Unidad didactica N° 02.04 - Hidrología estadistica (Distribuciones probabilisticas teóricas).pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERÍA AGRICOLA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERIA AGRÍCOLA
HIDROLOGÍA
Ing. PEDRO ALEJANDRO TINOCO GONZÁLEZ
CATEDRÁTICO DEL CURSO
DISTRIBUCIÓN
PROBABILÍSTICAS
TEÓRICAS
HIDROLOGÍA

HIDROLOGÍA
Se disponen de información hidrometeorológica (precipitación,
caudales, evaporación, evapotranspiración, temperaturas,
humedad relativa, etc), que son utilizadas con el fin de realizar
predicciones con un cierto grado de incertidumbre (probabilidad de
ocurrencia). Los registros deben de ser representados por sus
parámetros y evaluados por una prueba de bondad de ajuste.
GENERALIDADES.

HIDROLOGÍA
✓ Evaluar distribuciones probabilística que mejor represente nuestra
información.
✓ Determinar valores de diseño con determinado grado de
incertidumbre.
✓ Establecer periodos de retorno según la vida útil de la
infraestructura a proyectar.
✓ Determinar el nivel de riesgo que afrontara nuestra infraestructura
a proyectar.
IMPORTANCIA

HIDROLOGÍA
Su fórmula expresa la desviación estándar como porcentaje de la media
aritmética, mostrando una mejor interpretación porcentual del grado de
variabilidad que la desviación típica o estándar. Por otro lado presenta
problemas ya que a diferencia de la desviación típica este coeficiente es
variable ante cambios de origen. Por ello es importante que todos los valores
sean positivos y su media dé, por tanto, un valor positivo. A mayor valor del
coeficiente de variación mayor heterogeneidad de los valores de la variable; y a
menor C.V., mayor homogeneidad en los valores de la variable. Suele
representarse por medio de las siglas C.V.
Coeficiente de variación
Se calcula:
𝐶𝑉 =
𝑆
𝑋

HIDROLOGÍA
Las medidas de asimetría; son indicadores que
permiten establecer el grado de simetría (o asimetría)
que presenta una distribución de probabilidad de una
variable aleatoria sin tener que hacer su
representación gráfica. Como eje de simetría
consideramos una recta paralela al eje de ordenadas
que pasa por la media de la distribución. Si una
distribución es simétrica, existe el mismo número de
valores a la derecha que a la izquierda de la media.
Decimos que hay asimetría positiva (o a la derecha) si
la "cola" a la derecha de la media es más larga que
la de la izquierda. Diremos que hay asimetría negativa
(o a la izquierda) si la "cola" a la izquierda de la media
es más larga que la de la derecha.
Medidas de simetría y asimetría (CS).
HIDROLOGÍA

HIDROLOGÍA
El sesgo para datos muestrales, se obtiene con:
𝐶𝑆 =
𝑛2
𝑀3
𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑆3
Donde:
𝑀3 =
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑋
3
𝑛
𝑆 =
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑋
2
𝑛 − 1
𝑋 =
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛

HIDROLOGÍA
La medida de curtosis trata de estudiar la
proporción de la varianza que se explica por
la combinación de datos extremos respecto a
la media en contraposición con datos poco
alejados de la misma.
Una mayor curtosis implica una mayor
concentración de datos muy cerca de la
media de la distribución coexistiendo al mismo
tiempo con una relativamente elevada
frecuencia de datos muy alejados de la
misma. Esto explica una forma de la
distribución de frecuencias con colas muy
elevadas y con un centro muy apuntado.
Medidas de achatamiento (CK).

HIDROLOGÍA
El sesgo para datos muestrales, se obtiene con:
𝐶𝐾 =
𝑛3
𝑀4
𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑛 − 3 𝑆4
Donde:
𝑀4 =
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑋
4
𝑛
𝑆 =
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑋
2
𝑛 − 1
𝑋 =
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛

HIDROLOGÍA
Selección de
distribuciones
teóricas
Registro de
datos
Elegir una
distribución
teórica
Estimación de
parámetros
Prueba de
bondad de
ajuste
F
Utilizar distribución
teórica elegida
V
✓ Dist. normal.
✓ Dist. log normal de 2 y 3 parámetros.
✓ Dist. gamma de 2 y 3 parámetros.
✓ Dist. Pearson tipo III.
✓ Dist. log Pearson tipo III.
✓ Dist. Gumbel.
✓ Dist. Log Gumbel.
✓ Dist. Exponencial.
Ajuste bueno

HIDROLOGÍA
Intervalo promedio de tiempo en años, dentro del cual un evento de
magnitud x puede ser igualado o excedido, por lo menos una vez en
promedio.
PERIODO DE RETORNO ( T ).
P 𝑋 ≥ 𝑥 =
1
𝑇
𝑇 =
1
P 𝑋 ≥ 𝑥
Donde: P(Xx) = probabilidad de ocurrencia de un evento  x.
T = Periodo de retorno.
P 𝑋 < 𝑥 = 1 −
1
𝑇
𝑇 =
1
1 − P 𝑋 < 𝑥

HIDROLOGÍA
Tipo de estructura Periodo de retorno
Puente sobre puente importante. 50 – 100
Puente sobre carretera menos importante o alcantarillas
sobre carreteras importantes.
25
Alcantarillas sobre caminos secundarios. 5 – 10
Drenaje natural de los pavimentos, donde pueda tolerarse
encharcamientos con lluvias de corta duración.
1 – 2
Drenaje de aeropuertos. 5
Drenaje urbano. 2 – 10
Drenaje agrícola. 5 - 10
Muros de encauzamiento. 2 - 50
Periodo de retorno de diseño recomendado, para estructuras
menores

HIDROLOGÍA
DISTRIBUCIÓN NORMAL O GAUSSIANA.
f(x) : Función densidad normal de la variable x
x : variable independiente
μ : Parámetro de localización, igual a la media aritmética
 : Parámetro de escala, igual a la desviación estándar de x
La función densidad es: La función densidad Acumulada es:
f 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
F 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
න
−∞
𝑥
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
𝑑𝑥
; −∞ < 𝑥 < ∞ ;
Función continua y simétrica con respecto a μ por lo tanto el coeficiente de
simetría es cero

HIDROLOGÍA
Estimación de la función densidad acumulada:
𝐵 ෥
=
1
2
1 + 0.196854𝑍 + 0.115194𝑍2
+ 0.000344𝑍3
+ 0.019527𝑍4 −4
Ecuación con una aproximación polinomial con un error menor de 0.00025, donde
Z es un valor absoluto de Z y la distribución estándar tiene:
F(Z) = B Para Z  0.
F(Z) = 1 – B para Z ≥ 0.
Abramowitz y Stegun (1965)

HIDROLOGÍA
Masting (1955)
F 𝑍 ෥
= 1 − 𝑓 𝑍 𝑏1𝑡 + 𝑏2𝑡2
+ 𝑏3𝑡3
+ 𝑏4𝑡4
+ 𝑏5𝑡5
Aproximación polinomial con un error menor que 7.50x10-8.
𝑡: 𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 ≥ 0, 𝑐𝑜𝑚𝑜
𝑡 =
1
1 + 0.2316419 𝑍
𝐃𝐨𝐧𝐝𝐞: 𝐋𝐚𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐩𝐨𝐬𝐞𝐞𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬:
𝑏1 = 0.319381530
𝑏3 = 1.781477937
𝑏5 = 1.330274429
𝑏2 = −0.356563782
𝑏4 = −1.821255978
En las aproximaciones de las ecuaciones dadas, para la estimación de la función
de distribución acumulada, debe de tenerse presente si Z<0, la F.D.A. se calcula
como:
1 − 𝐹(𝑍)

HIDROLOGÍA
Variable aleatoria estándar (z)
La función densidad es:
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
F 𝑧 =
1
2𝜋
න
−∞
𝑧
𝑒−
1
2
𝑧2
𝑑𝑥
Para: - < Z < 

HIDROLOGÍA
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS:
APLICACIÓN EN HIDROLOGÍA
✓ Ajustes de distribuciones empíricas de variables hidrológicas de intervalos de
tiempos grandes (Medias anuales, mensuales, estacionales), que pueden ser
caudales, precipitación, entre otros.
✓ Para realizar inferencias estadísticas.
✓ Para la generación de datos por el método de Monte Carlos.
Los métodos de momentos o el método de máxima verosimilitud para hallar la
media y desviación estándar son:
ത
𝑋 = 𝜇 =
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 𝑆 = 𝜎 =
1
𝑁 − 1
෍
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 − ത
𝑋 2
1
2

HIDROLOGÍA
DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL.
y : variable independiente, es decir de ln x.
μy : Media aritmética de los logaritmos naturales de x.
y : Desviación estándar de los logaritmos naturales de x.
La función densidad es: La función densidad es:
f 𝑦 =
1
𝜎𝑦 2𝜋
𝑒
−
1
2
𝑦−𝜇𝑦
𝜎𝑦
2
F 𝑦 =
1
𝜎𝑦 2𝜋
න
−∞
𝑦
𝑒
−
1
2
𝑦−𝜇𝑦
𝜎𝑦
2
𝑑𝑦
∧ 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥
La variable aleatoria y = ln x, es normalmente distribuida con media μy y varianza y.
; −∞ < 𝑦 < ∞

HIDROLOGÍA
Variable aleatoria estándar (z)
La función densidad es:
𝑍 =
𝑦 − 𝜇𝑦
𝜎𝑦
F 𝑧 =
1
2𝜋
න
−∞
𝑧
𝑒−
1
2
𝑧2
𝑑𝑧
Para: - < Z < 
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS: Método de momentos.
El método de momentos, establece que el parámetro de posición y escala se
determinan con las relaciones siguientes:
ത
𝑋 = 𝐸 𝑥 = 𝑒𝜇𝑦+
𝜎𝑦
2
2 𝑆2 = 𝑒𝜇𝑦+
𝜎𝑦
2
2 𝑒𝜎𝑦
2
− 1
ൗ
1
2

HIDROLOGÍA
𝜇𝑦 =
1
2
𝐿𝑛
ത
𝑋2
1 + 𝐶𝑣
2
𝑦 = 𝐿𝑛 1 + 𝐶𝑣
2
𝐶𝑣 =
𝑆
ത
𝑋
= 𝑒𝜎𝑦
2
− 1
1
2
𝐶𝑠 = 𝑔 = 0.52 + 4.85𝜎𝑦
2
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS: Método de máxima verosimilitud.
El método de máxima verosimilitud, establece que el parámetro de posición y
escala se determinan con las relaciones siguientes:
𝜇𝑦 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝐿𝑛𝑥𝑖 𝜎𝑦
2 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝐿𝑛𝑥𝑖 − 𝜇𝑦
2

HIDROLOGÍA
NOTA: Cuando los valores hidrometeorológico es cero (0).
RECOMENDACIONES:
✓ Sumar 1 a todos los valores.
✓ Sumar un valor pequeño a todos los datos, por ejemplo 0.10, 0.01, 0.001, etc.
✓ Sustituir los ceros por un 1.
✓ Sustituir los ceros por un valor positivo pequeño.
✓ Ignorar todos los ceros del registro.

HIDROLOGÍA
DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL DE TRES PARAMETROS.
Xo : Parámetro de posición en el dominio x.
Z : variable independiente del modelo.
μy : Media aritmética de los logaritmos naturales de x.
y : Desviación estándar de los logaritmos naturales de x.
f 𝑥 =
1
𝑋 − 𝑋𝑂 𝜎𝑦 2𝜋
𝑒
−
1
2
𝐿𝑛 𝑋−𝑋𝑂 −𝜇𝑦
𝜎𝑦
2
F 𝑍 =
1
2𝜋
න
−∞
𝑧
𝑒−
𝑍2
2 𝑑𝑧
; 𝑥𝑜 < 𝑦 < ∞
𝑍 =
𝐿𝑛 𝑥 − 𝑥𝑜 − 𝜇𝑦
𝜎𝑦
Los parámetros y, y, xo caracterizan la distribución log – normal
de 3 parámetros.

HIDROLOGÍA
El método de momentos, establece que el parámetro de posición y escala se
determinan con las relaciones siguientes:
ത
𝑋 = 𝐸 𝑥 = 𝑋0 + 𝑒𝜇𝑦+
𝜎𝑦
2
2 𝑆2 = 𝐸 𝑥 − 𝐸(𝑥) 2 = 𝑒2𝜇𝑦+𝜎𝑦
2
𝑒𝜎𝑦
2
− 1
𝐶𝑠 = 𝑔 = 0.52 + 4.85𝜎𝑦
2
𝑥𝑜 = ത
𝑋 + 𝑒𝜇𝑦+
𝜎𝑦
2
2
𝜇𝑦 =
1
2
𝐿𝑛
𝑆2
𝑒𝜎𝑦
2 − 𝜎𝑦
2 𝜎𝑦 =
𝐶𝑠 − 0.52
4.85

HIDROLOGÍA
Los parámetros de la distribución log-normal de 3 parámetros, estimados por el
método de máxima verosimilitud son:
෍
𝑖=1
𝑁
1
𝑥𝑖 − 𝑥𝑜
𝜎𝑦
2 − 𝜇𝑦 + ෍
𝑖=1
𝑁
𝐿𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥𝑜
𝑥𝑖 − 𝑥𝑜
= 0
𝜇𝑦 =
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝐿𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥𝑜
𝜎𝑦 =
1
𝑁
෍
𝑖=1
𝑁
𝐿𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥𝑜 − 𝜇𝑦
2

HIDROLOGÍA
DISTRIBUCIÓN GAMMA DE DOS PARÁMETROS.
0 < 𝑥 < ∞
0 < 𝛼 < ∞
0 < 𝛽 < ∞
Donde:
 : parámetros de forma (+).
β : Parámetro de escala (+).
𝛤 𝛼 : Función gamma completa, definida como:

HIDROLOGÍA
Utilizando el método de momentos, las relaciones entre la media, la varianza y el
coeficiente de sesgo de la variable X y los parámetros β y  de la distribución
gamma, que se obtienen son:
𝐶𝑠 = 𝑔 =
2
𝛼 ൗ
1
2

HIDROLOGÍA
Greenwood y Durand (1960), presentó las siguientes relaciones aproximadas, de
estimación de parámetros por el método de máxima verosimilitud:
0 < 𝑦 ≤ 0.5772
0.5772 < 𝑦 ≤ 17 𝛼 =
8.898919 + 9.05995𝑦 + 0.9775373𝑦2
𝑦 17.79728 + 11.968477𝑦 + 𝑦2
Donde: 𝑦 = 𝐿𝑛 ത
𝑋 − 𝐿𝑛𝑋
Siendo:
𝛽 =
ത
𝑋
𝛼

HIDROLOGÍA
DISTRIBUCIÓN GAMMA DE TRES PARÁMETROS O PEARSON TIPO III.
HIDROLOGÍA
𝑥𝑜 < 𝑥 < ∞
−∞ < 𝑥𝑜 < ∞
0 < 𝛼 < ∞
0 < 𝛽 < ∞
Donde:
Xo : Origen de la variable x, parámetro de posición.
𝛤 𝛼 = න
0
∞
𝑒−𝑥
𝑥𝛼−1
𝑑𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛼 > 0

HIDROLOGÍA
𝐶𝑠 = 𝑔 =
2
𝛼 ൗ
1
2
Los resultados obtenidos entre la distribución log-normal y la distribución Pearson
tipo III, para el ajustes de series de precipitaciones anuales, módulos anuales,
precipitaciones mensuales, etc, no difieren.

HIDROLOGÍA
DISTRIBUCIÓN LOG-PEARSON TIPO III.
𝑥𝑜 < 𝑥 < ∞
−∞ < 𝑥𝑜 < ∞
0 < 𝛼 < ∞
0 < 𝛽 < ∞
Donde:
Xo : Origen de la variable x, parámetro de posición.

HIDROLOGÍA
𝐶𝑠 𝐿𝑛𝑥 = 𝑔 =
2
𝛼 ൗ
1
2
Los resultados obtenidos entre la distribución log-normal y la distribución Pearson
tipo III, para el ajustes de series de precipitaciones anuales, módulos anuales,
precipitaciones mensuales, etc, no difieren.

HIDROLOGÍA
DISTRIBUCIÓN GUMBEL.
−∞ < 𝑥 < ∞
0 < 𝛼 < ∞
−∞ < 𝜇 < ∞
Donde:
 : Parámetro de posición.
 : parámetros de forma.

HIDROLOGÍA
Utilizando el método de momentos, se obtiene las siguientes relaciones:
Este modelo matemático se emplea para ajustar valores de caudales máximos
anuales, precipitaciones máximas anuales, etc.

HIDROLOGÍA
DISTRIBUCIÓN LOG-GUMBEL.
−∞ < 𝑥 < ∞
0 < 𝛼 < ∞
−∞ < 𝜇 < ∞
Donde:
 : Parámetro de posición.
 : parámetros de forma.

HIDROLOGÍA
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.
𝑥 > 0
𝜆 > 0
La media y variancia de la distribución exponencial son:
El coeficiente de asimetría g es igual a 2 y es constante hacia la derecha.

HIDROLOGÍA

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