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- 1. Resumen 1° bimestre ECUACIONES DIFERENCIALES Rubén Silva
- 3. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Es la ecuación que relaciona variables dependientes, sus derivadas y variables independientes. Ecuación: relación de igualdad. Ejemplo y’ = x + y → y= f(x) = ? 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = -2x 𝑑²ℎ 𝑑𝑡 - t = 1 VARIABLE DEPENDIENTE: y= f(x) ; h= g (t) DERIVADA: y’, y’’ ; 𝑑ℎ 𝑑𝑡 VARIABLES INDEPENDIENTES: x, t Definición
- 4. CLASIFICACIÓN Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ( EDO) Son aquellas que presentan una sola variable dependiente e independiente Ejemplo: y’’- y’= 0 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦² - 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 Ecuaciones Diferenciales Parciales ( E.D.P) Presentan 2 o más variables dependientes e independientes. Ejemplo: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦² - 𝑑2 𝑧 𝑑𝑡² = 1+ t -y Tipo
- 5. “ ” ORDEN Ejemplo: y’’- y’= 0 Segundo Orden 𝑑4 𝑥 𝑑𝑥4 - 𝑑𝑦 𝑑𝑥 - y³= 5x³ +1 Cuarto Orden El orden de una Ecuación Diferencial está dado por la mayor derivada presente.
- 6. Linealidad Una Ecuación Diferencial es lineal si tiene la forma Ejemplo Una Ecuación Diferencial Ordinaria no es lineal sino tiene la forma anterior
- 7. Campos Direccionales IMPLICITA F ( y’, y, x ) = 0 Ejemplo: y’ – x – y= 0 EXPLICITA y’ (x) = f ( y (x), x) Ejemplo y’= x+ y Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden
- 8. Solución de una Ecuación Diferencial Una solución y = Ø (x) es una solución de una Ecuación Diferencial de orden “n” en un intervalo I, si sus “n” derivadas existen en el intervalo I, y al reemplazarlas en la Ecuación Diferencial Ordinaria se obtienen una identidad Ejemplo y’’ + 4y = 0 ( -4sen2x + 12cos 2x) + 4 (sen2x-3cos2x)=0 0+0=0 0=0 y= sin 2x – 3cos2x y’= 2cos2x + 6sen2x y’’= -4sen2x + 12 sen 2x
- 9. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Forma Normal E.D.O 1er Orden Forma Normal EDO 2do Orden
- 10. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Forma diferencial E.D.O 1er Orden Familia Soluciones Familia soluc. No parametrica Familia de Solucion
- 11. Problemas con valores Iniciales Consta en encontrar una solución particular y (N) que cumple ciertas condiciones dadas. Ejemplo
- 12. Resolución del ejercicio 1 2 3 4
- 14. Teorema de Existencia y Unicidad Dada una región R define entre ac x cb y ac y cd, si f ( x, y ) y 𝑑𝑓 𝑑𝑦 son continuas en R, existe una única solución y (x), en el intervalo I, donde I pertenece al intervalo (a, b)
- 15. Teorema de Existencia y Unicidad
- 16. EDO DE PRIMER ORDEN ED DE VARIABLES SEPARABLES Dada la ED 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = f (x,y), si f (x,y) se puede separar en dos factores g(x) y h(y), entonces se habla de una E.D de variables separables Ejm 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = sen5x Resolución del ejemplo
- 17. Ecuaciones Lineales de 1er Orden Método del factor integrante para EDO lineales de orden 1 u (x) = Factor Integrante 𝑑 𝑑𝑥 u. y = u 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑢 𝑑𝑥 y 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑢𝑃(x) EDO Lineal orden n EDO Lineal Orden 1
- 18. Ejemplo