Ecuaciones diferenciales: Clasificación, métodos de solución y aplicaciones

ECUACIONES DIFERENCIALES.
Mayo-Julio 2015.
Ing. María Gracia Giménez
graciagimenez@ingenieros.com
Departamento de Física y Matemática
Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda

ÍNDICE GENERALÍNDICE GENERAL
1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PÁGINA 3
1.1 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales 4
1.1.1 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Tipo 4
1.1.2 Clasificación de las E.D según el Orden 5
1.1.3 Clasificación de las E.D según el Grado 5
1.1.4 Clasificación de las E.D. según su linealidad 7
1.2 Solución de las Ecuaciones Diferenciales 9
1.2.1 Solución de una E.D 9
1.2.2 Clasificación de las Soluciones 11
2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE PRIMER ORDEN PÁGINA 13
2.1 Ecuaciones de Variables Separadas o Separables 13
2.1.1 Método de Resolución 14
2.2 Ecuaciones Diferenciales Exactas 18
2.2.1 Idea Intuitiva de Exactitud 18
2.3 Ecuación Diferencial No Exacta 26
2.3.1 Factores Integrantes 26
2.3.2 Cálculo de factores integrantes. (Demostración) 27
2.4 Método de Solución 28
2.5 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 36
2.5.1 Método de Solución 37
2.6 Ecuaciones Diferenciales no Lineales 41
2.6.1 Método de Solución 42
2.7 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden 47
2.7.1 Función Homogénea 47

1
2.7.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden 48
2.7.3 Solución de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden 48
3 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PÁGINA 53
3.1 Modelos Matemáticos 53
3.1.1 Pasos para la formulación de un Modelo Matemático de un Sistema 54
3.2 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 54
4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR PÁGINA 63
4.1 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Coeficientes Constantes 63
4.1.1 Principio de Superposición. Solución de una ecuación diferencial Lineal Homogénea de Coeficien-
tes Constantes 64
4.2 Método para resolver una Ecuación Diferencial Lineal Homogénea de Coeficientes Constantes 67
4.3 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Orden Superior de Coeficientes Constantes 74
4.4 Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas de Coeficientes Constantes 79
4.4.1 Método de los Coeficientes Indeterminados 80
4.4.2 Método de Variación de Parámetros 88
4.4.3 Método de Variación de Parámetros para E.D de orden n 93
4.5 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES VARIABLES 97
4.6 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES VARIABLES 97
4.6.1 Método de Reducción de Orden 98
4.6.2 Ecuación de Euler Cauchy 100
5 TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 105
5.1 Propiedades de la Transformada de Laplace 110
5.2 Transformada Inversa 113

1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
Durante algunos años hemos aprendido que una ecuación no es más que una relación de igualdad en-
tre términos conocidos y desconocidos. Donde el término desconocido lo llamamos incógnita (variable
dependiente), y podemos identificar otros elementos como los términos, miembros, coeficientes y ope-
radores matemáticos; la solución de la misma consiste en la búsqueda de aquél valor que satisface la
igualdad (buscar el valor de la incógnita)
Ejemplo de Ecuación Ordinaria
x2
+ y2
= 0
Ahora bien, una Ecuación Diferencial es una ecuación que difiere de las anteriores por que contiene
una función desconocida (la variable toma la forma de una función). Las ecuaciones en la cuales la
función desconocida, se encuentra bajo el signo de la derivada o diferencial, se llaman ecuaciones di-
ferenciales. la búsqueda de las funciones desconocidas, determinadas por las ecuaciones diferenciales
es precisamente el objetivo de resolver una Ecuación Diferencial.
Definición 1.1
Una ecuación Diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida (variable de-
pendiente), las variables de las que depende (variables independientes) y sus derivadas respecto
de estas variables.
Ejemplo 1.1
d y
dx
+ x = ex
Donde apreciamos la derivada de la variable dependiente y, con respecto a la variable independiente x.

4 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
N Recordemos la notación de las derivadas de una variable dependiente con respecto a una la
variable independiente y ≡
d y
dx
Donde la variable dependiente es y, y la independiente es x
1.1 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
1.1.1. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales según el Tipo
Observa los siguientes ejemplos
a) x2
y − xy + y = 6ex
b) y
2
−3y y + y
4
= 0
c)
d3
y
dx3
+
d2
y
dx2
+2
d y
dx
3
−3y = 6
d)
∂z
∂x
+
∂z
∂y
− y
∂2
z
∂y∂x
= cosx
e) x
∂z
∂x
− y
∂z
∂y
= xy
f)
∂2
v
∂x2
+
∂2
v
∂y2
+
∂2
v
∂z2
= 0
En los ejemplo a,b,c hay una sola variable dependiente y y una sola variable independiente x En el ejem-
plo d, hay una variable dependiente z y dos variables independientes x, y. Por lo tanto, los tres primeros
ejemplos son Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, mientras que en los últimos ejemplos tenemos deri-
vadas parciales∂
Definición 1.2
Si en una E.D las funciones desconocidas son funciones de una sola variable, la ecuación dife-
rencial se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O). Si en cambio, la función desconocida es
función de una o más variables independientes, la ecuación será una Ecuación Diferencial Parcial
(E.D.P.)
De acuerdo a lo expuesto, y haciendo referencia a los ejemplos anteriores podemos concluir que:

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 5
Los ejemplos, a,b y c son Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Los ejemplos, d,e,f son Ecuaciones Diferenciales Parciales
1.1.2. Clasificación de las E.D según el Orden
El orden de una E.D es el que corresponde a la mayor derivada involucrada en la expresión, para lo cual
debemos recordar los conocimientos de derivadas de orden superior, resumidos en la siguiente tabla
Definición 1.3
Se denomina orden de la E.D al grado de la derivada máxima de la función desconocida
Es importante aclarar, que el orden lo indica la derivada más no el exponente de la derivada.
1.1.3. Clasificación de las E.D según el Grado
Definición 1.4
El grado de una E.D. lo define el exponente al cual está elevado el término que contiene la mayor
derivada

Ejemplo 1.1
d2
y
dx2
+8
d y
dx
= senx Esta es una E.D.O de 2do orden, 1er grado
d3
y
dx3
+8
d y
dx
4
= senx Esta es una E.D.O de 3er orden, 1er Grado
d y
dx
+ x = ex
Esta es una E.D.O de primer orden, de primer grado.
De esta forma podemos hablar de orden haciendo referencia al orden de la derivada, y de grado el cual
es la potencia a la cual está elevada la derivada de mayor orden de la E.D
Ejemplo 1.2
y = x2
+5y E.D.O de primer Orden, primer Grado
y
2
−4y −5y = e3x
E.D.O de Segundo Orden, Segundo Grado
d2
y
dx2
−3x = sen y E.D.O de Segundo Orden, Primer Grado
d2
x
d y2
+senx
dx
d y
3
= 0 E.D.O de Segundo Orden, Primer Grado
Ejercicios Ejemplos para desarrollar
Clasiﬁca cada una de las E.D que se dan a continuación según su tipo y orden
1.1 senxy −cosxy = 2
1.2 x
d3
x
dx3
−2
d y
dx
4
+ y = 0
1.3 (1− x) y −4xy +5y = Cosx

1.4
d2
y
dx2
+9y = Senx
1.5 y
∂u
∂y
−2u = 6x −4y
1.6
∂4
u
∂x2∂y2
= 0
1.1.4. Clasificación de las E.D. según su linealidad
Una E.D es lineal si se puede expresar de la siguiente forma
An(x)yn
+ A(n−1)(x)yn−1
+...+ A1(x)y + A0y = g(x) (1.1)
Donde A0(x), A1(x),..., An(x) y g(x) dependen sólo de la variable independiente x. En caso contrario se
dice que es No Lineal
Además una ecuación es lineal cuando se satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones:
a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado (esto es, están elevadas a la
potencia uno)
b) Los coeficientes de la variable dependiente y y todas sus derivadas dependen sólo de la variable
independiente x
A su vez dentro de las E.D lineales distinguimos dos tipos:
Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Constantes cuando todos los coeficientes
son números reales (Constantes):
Ai (x) = cte∀i = 1...n
Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Variables si por los menos uno de los coefi-
cientes es una función de x
Ejemplo 1.3
x2 d2
y
dx2
+ x
d y
dx
+ y = 2x2
E.D.O de Segundo Orden, LINEAL. Coef. Variables

y + sen y = 0 .D.O de 2do orden, NO LINEAL, ya que la variable dependiente y aparece como
argumento de una función.
d4
y
dx4
+
d3
y
dx3
+ y2
= 0 E.D.O de cuarto orden, NO LINEAL ya que la variable dependiente no puede
estar elevada a una potencia diferente de uno, en este caso está elevada al exponente 2.
yy + y + 5y = 0 E.D.O de 2do orden, NO LINEAL, ya que el coeﬁciente que acompaña a la
variable dependiente, debe depender solo de x, y no de y como es este caso.
y +(2x +1) y + xy +sen(x)y = 0 E.D.O de 3er orden, LINEAL. Coef. Variables
y −2x y
2
= 0, E.D.O de segundo orden, NO LINEAL, puesto que la variable dependiente está
elevada a una potencia 2.
y −2y −5y +6y = 0, E.D.O de 3er orden, LINEAL. Coef. Constantes.
x2
y + 2xy − 12y = x2
y2
E.D.O de 2do orden, NO LINEAL pues la variable dependiente está
elevada a la 2.
y + xy = sen y E.D.O de 2do orden. NO LINEAL, ya que la variable y, está como argumento
de una función.
y = x2
+5y, E.D.O de 1er Orden, LINEAL, Coef. Const.

Clasiﬁca cada una de las siguientes E.D.O que se dan a continuación de acuerdo a su orden, grado
y linealidad.
1.7 x2
y + xy + y = sec(lnx)
1.8
d2
y
dx2
− y2
= x2
ex
1.9 y −4y +4y = 12x2
−6x e2x
1.10 6x2
y +5xy + x2
−1 = 0
1.11
d2
y
dx2
−3
d y
dx
+2y = senx2
1.12 x2 d2
y
dx2
+ x
d y
dx
+ xy = ex+y
1.13 y −2x(y )2
+ xy = 0
1.14
d2
y
dx2
+4y = sen2
(x)
1.15
d4
y
dx4
−2(
d3
y
dx3
)3
= xyex
1.2 Solución de las Ecuaciones Diferenciales
1.2.1. Solución de una E.D
El proceso de determinar las soluciones de una E.D se llama integración de la misma. Resolver una E.D.O
F(x, y, y , y ,..., yn
) = 0
Implica hallar una expresión para la función y = f (x) que satisfaga la relación de igualdad que determi-
na dicha ecuación. Por tanto, la solución de una E.D. es una función

Teorema 1.1 Solución de una E.D.
Se llama solución de una ecuación diferencial ordinaria en una intervalo I, a una función φx de-
finida en I que, sustituida en la ecuación junto a sus derivadas, la verifica en dicho intervalo, es
decir
F(x,φx,φ ,...,φn
(x)) = 0,∀(x) ∈ I
En párrafos anteriores, se detalló que la solución de una E.D implica un proceso de integración, por
tanto una E.D del tipo y = f (x) se resuelve
y = f (x)dx
Lo que generará la solución de la E.D de primer orden del tipo
y = F(x)+C
Donde C es la constante arbitraria de Integración.
Así para la ecuación diferencial de primer orden y = ex
integrando se obtiene la solución y = ex
+C1
Para la ecuación diferencial de segundo orden y = ex
, al integrar se obtiene y = ex
+C1, volviendo a
integrar se obtiene y = ex
+C1 +C2
Y así sucesivamente, con lo que podemos concluir que sí una ecuación diferencial tiene solución, no
tiene una, sino infinitas soluciones.
Ejemplo 1.4 Demostrar la solución de una E.D.
Sea la función φ(x) = xex
una solución de la ecuación diferencial y −2y + y = 0
En este caso, se nos da la solución de la E.D dada por φ(x) la cual debemos comprobar; para ello
hay que derivarla tantas veces como indique el orden de la E.D, posteriormente se sustituye, y
si el resultado es una identidad habremos comprobado que la solución dada efectivamente es
solución de la E.D. Es importante aclarar que la expresión φ(x) es equivalente a y = f (x)
φ (x) = ex
+ xex
φ (x) = 2ex
+ xex
Se sustituyen las expresiones anteriores de acuerdo a la ecuación diferencial dada y se obtiene:
2ex
+ xex
−2(ex
+ xex
)+ xex
= 0 Desarrollando algebraicamente
2ex
+ xex
−2ex
−2xex
+ xex
= 0

0 = 0
Se cumple la identidad, por tanto queda comprobado que φ(x) = xex
es solución de la ecuación
diferencial y −2y + y = 0
1.2.2. Clasificación de las Soluciones
Antes de conocer los métodos para resolver E.D.O es preciso dejar claro que las soluciones de una E.D.O
pueden venir dadas como una función o como una expresión que verifica la ecuación. Por ello, las lla-
maremos Explícitas sí la solución es una expresión de la forma y = f (x), mientras que las Soluciones
Implícitas atienden a la forma g(x, y) = 0. En pocas palabras, si la variable dependiente se encuentra
despejada se llama solución explícita de lo contrario es implícita.
Por otra parte, dependiendo del orden, tendrá “‘n”’ soluciones con “‘n”’ constantes arbitrarias. De allí
que la podemos clasificar las soluciones atendiendo a este criterio de la siguiente manera:
Solución Particular: es una solución de la E.D.O que no contiene constantes de integración, y
que se obtiene dando valores numéricos a las constantes de las familias n-paramétricas de las
soluciones.
Solución Singular: Es una solución de la E.D que no contiene constantes arbitrarias y no está
contenida en la familia paramétrica. No siempre existen; y si existen se trata de la curva llamada
envolvente de la familia de curvas integrales definidas por la familia n-paramétrica.
Solución General: Es la que contiene todas las soluciones de la ecuación. Está formada por las
familias n-paramétricas de soluciones más las posibles soluciones singulares. Se identifica por la
presencia de las constantes de integración.
Ejercicios
Verifique sí la función o funciones son soluciones de la E.D dada, y señale si las soluciones están
escritas en forma explícita o implícita
1.16 φ(x) = x +3e−x
+c
Ecuación Diferencial y + y = x +1
1.17 y(x) = 2e3x
−5e4x
Ecuación Diferencial y −7y +12y = 0

1.18 f (x) = ex
+2x2
+6x +7
Ecuación Diferencial y −3y +2y = 4x2
1.19 y(x) = C.xex
Ecuación Diferencial y −2y + y = 0
1.20 y1(x) = x−2
; y2(x)x−2
lnx
Ecuación Diferencial x2
y +5xy +4y = 0
N En lo siguiente, se dedicará a conocer los métodos que se emplean para determinar las funcio-
nes soluciones de las ecuaciones diferenciales.

2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUA-
CIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE PRIMER ORDEN
Como ya se especificó en el capítulo anterior, resolver una E.D.O implica obtener una función, que al
ser sustituida, ésta y sus respectivas derivadas debe satisfacer la igualdad de la ecuación. Dicha función
se obtiene a través de un proceso de integración. Sin embargo, no siempre éste proceso es inmediato,
para ello se recurre a ciertos tipos de métodos, para lo cual se debe identificar las características de la
ecuación y saber cuál es el método más adecuado para resolverla.
Antes de desarrollar los métodos, es importante diferenciar las distintas formas que se nos puede pre-
sentar una E.D.O:
Forma General: F(x, y, y ) = 0
Forma Normal:
d y
dx = f (x, y)
Forma Diferencial: M(x, y)dx + N(x, y)d y = 0
2.1 Ecuaciones de Variables Separadas o Separables
Definición 2.1
Una ecuación diferencial de la forma
d y
dx
= f (x, y),
es una ecuación separable o de variables separables si f (x, y) se puede expresar como el producto

14 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
de una función de x por una función de y, esto es:
d y
dx
= p(x)q(y)
Para determinar la función solución se integra de forma directa a ambos lados de la igualdad siguiendo
el siguiente método de solución
2.1.1. Método de Resolución
Si la ecuación diferencial presenta la forma de una ecuación de variables separables, separamos las
variables xy, aislándolas en miembros opuestos de la ecuación. Para ello, hemos de suponer que g(y) =
0, en este caso
1
q(y)
d y = p(x)dx Integrando ahora ambas partes de la igualdad
d y
q y
= (x)dx obtenemos la solución implícita formada por una familia 1-paramétrica de soluciones
F y = G (x)+C
Ejemplo 2.1
x3
dx + yd y = 0
Se puede observar que los diferenciales se encuentran acompañando a los términos que contienen la
variable correspondiente a los mismos, por tanto es un caso de variables separable, y se prosigue a
integrar
x3
dx + yd y = C
Al resolver las integrales, las cuales son inmediatas resulta
x4
4
+
2 y3
3
+C
De aquí se puede despejar la variable dependiente y y se tendrá entonces una solución explícita, gene-
ral

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 15
y =
3
(k −
3x4
8
)2
Muchas ecuaciones no son de variables separadas, pero sí fácilmente separables a través de la transposi-
ción de términos, bien mediante operaciones elementales, mediante cambio de variables o empleando
métodos más soﬁsticados.
Ejemplo 2.2
ydx + xd y = 0
Esta ecuación no es expresamente de variables separables, pero sí se puede separar haciendo transpo-
sición de términos
ydx = −xd y
dx
x
= −
d y
y
Siendo en este momento una E.D de variables separables, por tanto podemos proceder a integrar
dx
x
= −
d y
y
lnx = −ln y +C
Dicha solución es una Solución, Implícita General.
N Es importante precisar que no en todos los casos resultarán integrales inmediatas o por tabla,
por lo que habrá que acudir a las diferentes técnicas de integración abordadas en el curso de
Matemática II, y entre las cuales podemos mencionar; cambio de variable, partes, sustitución
trigonométrica, fracciones parciales, completación de cuadrados entre otras
Ejemplo 2.3
y = 3x(y +4)2

En este caso, sobrescribimos la ecuación en términos diferenciales
d y
dx
= 3x y +4
2
Para resolver, podemos despejar el diferencial y ubicar los términos con sus respectivos diferenciales
d y
y +4
2
= 3xdx Integrando a ambos lados
d y
(y +4)2
= 3xdx
A continuación se procederá a resolver las integrales
La integral del miembro de la izquierda se resuelve empleando la técnica de Cambio de Variable.
d y
y +4
2
u = y +4 ⇒ du = d y
Cambio de Variable
Sustituyendo el cambio de variable antes mencionado en la integral de la izquierda
du
u2
= 3xdx
u−2
du = 3xdx
u−1
−1
= 3
x2
2
+C
−1
y +4
= 3
x2
2
+C
Esta solución en una Solución General Implícita, para llevarla a explícita, simplemente despejamos la
variable dependiente y
y =
−2
3x2 −C
−4 Solución Explícita General
.

Ejemplo 2.4
d y
dx
=
y −2
2x +3
; con la condición inicialy(−1) = 0
Reescribimos la ecuación separando variables:
d y
y −2
=
dx
2x +3
Observamos que y = 2 es solución de la E.D, por ello, deberíamos tenerla en cuenta, aunque en este
caso, no es la solución particular que buscamos ya que no veriﬁca la condición inicial dada.
Integrando a ambos lados se tiene
ln y −2 =
1
2
ln2x +3+C1 (2.1)
Podemos considerar ahora la condición inicial para obtener C1 y posteriormente despejar y. También
se puede despejar explícitamente y manteniendo C1 y aplicar luego la condición inicial para hallar C1 y
obtener así la solución del problema de valor inicial en lo sucesivo nos referiremos a esta expresión,
cuando se den condiciones iniciales que nos permitan obtener soluciones particulares.
En este caso, las condiciones iniciales vienen dadas por y(−1) = 0, que se lee, cuando la variable inde-
pendiente (x) vale −1, la variable dependiente toma el valor de 0. Sustituyendo esto en el resultado
ln0−2 =
1
2
ln2(−1)+3+C1
ln2 =
1
2
ln1+C1
C1 = ln2
Sustituyendo el valor de C1 en la ecuación 2.1
ln y −2 =
1
2
ln2x +3+ln2 Solución Implícita Particular
Aplicando propiedades de Logaritmos podemos llegar a la solución y efectuando las operaciones alge-
braicas correspondientes, podemos obtener la solución explícita particular.
y = 2−2 2x −3

Ejercicios Ejercicios para Desarrollar
Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden de variables separables
2.1
d y
dx
= sen5x
2.2
d y
dx
= (x +1)2
2.3 dx +e3x
d y = 0
2.4 (x +1)
d y
dx
= x +6
2.5 xy = 4y
2.6 (1−2y)dx +(4− x2
)d y = 0
2.7 tan ydx +(1− x2
)d y = 0
2.8 sec2
xd y +cosecydx = 0
2.9
1
x2 −5x +6
dx +ey+5
d y = 0
2.2 Ecuaciones Diferenciales Exactas
2.2.1. Idea Intuitiva de Exactitud
Si partimos del hecho que la solución general de una ecuación diferencial es una familia de curvas pa-
ramétricas como la que se muestra:
F(x, y) = C (2.2)
donde C, es la Constante arbitraria de integración indicativa de la familia paramétrica de soluciones.
Su ecuación diferencial (derivada completa) se obtiene aplicando el diferencial a ambos lados
∂F
∂x
dx +
∂F
∂y
d y (2.3)

N Recordar que la derivada completa de una función es la suma de sus derivadas parciales.
Si suponemos que volvemos del revés la situación y comenzamos con una ecuación diferencial
M(x, y)dx + N(x, y)d y = 0 (2.4)
N En lo sucesivo, por convención nos referiremos a la función M a aquella que se encuentre
multiplicada por el diferencial de x, mientras que N es la función que está multiplicada por el
diferencial de y, esto sí y sólo si la E.D se encuentra escrita en notación diferencial (ver inicio de
esta sección), de lo contrario, primero deberá escribirse en esta forma para luego determinar
las funciones M y N
Si existe alguna función f (x, y) tal que
∂f
∂x
= M y
∂f
∂y
= N (2.5)
Entonces se puede expresar como
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
d y = 0 (2.6)
Y su solución general es f (x, y) = C
2.2.1.1. Resumen
Una ecuación diferencial de primer orden
M(x, y)dx + N(x, y)d y = 0 (2.7)
Es exacta en un rectángulo, si M(x, y)dx + N(x, y)d y es una diferencial total exacta, es decir, si existe
una función F(x, y) tal que:
∂F
∂x
(x, y) = M(x, y) y
∂F
∂y
(x, y) = N(x, y); ∀(x, y) ∈ R (2.8)
El siguiente teorema nos da una condición necesaria y suﬁciente para conocer cuándo una E.D es exacta
y su demostración nos proporciona un método para obtener la solución general de F(x, y) = C
Teorema 2.1
Sea M(x, y) y N(x, y) funciones continuas con derivadas parciales de primer orden continuas

en un rectángulo R. Entonces, la ecuación
M(x, y)dx + N(x, y)d y = 0 (2.9)
Es exacta sí y sólo sí se verifica
∂M
∂y
(x, y) =
∂N
∂x
(x, y) ∀(x, y) ∈ R (2.10)
Demostración
Supongamos que la ecuación 2.7 es exacta en R. Esto significa que existe una función F(x, y) tal que
∀(x, y) de R se verifica que:
∂F(x, y)
∂x
= M(x, y) y
∂F(x, y)
∂y
= N(x, y)
Así al ser M y N, funciones con derivadas parciales de primer orden continuas, podemos afirmar que las
derivadas de segundo orden de F, son continuas, y el Teorema de Schwartz nos afirma que las derivadas
cruzadas de segundo orden de F coinciden, es decir:
∂2
F
∂y∂x
(x, y) =
∂M
∂y
(x, y) y
∂2
F
∂x∂y
(x, y) =
∂N
∂x
(x, y)
Puesto que las primeras derivadas parciales de M y N son contínuas en R, también lo son las derivadas
parciales segundas cruzadas de F; por tanto, éstas son iguales y se tiene que:
∂M
∂y
(x, y) =
∂N
∂x
(x, y); ∀(x, y) ∈ R
Lo cual verifica el teorema, el cual establece que si las derivadas cruzadas de las funciones M y N con-
templadas en la ecuación diferencial son iguales, la ecuación será exacta.
N Se refiere al termino de derivadas cruzadas, al hecho de derivar la función con respecto a la
variable contraria de su diferencial.
Una vez determinada la exactitud de la ecuación diferencial, resolverla implica encontrar una función
F(x, y)+C, la cual se obtiene integrando cualquiera de las dos derivadas cruzadas.
N Recordar que la solución de un ecuación diferencial es una función y = F(x), y que sí esta
función está bajo el símbolo de la derivada, basta con aplicar la operación contraria que es la
integral para despejarla. A su vez debemos darnos cuenta que las funciones M y N son funcio-

nes que depende de las dos variables y e x por lo que no es descabellado pensar que su solución
también tendrá dicha dependencia y = F(x, y), sin embargo no es limitatorio
Para visualizar mejor estos comentarios, vamos a ejemplificarlo.
Dada la ecuación 2.7, ahora vamos a demostrar que si se verifica el teorema, existe una función veri-
ficando las condiciones de la definición de ecuación exacta, con lo cual posteriormente se extraerá el
método de solución
Si
∂F(x, y)
∂x
= M(x, y) entonces F(x, y) = M(x, y)dx = G(x, y)+φy
(2.11)
* Se puede tomar la expresión respecto a y.
Donde G(x,y) es una primitiva de M(x,y) respecto de x, y Φy es la constante de integración escrita en
términos de función. La solución de la ecuación diferencial lo constituye básicamente, la expresión en
2.2.1.1, sin embargo se tiene que deducir Φy para que esté completa.
Método de Solución
1. La E.D.O debe estar escrita en forma diferencial, es decir M(x, y)dx + N(x, y)d y = 0
2. Determinar las derivadas parciales de las funciones M y N. (Aquella función que se encuentre
multiplicada por el diferencial dx, es identificada como M, si esta multiplicada por el diferencial
d y, es tomada como la función N)
∂M
∂y
(x, y);
∂N
∂x
(x, y)
Si estas son iguales, la ecuación diferencial es Exacta y se procede con lo siguientes pasos
Caso Nº1
Determinar M(x, y)dx
M(x, y)dx = F(x, y)+Φy
Derivar parcialmente la expresión anterior con respecto a y
Igualar lo obtenido, con la función N, despejar Φ (y)
Integrar con respecto a Φ (y) para determinar Φy = C.

Se da la solución implícita f (x, y) = C sustituyendo Φy en la función obtenida en el primer
paso de esta caja.
Caso Nº2
Determinar N(x, y)dx
N(x, y)dx = F(x, y)+Φx
Derivar parcialmente la expresión anterior con respecto a x
Igualar lo obtenido, con la función M, despejar Φ (x)
Integrar con respecto a Φ (x) para determinar Φx = C.
Se da la solución implícita f (x, y) = C sustituyendo Φx en la función obtenida en el primer
paso de esta caja.
Ejemplo 2.5
Resolvamos las siguientes ecuaciones diferenciales exactas
a) (x2
+ y2
+2x)dx +(2xy +3y2
)d y = 0
b) [cosx sinx − xy2
]dx + y(1− x2
)d y = 0 con las siguientes condiciones iniciales si y(0) = 2
Solución
a) Comprobamos en primer lugar que se trata de una E.D exacta, para ello la misma debe estar
escrita en forma diferencial, y luego procedemos con el método descrito
(x2
+ y2
+2x)
M
dx +(2xy +3y2
)
N
d y = 0
∂(x2
+ y2
+2x)
∂y
= 2y
∂(2xy +3y2
)
∂x
= 2y
∂M
∂y
=
∂N
∂x
∴ La Ecuación Diferencial es Exacta
Una vez determinada la exactitud procedemos a desarrollar.
Paso Nº1 Integramos M con respecto a x para obtener la función F(x, y)

F(x, y) = (x2
+ y2
+2x)dx
= x2
dx + y2
dx +2 xdx
=
x3
3
+ y2
x + x2
+ g(y)
N Observar que en lugar de la constante de integración "C", colocamos g(y) lo cual es equi-
valente a una constante, ya que estamos integrando con respecto a x, y cualquier función
de y, será una constante.
Paso Nº2 Derivamos parcialmente la expresión obtenida en el paso anterior, con respecto a la
variable dependiente y
∂[(x3
/3)+ y2
x + x2
+ g(y)]
∂y
= 2xy + g y
Paso Nº3 Igualamos esta expresión con la función N y despejar g y
2xy + g y = 2xy +3y2
g y = 3y2
Paso Nº4 Integramos a ambos lados para obtener la función solución f (x, y)
g yd y = 3 y2
d y
g(y) = y3
Paso Nº5 Sustituir g(y) en la expresión obtenida en el paso número 1 para obtener la solución
F(x, y) = C
F(x, y) =
x3
3
+ xy2
+ x2
+ y3
= C
[b)] [cosx senx − xy2
]
M
dx + y(1− x2
)
N
d y = 0 con las siguientes condiciones iniciales si y(0) = 2
Comprobamos inicialmente que se trata de una E.D exacta. Para facilitar el desarrollo aplicaremos
propiedad distributiva en la función N

[cosx senx − xy2
]
M
dx +(y − yx2
)
N
d y = 0
∂ cosx senx − xy2
∂y
= −2xy
∂ y − yx2
∂x
= −2xy
∂M
∂y
=
∂N
∂y
Por lo tanto, la E.D es exacta
Paso Nº1 Integramos a la función N, con respecto a y
N Observar que estamos seleccionando en esta ocasión la función N para integrar en vez
de la función M, esto se debe a que la función N es más sencilla de integrar
F(x, y) = y − yx2
d y
= yd y − x2
yd y
=
y2
2
−
x2
y2
2
+ g(x) Agrupando Términos Semejantes
=
y2
1− x2
2
+ g(x)
N Debido a que se integró con respecto a la y, la constante de integración la vamos a susti-
tuir por una función de x, la cual es una función constante.
Paso Nº2 Derivamos parcialmente la expresión anterior con respecto a x

∂
y(
1− x2
)
2
+ g(x)
∂x
= −xy2
+ g (x)
Paso Nº3 Igualamos la función M y despejamos g (x)
−xy2
+ g (x) = cos(x)sen(x)− xy
g (x) = [cos(x)sen(x)]
Paso Nº4 Igualamos a ambos lados con respecto a x
g (x) = [cosx senx]dx
Para realizar esta integral acudimos al cambio de variable
u = senx du = cosxdx
Sustituyendo el cambio de variable
g (x) = udu
g (x) =
u2
2
(x) =
sen2
x
2
Paso Nº5 Obtenemos la solución general sustituyendo la expresión anterior en el resultado obte-
nido en el paso Nº1
F(x, y) =
y2
1− x2
2
+
sen2
x
2
Por deﬁnición
y2
1− x2
2
+
sen2
x
2
= C
Debido a que están planteadas condiciones iniciales debemos conocer el valor de C, dado x = 0 y
y = 2
22
(1−02
)
2
+
sen2
0
2
= C

C = 2
y2
1− x2
2
+
sen2
x
2
= 2
De donde podemos despejar la variable y para obtener la solución explícita particular
y =
4−sen2 x
2 1− x2
Obtenga la solución de las siguientes E.D comprobando inicialmente su exactitud
2.10 (2x −1)dx + 3y +7 d y = 0
2.11 2y − 1
x +cosx
d y
dx +
y
x2 −4x3
+3y sen3x = 0
2.12 x3
+ y3
dx +3x2
d y = 0
2.13 tgx − x sen y dx + cosx cos y d y = 0
2.3 Ecuación Diferencial No Exacta
2.3.1. Factores Integrantes
Dada una ecuación diferencial de la forma
M(x, y)dx + N(x, y)d y = 0 (2.12)
si
∂M
∂y
=
∂N
∂x
entonces se dice que la E.D es no exacta
Sin embargo, es posible encontrar una función que denotaremos µ(x, y) tal que al multiplicarla por la
ecuación diferencial se convierta en exacta. A dicha función se le denomina factor integrante.

2.3.2. Cálculo de factores integrantes. (Demostración)
Hemos declarado que si multiplicamos la E.D no exacta por la función µ(x, y), esta se convierte en exacta
µ(x, y)M(x, y)dx +µ(x, y)N(x, y)d y = 0 (2.13)
Por tanto y de acuerdo al criterio de exactitud, debe veriﬁcarse que las derivadas parciales cruzadas
deben ser iguales, tal como se muestra
∂µ(x, y)M(x, y)
∂y
=
∂µ(x, y)N(x, y)
∂x
(2.14)
Derivando parcialmente, y aplicando las reglas de derivación del producto de funciones obtenemos
M(x, y)
∂µ(x, y)
∂y
+µ(x, y)
∂M
∂y
= N(x, y)
∂µ(x, y)
∂x
+µ(x, y)
∂N
∂x
(2.15)
Agrupando
M(x, y)
∂µ(x, y)
∂y
− N(x, y)
∂µ(x, y)
∂x
= µ(x, y)
∂N
∂x
−µ(x, y)
∂M
∂y
(2.16)
Sacando factor común
M(x, y)
∂µ(x, y)
∂y
− N(x, y)
∂µ(x, y)
∂x
= µ(x, y)
∂N
∂x
−
∂M
∂y
(2.17)
Determinar µ(x, y) de esta expresión no resulta sencillo, puesto que a veces llegamos a una ecuación
en derivadas parciales cuya solución es más compleja que resolver la ecuación diferencial inicial. Sin
embargo, esta expresión la podemos simpliﬁcar si buscamos un factor integrante que sólo tenga depen-
dencia de una sola variable es decir, µ(x) ó µ(y)
2.3.2.1. Factor Integrante de la Forma µ(x)
Suponemos que el factor integrante depende sólo de la variable x, esto nos va a permitir que la ecuación
2.17 se reduzca a la siguiente expresión
− Nµ (x) =
∂N
∂x
−
∂M
∂y
µ(x) (2.18)
Agrupando y haciendo las operaciones algebraicas correspondientes
µ (x)
µ(x)
=
∂M
∂y
− ∂N
∂x
N
(2.19)
Debido a que se está considerando la dependencia de una sola variable, en este caso de x, entonces
existe el factor intengrante µ(x) y este se obtiene integrando a ambos lados la ecuación anterior, obte-
niéndose como resultado

µ(x) = e
∂M
∂y
− ∂N
∂x
N
dx(2.20)
Esta expresión que depende únicamente de la variable x, nos permitirá determinar el factor integrante
adecuado para transformar una E.D no exacta en exacta si es el caso.
2.3.2.2. Factor Integrante de la forma µ(y)
Si por el contrario, consideramos un factor integrante que sólo dependa de y, entonces la ecuación 2.17
se verá reducida a la siguiente
Mµ (y) =
∂N
∂x
−
∂M
∂y
µ(y) (2.21)
Agrupando y operando algebraicamente se obtiene
µ (y)
µ(y)
=
∂N
∂x − ∂M
∂y
M
(2.22)
Si la expresión de la derecha sólo depende de la variable y y es continua, entonces existe el factor inte-
grante µ(y) y se obtiene integrando a ambos lados la ecuación 2.22
µ(x) = e
∂N
∂x
− ∂M
∂y
M
dx(2.23)
2.4 Método de Solución
Dada la ecuación diferencial, ésta debe estar escrita en notación diferencial
M(x, y)dx + N(x, y)d y = 0 (2.24)
1. Determinar las derivadas parciales cruzadas si ∂M
∂y = ∂N
∂x entonces la E.D es no exacta, por lo tanto
debe buscarse una factor integrante.
2. El factor integrante adecuado se determina sustituyendo los elementos y operaciones algebraicas
que se muestran

Si
∂M
∂y
−
∂N
∂x
N
es una función que depende solo de x, entonces el factor integrante será:
µ(x) = e
∂M
∂y
− ∂N
∂x
N
dx
De lo contrario probar el siguiente ítem
Si
∂N
∂x
−
∂M
∂y
N
es una función que depende sólo de y el factor integrante será
µ(y) = e
∂N
∂x
−
∂M
∂y
d y
M d y
3. Multiplicar la E.D dada por el factor integrante obtenido, comprobar de acuerdo al criterio de
exactitud nuevamente y resolver aplicando el método de E.D exactas para obtener la solución
F(x, y) = C
Ejemplo 2.6 Resuelva la ecuación diferencial
y
x2 +2 dx + 1
x 1+lnxy d y = 0
1. Comprobamos su exactitud
y
x2
+2
M
dx +
1
x
1+lnxy
N
d y
∂M
∂y
=
∂
y
x2 +2
∂y
=
1
x2
∂N
∂x
=
∂ 1
x 1+lnxy
∂x
= −x−2
lnxy
N Recordar la regla de derivación para funciones compuestas, conocida como Regla
de la Cadena
Debido a que las derivadas parciales cruzadas no son iguales, podemos concluir que la E.D
es no exacta, por lo cual para resolverla debemos buscar un factor integrante.

2. Probamos un factor integrante de x. Para lo cual evaluamos la expresión
∂M
∂y
− ∂N
∂x
N
=
1
x2 − −x−2
lnxy
1
x 1+lnxy
Operamos Algebraicamente
=
x−2
+ x−2
lnxy
1
x
1+lnxy
Factor Común x−2
=
x−2
1+lnxy
x−1 1+lnxy
Simpliﬁcando
= x−1
Puesto que la función resultante depende sólo de x, podemos concluir que el factor inte-
grante será de la forma µ(x)
µ(x) = e x−1
dx
= e
dx
x
= elnx
= x
3. Multiplicamos la ecuación diferencial inicial por este factor integrante
x
y
x2
+2 dx + 1+lnxy d y = 0 esto resuelta en
y
x
+2x dx
M
+ 1+lnxy d y
N
Volvemos a comprobar su exactitud
∂
y
x
+2x
∂y
=
1
x

∂ 1+lnxy
∂x
=
1
x
A continuación procedemos a resolver aplicando el método de ecuaciones diferenciales exactas.
Para ello integramos la función con respecto a x (recordando considerar en adelante, la ecuación
diferencial multiplicada por el factor integrante)
y
x
+2x dx = y
1
x
dx +2 xdx
f (x, y) = y lnx + x2
+ g(y) Ahora derivamos parcialmente con respecto a y
∂f (x, y)
∂y
= lnx + g (y) Igualamos con la función N
lnx + g (y) = 1+lnxy Aplicamos propiedades de logaritmos para luego despejar g (y)
lnx + g (y) = 1+lnx +ln y
g (y) = 1+ln y Integramos con respecto a y para encontrar la función g(y)

g (y)d y = 1+ln yd y
g (y)d y = d y + ln yd y
g(y) = y + y ln y − y
g(y) = y ln y
Por tanto la solución de la ecuación diferencial es
y lnx + x2
+ y ln y = C
2y lnx + x2
= C

Ejemplo 2.7 Resuelva la ecuación diferencial
2xy2
−2y dx
M
+ 3x2
y −4x d y
N
= 0
1. Comprobamos exactitud
∂ 2xy2
−2y
∂y
= 4xy −2
∂ 3x2
y −4y
∂x
= 6xy −4
Son diferentes las derivadas parciales cruzadas, por lo que concluimos que es un E.D no
exacta, y debemos ubicar un factor integrante que la convierta en exacta
2. Probamos inicialmente con un factor integrante de x
∂M
∂y
−
∂N
∂x
N
=
4xy −2− 6xy −4
3x2y −4x
Haciendo las operaciones correspondientes
=
4xy −2−6xy +4
3x2y −4x
=
−2xy +2
3x2y −4x
=
−2 xy −2
x 3xy −4
Esto expresión no se puede seguir simpliﬁcando, y depende de ambas variables, por lo que
debemos intentar con un factor integrante dependiente de y

∂N
∂x
−
∂M
∂y
M
=
6xy −4− 4xy −2
2xy2 −2y
=
6xy −4−4xy +2
2xy2 −2y
=
2xy −2
2xy2 −2y
=
2xy −2
y 2xy −2
=
1
y
Debido a que la expresión resultante depende solo de y, es indicativo que el factor integrante
adecuado debe ser
µ(y)
µ(y) = e
1
y d y
µ(y) = y
3. Multiplicamos la ecuación inicial por y para hacerla exacta
y 2xy2
−2y
M
dx + y 3x2
y −4x
N
d y = 0
2xy3
−2y2
M
dx + 3x2
y2
−4xy
N
d y

4. Comprobamos nuevamente exactitud
∂ 2xy3
−2y2
∂y
= 6xy2
−4y
∂ 3x2
y2
−4xy
∂x
= 6xy2
−4y
Las derivadas coinciden por lo que procedemos a resolver como una E.D exacta
5. Integramos la función M con respecto a x
2xy3
−2y2
dx = 2y3
xdx −2y2
dx
f (x, y) = y3
x2
−2xy2
+ g(y)
Derivamos parcialmente con respecto a y
∂f (x, y)
∂y
= 3y2
x2
−4xy + g (y)
Igualamos con la función N
3y2
x2
−4xy + g (y) = 3x2
y2
−4xy
Simpliﬁcando términos
g (y) = C
Por lo que la solución general de la ecuación diferencial inicial es
y3
x2
−2xy2
= C
Veriﬁque que la E.D.O es No Exacta. Multiplique por el factor integrante µ(x, y) indicado y com-
pruebe que la ecuación resultante es exacta

2.14 −xy senx +2y cosx dx +[2x cosx]d y = 0;µ(x, y) = xy
Resuelva la E.D.O encontrando una factor integrante adecuado
2.15 10−6y +e−3x
dx −2d y = 0
2.16 2y2
+3x dx +2xyd y = 0
2.17 y x + y +1 dx + x +2y d y = 0
2.18 cosxdx + 1+ 2
y x d y = 0
2.5 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
Al principio de esta guía se estableció la clasificación de las ecuaciones diferenciales considerando al-
gunos criterios, a saber: 1 La variable dependiente y todas sus derivadas deben ser de grado 1, y 2 el
coeficiente que acompaña a la variable dependiente y todas sus derivadas sólo debe ser función de x. A
su vez, si los coeficientes son números constantes, la E.D se clasifica en E.D lineal de coeficientes cons-
tante, mientras que sí los coeficientes son funciones de x, se dice que la E.D es lineal de coeficientes
variables.
En este sentido, se puede agregar que la más simple de las ecuaciones diferenciales son las ecuaciones
lineales de primer orden, es decir, las ecuaciones de la forma
Dividiendo por A1 (x) se puede escribir la E.D en forma canónica:
y +P (x) = Q (x) (2.26)
Donde P (x) y Q (x) son funciones continuas en dicho intervalo. Si expresamos la ecuación 2.26 en forma
diferencial tenemos
P(x)−Q(x)]dx +d y = 0(2.27)

N Es importante destacar, que se escribe en forma general P(x)yQ(x) asumiendo la variable de-
pendiente y, sin embargo esto va a depender de la variable dependiente.
2.5.1. Método de Solución
Antes de desarrollar el método de solución, es importante precisar los siguientes ítems,
Si P (x) ≡ 0, la ecuación es exacta y también es separable.
En caso contrario, la ecuación 2.27 admite un factor integrante de la forma µ(x)
Dicho factor viene expresado por:
µ(x) = e
P (x)dx
ó µ(y) = e
P y d y
(2.28)
Una vez obtenido el factor integrante tenemos las siguientes opciones:
1. Multiplicar la ecuación 2.27 por µ(x), esto convierte la E.C en exacta y se procede a resolver de
acuerdo al método descrito en la sección anterior.
2. Hallar la solución de un modo más rápido, multiplicando la ecuación 2.26 por el factor integrante
adecuado indicado en 2.28 esto nos produce:
µ(x)y +µ(x)P(x)y = µ(x)Q(x)
Como al multiplicar la ecuación 2.27 se obtiene una ecuación exacta, se tiene que µ(x)P(x) = µ (x),
por tanto la ecuación anterior queda:
µ(x)y +µ (x)y = µ(x)Q(x)
es decir,
d
dx
µ xy)] = µ(x)Q(x)
Integrando respecto a x:
µ(x)y = µ(x)Q(x)dx +C
Por tanto, la solución general es:

y = µ−1
(x) µ(x)Q(x)dx +C (2.29)
Donde µ(x) viene dado por 2.28
En esta sección de E.D.Lineales consideraremos el segundo método, el cual podemos resumir con el
siguiente teorema:
Teorema 2.2 Ecuación Diferencial Lineal
SiP(x) y Q(x) son funciones continuas en una intervalo abierto (a,b) que contiene al punto X0,
para cualquier valor inicial y0 existe una única solución y(x) en dicho intervalo del problema de
valor inicial
y +P(x)y = Q(x); y(x0) = y0
que es la solución dada por 2.29 para una constante de integración apropiada.
Ejemplo 2.8 Hallemos la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
a) y +2xy = 2xe−x2
b) y
dx
d y
− x = 2y2
; cony(1) = 5
Lo primero que debemos identificar es que se trata de una ecuación diferencial lineal, ya que la
variable dependiente y y sus derivadas están elevadas al exponente 1, y además los coeficientes
que las acompañan depende únicamente de x, por lo que también podemos considerarla de coe-
ficientes variables. A su vez, el término g(x) es diferente de 0, por lo que descartamos que sea
homogénea.
Luego debemos asegurarnos que esté escrita en forma canónica, es decir en la forma que se mues-
tra en la ecuación 2.26 de esta sección. En el caso particular así lo está.
y +2xy = 2xe−x2
N Nos referimos a canónica cuando el coeficiente que acompaña a la mayor derivada de la
variable dependiente es 1
De la E.D visualizamos dos elementos importantes para su solución
P(x) el cual es el coeficiente que acompaña a la variable dependiente y, en este caso P(x) =
2x

Q(x) es la función que representa el término independiente, ya que sólo depende de la va-
riable (x), en este caso Q(x) = 2xe−x2
Una vez determinado éstos elementos podemos identiﬁcar que P(x) = 0 por lo que descartamos
que se trate de una ecuación diferencial exacta, pero que sí se puede convertir en exacta como lo
propone la proposición descrita a inicio de este apartado, ó calcular el factor integrante y poste-
riormente aplicar la fórmula deducida para obtener directamente la solución, como se estableció
en la segunda propuesta
Cálculo del Factor integrante Debido a que P(x) es un función de x, el factor integrante será una
función de x y se determina empleando la fórmula 2.28
µ(x) = e
2xdx
µ(x) = e
2 xdx
µ(x) = ex2
Sustituyendo el factor integrante y el resto de los elementos en la fórmula 2.29 se obtiene
y = ex2 −1
ex2
2xe−x−2
dx
y = ex2 −1
2 x
y = ex2 −1
x2
+C
b. y
dx
d y
− x = 2y2
; cony(1) = 5
En este caso, la ecuación diferencial no está escrita en forma canónica, para hacerlo debemos
dividir toda la ecuación por y de tal manera que el coeﬁciente de la derivada superior sea 1
ydx
yd y
−
x
y
=
2y2
y
dx
d y
−
x
y
= 2y
Fijarse, que en este caso, la variable dependiente es x por lo tanto

P(y) = −1
y
Q(y) = 2y
Asimismo, debemos deducir el factor integrante que en este caso es función de y
µ(y) = e
−
1
y
d y
µ(y) = y−1
Ahora aplicamos la fórmula deducida en 2.29 pero tomando en cuenta que ahora nuestra función
incógnita está representada por la variable x, así pues
x = y−1 −1
y−1
2y d y
Ordenando, y aplicando las operaciones algebraicas correspondientes
x = y 2 d y
x = 2y2
+C
Solución General
Puesto que se dan condiciones iniciales, podemos determinar cual es la función particular de la
familia de soluciones, sustituyendo sus coordenadas cartesianas es decir; cuando x = 1; y = 5
1 = 2(5)2
+C
C = −49
Sustituyendo en la solución general
x = 2y2
−49
Solución Particular
Ejercicios Ejercicios Propuestos
Obtenga la solución General de las siguientes ecuaciones diferenciales, caracterizándolas previa-
mente como lineales
d y
dx
+ y = e3x

x2 d y
dx
+ xy = 1
x
d y
dx
− y = x2
sen(x)
(1+ x)
d y
dx
− xy = x + x2
ydx −4 x + y6
d y = 0
cos(x)
d y
dx
+ y sen(x) = 1
Resuelva la E.D lineal con valor inicial
x
d y
dx
+ y = e3x
; y(1) = 2
(x +1)
d y
dx
+ y = ln(x); y(1) = 10
2.6 Ecuaciones Diferenciales no Lineales
Hemos desarrollado hasta ahora algunos métodos de solución atendiendo a ciertas características de
las ecuaciones diferenciales, asimismo hemos encontrado ecuaciones que no cumplen con éstas carac-
terísticas, pero sí algunas maneras de transformarlas para adaptarlas a las mismas y aplicar los métodos
correspondientes. Esta tendencia, sucede con las ecuaciones diferenciales que no son lineales, las cuales
para resolver acudiremos a un cambio de variable tal como se desarrollará
La clase más importante de ecuaciones diferenciales no lineal es de la forma:
d y
dx
+P(x)y = Q(x)yn
; k ∈ ℜ (2.30)
Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo I
Si n = 0 ó n = 1, la ecuación es del tipo lineal.
Obsérvese con atención, que de acuerdo a las condiciones establecidas en la clasiﬁcación de las E.D
según su linealidad, ésta ecuación es no lineal, ya que la variable dependiente y está elevada a una
potencia n, que es diferente de 0 y 1, es decir, ya no es de grado 1.
Esta ecuación de forma general se le conoce como Ecuación de Bernoulli, en honor a Jakob Bernoulli.

2.6.1. Método de Solución
1. Se divide toda la E.D por yn
y−n d y
dx
+P(x)y(1−n)
= Q(x); k ℜ (2.31)
2. Hacer el siguiente cambio de variable v = y(1−n)
El cual derivamos de forma implícita con respecto a x
dv
dx
= (1−n)y−n d y
dx
(2.32)
De donde despejamos convenientemente la expresión y−n d y
dx
y−n d y
dx
=
1
(1−n)
dv
dx
(2.33)
A continuación se sustituyen todos los cambios en la ecuación 2.30 para transformar la E.D en
lineal en términos de las variables (v,x)
1
(1−n)
dv
dx
+P(x)v = Q(x) (2.34)
En estos momentos ya la ecuación es lineal, sin embargo es conveniente escribirla en forma ca-
nónica por lo que debemos garantizar que el coeﬁciente del diferencial sea igual a 1 para ello
debemos multiplicar por (1−n) para obtener
dv
dx
+(1−n)P(x)v = (1−n)Q(x) (2.35)
3. La ecuación 2.35, es una ecuación diferencial lineal que puede ser resuelta por el método del factor
integrante estudiado en la sección anterior.
Ejemplo 2.9
Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales
a) x
d y
dx
+ y = y2
lnx
Nótese que es una E.D No Lineal puesto que la variable dependiente y está elevada al exponente
2, además tiene la forma de una ecuación 2.30, por lo que podemos considerarla una Ecuación
tipo Bernoulli
1. Escribimos la ecuación diferencial en notación normal o canónica, para lo cual debemos

hacer que el coeﬁciente del diferencial sea igual a 1, en este caso debemos dividir entre x
d y
dx
+
y
x
=
y2
lnx
x
2. Identiﬁcamos yn
= y2
y dividimos la ecuación diferencial por y2
generándose
y−2 d y
dx
+
y
y2x
=
y2
y2
lnx
x
y−2 d y
dx
+
1
yx
=
lnx
x
y−2 d y
dx
+
y−1
x
=
lnx
x
(2.36)
N Convenientemente utilizar notación de potencia con la variable dependiente, para
que esta coincida con el siguiente cambio de variable
3. Hacer el cambio de variable v = y(1−n)
con n = 2
v = y(1−2)
v = y−1
4. Derivamos de forma implícita con respecto a x
dv
dx
= −y−2 d y
dx
Despejamos
−
dv
dx
= y−2 d y
dx
Hacemos los cambios en la ecuación 2.36 y resulta en
−
dv
dx
+
v
x
=
lnx
x

5. LLevamos esta ecuación a su forma canónica para ello es necesario multiplicarla por (1−n),
es decir por (1−2) = −1
dv
dx
−
v
x
= −
lnx
x
Esta ecuación ya es lineal y a partir de ella se puede resolver aplicando el método del factor
integrante por lo que debemos identiﬁcar P(x) y Q(x) y posteriormente aplicar las fórmulas
correspondientes
P(x) = −
1
x
Q(x) = −
lnx
x
Aplicaremos la fórmula 2.28 para determinar el factor integrante que en este caso es función
de x
µ(x) = e
P(x)dx
µx = e
−
dx
x
µx = x−1
Una vez listos todos los elementos, procedemos a sustituir en la ecuación 2.29 recordando
que estamos usando temporalmente una variable dependiente distinta a la original
v = x−1 −1
x−1
−
lnx
x
dx
Desarrollando
v = x − x−2
lnx dx
La integral resultante debe ser resuelta aplicando la técnica de integral por partes, ya que el
integrando es un producto de funciones del tipo algebraica por una logarítmica.
Para ello debemos realizar los siguientes cambios
u = lnx
du = 1
x dx

dv = x−2
v = −1
x
Sustituyendo estos cambios y atendiendo a la regla de integración por partes
v = −x −
lnx
x
− −
1
x
1
x
dx
Resolviendo la integral interna, y desarrollando algebraicamente obtenemos
v = x
lnx
x
+
1
x
+C
v = [lnx +1+ xC]
Devolviendo el cambio v = y−1
y =
1
[lnx +1+ xC]
b)
d y
dx
+ y = ex
y−2
La ecuación diferencial propuesta en el ejercicio b) es una ecuación no lineal de Bernoulli, con
yn
= y−2
y debido a que ya está escrita en forma canónica procedemos a resolver aplicando el
método, iniciando con la división entre y−2
y2 d y
dx
+
y
y−2
=
ex
y−2
y−2
y2 d y
dx
+ y3
= ex
Hacemos el cambio de variable correspondiente v = y(1−n)=y1−(−2)
=y3
Derivamos de forma implícita con respecto a x
dv
dx
= 3y2 d y
dx
Despejamos
1
3
dv
dx
= y2 d y
dx
Haciendo los cambios de variables y transformando la ecuación

1
3
dv
dx
+ v = ex
Multiplicamos por (1−n) que en este caso es 3 para escribir la ecuación en forma canónica
dv
dx
+3v = 3ex
Donde
P(x) = 3
Q(x) = 3ex
Determinamos el factor integrante
µx = e 3dx
µx = e3x
Sustituimos los elementos en la ecuación 2.29
v = e3x −1
e3x
3ex
dx
e−3x
3 x4
dx
v = e−3x 3
4
e4x
+C
v =
3
4
ex
+e−3x
C
Devolviendo el cambio inicial v = y3
y3
=
3
4
ex
+e−3x
C
y =
3 3
4
ex +e−3xC

Ejercicios Ejercicios Propuestos
Determine la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales, caracterizándolas previamen-
te
x
d y
dx
+ y =
2
y2
d y
dx
− y = ex
y2
d y
dx
= y xy3
−1
x
d y
dx
−(1+ x) y = xy2
Resuelva la E.D de Bernoulli con valor inicial
x2 d y
dx
−2xy = 3y4
: y(1) =
1
2
y1/2 d y
dx
+ y3/2
= 1; y(0) = 4
2.7 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden
2.7.1. Función Homogénea
Una función f (x, y) es homogénea de orden n, si para algún número real, se cumple que f (tx,t y) =
tn
f (x, y). Es decir, si al hacer el cambio de variable x = tx; y y = t y, donde t es una nueva incógnita, y al
sacar factor común tn
queda la función original.
Ejemplo 2.1 f (x, y) = x3
+ y3
; es una función homogénea de grado 3, pues al hacer el cambio de
variable con t3
se obtiene
f (tx,t y) = (tx)3
+ t y
3
f (tx,t y) = t3
x3
+ y3
f (tx,t y) = t3
f (x, y)

N Obsérvese que al sacar factor común tn
vuelve a quedar la función original
2.7.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es homogénea si se puede escribir de la
forma:
M(x, y)dx + N(x, y)d y = 0 (2.37)
Donde M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado.
Una ecuación diferencial ordinaria de la forma:
y = f (x, y) (2.38)
es homogénea si la función f (x, y) es homogénea de grado 0
Este tipo de ecuación diferencial mediante un cambio de variable se transforma en una ecuación de
variables separables. Si la ecuación diferencial es homogénea es posible expresar la ecuación de la forma
y =
xn
M 1,
y
y
xnN 1,
y
x
(2.39)
y =
M 1,
y
x
N 1,
y
x
(2.40)
Esto quiere decir, que también podemos expresar la ecuación en términos de
y
x
2.7.3. Solución de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden
Este tipo de ecuaciones diferenciales se pueden transformar en ecuaciones de variables separables, me-
diante el siguiente cambio de variable:
Hacemos el cambio (x, y) → (x,u) dado por
y = ux De donde (2.41)
d y = udx + xdu (2.42)
Convenientemente despejamos la expresión
d y
dx
d y
dx
=
du
dx
x +u (2.43)

Si tenemos la ecuación en la forma 2.37, la dividimos por xm
, donde m es el grado de homoge-
neidad de las funciones M y N y que se determina como se explicó en el apartado anterior. Si
tenemos la ecuación en la forma 2.38, la dividimos por x con la mínima potencia que aparezca. La
ecuación se convierte en una ecuación de variables separables.
Resolvemos obteniendo la solución para u(x)
Deshacemos el cambio y obtenemos la solución para y(x)
2.7.3.1. Procedimiento
1. Verificar que la E.D dada es una ecuación diferencial homogénea comprobando f (tx,t y) = tn
f (x, y)
2. Hacer el cambio de variable u =
y
x
3. Despejar y = ux
4. Derivar con respecto a x, lo que nos generará la siguiente expresión
d y
dx
=
du
dx
x +u
5. Se sustituyen todos los cambios y la ecuación resultante será de variables separables.
Ejemplo 2.10
y =
xy
x2 − y2
Primero se verifica que la función es homogénea haciendo el cambio f (tx,t y), esto quiere decir,
que vamos a sustituir la variable x → tx y la variable y → t y
f (tx,t y) =
txt y
(tx)2 −(t y)2
f (xt, yt) =
t2
xy
t2x2 − t2y2
Sacamos factor común tn
= t2
f (tx,t y) =
t2
t2
xy
x2 − y2
Al verificarse la ecuación con la cual partimos, se dice que es una ecuación homogénea de grado,
0
Solución

Puesto que la ecuación está escrita en la forma de la ecuación 2.38 se dice que es una función
homogénea de grado 0
Por lo tanto hacemos los cambios de variable
y = ux
y
d y
dx
= x
du
dx
+u
deducidos en las ecuaciones 2.41 y 2.43 respectivamente
Sustituimos en la ecuación diferencia dada
x
du
dx
+u =
xux
x2 −(ux)2
x
du
dx
+u =
x2
x2 −u2x2
Extrayendo como factor en x2
en el numerado y simpliﬁcando con el mismo término en el nume-
rado se obtiene
x
du
dx
+u =
u
1−u2
Esta ecuación obtenida es una ecuación de variables separables, por lo que para su solución de-
bemos realizar transposición de términos atendiendo a las reglas algebraicas para ordenar a cada
miembro de la igualdad las variables.
x
du
dx
=
u
1−u2
−u
Suma de fracciones
x
du
dx
=
u3
1−u2
1−u2
u3
du =
dx
x
en estos momentos ya están separadas las variables, procedemos a integrar a ambos lados de la
ecuación
1−u2
u3
du =
dx
x
Para resolver la integral del miembro izquierdo, dividimos la fracción, puesto que existe una de-
nominador común

1
u3
du −
1
u
du =
dx
x
−
1
2u2
−lnu = lnx +C
Agrupando términos en el miembro izquierdo, y aplicando propiedad de logaritmos en el derecho
−
1
2u2
= lnxC
Finalmente deshacemos el cambio de variables, recordando que establecimos y = ux, por lo que
u = y/x
−
x2
2y2
= ln yC

3 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
En innumerables ocasiones nos preguntamos, cómo se relacionan los contenidos matemáticos con
nuestra vida cotidiana, y mucho más con el desempeño profesional en el área de la ingeniería. Y para
responder a esta pregunta es oportuno hacer una breve referencia a la historia del Cálculo Inﬁnitesimal
y sus máximos exponentes como lo fueron Newton y Leibniz, quienes en el siglo XVII descubrieron la
relación existente entre las dos ramas del Cálculo; el diferencial e integral. Relación que posteriormente
fue la base para el descubrimiento de la física aplicada, y con él la Ingeniería.
La derivada en un principio se utilizó para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se vio que
también sirve para determinar el estudio de la variación de una función. Sin embargo en la vida real
son muchos los factores que pueden inﬂuir un proceso regido por una función, es por ello que pode-
mos analizar como varía una función con respecto a diferentes variables a partir de su derivada; esto se
conoce como Ecuaciones Diferenciales.
A través del Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la mencionada vinculación
entre la derivada y la integral de dicha función, podemos obtener una primitiva de la función derivada
mediante la integración, que es lo que necesitamos para poder resolver las ecuaciones diferenciales.
En esta sección vamos a considerar determinados fenómenos reales relacionados con diversos ámbitos
asociados a al física y a la ingeniería, cuya modelización da lugar a una ecuación diferencial de primer
orden.
El proceso de modelar en matemática suele ser la de “‘expresar en términos matemáticos determinados
hechos y sus relaciones”’ y por ende un modelo matemático es una estructura que aproxima o describe
dichas relaciones. Camacho, et all (2009)
3.1 Modelos Matemáticos

54 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Con frecuencia se desea escribir el comportamiento de algún sistema, proceso o fenómeno de la vida
real en términos matemáticos. Dicho sistema puede ser físico, sociológico o hasta económico.
La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama Modelo Matemático.
3.1.1. Pasos para la formulación de un Modelo Matemático de un Sistema
1. Se debe identificar las variables causantes del cambio en el sistema. Podemos no elegir incorporar
todas las variables en modelo desde el comienzo. En este caso, especificamos el nivel de resolución
de modelo.
2. Se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir.
Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema.
Cuando las hipótesis acerca del sistema implica, con frecuencia la razón de cambio de una o más
variables; el enunciado matemático de todas éstas hipótesis es una o más ecuaciones donde in-
tervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático es una ecuación o sistema de Ecua-
ciones Diferenciales
3. Las ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones ob-
tenidas del problema, para determinar la incógnita o incógnitas involucradas.
4. Con el uso de las soluciones conocidas se realiza la interpretación científica de la solución obteni-
da contrarestándola con la teoría.
3.2 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Trayectorias Ortogonales. (Estudio de electricidad, y magnetismo, elaboración de cartas meteoro-
lógicas)
Problemas de Enfriamiento.
Mecánica Newtoniana
Problemas de Mezclas
Desintegración de Sustancias Radiactivas
Determinación de edades por el Método de Carbono 14
Crecimiento de Poblaciones
Propagación de Enfermedades

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 55
Eliminación de Drogas
Interés Compuesto
Circuitos Eléctricos Simples
En general, estos proceso ya tienen un modelo estandarizado, y a partir de el se puede adaptar a las
diferentes condiciones que se presenten de forma particular, si se desea un modelo nuevo hay que seguir
en forma general los pasos establecido en la sección anterior.
Ejemplo 3.1 Crecimiento Poblacional
Si la población de una país se duplica en 50 años.¿en cuántos años será el triple, suponiendo
que la velocidad del aumento es proporcional al número de habitantes
Los Datos
T tiempo en años N la población en T años N0 la población en T = 0 T=50años para doble de
la población inicial Variable Dependiente: N población Variable Independiente: T tiempo
En este caso aplicaremos el Modelo de Crecimiento Poblacional que se rige por la siguiente ecua-
ción diferencial
El Modelo
dN
dT
= kN
La ecuación es de variables separables, por tanto para resolverla, aplicamos el método de separa-
ción de variables, para lo cual hacemos la transposición de términos para us posterior integración
dN
N
= kdT
Donde k es la constante de proporcionalidad. Una vez separadas las variables, integramos
dN
N
= kdT
lnN = kT +C
elnN
= ekt+C
aplicamos exponencial a ambos lados para despejar la variable dependiente
N = ekT +C
N = ekT
eC

Propiedad de Exponenciales
Consideramos que el exponencial de una Constante, sigue siendo una Constante
N = CekT
(3.1)
Obtuvimos una Solución Explícita General, para determinar la solución particular sustituimos las
condiciones iniciales dadas, T = 0 y N = N0 en 3.1
N0 = Cek0
C = N0
Sustituyendo C en 3.1
N = N0ekT
Solución Particular (3.2)
Ahora determinamos la proyección que nos están solicitando en el problema, en ¿cuantos años
será el triple de la población? Sin embargo, tenemos datos del doble de la población, con ello
podemos determinar la constante de proporcionalidad como se muestra
Para T = 50años → N = 2N0 sustituimos en 3.2
2N0 = N0ek50
despejamos k
2N0
N0
= ek50
2 = ek50
ln2 = k50
Aplicamos Logaritmos a ambos lados para despejar.
k =
50
ln2
Ya poseemos el valor de la Constante de Proporcionalidad volvemos a la fórmula deducida en ??
para una población triplicada a la inicial eso es N = 3N0
3N0 = N0ekT
el objetivo es despejar T

3N0
N0
= ekT
3 = ekT
ln3 = kT
sustituimos la constante de proporcionalidad y despejamos T
ln3 =
50
ln2
T
ln3ln2 = 50T
ln5
50
= T
El tiempo que tardará la población inicial en triplicarse será en
Figura 3.1: Tanque de Mezclado
Ejemplo 3.2 Problema de Mezclado
Consideremos un tanque tla como se muestra en la ﬁgura ??, para un tiempo inicial t = 0, con-
tiene Q0Kg de sal disuelta en 100 litros de agua. Supongamos que en el tanque entra agua conte-
niendo 1/4Kg de sal por litro, a razón de 3litros por minuto y que la solución bien mezclada sale
del tanque a la misma velocidad. Encuentre una expresión que nos proporcione la cantidad de
sal que hay en el tanque en un tiempo t

Los Datos
Q0 Cantidad Inicial de Sal disuelta V0 = 100Lts Volumen Inicial Ce = 1/4Kg/L Concentración
Inicial Re = 3L/min Razón de Entrada Rs = 3L/min Razón de Salida. V = 100Litros Volumen
Total
El Modelo
Sea x(t) la cantidad de sustancia presente en el tanque en el instante t y sea dx
dt la rapidez
con que cambia x con respecto a tiempo.
Para un tiempo t, la velocidad de cambio de la sustancia en el tanque dx
dt debe ser igual
a la velocidad a la que dicha sustancia entra en el tanque menos la velocidad a la que lo
abandona, es decir, la ecuación diferencial que modeliza este problema viene dada por:
dx
dt
= Ve −Vs
Donde
Ve (cantidad/t)
Ve = Re ∗Q0
Vs (cantidad/t)
Vs = Rs ∗Qs
Obsérvese que en este caso la variable dependiente es x, y que representa la cantidad de sal.
La concentración de salida es la cantidad de sustancia x(t) dividida por el volumen total en
el tanque en dicho instante t
Para la aplicación del modelo necesitamos determinar Ve y Vs
Ve = 3l/min ∗
1
4
kg/l
Ve =
3
4
K g/min (3.3)
Para determinar Vs no se tienen datos de la concentración ﬁnal, sin embargo en el modelo se
especiﬁcó que esta concentración viene dada por la siguiente expresión:
Qs =
X
V
Donde Qs Concentración a la salida X Cantidad de sal V Volumen Total
Sustituyendo la expresión correspondiente a la concentración
Vs =
Rs ∗ X
V

Sustituyendo ahora los datos
Vs =
3lt/min ∗ X
100lt
(3.4)
Sustituimos 3.3 y 3.4 en el modelo
dx
dt
=
3
4
−
3
100
X
Esta es una ecuación diferencial lineal no homogénea, reordenándola para escribirla en forma
diferencial, Ver 28
dx
dt
+
3
100
X =
3
4
De acuerdo al método debemos calcular un factor integrante tal como lo indica en la ecuación
2.28, para ello debemos identiﬁcar los siguientes elementos
P(x) = 3
100
Q(x) = 3
4
µt = e
3
100 dt
µt = e0,03T
Aplicando la fórmula 2.29
x = e0,03T −1
e0,03T 3
4
dt
x = e−0,03T 3
4
e0,03T
0,03
+C
X = 25+e−0,03T
C
Puesto que necesitamos una ecuación para expresar la cantidad de sal, necesitamos descubrir C
para dejarla en función de dos variables, para ello sustituimos las condiciones iniciales X0 = Q0 y
t = 0
Q0 = 25+e−0,03∗0
C
C = Q0 −25
Por tanto,

X (t) = 25+e−0,03T
[Q0 −25]
X (t) = 25+e−0,03T
Q0 −25e0,03T
X (t) = 25 1−e−0,03T
+e−0,03T
Q0
Esta es la ecuación que nos da la cantidad de sal en el tanque para un tiempo dado, y dada una
concentración inicial conocida.
Figura 3.2: Circuito Simple en Serie
Ejemplo 3.3 Circuitos Eléctricos
La electricidad tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos eléctricos conoci-
da como la Ley de Kirchoff. Esta es adecuada para estudiar propiedades simples de los circuitos
eléctricos. El circuito eléctrico más simple es un circuito en serie, en el cual se tiene una fuerza
electromotriz (F.E.M); la cual actúa como una fuente de energía tal como una batería o un genera-
dor, y una resistencia; la cual consume o usa energía tal como un equipo.
Circuitos más complicados, pero para casos muchos más prácticos son circuitos que contienen
otros elementos distintos a resistencias. Los elementos más importantes son inductores o con-
densadores. Un inductor se opone a cambios en corriente. Un inductor se opone a cambios en
corriente, tiene un efecto de inercia. Un condensador es un elemento que almacena energía.

Definición 3.1 Enunciado de la Ley de Kirchoff
La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es cero.
Como ejemplo consideraremos un circuito eléctrico consistente en una (F.E.M), una resistencia R
y un inductor L, conectados en serie como se muestra en la figura ??
N Se adopta por convención que la corriente eléctrica fluye del lado positivo de la F.E.M a
través del circuito hacia el lado negativo.
El Modelo
Llamando I la corriente o intensidad de corriente que fluye según el circuito descrito y por
las leyes de Kirchoff se tiene:
L
dI
dT
+RI = E (3.5)
Donde L dI
dT
representa la variación (caída) de voltaje a través del inductor y RI la caída de
voltaje a través de la Resistencia.
N La variable dependiente es I, Intensidad de Corriente La variable Independiente es t,
Tiempo
Solución La ecuación anterior es una ecuación diferencial del tipo No Exacta, para resolverla de-
bemos expresarla en su forma canónica y encontrar un factor integrante adecuado empleando la
fórmula 2.28
dI
dt
+
RI
L
=
E
L
Factor Integrante
µ(t) = e
R
L dt
µ(t) = e
Rt
L
Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante.

e
Rt
L
dI
dt
+e
Rt
L
RI
L
Derivada de un Producto
= e
Rt
L
E
L
d e
Rt
L I
dt
= e
Rt
L
E
L
Integramos a ambos lados
d e
Rt
L I
dt
= e
Rt
L
E
L
dt
e
Rt
L I =
E
L
e
Rt
L
E
L
N Recordar que la R y el L son valores conocidos, es decir, constantes
e
Rt
L I =
E
L
L
R
e
Rt
L
Simpliﬁcando
e
Rt
L I =
E
R
e
Rt
L +C
Despejando Intensidad de Corriente
I =
E
R
+Ce
−RT
L
Esta ecuación nos permite conocer la Intensidad de Corriente dados los valores de la Resistencia
y del Inductor. Para determinar el valor de la constante C, se considera las condiciones iniciales,
es decir T = 0;I = 0
Dicha ecuación también pudo ser resuelta aplicando el método de Variables Separables, y también
siguiendo el procedimiento de las Ecuaciones No Exactas planteados en esta guía en el el capitulo
2.

4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE OR-
DEN SUPERIOR
Una ecuación diferencial lineal de orden superior tiene la forma:
An(x)yn
+ An−1(x)yn−1
+...+ A2(x)y + A1(x)y + A0y = g(x) (4.1)
Si consideramos una ecuación diferencial de segundo orden la ecuación 4.1 se transforma en la siguiente
expresión
A2(x)
d2
y
dx2
+ A1(x)
d y
dx
+ A0(x)y = g(x) (4.2)
En su forma canónica
d2
y
dx2
+P(X )
d y
dx
+Q(x)y = g(x) (4.3)
Donde, si g(x) = 0, la ecuación diferencial se denomina Homogénea, pero si g(x) = 0 entonces se llama
No Homogénea
A su vez, si los coeficientes Ai (x) son números reales, se dice que es una E.D lineal de Coeficientes
Constantes, por el contrario es llamada de Coeficientes Variables. En ambos casos se considera que los
coeficientes son funciones continuas en un intervalo abierto (a,b).
4.1 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Coeficientes
Constantes
De acuerdo a lo expresado anteriormente, la ecuación 4.1 es considerada homogénea si g(x) = 0, y por
consecuencia, la ecuación ?? al iguarla a 0, se trata de una ecuación diferencial lineal de segundo or-

64 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
den homogénea, de la cual analizaremos su solución y cómo obtenerla, y consecuentemente, por su
naturaleza, deduciremos la solución de las ecuaciones diferenciales de este tipo de orden n
Antes de estudiar estas ecuaciones diferenciales es preciso abordar los enfoques teóricos que nos per-
mitirán aclarar conceptualmente algunos aspectos fundamentales para tener una mayor comprensión.
4.1.1. Principio de Superposición. Solución de una ecuación diferencial Lineal Ho-
mogénea de Coeficientes Constantes
Se tiene una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea establecida en la ecuación ??.
La solución de esta ecuación diferencial incluye dos soluciones fundamentales asociadas al orden de la
misma, las cuales son linealmente independientes. Por lo tanto, se puede expresar la solución general
como:
y = C1y1 +C2y2 (4.4)
Lo cual se conoce como una combinación lineal. Donde y1 yy2 son soluciones “‘individuales”’,
esto tomando en consideración el siguiente teorema y su demostración:
Teorema 4.1
Sean y1 y y2 soluciones de la Ecuación diferencial Homogénea ??. Entonces cualquier com-
binación lineal
C1y1(x)+C2y2(x)
Con C1 y C2 constantes arbitrarias, también es solución de la ecuación diferencial.
Demostración A partir del término de la izquierda de la ecuación ?? definimos el siguiente operador:
L y = y +P y +Qy (4.5)
Donde L y es llamado el operador diferencial. Entonces, la ecuación ?? puede expresarse de la siguien-
te forma
L y (x) = 0 (4.6)
Este operador diferencial es lineal, puesto que cumple con las siguientes propiedades
∀f (x) y g(x) ∈ ℑ y k R
se verifica

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 65
L(f ± g)x = L f (x) ±L g(x)
L k f (x) = kL f (x)
Esto se interpreta, que para toda función que pertenece a una familia de funciones ℑ, continuas deri-
vables se cumple que, el operador diferencial de una suma algebraica de funciones se puede distribuir
a cada uno de los términos, de igual forma el operador diferencial de un producto de una constante
real k por un función, la constante se extrae fuera del operador y éste se aplica solo a la función. Estas
propiedades se conocen como propiedades de linealidad, por consecuencia el operador diferencial es
un operador lineal.
Por tanto, retomamos el hecho de que la solución de una ecuación diferencial de segundo orden es una
combinación lineal C1y1(x)+C2y2(x), que al aplicar el operador diferencial y sus propiedades tenemos:
C1y1(x)+C2y2(x) = L C1y1(x) +L C2y2(x)
= C1L y1(x) +C2L y2(x)
= C1L(0)+C2L(0)
= 0
debido a la linealidad del operador diferencial, si y1(x) y y2(x) son soluciones de la ecuación ??, entonces
cualquier combinación lineal de C1y1(x) +C2y2(x) también es solución. Este teorema, por naturaleza,
puede extenderse a cualquier ecuación diferencial de orden n, de esta manera la solución de la ecuación
4.1 será tambien una combinación lineal de soluciones particulares como sigue:
C1y1(x)+C2y2(x)+C3y3(x)+...+Cn−1yn−1(x)+Cn yn (4.7)
Por otra parte, para que existan constantes arbitrarias que veriﬁquen el teorema se debe cumplir que
el sistema ha de ser compatible determinado, y la condición para que esto ocurra (por el teorema de
Rouche-Frobenius) es que el determinante del sistema es igual a 0. Este enunciado se aprecia en el
siguiente teorema.
Teorema 4.2
Sean y1(x) y y2(x) soluciones en un intervalo (a,b) de la ecuación diferencial
d2
y
dx2
+ p(x)
d y
dx
+ q(x)y = 0

con p y q funciones continuas en (a,b), sí en algún punto del intervalo se satisface
Wy1,y2
y1(x0) y2(X0)
y1(x0) y2(x0)
= 0
N Donde Wy1,y2 es la notación del determinante llamado Wronskiano
entonces, toda solución se expresa de la forma descrita anteriormente como una combinación
lineal C1y1(x)+C2y2(x)
Por otra, parte dos funciones y1(x) y y2(x) son linealmente independientes en (a,b) si existe algún
punto X0 que pertenece al intervalo donde se veriﬁque que:
C1y1(x)+C2y2(x) = 0
Esto se demuestra sí el Wronskiano de las soluciones es diferente de 0. Por el contrario, dos funciones
y1(x) y y2(x) son linealmente dependientes en el intervalo abierto (a,b) si existen constantes C1 y C2
que no se anulen simultáneamente, tal que:
C1y1(x)+C2y2(x) = 0
Lo cual se demuestra si el wronskiano es igual a 0.
En resumidas cuentas, dos soluciones y1(x) y y2(x) si son linealmente independientes; cumpliéndose el
teorema anterior, son llamadas Conjunto Fundamental de Soluciones, y la combinación lineal de ellas
representa la solución general de la ecuación diferencial.
Por tanto, resolver una ecuación diferencial consiste en hallar un conjunto fundamental de solucio-
nes que sean linealmente independientes, lo cual nos proporcionará la solución general. Esta deduc-
ción, se puede extender por naturaleza a una ecuación diferencial de orden n, para la cual el Wronskiano
queda de la siguiente forma:

Wy1,y2,...yn






y1(x0) y2(x0) ··· yn
y1(x0) y2(x0) ··· yn
...
...
...
...
yn−1
1 (x0) yn−1
2 (x0) ··· yn−1
n






= 0
N Este determinante se construye, colocando inicialmente en la primera fila las soluciones in-
dividuales, y en las filas siguientes las derivadas sucesivas, la última fila estará compuesta por
la derivada n − 1, por ejemplo si la ecuación diferencial es de orden 4, la última fila conten-
drá la tercera derivada. Por otra parte, para calcular este determinante si es de 3x3 se resuelve
aplicando la regla de Sarrus, mientras que si es de 4x4 en adelante se emplea el método de los
Cofactores o Gauss, Gauss-Jordan.
Si el wronskiano es diferente de 0 las soluciones son linealmente independientes y son llamadas con-
junto fundamental de soluciones, por lo que la solución general será una combinación lineal de ellas
C1y1(x)+C2y2(x)+C3y3(x)+...+Cn−1yn−1(x)+Cn yn(x) (4.8)
4.2 Método para resolver una Ecuación Diferencial Lineal Homogénea de
Coeficientes Constantes
Consideremos la Ecuación Diferencial Homogénea de 2do orden
a
dy
dx2
+b
d y
dx
+cy = 0 (4.9)
Donde a,b,c son coeficientes constantes y por tanto funciones contínuas en R. Buscamos un conjunto
fundamental de soluciones tal cual se describió en el apartado anterior, para construir la solución ge-
neral. Para ello partimos con la más sencilla de las ecuaciones diferenciales homogéneas, la de primer
orden
d y
dx
+ ay = 0 (4.10)
Esta ecuación diferencial se resuelve por separación de variables como sigue:
d y = −aydx

d y
y
= −adx
d y
y
= −a dx
ln y = −ax +C
Despejando la variable dependiente y y aplicando propiedades de logaritmo se obtiene la siguiente
solución
y = ce−ax
Por lo que se puede deducir que las soluciones de este tipo de ecuaciones diferenciales vienen expresa-
das en forma exponencial
y = emx
(4.11)
Si derivamos n veces la expresión de acuerdo al caso correspondiente se tiene
d y
dx = memx
d2
y
dx2 = m2
emx
dn
y
dxn = mn
emx
Dichas expresiones se sustituyen en la ecuación diferencial de la cual se desea obtener la solución, para
el caso de una ecuación diferencial de segundo orden como la que se muestra:
a
d2
y
dx2
+b
d y
dx
+cy = 0
a(m2
emx
)+b(memx
)+cemx
= 0
Sacando como factor común emx

emx
am2
+bm +c = 0
Despejando emx
am2
+bm +c = 0 (4.12)
Esta expresión se conoce como Polinomio Característico o Ecuación Auxiliar, de la cual vamos a ex-
traer sus raíces y a partir de ellas obtendremos las soluciones fundamentales.
Extraer las raíces de un polinomio consiste en factorizar y despejar las raíces, para ello debemos analizar
el grado y el tipo de polinomio para aplicar el tipo de factorización más adecuado. De la obtención de
dichas raíces se presentan 3 casos que se detalla a continuación:
1. I Caso. Raíces Reales Distintas M1 = M2 Si M1 y M2 son las raíces de un polinomio de orden 2 y
éstas son reales y diferentes, el conjunto fundamental de soluciones viene dado por:
y1 =M1x
y2 =M2x
(4.13)
De donde y1 y y2 deben ser linealmente independientes, para lo cual se comprueba su determi-
nante, en este caso de orden 2
Wy1,y2
eM1x
eM2x
M1eM1x
M2eM2x = 0
Entonces, la solución general es
y(x) = C1eM1x
+C2eM2x
(4.14)
2. II Caso. Raíces reales iguales M1 = M2
Si M1 y M2 son las raíces de un polinomio de orden 2, y éstas son reales pero repetidas, el conjunto
fundamental de soluciones viene dado por:
y1 = eM1x
y2 = xeM1x
(4.15)
Factor de Multiplicidad
Al tener dos soluciones repetidas debemos garantizar que éstas sean linealmente indepen-
dientes para ello, multiplicamos la segunda solución por xh
el cual nos permitirá que ambas
soluciones sean linealmente independientes, lo cual se comprueba con el wronskiano. Don-
de h es el número de veces que se repite la solución. Este de acuerdo a lo ya establecido debe

ser diferente de 0, por lo tanto la solución general lo conforma la siguiente combinación li-
neal
y(x) = C1eM1x
+ XeM1x
(4.16)
3. III. Caso. Raíces Reales Complejas Conjugadas. Si las raíces son complejas conjugadas, es decir,
r1 = α+iβ yr2 = α−iβ
el conjunto fundamental de soluciones viene dado por
y1 = eαx
cosβx y2 = e sen (4.17)
Entonces la solución general será
y(x) = C1e cos +C2e sen (4.18)
Esta fórmula se deduce resolviendo las soluciones, aplicando la fórmula de Euler.
Ejemplo 4.1
1. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
d2
y
dx2
+2
d y
dx
− y = 0
Solución.
La E.D se trata de una ecuación homogénea, ya que g(x) = 0 y además sus coeficientes son nú-
meros reales, por lo que la clasificamos dentro de las E.D lineales homogéneas de coeficientes
constantes. Para resolverla debemos encontrar el polinomio característico asumiendo
y = emx
y derivando dos veces, por ser una E.D de segundo orden obtenemos
d y
dx
= memx

d2
y
dx2
= m2
emx
Sustituyendo en la E.D dada se tiene:
m2
emx
+2memx
−emx
= 0
Sacando Factor común
emx
m2
+2m −1 = 0 Despe j ando
m2
+2m −1
Este es el polinomio característico o ecuación auxiliar que procederemos a factorizar para obtener
las raíces, utilizando la ecuación cuadrática
M =
−b ± b2 −4ac
2a
(4.19)
Donde a es el coeficiente que acompaña al término cuadrático x2
, b el coeficiente que acompaña
al término lineal x, y c el coeficiente que corresponde al término independiente
En este caso, a = 1; b = 2 y c = −1 sustituyendo en la ecuación cuadrática
M =
−2± 22 −4∗1∗−1
2∗1
De donde se extraen las raíces
M1 = −1+ 2 y M2 = −1− 2
Las raíces, son reales diferentes, por tanto estamos en presencia del I Caso.
Por tanto, el conjunto fundamental de soluciones es:
y1 = e−1+ 2
y y2 = e−1− 2
Para comprobar que estas son linealmente independientes determinamos su wronskiano, ubican-
do en la primera fila las soluciones y en la segunda la primera derivada de las mismas
Wy1,y2
e−1+ 2
e−1− 2
−1+ 2e−1+ 2
−1− 2e−1− 2
= (−1− 2)e−1− 2
− (−1+ 2)e−1− 2

Wy1,y2 = (−1− 2)e−1− 2
+(1− 2)e−1− 2
= 0
N Recuerde la regla para resolver determinantes dos por dos; multiplicar los elementos per-
tenecientes a la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal
inversa
Por ser y1 y y2 linealmente independientes, la solución general es una combinación lineal de ellas
y(x) = C1e−1+ 2
+C2e−1− 2
d2
y
dx2
+4
d y
dx
+4y = 0
2. Encuentre la solución general de la E.D
d2
y
dx2
+4
d y
dx
+4y = 0
Efectuando las sustituciones de las derivadas de la solución asumida y = emx
(ver ecuación
4.11), el polinomio característico resultantes es:
m2
+4m +4 = 0
Factorizando por trinomio Cuadrado perfecto
(m +2)(m +2) = 0
Igualando cada factor a 0 y despejando
(m +2) = 0 → M1 = −2
(m +2) = 0 → M1 = −2

En este caso, las raíces son reales repetidas, por lo que para el conjunto fundamental de solu-
ciones debemos considerar el factor de multiplicidad xh
en este caso, h = 1
y1 = e−2x
y2 = xe−2x
Nótese, que la segunda solución fue multiplicada por el factor de multiplicidad, lo cual garan-
tiza la independencia lineal de las soluciones, lo cual comprobaremos a través del wronskiano.
Wy1,y2
e−2x
xe−2x
−2e−2x
e−2x
−2xe−2x = e−2x
(e−2x
−2xe−2x
) − xe−2x
∗−2e−2x
Wy1,y2 = e−4x
−2xe−4x
+2xe−4x
= e−4x
=
= 0
De esta manera se comprueba que las soluciones son linealmente independientes, por lo que la
solución general es la combinación lineal de ellas
y(x) = C1e−2x
+C2xe−2x
d2
y
dx2
+2
d y
dx
+5y = 0
3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
d2
y
dx2
+2
d y
dx
+5y = 0
El polinomio característico asociado a esta ecuación diferencial es:
m2
+2m +5 = 0
El cual factorizaremos empleando la ecuación cuadrática. Donde a = 1, b = 2 y c = 5

M =
−2± 22 −4∗1∗5
2∗1
=
−2± −16
2
(4.20)
Al tener una raíz negativa, esto nos generará una raíz conjugada compleja. Por tanto debemos
identificar α que corresponde a la parte real; en este caso α = −2
2 = −1, y β representa la parte
imaginaria, es decir: β = i 16
2
= 2i. Aplicando la fórmula 4.19
y = e−x
[C1 cos2x +C2 sen2x]
Siendo y1 = e−x
cos2x y y2 = e−x
sen2x
4.3 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas de Orden Superior de
Coeficientes Constantes
Las deducciones realizadas para una Ecuación Diferencial de orden 2, se pueden extender a E.D de
orden n. Así para la siguiente ecuación
An yn
+ An−1yn−1
+···+ A2y + A0y = 0 (4.21)
También partimos del hecho de que la solución de la misma tiene la forma general presentada en la
ecuación 4.11, y por ende al sustituir sus derivadas sucesivas, hasta el orden n podemos deducir la so-
lución de una Ecuación Diferencial Lineal Homogénea de Coeficientes Constantes, tal como sigue:
An mn
emx
+ An−1 mn−1
emx
+···+ A2 m2
emx
+ A1 memx
+ A0emx
= 0
Sacando factor común emx
emx
Anmn
+ An−1mn−1
+···+ A2m2
+ A1m + A0 = 0
Despejando emx
Anmn
+ An−1mn−1
+···+ A2m2
+ A1m + A0 = 0 (4.22)
La ecuación 4.22 es conocida como el polinomio característico o ecuación auxiliar de una ecuación
diferencial de orden n.

En este caso, resolver este polinomio, implica encontrar n raíces para lo cual se factoriza, atendiendo
al tipo de polinomio, siendo más frecuente la factorización por Rufﬁni. Al igual que en las E.D de 2do
orden, tendremos 3 casos correspondientes a cómo sean las raíces; reales diferentes, reales repetidas o
complejas.
I. Caso. Raíces Reales Distintas M1 = M2 = Mn
Si M1,M2,···Mn son raíces de un polinomio de orden n y éstas son reales y diferentes, el conjunto
fundamental de soluciones viene dado por:
y1 = eM1x
y2 = eM2x
yn = eMn x
(4.23)
Donde y1, y2,··· yn deben ser linealmente independientes, para lo cual se comprueba su wrons-
kiano de acuerdo a lo establecido en el primer apartado de este capítulo. Y si éste es diferente de 0
signiﬁca que las soluciones individuales y1, y2,··· yn son linealmente independientes, y por tanto
la solución general es una combinación lineal de ellas, tal como se muestra:
y(x) = C1eM1x
+C2eM2x
+···+CneMn x
(4.24)
II Caso. Raíces reales Iguales. M1 = M2 = Mn
Si M1,M2,··· ,Mn son raíces de un polinomio de orden n y éstas son reales pero repetidas, el con-
junto fundamental de soluciones viene dado por:
y1 = eM1x
y2 = xeM1x
+···+ xh
eM1x
(4.25)
Donde xh
, es un factor multiplicidad, donde h es el número de veces que se repite una solución
individual
y(x) = C1eM1x
+C2xeM1x
+···+Cnxh
eMn x
(4.26)
III. Caso. Raíces Complejas Conjugadas.
Si la ecuación característica tiene raíces complejas éstas deben formar pares conjugados, es decir,
(α+iβ)(α−iβ), su solución es similar a la de orden 2, siempre y cuando ninguna de las raíces esté
repetida y tiene la siguiente forma:








M1 = α1 ±iβ1 y = eα1x
cosβ1x +senβ1
M2 = α2 ±iβ2 y = eα2x
cosβ2x +senβ2
...
...
Mn = αn ±iβn y = eαn x
cosβnx +senβn









N Si hay multiplicidad en las raíces su solución viene dada por la combinación del método
para raíces complejas multiplicando por el factor de multiplicidad xh
Ejemplo 4.2
y +3y −4y = 0
Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial
y +3y −4y = 0
Para obtener el polinomio característico se asume la solución y = emx
, el cual derivamos suce-
sivamente hasta el 3er orden por ser la ecuación de este orden.
y = emx
; y = m2
emx
; y = m3
emx
Sustituyendo en la ecuación diferencial dada
m3
emx
+3m2
emx −4emx
= 0
Extrayendo factor común
emx
m3
+3m2
−4 = 0
Despejando
m3
+3m2
−4
Ecuación Auxiliar
Procederemos a continuación a factorizar el polinomio característico de la E.D mediante rufﬁ-
ni. Para aplicar esta factorización el polinomio debe estar completo, así:
m3
+3m2
+0m −4 = 0
Se toman los coeﬁcientes y se construye la siguiente tabla que se muestra en ??

Figura 4.1: Ruffini
Ejemplo 4.3
Luego de factorizar, obtenemos las raíces de este polinomio que son M1 = −2; M2 =
−2 M3 = 1. De allí que se trata de dos raíces reales repetidas y una diferente, por lo que el
conjunto fundamental de soluciones es:
y1 = e−2x
; y2 = xe−2x
y3 = ex
Dichas soluciones son linealmente independiente puesto que su wronskiano es diferente de 0, tal
como se observa a continuación:
Wy1,y2,y3



e−2x
xe−2x
ex
−2e−2x
e−2x
−2xe−2x
ex
4e−2x
−4e−2x
+4xe−2x
ex



Para resolver este determinante debemos aplicar la regla de Sarrus como se muestra en las siguien-
tes figuras:
Ejemplo 4.4
Tal como se muestra en las figuras, para encontrar este determinante multiplicamos los elementos
involucrados siguiendo las líneas de colores en la primera figura, para los términos positivos, los de
la diagonal principal y sus paralelas, posteriormente hacemos la sumatoria de los resultados, luego
efectuamos la multiplicación de los elementos involucrados siguiendo las lineas de colores pero
de la segunda figura, es decir los correpondientes a los términos negativos, diagonal secuandaria
y sus paralelas. Posteriormente hacemos la sumatoria de sus términos. El valor del determinante
será la diferencia de ambas sumatorias.

9e−3x
+2xe−3x
T ér minosPositivos
−( −6xe−3x
T ér minosNegativos
)
9e−3x
+2xe−3x
+6xe−3x
Agrupando términos
9e−3x
+8xe−3x
= 0
Al ser el determinante diferente de 0, podemos concluir que las soluciones son linealmente in-
dependientes por lo que podemos expresar la solución general como una combinación lineal de
ellas
y = C1e−2x
+C2xe−2x
+C3ex

Encuentra la solución general de cada E.D dada
y −4y = 0
y −3y −10y = 0
y −6y +9y = 0
y − y = 0
yIV
+ y + y = 0
yIV
−2y + y = 0
yIV
−3y +3y − y = 0
4.4 Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas de Coeﬁcientes Constantes
Al inicio de este guía, se caracterizó la ecuación diferencial no homogénea la cual tiene la siguiente
forma:
An(x)yn
+ An−1(x)yn−1
+···+ A2y + A1(x)y + A0(x)y = g(x) (4.27)
Escrita en su forma canónica
d2
y
dx2
+P(x)
d y
dx
+Q(x)y = g(x) (4.28)
Donde g(x) = 0 y es una función contínua en un intervalo abierto (a,b)
Combinando el principio de superposición antes descrito anteriormente y la representación de las so-
luciones de la ecuación homogénea, se obtiene la solución general de una ecuación diferencial lineal
con coeﬁcientes constantes no homogénea, de acuerdo al siguiente teorema.
Teorema 4.3
Sean yp(x) una solución particular de la ecuación homogénea
y + p(x)y + q(x)y = g(x)
y sean y1, y2 dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada
y + p(x)y + q(x)y = 0

Entonces, la solución general de la ecuación diferencial viene dada por:
y(x) = yc + yp (4.29)
Donde yc es la solución de la homogénea asociada y yp es la solución particular de la homogénea,
por lo que podemos la solución general de la ecuación diferencial no homogénea de segundo
orden, tendrá la siguiente forma:
y(x) = C1y1 +C2y2 + yp (4.30)
Recordando que este teorema se puede extender a una ecuación diferencial de orden n
El procedimiento entonces para encontrar la solución general de una ecuación diferencial no homogé-
nea de cualquier orden, consiste en determinar la solución de la ecuación diferencial homogénea aso-
ciada, a través de la deducción y posterior factorización del polinomio característico, y luego encontrar
la solución particular. Para encontrar dicha solución particular analizaremos dos métodos a saber: EL
Método de Coeficientes Indeterminados y el de Variación de Parámetros que se describen a continua-
ción. Finalmente, se escribe la solución general efectuando la combinación lineal de ambas soluciones.
4.4.1. Método de los Coeficientes Indeterminados
Este método lleva el nombre de Coeficiente Indeterminados debido a que inicialmente la solución parti-
cular que se determina tiene coeficientes desconocidos, luego parte del método consiste en determinar
dichos valores. El enfoque consiste en proponer una solución yp, que contenga uno o más coeficientes
indeterminados, esta solución debe ser semejante al término no homogéneo g(x) de la E.D no homo-
génea.
Asimismo, la solución de una yp asumida debe ser linealmente independiente con respecto a la solución
de la homogénea asociada yc. Por tanto, se debe verificar que la solución particular propuesta no sea
múltiplo de la complementaria, de así serlo la solución particular propuesta debe ser multiplicada por
el factor de multiplicidad xh
La limitación de este método es que sólo funciona de forma correcta para ciertos tipos de funciones en
g(x), tales como funciones exponenciales, polinómicas y la función seno o coseno; el producto de ellas
o la sumatoria algebraica de ellas, para este último caso se debe determinar una yp para cada término,
a su vez sólo se aplica para E.D de coeficientes constantes.
Procedimiento de Solución
1. Verificar que la función contenida en g(x) se encuentre entre las permitidas por el método, citadas
en el párrafo anterior
2. Se determina la solución de la homogénea asociada yc

3. Se asume una solución particular yp de acuerdo a g(x). Ayudarse con la tabla siguiente
4. Verificar que la solución asumida es linealmente independiente con respecto a la complementaria
(solución de la homogénea), de lo contrario multiplicar por el factor de multipicidad.
5. Derivar tantas veces como se el orden de la ecuación diferencial a resolver, y sustituir en la misma
para determinar los coeficientes desconocidos de yp
6. Escribir la solución general de la E.D efectuando la sumatoria de la solución complementaria y la
particular.
En la siguiente table, se presentan algunas posibilidades de soluciones particulares dada una g(x) espe-
cífica
g(x) yp
Pm = a0 + a1x + a2x2
+···+ anxn
(A0 + A1x + A2x2
+···+ Anxn
eax
Aeax
xh
(a0 + a1x + a2x2
+···+ anxn
)eax
eax
(A0 + A1x + A2x2
+···+ Anxn
)xh
a senkx [Akx +B senkx]xh
a coskx [Akx +B senkx]xh
a coskx +b senkx [Akx +B senkx]xh
eax
senkx Aeax
[coskx +senkx]xh
eax
coskx Aeax
[coskx +senkx]xh
eax
p(x)coskx + q(x)senkx eax
[P(x)cosax +Q(x)senkx]xh
Si el término no homogéneo
es una suma de las funcio-
nes anteriores, por el principio
de superposición, la propues-
ta de solución particular es una
suma de las correspondientes
propuestas
yp = yp1 + yp2 +···+ ypn
Tabla 4.1: Tabla de Soluciones Particulares
Donde a y k son constantes reales.
Ejemplo 4.5 Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
a.
y − y = x +1
La E.D se trata de una ecuación diferencial de tercer orden, lineal no homogénea de coeficientes
constantes. De acuerdo al procedimiento, en primera instancia debemos verificar que la función
g(x) esté entre las funciones permitidas por el método, particularmente g(x) = x+1 es una función

polinómica, por lo que se procede con el método de los coeﬁcientes indeterminados.
Ecuación Homogénea Asociada. Solución Complementaria yc
y − y = 0
Extraemos el Polinomio Característico
m3
−m2
= 0
Factorizando
m2
(m −1) = 0
Igualando a 0 y extrayendo las raíces
M1 = 0; M2 = 0 M3 = 1
Se trata entonces, de dos raíces repetidas y una diferente, por lo que el conjunto de soluciones
fundamentales es:
y1 = e0
y2 = xe0
y3 = ex
yc = C1 +C2x +C3ex
Ahora asumimos una solución particular, en este caso como g(x) es un polinomio, y de acuerdo
a la tabla anterior, yp debe ser un polinomio de igual grado completo como sigue:
yp = Ax +B
Veriﬁcamos que ésta solución es linealmente independiente con respecto a la solución comple-
mentaria, para ello debemos observar que no exista repitencia cuanto a los términos de las dos
soluciones; la complementaria y la asumida; En este caso existe doble repitencia, es decir, en
ambas soluciones se tienen términos que contienen solo constantes, y también términos que
contienen una constante por la variable independiente. Por lo que podemos decir que hay mul-
tiplicidad, y el factor es xh
= x2
. Multiplicando la solución asumida por este factor obtenemos
yp = x2
(Ax +B)
Desarrollando
yp = Ax3
+Bx2

Donde A y B son los coeficientes indeterminados que procederemos a encontrar efectuando las
derivadas sucesivas hasta tercer orden, y sustituyendo en la ecuación diferencial
yp = 3Ax2
+2Bx
Primera Derivada
yp = 6Ax +2B
Segunda Derivada
yp = 6A
Sustituyendo en la E.D
6A −(6Ax +2B) = x +1
Desarrollando
6A −6Ax −2B = x +1
x(−6A)+(6A −2B) = x +1
Al tener una igualdad de funciones del mismo tipo, podemos igualar los coeficientes del miem-
bro izquierdo con los coeficientes del miembro derecho, siempre que se trate del mismo tér-
mino en cuanto a tipo de función.
Así el coeficientes de la función x que es 6A lo podemos igualar al coeficientes de la función x
que se encuentra del lado derecho de la igualdad que es 1.
−6A = 1
6A −2B = 1
Nos resulta un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones de dos incógnitas, que pode-
mos resolver empleando el método de sustitución, igualación o reducción. De allí obtenemos el
valor de las constantes
A = −
1
6
; B = −1

Sustituimos éstos valores en la yp asumida, y obtenemos
yp = −
1
6
x3
− x2
y para escribir la solución general, efectuamos la combinación lineal de la complementaria y la
particular
y = C1 +C2x +C3ex
yc
−
1
6
x3
− x2
yp
b. y + y = 2x senx
Ecuación Homogénea Asociada. Solución Complementario yc
y + y = 0
m2
+1 = 0
Polinomio Característico
Evidentemente esto nos generará una raíz compleja ya que al despejar m, nos quedará una raíz
cuadrada de menos uno, lo cual resulta en un número complejo. Esto se factoriza como sigue:
m2
+1 = (m +i)(m −i)
Despejando m
m1 = 0−i m2 = 0+i
De donde extraemos que α = 0 (parte real entera) y β = 1 (parte real que compaña al número i)
Aplicando las deﬁniciones de raíces complejas ver d11 la solución complementaria resulta
yc = e0x
[C1 cosx +C2 senx]
yc = [C1 cosx +C2 senx]
La solución particular será similar a g(x) y como g(x) = 2x senx y de acuerdo a la tabla, yp debe
ser:
yp = (Ax +B)cosx +(Cx +D)senx

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