Este documento explica los conceptos básicos de la factorización de polinomios. Primero define la factorización y los tipos de factores comunes que pueden encontrarse en polinomios, como factores literales, números y otros polinomios. Luego, detalla los procedimientos para factorizar polinomios con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y trinomios de la forma ax2 + bx + c.
Este documento trata sobre cómo factorizar expresiones algebraicas. Explica los diferentes tipos de factorización como polinomios con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y trinomios de la forma ax^2 + bx + c. También incluye ejemplos para practicar cada tipo de factorización.
Este documento trata sobre la factorización de polinomios. Explica los diferentes tipos de polinomios que se pueden factorizar, incluyendo aquellos con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y la forma ax^2 + bx + c. También cubre la suma y diferencia de cubos. El objetivo es enseñar a los estudiantes cómo descomponer polinomios en factores.
y )( x y )
Este documento describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo: (1) encontrar un factor común, (2) identificar trinomios cuadrados perfectos y factorizarlos como cuadrados de binomios, y (3) identificar cubos perfectos y factorizarlos como cubos de binomios. También explica cómo factorizar una diferencia de cuadrados como el producto de la diferencia y la suma de sus términos.
Este documento explica diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo: factorizar polinomios de segundo grado igualándolos a cero y resolviendo la ecuación; factorizar polinomios que dan como resultado cero o una solución doble al resolver la ecuación; factorizar polinomios bicuadrados y de grado superior usando métodos como Ruffini o sacando factor común.
El documento presenta los diferentes métodos de factorización en álgebra, incluyendo factorización por factor común, diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos, y trinomios de la forma ax2 + bx + c. Explica cada método a través de ejemplos y provee ejercicios para practicar cada uno.
Este documento presenta una introducción al tema de la factorización de polinomios. Explica brevemente la historia de las matemáticas y los diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo el factor común, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y cubos perfectos. También incluye ejemplos y ejercicios de práctica para cada método.
Expresiones Algebraicas, Radicalizacion y factorizacionDanielColmenares24
Este documento presenta diferentes temas sobre expresiones algebraicas incluyendo suma, resta, multiplicación y factorización. Explica las reglas para realizar operaciones con monomios y polinomios como sumar términos comunes y ordenar los términos. También cubre productos notables y cómo usarlos para factorizar expresiones mediante el uso de fórmulas como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. El documento proporciona ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar cada tema.
Este documento trata sobre la factorización de expresiones algebraicas. Explica conceptos como factor común, máximo común divisor, trinomio cuadrado perfecto y diferentes métodos de factorización como factorizar por un monomio o polinomio común, agrupación de términos y factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Incluye ejemplos detallados de cada uno de estos métodos.
Este documento trata sobre cómo factorizar expresiones algebraicas. Explica los diferentes tipos de factorización como polinomios con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y trinomios de la forma ax^2 + bx + c. También incluye ejemplos para practicar cada tipo de factorización.
Este documento trata sobre la factorización de polinomios. Explica los diferentes tipos de polinomios que se pueden factorizar, incluyendo aquellos con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y la forma ax^2 + bx + c. También cubre la suma y diferencia de cubos. El objetivo es enseñar a los estudiantes cómo descomponer polinomios en factores.
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Este documento explica diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo: factorizar polinomios de segundo grado igualándolos a cero y resolviendo la ecuación; factorizar polinomios que dan como resultado cero o una solución doble al resolver la ecuación; factorizar polinomios bicuadrados y de grado superior usando métodos como Ruffini o sacando factor común.
El documento presenta los diferentes métodos de factorización en álgebra, incluyendo factorización por factor común, diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos, y trinomios de la forma ax2 + bx + c. Explica cada método a través de ejemplos y provee ejercicios para practicar cada uno.
Este documento presenta una introducción al tema de la factorización de polinomios. Explica brevemente la historia de las matemáticas y los diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo el factor común, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y cubos perfectos. También incluye ejemplos y ejercicios de práctica para cada método.
Expresiones Algebraicas, Radicalizacion y factorizacionDanielColmenares24
Este documento presenta diferentes temas sobre expresiones algebraicas incluyendo suma, resta, multiplicación y factorización. Explica las reglas para realizar operaciones con monomios y polinomios como sumar términos comunes y ordenar los términos. También cubre productos notables y cómo usarlos para factorizar expresiones mediante el uso de fórmulas como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. El documento proporciona ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar cada tema.
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Este documento presenta un taller sobre la factorización en matemáticas básicas. Explica cinco casos fundamentales de factorización e ilustra cada uno con ejemplos. El objetivo es familiarizar a los estudiantes con los diferentes métodos de descomponer expresiones matemáticas en factores. Finalmente, concluye que la práctica de ejercicios de factorización ayuda a recordar estas técnicas y mejorar las habilidades matemáticas.
Este documento presenta los conceptos y métodos básicos de la factorización de expresiones algebraicas. Explica cómo factorizar binomios, trinomios y polinomios utilizando diferentes técnicas como factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto y agrupación de términos. Incluye ejemplos resueltos de cada tipo de factorización.
Este documento presenta un taller sobre factorización matemática. Explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas incluyendo encontrar un factor común, factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c, y descomponer sumas y diferencias de cubos perfectos. Contiene ejemplos detallados de cada método y ejercicios resueltos para practicar la factorización.
Este documento describe varios métodos para factorizar polinomios, incluyendo: 1) factor común, 2) productos notables como diferencia de cuadrados y cuadrados perfectos, 3) suma y diferencia de cubos, y 4) agrupamiento de términos con factores comunes. Explica cada método con ejemplos para ilustrar cómo descomponer polinomios en factores.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre temas de matemáticas como trinomios, ecuaciones con radicales, ecuaciones incompletas y ecuaciones fraccionarias. Incluye ejemplos y pasos para resolver cada tipo de ecuación. El proyecto fue realizado por un grupo de estudiantes y su docente con el objetivo de facilitar la comprensión de procesos algebraicos.
Este documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas como trinomios, diferencias de cuadrados, diferencias de cubos y sumas de cubos. Describe los pasos para identificar si un trinomio es un cuadrado perfecto y cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. También explica cómo factorizar expresiones que son diferencias o sumas de cuadrados y cubos extrayendo las raíces cuadradas y cúbicas de los términos.
Este documento introduce las ecuaciones y la factorización. Explica qué es una ecuación y cómo se resuelven, incluyendo el uso de operaciones contrarias. Luego, define la factorización y proporciona ejemplos de cómo factorizar monomios, encontrar un factor común, y factorizar trinomios cuadrados perfectos. Finalmente, incluye ejercicios de práctica sobre estas ideas.
Este documento explica dos métodos para factorizar expresiones algebraicas:
1) Factorización por factor común, que involucra identificar el factor que aparece en todos los términos y escribirlo fuera de un paréntesis que contenga el resto de la expresión.
2) Factorización por agrupación, que consiste en agrupar términos de a pares y factorizar cada grupo por su factor común antes de factorizar la expresión completa por el paréntesis común. Se proveen ejemplos detallados de cada método.
Este documento presenta un taller sobre la factorización de polinomios. Explica diferentes métodos de factorización como el factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados perfectos, trinomio de la forma x2 + bx + c, entre otros. Proporciona ejemplos detallados de cada método y concluye con una breve bibliografía.
El documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo factor común, agrupación de términos, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c, y suma y diferencia de cubos. También proporciona una estrategia general para identificar qué método aplicar dependiendo del tipo de expresión.
1) El documento describe diferentes métodos de factorización de polinomios, incluyendo productos notables, factor común, diferencia de cuadrados, y trinomios cuadrados perfectos. 2) Explica cómo factorizar expresiones al sacar factores comunes como monomios o binomios, o agrupando términos con factores comunes. 3) Proporciona ejemplos detallados de cada método de factorización.
Este documento presenta 10 temas relacionados con la factorización de polinomios. En primer lugar, explica cómo extraer un factor común de un polinomio o de la suma de términos. Luego, cubre conceptos como la diferencia de cuadrados, el trinomio cuadrado perfecto y la combinación de estos con trinomios cuadrados. También aborda la factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c y la suma y diferencia de potencias impares.
Este documento presenta el temario de álgebra para el primer semestre de 2011 en la Universidad Técnica de Oruro. Incluye cinco temas principales como descomposición factorial, ecuaciones de primer y segundo grado, y potenciación. El documento también detalla la evaluación que consiste en asistencia, prácticas, dos exámenes parciales y un examen final.
Caso vi,vii,viii.ix,x factorizacion (unemi)grupo 5VANNY5
Este documento presenta un proyecto de aula sobre casos de factorización en matemáticas para los grados 6 al 10. Explica que la factorización permite simplificar expresiones algebraicas complejas en expresiones más simples para facilitar su resolución. Luego presenta ejemplos de diferentes tipos de factorización como trinomios cuadrados perfectos, trinomios de la forma x2 + bx + c, suma y diferencia de cubos, entre otros. El objetivo es mostrar de manera práctica cómo aplicar diferentes métodos de factorización algebraica.
El documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo sacar el factor común, diferencia de cuadrados, factorización de trinomios y factorización por agrupación. Proporciona ejemplos de cada método y las reglas para aplicarlos.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo: sacar factores comunes, agrupar términos, identificar trinomios cuadrados perfectos, diferencias de cuadrados perfectos, trinomios incompletos y de la forma x^2 + bx + c. También cubre cubos perfectos de binomios, sumas y diferencias de cubos y potencias iguales. El objetivo general es descomponer polinomios en factores para facilitar su resolución.
Este documento describe los conceptos básicos de la factorización y las fracciones algebraicas. Explica cómo factorizar expresiones algebraicas utilizando factores comunes, trinomios cuadrados perfectos y otros métodos. También define fracciones algebraicas y describe cómo simplificarlas y realizar operaciones como suma y resta utilizando el mínimo común múltiplo.
El documento resume diferentes métodos para factorizar polinomios. Explica cómo factorizar cuando el factor común es un monomio o polinomio, así como trinomios de la forma ax^2 + bx + c y diferencias de cuadrados. Proporciona ejemplos para ilustrar cada método de factorización.
Este documento contiene información sobre varios temas matemáticos como la factorización, números complejos, año luz y biografías de matemáticos como Gauss. Explica diferentes métodos de factorización como factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto y suma y diferencia de cubos. También incluye ejemplos y actividades de factorización.
El documento presenta los objetivos y conceptos básicos de la factorización de expresiones algebraicas. Explica que la factorización permite descomponer expresiones complicadas en productos de polinomios más simples. Luego detalla diferentes métodos para factorizar trinomios, incluyendo trinomios cuadrados perfectos y de la forma x2 + bx + c o ax2 + bx + c. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios de práctica sobre la factorización.
Este documento trata sobre productos notables en álgebra. Explica diferentes tipos de productos notables como binomios conjugados, binomios al cuadrado, binomios al cubo, binomio de Newton y binomios desarrollados mediante el triángulo de Pascal. También cubre temas como factorización de polinomios, operaciones con fracciones algebraicas y más.
Este documento presenta información sobre diferentes temas relacionados con la factorización de polinomios, incluyendo: sacar factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, combinación de trinomios cuadrados perfectos con diferencia de cuadrados, trinomios de la forma x^2 + bx + c, trinomios incompletos y suma y diferencia de potencias impares.
Este documento presenta un taller sobre la factorización en matemáticas básicas. Explica cinco casos fundamentales de factorización e ilustra cada uno con ejemplos. El objetivo es familiarizar a los estudiantes con los diferentes métodos de descomponer expresiones matemáticas en factores. Finalmente, concluye que la práctica de ejercicios de factorización ayuda a recordar estas técnicas y mejorar las habilidades matemáticas.
Este documento presenta los conceptos y métodos básicos de la factorización de expresiones algebraicas. Explica cómo factorizar binomios, trinomios y polinomios utilizando diferentes técnicas como factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto y agrupación de términos. Incluye ejemplos resueltos de cada tipo de factorización.
Este documento presenta un taller sobre factorización matemática. Explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas incluyendo encontrar un factor común, factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c, y descomponer sumas y diferencias de cubos perfectos. Contiene ejemplos detallados de cada método y ejercicios resueltos para practicar la factorización.
Este documento describe varios métodos para factorizar polinomios, incluyendo: 1) factor común, 2) productos notables como diferencia de cuadrados y cuadrados perfectos, 3) suma y diferencia de cubos, y 4) agrupamiento de términos con factores comunes. Explica cada método con ejemplos para ilustrar cómo descomponer polinomios en factores.
Este documento presenta un proyecto de aula sobre temas de matemáticas como trinomios, ecuaciones con radicales, ecuaciones incompletas y ecuaciones fraccionarias. Incluye ejemplos y pasos para resolver cada tipo de ecuación. El proyecto fue realizado por un grupo de estudiantes y su docente con el objetivo de facilitar la comprensión de procesos algebraicos.
Este documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas como trinomios, diferencias de cuadrados, diferencias de cubos y sumas de cubos. Describe los pasos para identificar si un trinomio es un cuadrado perfecto y cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. También explica cómo factorizar expresiones que son diferencias o sumas de cuadrados y cubos extrayendo las raíces cuadradas y cúbicas de los términos.
Este documento introduce las ecuaciones y la factorización. Explica qué es una ecuación y cómo se resuelven, incluyendo el uso de operaciones contrarias. Luego, define la factorización y proporciona ejemplos de cómo factorizar monomios, encontrar un factor común, y factorizar trinomios cuadrados perfectos. Finalmente, incluye ejercicios de práctica sobre estas ideas.
Este documento explica dos métodos para factorizar expresiones algebraicas:
1) Factorización por factor común, que involucra identificar el factor que aparece en todos los términos y escribirlo fuera de un paréntesis que contenga el resto de la expresión.
2) Factorización por agrupación, que consiste en agrupar términos de a pares y factorizar cada grupo por su factor común antes de factorizar la expresión completa por el paréntesis común. Se proveen ejemplos detallados de cada método.
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1) El documento describe diferentes métodos de factorización de polinomios, incluyendo productos notables, factor común, diferencia de cuadrados, y trinomios cuadrados perfectos. 2) Explica cómo factorizar expresiones al sacar factores comunes como monomios o binomios, o agrupando términos con factores comunes. 3) Proporciona ejemplos detallados de cada método de factorización.
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Este documento contiene información sobre varios temas matemáticos como la factorización, números complejos, año luz y biografías de matemáticos como Gauss. Explica diferentes métodos de factorización como factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto y suma y diferencia de cubos. También incluye ejemplos y actividades de factorización.
El documento presenta los objetivos y conceptos básicos de la factorización de expresiones algebraicas. Explica que la factorización permite descomponer expresiones complicadas en productos de polinomios más simples. Luego detalla diferentes métodos para factorizar trinomios, incluyendo trinomios cuadrados perfectos y de la forma x2 + bx + c o ax2 + bx + c. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios de práctica sobre la factorización.
Este documento trata sobre productos notables en álgebra. Explica diferentes tipos de productos notables como binomios conjugados, binomios al cuadrado, binomios al cubo, binomio de Newton y binomios desarrollados mediante el triángulo de Pascal. También cubre temas como factorización de polinomios, operaciones con fracciones algebraicas y más.
Este documento presenta información sobre diferentes temas relacionados con la factorización de polinomios, incluyendo: sacar factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, combinación de trinomios cuadrados perfectos con diferencia de cuadrados, trinomios de la forma x^2 + bx + c, trinomios incompletos y suma y diferencia de potencias impares.
Este documento presenta una introducción al tema de la factorización de polinomios. Explica brevemente la historia de las matemáticas y los diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo el factor común, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y cubos perfectos. También incluye ejemplos y ejercicios de práctica para cada método.
Este documento presenta una introducción al tema de la factorización de polinomios. Explica brevemente la historia de las matemáticas y los diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo el factor común, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y cubos perfectos. También incluye ejemplos y ejercicios de práctica para cada método.
1) El documento describe productos notables y la factorización de polinomios. Incluye ejemplos de productos notables como el cuadrado de una suma, diferencia y producto de binomios. 2) Explica cómo factorizar un polinomio extrayendo un factor común o agrupando términos. Incluye ejemplos de factorización de trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. 3) El propósito es mostrar reglas para simplificar expresiones algebraicas mediante productos notables y factorización.
1) El documento describe diferentes métodos de factorización de polinomios, incluyendo productos notables, factor común, diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos. 2) Explica cómo factorizar expresiones al sacar factores comunes como monomios o binomios, agrupar términos con factores comunes y descomponer trinomios cuadrados perfectos y diferencias de cuadrados. 3) Proporciona ejemplos detallados de cada método de factorización.
El documento presenta una introducción a la factorización de polinomios. Explica brevemente la historia de las matemáticas y los primeros matemáticos. Luego, define la factorización y presenta diferentes métodos como el factor común, la diferencia de cuadrados y el trinomio cuadrado perfecto. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios de aplicación de estos métodos.
Este documento resume cinco casos de factorización en álgebra: factor común, trinomio cuadrado perfecto, factor común por agrupación, diferencia de cuadrados y suma o diferencia de cubos. Explica cada caso con definiciones claras y varios ejemplos numéricos para ilustrar los procedimientos de factorización. El objetivo es enseñar estos diferentes casos y aplicarlos con ejercicios para que los estudiantes dominen la factorización y comprendan sus métodos.
Este documento resume cinco casos de factorización en álgebra: factor común, trinomio cuadrado perfecto, factor común por agrupación, diferencia de cuadrados y suma o diferencia de cubos. Explica cada caso con definiciones claras y varios ejemplos numéricos para ilustrar los procedimientos de factorización. El objetivo es enseñar estos diferentes casos y aplicarlos con ejercicios para que los estudiantes dominen la factorización y comprendan sus métodos.
Informe de matematica ( expresiones algebraicas)anamariawyatt1
En la siguiente presentación se observaran diferentes conceptos y ejemplos de las expresiones algebraicas, como lo son suma, resta, multiplicacion, division, valor numerico, productos notables y factorizacion.
espero sea de ayuda la informacion suministrada
El documento presenta una introducción al álgebra, incluyendo definiciones de términos como álgebra, exponentes y grado. Luego explica operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división, incluyendo ejemplos. Finalmente, cubre temas como ecuaciones cuadráticas, factorización, trinomios y productos notables.
El documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, sumas, restas, multiplicación, división y factorización. Define cada operación y provee ejemplos ilustrativos. Explica también productos notables y cómo factorizar expresiones algebraicas usando diferentes métodos como factor común, diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto. Finaliza con una bibliografía de recursos sobre el tema.
Este documento trata sobre la factorización de expresiones algebraicas. La factorización consiste en transformar una expresión algebraica en un producto de factores primos. Explica diferentes métodos para factorizar como el factor común, las identidades algebraicas, el método del aspa simple y doble. También define conceptos clave como factores primos, factores compuestos y ceros de un polinomio.
Este documento presenta información sobre factorización de polinomios. Explica que la factorización involucra expresar un polinomio como el producto de otros polinomios o potencias de polinomios. Describe dos métodos de factorización: factorización por factores comunes y factorización utilizando propiedades algebraicas como la distributiva. Incluye ejemplos detallados de cómo aplicar estos métodos para factorizar diferentes polinomios.
El documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación y reducción. La sustitución implica despejar una incógnita y sustituirla en otras ecuaciones, igualación iguala incógnitas despejadas, y reducción transforma ecuaciones para que incógnitas tengan igual coeficiente.
El documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación y reducción. La sustitución implica despejar una incógnita y sustituirla en otras ecuaciones, igualación iguala incógnitas despejadas, y reducción transforma ecuaciones para que incógnitas tengan igual coeficiente.
Este documento presenta diferentes métodos para factorizar polinomios. Comienza explicando brevemente la historia de las matemáticas y luego introduce los conceptos básicos de la factorización. A continuación, describe 13 casos específicos de factorización, incluyendo factor común, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados y suma/diferencia de cubos perfectos. Finalmente, incluye ejercicios de ejemplo para cada caso.
La factorización es el proceso de descomponer una expresión matemática en factores multiplicativos. Esto incluye encontrar un factor común, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos perfectos, y trinomios cuadrados perfectos. El objetivo es simplificar la expresión original descomponiéndola en factores.
Este documento introduce los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la noción de conjunto, elementos de un conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos por extensión y comprensión, diagramas de Venn, relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad, y operaciones básicas como unión, intersección y diferencia de conjuntos.
Este documento resume las ideas de varios pensadores sobre la construcción social del individuo. Aborda las teorías de Mary Shelley, J.W. Goethe, W. Wundt y Maurice Blanchot sobre la identidad personal. También examina las perspectivas de John Locke, William James y Julio Seoane sobre la estabilidad y vinculaciones del self o yo, y tipologías del self en la sociedad tradicional y actual.
Luis eduardo ospino_avendaño_actividad1_2_mapac foroLuis Ospino
La gerencia de proyectos de tecnología educativa incluye las siguientes etapas: 1) planificación, que implica definir el alcance, objetivos y recursos del proyecto; 2) implementación, que consiste en llevar a cabo las actividades planificadas; y 3) control y seguimiento, para garantizar que el proyecto se complete a tiempo y dentro del presupuesto.
El documento describe diferentes estrategias para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo factor común, diferencia de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos, suma y diferencia de cubos. Explica cómo identificar cada caso y los pasos para factorizar expresiones utilizando cada método. Proporciona ejemplos resueltos para ilustrar cada estrategia.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
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2. FACTORIZACIÓN Se llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión. Al proceso de encontrar los factores o divisores a partir de una expresión determinada se llama descomposición factorial o factores. En otras palabras, el factoreo, es el proceso inverso de la multiplicación y la división, en consecuencia de los productos y cocientes notables. El proceso de encontrar factores, está dependiendo de ciertas características que las expresiones algebraicas presentan.
3. Las características más comunes de polinomios factorizables, son: 1. Polinomios que tienen factores comunes. 2. Binomios con diferencias de cuadrados 3. Trinomios cuadrados perfectos 4. Trinomio de la forma ax2 + bx + c
4.
5. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS QUE TIENEN FACTOR COMÚN Un factor común está sobre la base de la ley distributiva del producto sobre la suma. La clave de la solución a estos ejercicios está en encontrar dicho factor. En algunos polinomios es fácil y en otros, se requiere de realizar procedimientos para identificarlos. ejemplo: En el polinomio: ax + bx - 3x El valor que se repite en todos los términos se denomina factor común, y en este caso es “x”
6. Cuando se identifica el término común, se escribe como coeficiente de un paréntesis, y dentro del paréntesis los cocientes de dividir cada uno de los términos, entre el factor común.
7.
8. A) Cuando el polinomio tiene letras y/o números que se repiten Identificar las letras y números que se repiten, estas serán el factor común. Si éste, se encuentra con exponente, se selecciona el que es de menor exponente. ejemplo: m2x5 + m3y4 - m4n2 El factor común es m2 Se escribe el factor común como coeficiente de un paréntesis, y dentro de éste, se coloca el cociente de dividir cada uno de los términos de la expresión original entre el factor común, identificado en el paso anterior.
9. B) Cuando los términos del polinomio tienen coeficientes que son divisibles entre si. Se obtiene el máximo común divisor (M.C.D) de todos los coeficientes de la expresión y este será parte del factor común a encontrar. Cuando existen una o varias letras que son comunes, entonces se toma la de menor exponente. ejemplos: Factorar 5x2 – 10x3y + 30x4y2 El MCD de los coeficientes 5 – 10 – 30 es 5 5 10 30 5 1 2 6 luego, la parte literal que se repite es x2 Siempre se deberá tomar la letra que tiene el menor exponente En consecuencia, el factor común es 5x2
11. C) Cuando en el polinomio se encuentran otros polinomios que se repiten Cuando se identifican polinomios agrupados que se repiten, se consideran como si fueran una sola expresión y se realizan los procedimientos descritos anteriormente. Ejemplo: Descomponer: 2x(n – 1) – 3y (n – 1). Se puede observar que el factor común es (n – 1)
12. D) POLINOMIO POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Este tipo de polinomio presenta varios factores comunes, por lo que se agrupan de acuerdo a los factores comunes identificados en cada grupo. Ejemplo: a) Factorarax + bx +ay + b Se agrupan los términos que tienen factores comunes, así: (ax + bx) + (ay + by) Se realiza el proceso de descomposición factorial de cada una de las expresiones. x (a + b) + y(a + b) luego, se descomponen utilizando el procedimiento aplicado anteriormente Respuesta: ( a + b) (x + y)
13. b) Factorar x(a + 1) - a - 1 Esta expresión equivale a escribir x(a + 1) -1 (a +1) En este caso el factor común es: (a + 1) Entonces dividimos la expresión original entre este factor común: Por lo tanto, la respuesta quedará: (x -1) ( a + 1)
14. Factorar las expresiones: 1) 3x(x – 1) – 2y(x – 1) +2(x– 1) 2) x2(m – 1 - n) - (m – 1 - n ) 3) 7a(x – y) + x – y 4) 4am3 – 12amn – m2 + 3n 5) 2a2x – 5a2y + 15by – 6bx 6) 6ax + 3a + 1 + 2x 7) nx – ny + nz + x – y + x 8) 3ax – 3x + 4y – 4ay 9) 4x(m – n) + n – m 10) d(x + y) – x – y
15. DIFERENCIA DE CUADRADOS En los productos notables se pudo ver que la suma de dos cantidades por su diferencia, es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo Siempre aparecerán dos términos que tienen raíces cuadradas exactas, separadas por un signo menos. El procedimiento para obtener la factorización de una diferencia de cuadrados es el siguiente:
18. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP) Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad. Así: a2 es un cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a, 9b2 es cuadrado perfecto por que es el cuadrado de 3b. Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se extrae la raíz de su coeficiente y se divide el exponente de cada factor literal por 2. Así, la raíz cuadrada de 16x4 es 4x2 Por productos notables sabemos que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, por tanto
19. a2 + 2ab + b2 es el trinomio cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b El procedimiento para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto es: Ejemplo: 9x2 -12 xy + 4y2 Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto. Se obtienen las raíces cuadradas del primero y tercer término raíz cuadrada de 9x2 es 3x y la raíz cuadrada de 4y2 es 2y Se obtiene el doble del producto de las raíces obtenidas anteriormente. (2) (3x) (2y) = 12xy Entonces 9x2 -12 xy + 4y2 = (3x – 2y)2
22. Existen ocasiones en que el trinomio cuadrado perfecto, se encuentra implícitamente con otros términos, es decir, pueden no aparecer tres términos, sino cuatro o más. Considere las ilustraciones siguientes: 1) Factorar: 4x2 + 25y2 – 36 + 20xy SOLUCIÓN: Se identifica el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo dentro de un paréntesis. Se ordenan 4x2+ 20xy + 25y2 – 36 Se agrupan (4x2+ 20xy + 25y2) – 36 Descomponer el trinomio cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4x2 es 2x La raíz cuadrada de 25y2 es 5y Luego 2(2x) (5y) = 20xy
23. Se verifica si el término independiente tiene raíz cuadrada exacta, en caso de no tenerlo, termina el ejercicio, pero si tiene raíz cuadrada exacta, se realiza una diferencia de cuadrado. (2x + 5y)2 – 36 Luego, se factoriza la diferencia de cuadrados. [(2x+5y)+6][(2x+5y)-6] (2x + 5y + 6) (2x + 5y - 6) respuesta
24. 2) Factorar: a2 + 2ab + b2 - 1 Encuentra los factores del polinomio siguiente: a2 + 2ab + b2 – 1 Se identifican el trinomio cuadrado perfecto (a2 + 2ab + b2 ) – 1 Se factorizan el trinomio (a + b)2 – 1 Se factorizan las diferencias de cuadrados (a + b + 1) (a + b - 1) respuesta
26. TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx +c Anteriormente se estudió en los productos notables que (3x + 5) (4x + 6) se obtiene 12x2 + 12x + 30, en la misma forma se puede realizar el procedimiento inverso así:
27. Para poder realizar el camino inverso y decir que los factores de 3x2 – 5x -2 son (x - 2) (3x + 5) descomponer en sus factores el polinomio 3x2 - 5x - 2 El primer coeficiente se deberá multiplicar por cada uno de los términos, dejando indicado el segundo término con el valor que posee y en la misma forma se deberá dividir por el mismo valor para no alterar la expresión. Lógicamente si el primer coeficiente tiene valor de uno, no se deberá hacer esta parte
28. 3(3x - 5x - 2) 3 Se multiplica todo el trinomio por el mismo factor del primer término, y dividiéndolo por el mismo factor 9x - 5(3x) - 6 3 se descompone en dos términos haciendo uso de paréntesis, escribiendo en cada uno de ellos la raíz cuadrada del primer término. (3x ) (3x ) 3 Se escribe el signo en cada paréntesis el cual se hace de la manera siguiente: a) El signo que le corresponde al primer paréntesis es el mismo que tiene el segundo término del trinomio; b) El signo correspondiente al segundo paréntesis es el resultado de la multiplicación de los signos del segundo y el tercer término del trinomio.
29. Se escribe el segundo término de los paréntesis, de acuerdo a los dos signos encontrados en el paso anterior, los cuales se hacen con los criterios siguientes: a) Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma, sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y el producto del tercer término. Estos dos números encontrados serán los segundos valores de los binomios.
30. b) Si los signos son contrarios, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y el producto sea igual al tercer término. Para que no exista la posibilidad de equivocarse, escribe siempre el número mayor en el primer paréntesis. Estos dos números encontrados, serán los segundos valores de los binomios. Como los signos que tienen los paréntesis son distintos, se buscan dos números que multiplicados resulten 6 y restados resulten 5 6 x 1 = 6 y 6 - 1 = 5 ( 3x - 6 ) ( 3x + 1 ) 3 * 1
31. Se obtiene el factor común del primer paréntesis y se simplifican si es posible 1 3 (x - 2 ) (3x + 1 ) 3 Luego: 3x2 - 5x - 2 = (x - 2) (3x + 1)
33. SUMA DE CUBOSa3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) Cuando tenemos una suma de cubos y queremos factorizarla, sacamos la raíz cúbica de las dos cantidades y estas son colocadas en un paréntesis, separadas por el mismo signo de la suma. A continuación abrimos otro paréntesis y escribimos en el la primera cantidad elevada al cuadrado, menos la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
35. DIFERENCIA DE CUBOSa3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) Cuando tenemos una diferencia de cubos y queremos factorizarla, sacamos la raíz cúbica de las dos cantidades y estas son colocadas en un paréntesis, separadas por el mismo signo de la resta. A continuación abrimos otro paréntesis y escribimos en el la primera cantidad elevada al cuadrado, más la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.