dx dy

5. Grado de una Ecuación Diferencial:
El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor
orden de su derivada.
Ejemplos:
●
(2° orden 1° grado)
●
(1° orden 1° grado)
ex d
2
y
d
2
x
+sin(x)
dy
dx
=x
dy
dx
+P(x) y=Q(x)

6. Solución de una Ecuación Diferencial
Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad,
se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una
ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida
en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.
Ejemplo: Demostremos que es solución de la ecuación diferencial
y’+2y=0.
Tenemos que entonces la ecuación diferencial es de orden 1, por
lo que debemos derivar una sola vez, es decir, ahora
y=exp−2 x
y=exp−2 x
y '=−2exp−2x

7. sustituimos en la ecuación y tenemos .
Esto demuestra que cada solución de esta ecuación diferencial es de la
forma donde D es cualquier número real. La solución se llama
solución general.
Las soluciones particulares de la ecuación diferencial se obtienen de
las condiciones iniciales que da el valor de la variable dependiente o una
de sus derivadas para un valor particular de la variable independiente.
Problema de Valor inicial:
●
y ' = f(x) (ecuación diferencial); y(x0)=y0 (condición inicial)
−2exp−2 x
+2exp−2 x
=0
y=D exp−2 x

8. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
Existen muchas ecuaciones diferenciales ordinarias, acá mencionaremos
algunas de ellas:
●
Ecuaciones con variables separables.
●
Ecuaciones Homogéneas.
●
Ecuaciones Exactas.
●
Ecuaciones con factor integrante.
●
Ecuaciones Lineales.

9. Aplicaciones
Existen infinidad de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales, muchas
se aplican en la biología, la física, la ingeniería, en fin. Acá mencionaré
unas de las principales aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer y segundo orden:
●
Aplicaciones de las EDO de primer orden:
●
Desintegración radiactiva.
●
Crecimiento exponencial de poblaciones.
●
Ley de enfriamiento de Newton.

10. ●
Aplicaciones de las EDO de segundo orden:
●
Circuitos Eléctricos.
●
Sistema de masa-resorte.