El documento describe cómo Hammuteb, un escriba babilónico, desarrolló el primer algoritmo para calcular la raíz cuadrada mediante un método iterativo. Mudena, la esposa de Hammuteb, tuvo la idea de suponer que los lados del cuadrado eran números distintos x e y, lo que permitió a Hammuteb probar valores sucesivos para aproximarse a la raíz. Tras cuatro intentos, Hammuteb encontró que la raíz cuadrada de 2025 era 45, resolviendo así el problema que le había sido encom

1. tierra. ¡En qué lío estaba metido!
Una Historia de De hecho, este problema matemático llevaba
Profundas Raíces mucho tiempo sin resolverse, según le había
explicado a Hammuteb su profesor de aritmética
José Enrique Alvarez Estrada algunos años antes. Determinar la longitud del lado
jalvarez@software.org.mx de un cuadrado sabiendo sólo su superficie, era
algo que los escribas deseaban fervientemente,
La historia sobre todo cuando tenían que repartir grandes
superficies de labranza, como en este caso. Lo
Hammuteb estaba preocupado: la nueva llamaban el cálculo de la raíz cuadrada.
encomienda que el Rey le había asignado le parecía
Claro, el cálculo siempre podía realizarse por
complicada. Tras la reciente victoria sobre sus
inspección, es decir, multiplicando un número por
vecinos, el Monarca había premiado a sus soldados
otro hasta encontrar el número de cestos de tierra
con varios cestos de tierra de superficie de
necesarios. De hecho, así se hacía hasta ese
labranza: 2025 cestos para los soldados rasos, 2401
momento: un ejército de calculistas, que trabajaban
cestos para los sargentos de tropa, 4225 para los
en las cercanías del palacio del Rey, dedicaban sus
generales y 998001 para los líderes de la
vidas a realizar tales productos, y escribir los
expedición.
resultados en tablas de arcilla, que los escribas
El cesto de tierra era una unidad de medición de como Hammuteb utilizaban. ¡Pero las tablas eran
superficie muy utilizada en la Babilonia de su pesadas y se rompían con facilidad! Además, como
época. Hammuteb, como todos los escribas, recientemente había descubierto Hammuteb,
conocía bien su uso. Para medir un terreno, unos algunas tenían errores de cálculo importantes,
esclavos transportaban un cesto completamente resultado de lo difícil que resultaba hacer tantas
lleno de tierra negra al terreno en cuestión; la tierra multiplicaciones con el primitivo sistema de
se esparcía por la superficie, hasta recubrirla de multiplicación babilónico.
forma homogénea formando un cuadrado. Después,
se marcaban las esquinas con estacas y se asentaba SUPERFICIE RAÍZ SUPERFICIE RAÍZ
en los Libros Reales la propiedad del terreno, 100 10 400 20
usando la tradicional escritura cuneiforme que los
escribas como Hammuteb practicaban con esmero 121 11 441 21
durante toda su vida. 144 12 484 22
Pero en esta ocasión el trabajo era demasiado: 169 13 529 23
¿cómo iban a transportar tal cantidad de cestos de
tierra, para tantos soldados? ¡En la batalla habían 196 14 576 24
participado más de 12 mil hombres! 225 15 625 25
Definitivamente había que encontrar otra solución. 256 16 676 26
El verdadero problema consistía en determinar la
longitud del lado del cuadrado de cada parcela. 289 17 729 27
Conociendo esa longitud, resultaba fácil trazar el 324 18 784 28
terreno y asentar en los libros reales los
361 19 841 29
correspondientes derechos de propiedad. Pero no
debía haber equivocaciones: los Sacerdotes Reales Tabla 1.- Una típica tabla babilónica de raíces cuadradas.
insistían en que las parcelas debían tener la forma Tales eran los pensamientos del escriba mientras se
exacta de un cuadrado, o los Dioses podían dirigía camino a su casa, atravesando el barrio de
enfurecerse al ver la tierra salpicada de terrenos los burócratas reales, siempre bullicioso y lleno de
trazados en forma tan irregular. Los Dioses vida. Al llegar a la puerta de su casa, lo esperaba su
enojados podían privar a la tierra de lluvia, y sin hijo Halil, un niño de apenas unos años que jugaba
lluvia no hay cosechas ni civilización. a escribir garabatos en el suelo, imitando los gestos
Y desde luego, los soldados vencedores estarían que le observaba hacer a su padre mientras escribía
más que dispuestos a ejecutar a Hammuteb, si éste en sus tablillas. Sin duda, algún día Halil sería un
por equivocación les quitaba siquiera un cesto de fiel escriba del Rey, sustituyendo a su padre en su

2. cargo. Al poco tiempo se unió a la escena Mudena, x⋅y=2025
la joven esposa de Hammuteb, quien recibió a su Y dijo: -Lo siento, Mudena, pero sigo con el
esposo con una sonrisa, un abrazo y un beso. problema de la raíz cuadrada. Necesito encontrar
Mudena tomó a Halil por la mano, interrumpiendo una forma más rápida de cálculo, o tendré muchos
su juego y conduciéndolo al interior de la casa. problemas con los soldados. Y para colmo, Halil
Era hora de ponerse a trabajar. Tal como solía salpicó arena sobre los signos, y ahí donde debía
hacer, Hammuteb comenzó alisando la arena que se decir x * x ahora dice x * y.
encontraba al frente de su casa, la cuál usaban tanto Mudena, que a la sazón llevaba varios años casada
él como Halil como tablilla de escritura con Hammuteb, estaba versada en cuestiones
improvisada. Dibujó un cuadrado casi perfecto -sus matemáticas, y conocía bien el problema de la raíz
habilidades como dibujante eran buenas- y escribió cuadrada. Y al observar los signos alterados
una x en dos de sus lados. Después, debajo del accidentalmente por Halil, tuvo una idea: -Esposo
cuadrado, escribió: mío, ¿te has parado a pensar qué sucedería si
x⋅x=2025 realmente fueran dos números distintos, x y y, los
Y dijo en voz alta: -Necesito un número que fueran la raíz?
desconocido, tal que multiplicado por sí mismo, me Al principio, Hammuteb no entendió a Mudena:
dé 2025 cestos de tierra. Continuó observando la -¡Pero cómo van a ser dos números distintos! Los
figura detenidamente, como en espera de que algo cuadrados tienen siempre lados iguales, por eso son
en ella le diera la solución que tanto estaba cuadrados.
esperando. -Sí, pero eso no importa -dijo Mudena-. Lo
En el interior de la casa se oían las risas de Halil, importante no es que realmente sean distintos, sino
que parecía estar disfrutando la persecución de suponer que lo son.
Mudena, quien diariamente lo tenía que corretear En ese momento fue que Hammuteb comprendió el
para lograr que se dejara limpiar la cara. En alcance del planteamiento de su esposa. ¿Qué
condiciones normales, Hammuteb disfrutaba de pasaría si supusiera la existencia de dos números
esta batalla diaria, pero ese día en particular el distintos, x y y, tal que multiplicados el uno por el
ruido lo distraía, y ello lo hacía sentirse irascible. otro dieran 2025? Podía asignar al hipotético y el
Al poco rato, la potencia de las voces aumentó, valor que él quisiera, para luego calcular x
indicando que se acercaban al exterior de la casa. mediante una simple división (bueno, en realidad
De pronto, Halil salió corriendo con una mirada no tan simple, porque dividir en el sistema
pícara, se escondió tras las piernas de su padre, y babilónico no era nada sencillo). Si el resultado x
gritó a Mudena: ¡A que no me atrapas! La madre obtenido era exactamente igual que el valor y
siguió los pasos del niño, y cuando estaba a punto inicial, ello sólo podía significar una cosa: había
de agarrarlo por la mano, éste salió corriendo encontrado la raíz. Pero en caso de no serlo -que
nuevamente hacia la casa, salpicando algo de arena era lo más probable-, de todas formas el valor de x
en su huida. La arena cayó sobre los trazos de proporcionaría información valiosa: si era
Hammuteb, quien en respuesta dijo al niño en tono demasiado grande, significaría que la verdadera
de enojo: -Halil, ten cuidado, papá está trabajando. raíz debía ser mayor que la y original; y en caso de
Su rostro denotaba a la vez concentración y ser demasiado pequeño, significaría lo contrario.
frustración. Mudena, que lo conocía bien, no pudo En cualquiera de los dos casos, se debería repetir el
menos que esbozar una sonrisa y acercarse a su proceso con un nuevo valor de y, que simplemente
esposo, a quien había visto muchas veces esa se podía obtener promediando los valores de x y y
misma expresión mientras trataba de resolver actuales.
problemas matemáticos: Hammuteb decidió poner la idea a prueba: supuso
-¿Qué te pasa, esposo mío? ¿Qué problema te tiene inicialmente que y = 30. Así,
hoy tan ocupado y enojado como para regañar a x⋅30=2025
Halil de esa manera?
y por tanto
Hammuteb volteó hacia el cuadrado y los signos
2025
trazados en la arena, y observó que éstos habían x= =67.5
cambiado. Ahora decía: 30
Era claro que la verdadera raíz debía ser mayor que

3. 30, y menor que 67.5. Por tanto, en la segunda ' Programa que calcula la raíz cuadrada
ocasión probó con el promedio de ambas babilónica
3067.5 ' (c) 2005, José Enrique Alvarez Estrada
=48.75 . Así:
2 ' Distribuido bajo Licencia Pública
General GNU
x⋅48.75=2025 cls
y por tanto input “Número”; N
2025 let y = 2 'El peor valor posible de y,
x= =41.5385
48.75 pero el más simple 8-D
repeat
En esta segunda ocasión, el valor y de 48.75 había
let x = N / y
resultado demasiado alto. Así que ahora debería
if x <> y then y = (x + y) / 2
probar con el promedio,
48.7541.5382 until x = y
=45.1492 : print “La raíz de “; N; “ es “; x
2
end
x⋅45.1492=2025 Ahora, con este programa elaborado, estamos en
y por tanto: condiciones de ayudar a Hammuteb a calcular
2025 rápidamente los tamaños de cuadro para las
x= =44.4083 parcelas no sólo de los soldados rasos (a quienes
45.1492
Ambos valores (45.1492 y 44.4083) ya están muy les correspondían 2025 cestos de superficie), sino
próximos, lo cuál quiere decir que la raíz cuadrada los 2401 cestos para los sargentos de tropa, los
debe ser algo cercano al promedio: 4225 para los generales y 998001 para los líderes
45.149244.4083 de la expedición.
≈45 : Por cierto, hay que señalar que este algoritmo no
2
funciona de manera perfecta en todos los casos. Al
x⋅45=2025 requerir que x y y valgan exactamente lo mismo,
y por tanto: pueden acumularse errores de redondeo en las
2025 diversas divisiones decimales llevadas a cabo por la
x= =45 computadora. Para evitarlo, pudiera modificarse la
45
instrucción until, agregándole un grado de
¡El método funcionaba! En tan sólo 4 intentos
exactitud a x y a y. Tal ejercicio queda como
había encontrado la raíz cuadrada de 2025, que
trabajo para el lector.
resultaba ser 45.
Hammuteb no podía esperar a contárselo a los
demás escribas el día siguiente. Conclusiones
Resulta interesante ver cómo la raíz cuadrada es
El Algoritmo una operación matemática importante desde
tiempos tan antiguos. Prácticamente se puede
El algoritmo en cuestión, traducido a lenguaje rastrear su necesidad en todas las civilizaciones
SmallBasic, es el siguiente: agrícolas (donde dividir terrenos en partes iguales
es vital).
Pero fueron los babilónicos los primeros en
encontrar un algoritmo para resolverla
adecuadamente. Desde luego, tanto Hammuteb
como los demás personajes de nuestra historia son
ficticios, y los verdaderos creadores del algoritmo
de la raíz cuadrada babilónica son anónimos. Pero
seguramente se trató de algún escriba, como
nuestro ficticio Hammuteb, quien lo desarrolló.
En los planes y programas de estudios de la SEP
anteriores a 1993, se incluía el aprendizaje del

4. algoritmo de la raíz cuadrada. El plan en vigor
actualmente no lo incluye, debido a la dificulta del
mismo. Sin embargo, la enseñanza del algoritmo
babilónico puede resultar más fácil y divertido para
los niños que el tradicional. Por ello se sugiere
incluirlo como ejercicio, bien sea en la materia de
matemáticas o en la de computación.
Basic es un lenguaje de programación sencillo de
aprender, con una sintaxis muy similar al inglés.
Por ello el algoritmo se expone en dicho lenguaje.
Sin embargo, resulta posible programarlo en
cualquier otro lenguaje distinto.
Como una extensión de esta idea, se pueden
calcular también raíces de mayor grado. Así por
ejemplo, la raíz cúbica calcula la longitud que
deben tener los lados de un cubo, para que
contengan en su interior un cierto número de
pequeños “cubitos”.