Ecuaciones difrenciales

1. 1
1. Introducción a las ecuaciones diferenciales

2. 2
¿Qué es una ecuación diferencial?
2
1
.
0
)
( x
e
x
y 

2
1
.
0
2
.
0 x
e
x
dx
dy 



y
x
dx
dy


 2
.
0
Imaginemos que nos dan directamente esta ecuación.
Intentaremos contestar preguntas del tipo: ¿Qué función
representa y(x)? ¿Cómo se resuelve semejante ecuación?
Ejemplo de
ecuación
diferencial
Función diferenciable en
(-, ). Su derivada es:

3. 3
¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?
Es una ecuación que contiene las derivadas de una
o más variables dependientes, con respecto a una
o más variables independientes.
Las EDs se clasifican por tipo, orden y linealidad.
y
x
dx
dy


 2
.
0
variable dependiente
variable independiente

4. 4
Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias
de una o más variables dependientes de una sola
variable independiente.
Ejemplo de EDO:
Una EDO puede contener más de una variable
dependiente:
Clasificación por tipo:
5 e
y
dx
dy x


y
x
dt
dy
dt
dx


 2

5. 5
t
u
t
u
x
u
y
u
x
u














2
0 2
2
2
2
2
2
2
2
Ecuación diferencial parcial (EDP):
Una ecuación que contiene derivadas parciales de
una o más variables dependientes de dos o más
variables independientes.
Ejemplos:

6. 6
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación con primas: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton:
Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …
En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál
es la variable dependiente y la independiente:
Notaciones
...
,
,
,
...
..
.
x
x
x
5 e
y
dx
dy x



7. 7
x
e
y
dx
dy
dx
y
d











4
5
3
2
2
Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o
EDP) es el orden mayor de la derivadas
involucradas en la ecuación.
Ejemplo:
Segundo orden Primer orden
Luego, es una EDO de segundo orden.

8. 8
Grado
El grado de una ecuación diferencial es el grado
algebraico de su derivada de mayor orden. Es decir,
el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la
que esta elevada la derivada que nos da el orden de la
ecuación diferencial.
Ejemplo:
La siguiente ecuación
diferencial:
es de primer grado, dado que la segunda derivada, que
nos da el orden de la EDO, está elevada a uno.
x
e
y
dx
dy
dx
y
d








 4
5
3
2
2

9. 9
Clasificación según la linealidad:
Se dice que una EDO de orden n es lineal si F
(en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 



 

 
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1 




 

 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a
dx
y
d
x
a n
n
n
n
n
n 
O bien:
)
(
)
(
)
(
)
( 0
1
2
2
2 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
dx
y
d
x
a 


)
(
)
(
)
( 0
1 x
g
y
x
a
dx
dy
x
a 

Dos casos importantes
para nosotros serán
las EDOs lineales de
primer y segundo
orden.