El documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas. Estos incluyen: 1) encontrar un factor común en todos los términos, 2) agrupar términos con factores comunes, 3) reconocer trinomios cuadrados perfectos, 4) factorizar diferencias de cuadrados perfectos, y 5) convertir trinomios en cuadrados perfectos mediante suma y resta. Se proveen ejemplos para ilustrar cada método.

1. 1
CASO 1
Factor Común
“Común” significa que están o que pertenezcan a todos. De tal manera que factor
común tiene el significado de las cantidades que aparecen multiplicando en todos
términos de la expresión dividiéndose en 2.
Factor Común monomio
Ejemplo:
𝑎2
+ 2a = a(a + 2) = En este caso escribimos el factor común de este monomio el
cual es “a” luego dividimos “a” sobre el monomio y el resultado dará:
𝑎2
+ 2a = a(a + 2)
Ejemplo 10𝑎2
+ 5a + 15𝑎3
= 5𝑎(2𝑎 − 1 + 3𝑎2
) En esta ecuación lo primero que se
hiso fue escribir l factor común en este caso es “5a”, luego dividimos todo el
monomio por el factor común y nos dio como resultado 𝟓𝒂(𝟐𝒂 − 𝟏 + 𝟑𝒂 𝟐
).
Factor Común polinomio
X(a+b)+m(a+b) = Los dos términos de esta expresión tienen como factor común el
binomio (a+b).
𝒙(𝒂+𝒃)
(𝒂+𝒃)
= 𝒙
𝒎(𝒂+𝒃)
(𝒂+𝒃)
= 𝒎 = Dividir los dos términos de la expresión dada entre el
factor común (a+b) y el resultado dio (x, y)
𝐱( 𝐚 + 𝐛) + 𝐦( 𝐚 + 𝐛) = ( 𝒂 + 𝒃)(𝒙 + 𝒎).
2x(a-1)-y(a-1) = primero tenemos que encontrar el factor común en este caso es
(a+b).
𝟐𝒙(𝒂−𝟏)
(𝒂−𝟏)
= 𝟐𝒙
−𝒚(𝒂−𝟏)
(𝒂−𝟏)
= −𝒚 = Al dividir los dos términos de la expresión nos dio
como resultado (2x, -y).
𝟐𝐱( 𝐚 − 𝟏) − 𝐲( 𝐚− 𝟏) = ( 𝒂 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝒚)

2. 2
CASO 2
Factor Común por Agrupación de términos
El proceso consiste en formar grupos o agrupar términos en cantidades iguales
(de dos en dos y de tres en tres) etc. Para luego factorizar cada grupo por factor
común y finalmente para volver a factorizar por factor común.
Ejemplo
2ac+bc+10a+5b = primero Formaremos dos grupos uno con los dos primero
términos y el otro con los otros dos términos.
2ac+2bc + 10a+5b = Al factorizar el primer grupo se observa que “c” es el factor
común y en el segundo grupo se observa que “5” es el factor común.
2ac+bc + 10a+5b=c(2a+b) + 5(2a+b) = Luego de resolver y factorar nos dará.
2ac+bc + 10a+5b=(2a+b)(c+5) = Es el resultado final al factorar, donde
multiplicamos el factor común por el resultado de la división del primer y segundo
grupo en este caso “c” y “5”.
Pero en el caso que el factor este desordenado se tiene que agrupar los términos
que tengan el mismo número o el mismo coeficiente.
EJEMPLO
2ac+5b + 10a+bc Al ordenarlo quedaría de ambas formas las cuales son:
2ac+bc + 10a+5b
C(2a+b) + 5(2a+b)
(c+5)(2a+b)
10a+2ac + 5b+bc
2a(5+c) + b(5+c)
(5+c)(2a+b)
Donde nos ha dado la misma respuesta.

3. 3
𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚
𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 − 𝟑𝒙𝒚 + 𝟔𝒚
Como se observa también puede agruparse por ambas maneras y al resolverlo el
resultado daría siempre el mismo
𝟐𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝒙( 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚) − 𝟐( 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚) = ( 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚)(𝒙 − 𝟐)
𝟐𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 − 𝟑𝒙𝒚 − 𝟔𝒚 = 𝟐𝒙( 𝒙 − 𝟐) − 𝟑𝒚( 𝒙 − 𝟐) = ( 𝒙 − 𝟐)(𝟐𝒙 − 𝟑𝒚)
Ejercicios:
1- 𝒂 𝟐
+ 𝒂𝒃 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙
2- 𝒂𝒎 − 𝒃𝒎 + 𝒂𝒏 − 𝒃𝒏
3- 𝒂𝒙 − 𝟐𝒃𝒙 − 𝟐𝒂𝒚 + 𝟒𝒃𝒚
4- 𝒙 + 𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 𝟐
− 𝒚 𝟐
5- 𝟒𝒂 𝟐
− 𝟏 − 𝒂 𝟐
+ 𝟒𝒂

4. 4
CASO 3
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Una cantidad es cuadrada perfecta, cuando es el cuadrado de otra cantidad, o
sea, cuando es el producto de dos factores iguales.
Así 4a² es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a
En efecto: (2a)² =(-2a)(-2a)=4a² luego, -2a es también la raíz cuadrada de 4a².
Observe que (2a)² = 2a * 2a = 4a² y 2a multiplicado por si misma da 4a², y es
la raíz cuadrada de 4a²
Raíz Cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su
coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2.
Así, la raíz cuadrada de 𝟗𝒂 𝟐
𝒃 𝟒
es de 3ab² porque (3ab²)² = 3ab² * 3ab², el
resultado será 𝟗𝒂 𝟐
𝒃 𝟒
.
La raíz cuadrada de 𝟑𝟔𝐲 𝟔
𝐲 𝟖
es 𝟔𝐱 𝟑
𝐲 𝟒
.
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea,
el producto de dos binomios iguales.
Así 𝒂 𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐
es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a+b en
efecto (𝑎 + 𝑏)2
= ( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎 + 𝑏) = 𝑎2
+ 2ab + b2
Del propio modo, (2𝑥 + 3𝑦)2
= 4𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
luego, 𝟒𝐱 𝟐
+ 𝟏𝟐𝐱𝐲 + 𝟗𝐲 𝟐
es
un trinomio cuadrado perfecto.
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el
primero y el tercer término son cuadrados perfectos (o tiene raíz cuadrada
exacta) y positivas. Y el segundo término es el doble producto de sus raíces
cuadradas.

5. 5
Así, 𝒂 𝟐
− 𝟒𝒂𝒃 + 𝟒𝒃 𝟐
es cuadrada perfecta por:
Raíz cuadrada de a² -------a
Raíz cuadrada de 4b²------2b
Y el doble producto de estas raíces: 2 * a * 2b = 4ab, da como resultado el
segundo término del trinomio anterior
Cuando no es trinomio cuadrado perfecto.
𝟑𝟔𝐱 𝟐
− 𝟏𝟖𝐱𝐲 𝟒
+ 𝟒𝐲 𝟖
6x 2y4
Este trinomio no es cuadrado perfecto porque
al multiplicar el doble producto de estas raíces
𝟔𝒙 ∗ 𝟐𝒚 𝟒
∗ 𝟐 = 𝟐𝟒𝒙𝒚 𝟒
Factorar un trinomio:
m²+2m+1 =(m*1)(m*1)=(m*1)²
m 1

6. 6
Caso 4
Diferencias de cuadrados perfectos.
Una diferencia de cuadrados se factoriza en dos binomios conjugados, formados
con las raíces cuadradas de los términos originales.
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de
estas raíces cuadradas por la diferencia entre el minuendo y el sustraendo.
EJEMPLO:
1-a²= (1+a) (1-a) = 1+a-a-a²
= 1-a²
16𝑥2
− 25𝑦4
= (4𝑥 + 5𝑦2
)(4𝑥 − 5𝑦2
)
= 16𝑥2
− 20𝑥𝑦2
+ 20𝑥𝑦2
− 25y4
= 16𝑥2
− 25𝑥𝑦4
Caso Especial:
(𝑎 + 𝑏)2
− c2
= [( 𝑎 + 𝑏) + 𝑐][( 𝑎 + 𝑏) − 𝑐]
= ( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐)( 𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
4𝑥2
− ( 𝑥 + 𝑦)2
= [2x+ ( 𝑥 + 𝑦)][2𝑥 − (𝑥 + 𝑦)]
= (2x + x + y)(2x− x − y)
= (3x+ y)(x− y)

7. 7
Combinación del Caso 3 y 4
Mediante estos términos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y
descomponiendo el caso 3 se obtiene una diferencia de cuadrados caso 4.
EJEMPLOS:
𝐚 𝟐
+ 𝟐𝐚𝐛 + 𝐛 𝟐
− 𝟏 = (𝐚 𝟐
+ 𝟐𝐚𝐛 + 𝐛 𝟐
)− 𝟏
= (𝐚 + 𝐛) 𝟐
− 𝟏
= ( 𝐚 + 𝐛 + 𝟏)( 𝐚 + 𝐛 − 𝟏)
𝐚 𝟐
+ 𝐦 − 𝟒𝐛 − 𝟐𝐚𝐦
𝐚 𝟐
− 𝟐𝐚𝐦 + 𝐦 − 𝟒𝐛 𝟐
= ( 𝐚 𝟐
− 𝟐𝐚𝐦 + 𝐦) − 𝟒𝐛 𝟐
= (𝐚 − 𝐦) 𝟐
− 𝟒𝐛 𝟐
= ( 𝐚 − 𝐦 + 𝟐𝐛)( 𝐚 − 𝐦 − 𝟐𝐛)

8. 8
Caso 5
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.
Si vemos este trinomio 𝒙 𝟒
+ 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
+ 𝒚 𝟒
no es perfecto, la raíz cuadrada 𝒙 𝟒
es 𝒙 𝟐
;
la raíz cuadrada de 𝒚 𝟒
es 𝒚 𝟐
; el doble producto de estas raíces es 2𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
; aquí
notamos que no es trinomio cuadrado perfecto.
Para convertir este trinomio en cuadrado perfecto, hay que lograr que el segundo
término 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
se convierta en 𝟐𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
, lo cual se conseguirá sumándole 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
. Pero
para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma
𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
, y tendremos:
𝒙 𝟒
+ 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
+ 𝒚 𝟒
+𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
− 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
𝒙 𝟒
+ 𝟐𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
+ 𝒚 𝟒
− 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
= (𝒙 𝟒
+ 𝟐𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
+ 𝒚 𝟒
)− 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 = (𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
) 𝟐
− 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒅𝒊𝒇. 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 = ( 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝒙𝒚)(𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒙𝒚)
𝑶𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒏𝒅𝒐 = ( 𝒙 𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐)(𝒙 𝟐
− 𝒙𝒚 + 𝒚 𝟐
)
𝟒𝒂 𝟒
+ 𝟖𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
+ 𝟗𝒃 𝟒
(𝟐𝒂 𝟐
+ 𝟑𝒃 𝟐
) 𝟐
= 𝟒𝐚 𝟒
+ 𝟏𝟐𝐚 𝟐
𝐛 𝟐
+ 𝟗𝐛 𝟒
𝟐𝒂 𝟐
𝟑𝒃 𝟐

9. 9
𝟒𝒂 𝟒
+ 𝟖𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
+ 𝟗𝒃 𝟒
+𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟒𝒂 𝟒
+ 𝟏𝟐𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
+ 𝟗𝒃 𝟒
− 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
= (𝟒𝒂 𝟒
+ 𝟏𝟐𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
+ 𝟗𝒚 𝟒
) − 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
= (𝟐𝒂 𝟐
+ 𝟑𝒃 𝟐
) 𝟐
− 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
= ( 𝟐𝒂 𝟐
+ 𝟑𝒃 𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃)(𝟐𝒂 𝟐
+ 𝟑𝒃 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃)
= ( 𝟐𝒂 𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝟑𝒃 𝟐)(𝟐𝒂 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃 + 𝟑𝒃 𝟐
)
Factor de una suma o de dos cuadrados.
Una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es
decir, factores en que no haya raíz pero hay suma de cuadrados que, sumándoles
o restándoles una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y
descomponerse
𝑎4
+ 4𝑏4
Para que se convierta en un trinomio debemos agregarle 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
, y
restarle la misma cantidad.
𝑎4
+ 4𝑏4
+𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝑎4
+ 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
+ 4𝑏4
− 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
= (𝑎4
+ 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
+ 4𝑏4
) − 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
= (𝒂 𝟐
+ 𝟐𝒃 𝟐
) 𝟐
− 𝟒𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
= ( 𝒂 𝟐
+ 𝟐𝒃 𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃)(𝒂 𝟐
+ 𝟐𝒃 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃)
= ( 𝒂 𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃+ 𝟐𝒃 𝟐)(𝒂 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒃 𝟐
)

10. 10
Caso 6
Trinomio de la forma 𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝐜
Como se sabe para factorar este trinomio, se descompone en dos binomios, cuyo
primer término es la raíz cuadrada del primer término, luego buscamos dos
numero que al sumarse den el segundo valor y al multiplicar den el tercer valor.
EJEMPLO:
𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟔 Primero debemos descomponerel trinomio en 2 binomios
(X+3) (X+2) Resultado al descomponer el trinomio
Si ambos tienen el mismo signo (+ +), (- -) se buscaran dos números que al
sumarse de “x” cantidad y al multiplicarse den “y” cantidad, cuya suma será el
valor absoluto del segundo término y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer
término. Pero si el signo no es el mismo se buscaran dos números cuya diferencia
sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor
absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de este término es el segundo
del primer binomio y el menor el segundo término del segundo binomio.
EJEMPLOS:
𝒂 𝟐
− 𝟐𝒂 − 𝟏𝟓 = ( 𝒂 − 𝟓)(𝒂 + 𝟑)
= 𝒂 𝟐
+ 𝟑𝒂 − 𝟓𝒂 − 𝟏𝟓
= 𝒂 𝟐
− 𝟐𝒂 − 𝟏𝟓
𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = ( 𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟑)
= 𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓
= 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓

11. 11
Caso 7
Trinomio de la forma 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝐜.
Son trinomios de esta forma 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟏𝒙 + 𝟓 𝟑𝒂 𝟐
+ 𝟕𝒂 − 𝟔
𝟏𝟎𝒏 𝟐
− 𝒏 − 𝟐 𝟕𝒎 𝟐
𝟐𝟑𝒎 + 𝟔, que se diferenciade los trinomios
estudiados en el caso anterior en que el primer término tiene un
coeficiente distinto de 1.
Al Factorar:
𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟑 Primero se multiplicamos el trinomio por el coeficiente de 𝒙 𝟐
que
en este caso es 6 y dejamos indicado del producto de 6(7x):
𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟑 ( 𝟔) = 𝟔( 𝟔𝒙 𝟐) + 𝟔( 𝟕𝒙) − 𝟔(𝟑)
𝟑𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟕(𝟔𝒙) − 𝟏𝟖 Ya que dejamos indicada 7(6x) luego se escribirá de la
siguiente manera
(𝟔𝒙) 𝟐
+ 𝟕(𝟔𝒙) − 𝟏𝟖 Al descomponer este trinomio por el caso anterior el primer
término de cada factor será la raíz cuadrada de (𝟔𝒙) 𝟐
(6x-9) (6x+2) Para llegar hasta aquí buscamos dos números cuya
diferencia sea 7 y cuyo producto sea -18
(6x-9) (6x+2)
6
Como al principio el trinomio se multiplico 6, ahora se tiene que
dividir entre 6

12. 12
Pero cono ninguno de los binomios es divisible por 6 se descompone 6 en 2 * 3 y
se divide (6x-9) entre 3 y (6x+2) entre 2 se tendrá:
(6x−9)(6x+2)
2∗3
= (2x− 3)(3x + 1)
= 6𝑥2
+ 2x− 9x − 3
= 6𝑥2
− 7x − 3
= 6𝑥2
− 7x− 3 = (2x− 3)(3x+ 1)
EJEMPLO:
𝟐𝟎𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟔 = (𝟐𝟎𝒙) 𝟐
− 𝟕( 𝟐𝟎𝒙) − 𝟏𝟖𝟎
(𝟐𝟎𝒙) 𝟐
− 𝟕( 𝟐𝟎𝒙) − 𝟏𝟖𝟎 =
( 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟓)(𝟐𝟎𝒙 − 𝟖)
𝟐𝟎
( 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟓)(𝟐𝟎𝒙 − 𝟖)
𝟓 ∗ 𝟒
= ( 𝟒𝒙 + 𝟑)(𝟓𝒙 − 𝟐)
= ( 𝟒𝒙 + 𝟑)(𝟓𝒙 − 𝟐)
= 𝟐𝟎𝒙 𝟐
− 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓𝒙 − 𝟔
= 𝟐𝟎𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟔 = ( 𝟒𝒙 + 𝟑)(𝟓𝒙 − 𝟐)

13. 13
Casos Especiales
Al factorar 𝟏𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟏𝒙 𝟐
− 𝟏𝟐
Al multiplicar por 15 (𝟏𝟓𝒙 𝟐
) 𝟐
− 𝟏𝟏( 𝟏𝟓𝒙 𝟐) − 𝟏𝟖𝟎
Descomponer el Trinomio ( 𝟏𝟓𝒙 𝟐
− 𝟐𝟎)( 𝟏𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟗)
El primer término de cada factor será la raíz cuadrada de ( 𝟏𝟓𝒙 𝟐).
( 𝟏𝟓𝒙 𝟐−𝟐𝟎)( 𝟏𝟓𝒙 𝟐+𝟗)
𝟏𝟓
Dividiendo por 15
( 𝟏𝟓𝒙 𝟐
− 𝟐𝟎)( 𝟏𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟗)
𝟓 ∗ 𝟑
= ( 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟒)(𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟑)
EJERCICIOS:

14. 14
CASO 8
Cubo Perfecto de binomio.
En los productos notables se vio que: (a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a− b)3
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica ordenada con
respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes
condiciones.
1- Tener cuatro términos
2- Que el primer y el último término sean cubos perfectos.
3- Que el segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz
cubica del primero término multiplicado por la raíz cubica del último término
4- Que el tercer término sea más el triplo de la raíz cúbica del primer término
por el cuadrado de la raíz del último.
Raíz cubica de un monomio.
La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica de su
coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.
Así la raíz cúbica de 𝟖𝒂 𝟑
𝒃 𝟔
es 2ab2
En efecto
(2a𝑏2
)3
= 2ab2
∗ 2ab2
∗ 2ab2
= 𝟖𝒂 𝟑
𝒃 𝟔
8𝑥3
+ 12𝑥2
+ 6x + 1 Es el cubo de un binomio
8𝑥3
= 2x Al sacar la raíz cubica a 8𝑥3
1 = 1 Al sacar la raíz cúbica de 1
3(2x)2(1) Segundo Termino
3(1)(2x)2
Tercer Termino
Factorar una expresión que es el cubo de un binomio
1 + 12a + 48𝑎2
+ 64𝑎3
= (1 + 4a)3
𝑎9
− 18𝑎6
𝑏5
+ 108𝑎3
𝑏10
− 216b15
= (a3
− 6b5
)3

15. 15
Caso 9
Suma o diferencia de cubos perfectos.
Sabemos que:
𝑎3+𝑏3
𝑎+𝑏
= 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑌 ∶
𝑎3−𝑏3
𝑎−𝑏
= 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
Y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor
del divisor por el cociente, tendremos:
𝑎3
+ 𝑏3
= (𝑎 + 𝑏)( 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
)
𝑎3
− 𝑏3
= ( 𝑎 − 𝑏)( 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2)
La formula nos dice que
REGLA 1
La suma de todos dos cubos perfectos se descomponen en dos factores:
1- La suma de sus raíces cubicas
2- El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las 2 raíces, mas el
cuadrado de la segunda raíz.
La fórmula 2 indica:
REGLA 2
1- La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores
2- La diferencia de sus raíces cubicas
3- El cuadrado de la primera raíz más el producto de las dos raíces, mas el
cuadrado de la segunda raíz
EJEMPLO:
𝑥3
+ 1 Al encontrarnos con este cubo perfecto, primero extraer raíz cúbica de
ambos.
x ,1 Luego efectuar la operación
𝑥3
+ 1 = (x + 1)[x2
− x(1)+ 12] = (x + 1)(x2
− x + 1)
= 𝑥3
− 𝑥2
+ 𝑥 + 𝑥2
− 𝑥 + 1
= 𝑥3
+ 1

16. 16
Al factorar
27𝑎3
+ 𝑏6
= 3a + b2
27𝑎3
+ 𝑏6
= (3a+ b2) = [(3a)2
− 3a(b2) + (b2
)2] = (3a + b2
)(9𝑎2
− 3ab2
+ b4
)
= 27a3
− 9a2
b2
+ 3ab4
+9a2
b2
− 3ab4
+ b6
= 27a3
+ b6
(a + 𝑏)3
+ 1 = ( 𝑎 + 𝑏) + 1
(a + 𝑏)3
+ 1 = [( 𝑎 + 𝑏) + 1][( 𝑎 + 𝑏)2
− ( 𝑎 + 𝑏)(1) + 12
]
= ( 𝑎 + 𝑏 + 1)(𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
− 𝑎 − 𝑏 + 1)}

17. 17
Caso 10
Suma o diferencia de dos potencias iguales
- El número de monomios que lo conforman son 2
- La raíz del primer y segundo monomio tienen que ser raíz n-ésimas
diferentes a las raíces cuadradas o cúbicas.
- Valido para operar tanto en suma como en resta entre los monomios
Pasos para desarrollar la factorización.
- Organizar los monomios de mayor a menor exponente
- Sacar la raíz n-ésima al primer y segundo termino
- Dividir la expresión original entre la suma o resta(de acuerdo al signo del
segundo término) de las raíces
- Igualar este término a la suma de los (n-1). En donde se observa que el
primer término comienza elevado a (n-1) y termina en 0
- Mientras que el segundo término comienza con 0 y termina en (n-1)
- Pasar a multiplicar el término ubicado en el denominador a la expresión
obtenida en el paso anterior
- Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar
EJEMPLOS:
𝑚5
+ 𝑛5
𝑚 + 𝑛
= 𝑚4
− 𝑚3
𝑛 + 𝑚2
𝑛2
− 𝑚𝑛3
+ 𝑛4
𝑚5
+ 𝑛5
= ( 𝑚 + 𝑛)(𝑚4
− 𝑚3
𝑛 + 𝑚2
𝑛2
− 𝑚𝑛3
+ 𝑛4
𝑎5
− 𝑏5
= a − b
𝑎5
− 𝑏5
𝑎 − 𝑏
= 𝑎4
+ 𝑎3
𝑏 + 𝑎2
𝑏2
+ 𝑎𝑏3
+ 𝑏4
𝑎5
+ 𝑏5
= (a + b)( 𝑎4
+ 𝑎3
𝑏 + 𝑎2
𝑏2
+ 𝑎𝑏3
+ 𝑏4)