Distribuciones continuas de Probabilidad, Distribución Normal

1. Estadística II Ing. Perci Huaringa H.
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIÓN NORMAL
o Campana de Gauss-Laplace
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre
indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos
fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene
forma de campana.
En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n, p), para un mismo valor
de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a
una curva en "forma de campana".
En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas
variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal.
 Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.
ejem. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...
 Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una
misma cantidad de abono.
 Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de
individuos, puntuaciones de examen.
 Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un
medio,...
 Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
 Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.
 Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ...
Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.
FUNCIÓN DE DENSIDAD
Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de
densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la fórmula:
Dónde :
μ = Media
σ = Desviación
...1415.3
e= 2.7182…..
X = abscisa
Representación gráfica de la función de densidad normal
 
 


xexf
x
;
2
1 2
2
2



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La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su desviación típica y la
representamos así: N ( μ , σ ), es decir para cada valor de μ y σ una función de densidad distinta.
Por lo tanto N ( μ , σ ) representa una familia de distribuciones normales
Propiedades de la distribución normal: La distribución normal posee ciertas propiedades
importantes que conviene destacar:
 Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.
 La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre y es
teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.
 Es simétrica con respecto a su media μ. Según esto, para este tipo de variables existe una
probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un
dato menor.
 La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a
una desviación típica (σ). Cuanto mayor sea σ, más aplanada será la curva de la densidad.
 El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo ( μ – 1.96σ, μ + 1.96σ).
 La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ. La media indica la
posición de la campana, de modo que para diferentes valores de μ la gráfica es
desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el
grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ, más se dispersarán los
datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro
indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la
distribución.
Distribución normal estándar ( Z )
Si la variable x se distribuye N ( μ , σ2
) entonces la variable tipificada de x es



x
z
Y sigue también una distribución normal pero de μ= 0 y σ = 1, es decir N ( 0 , 1 ).
Por tanto su función de densidad es:   

zez
z
;
2
1 2
2


Característica de la distribución normal tipificada (reducida, estándar)
 No depende de ningún parámetro
 Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.
 La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY
 Tiene un máximo en este eje

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 Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1
Secuencia en el proceso de estandarización y utilización de la Tabla Normal Estándar
X=u
σ
x se distribuye N ( μ , σ2
)



x
z
u= 0
σ=1
z se distribuye N ( 0 , 1 )
Tabla de la Distribución Normal Estándar Z

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DISTRIBUCIÓN “t” DE STUDENT
William Sealy Gosset, 1876-1937, estadístico, escribió muchos estudios bajo el seudónimo de
Student. Reconoció que el uso de s en vez de σ en el cálculo de los valores de Z para su empleo
en las tablas normales no era de confiar en el caso de muestras pequeñas y que se necesitaría
otra tabla.
Ahora, el estadígrafo:
n
s
x
t


para muestras de distribuciones normales, se conoce universalmente como t de Student.
Dónde:
X : media muestral
µ : media poblacional
s: desviación estándar de la muestra
n: tamaño de la muestra
La distribución t depende del número de desviaciones independientes, es decir de los grados de
libertad
Nota: grados de libertad = n-1
t(n-1)gl: la distribución t de Student con n-1 grados de libertad
Características
a) La curva de t es simétrica.
b) Es un poco más aplanada que la distribución Z situándose un poco por debajo de Z en el
centro y por encima de ella en las colas.
c) A medida que crecen los grados de libertad, la distribución t se aproxima a la normal.

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UNIVERSIDAD INCA GARCILASO DE LA VEGA
Ejercicios de Distribución Normal y Distribución “t” de Student
1. Sea Z una distribución normal estándar, calcule las siguientes probabilidades:
a) P( 0 ≤ Z ≤ 1.96) d) P( Z ≤ 1.65)
b) P( 0 ≤ Z ≤ 1.65) e) P( Z  1.96)
c) P(-1.9 ≤ Z ≤ 2) f) P( Z  -1)
2. Sea x una variable aleatoria continua que x se distribuye N ( 15 , 9 ), calcular las siguientes
probabilidades:
a) P( x ≤ 18)
b) P( 12 ≤ x ≤ 18)
c) P( 9 ≤ x )
3. Un fabricante de motores para aviones, sabe que la duración de dichos motores, es una
variable aleatoria normalmente distribuida, con una media de 2000 horas y una desviación
estándar de 100 horas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un motor escogido al azar tenga una duración de
entre 2000 y 2075 horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un motor escogido al azar tenga una duración de
entre 1880 y 2000 horas
4. Una tienda de artículos electrodomésticos sabe por experiencia que el número de
televisores que vende al mes es una variable aleatoria con una distribución normal N
(32.3; 4.22) ¿Cuáles son las probabilidades de que en un mes determinado se vendan:
a) Más de 25 televisores?
b) Entre 30 y 34 televisores?
5. Si se sabe que las notas del curso de Estadística II en una Universidad se distribuyen
aproximadamente como una curva normal con una media de 14 y una varianza de 9; si se
elige un alumnos del curso mencionado, hallar la probabilidad de que:
a) su nota este entre el rango de 11 al 17
b) su nota sea mayor que 17
6. Si n= 21, utilizando la Distribución “t” de Student, calcular:
a) P(t > 2.528)
b) P(t < -1.725)
c) P(t > -2.528)
7. Para una muestra de tamaño 16, hallar to tal que:
a) P( t > to ) = 0.01 b) P( t > to ) = 0.95
b) P( t> to ) = 0.001 c) P( t > to ) = 0.90
8. Si n = 21, hallar:
a) P(-2.086 < t > 1.725)
b) P(t > -1.325)
c) P(t < 0.687)

6. Estadística II Ing. Perci Huaringa H.
9. Del total de asignaturas llevadas por un alumno en una universidad A, se selecciona una
muestra de diez asignaturas las cuál tiene una media y desviación estándar de 14 y 2
respectivamente. Calcular la probabilidad de:
a) P(x ≥ 18)
b) P(x ≤ 10)
c) P( 12 ≤ x ≤ 16)
10. El IQ (coeficiente de inteligencia) de 16 estudiantes de la zona del cono Norte de la
ciudad día una media de 107 con una desviación de 10; sabiendo que el IQ se distribuye
aproximadamente como una distribución normal, hallar la probabilidad:
a) P(x ≥ 100)
b) P(x ≤ 110)
c) P( 100 ≤ x ≤ 120)
11. Del total de personal femenino en una fábrica el Gerente de Recursos Humanos observa
personal femenino obrero es de talla muy baja, para verificar su percepción toma una
muestra de tamaño 25, la cual tiene una media y desviación estándar de 150 cm. y 10 cm
respectivamente. Calcular la probabilidad de:
a) P(x ≥ 160)
b) P(x ≤ 145)
c) P( 140 ≤ x ≤ 155)

7. Estadística II Ing. Perci Huaringa H.
APÉNDICE
TABLAS ESTADÍSTICAS

8. Estadística II Ing. Perci Huaringa H.
Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1879
.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549
.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621
1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015
1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177
1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319
1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441
1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545
1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633
1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706
1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767
2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817
2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857
2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890
2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4909 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916
2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936
2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952
2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964
2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974
2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981
2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986
3.0 .4986 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990
3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .4993
3.2 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .4995
3.3 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4997
3.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998
3.6 .4998 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999
3.9 .5000
Fuente: The Nacional Bureau of Standards, Tables of Normal Probability Functions, Series de Matemáticas
Aplicadas, Nro. 23 (Washington, D.C; U. S. Government Printing Office, 1953). El original contiene valores
de z de 0 a 8.285, principalmente en incrementos de 0.0001 y para áreas de µ -z a µ + z.

9. Estadística II Ing. Perci Huaringa H.
Grados de
Libertad
Áreas de cola crítica ( = α para prueba de una cola, = α/2 para prueba de dos colas)
.4 .25 .1 .05 .025 .01 .005 .0025 .001 .0005
1 0.325 1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.32 318.31 636.62
2 .289 .816 .1886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 22.327 31.598
3 .277 .765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.214 12.924
4 .271 .741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610
5 0.267 0.727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869
6 .265 .718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959
7 .263 .711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408
8 .262 .706 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041
9 .261 .703 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781
10 0.260 0.700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587
11 .260 .697 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437
12 .259 .695 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318
13 .259 .694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221
14 .258 .692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140
15 0.258 0.691 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073
16 .258 .690 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015
17 .257 .689 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965
18 .257 .688 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922
19 .257 .688 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883
20 0.257 0.687 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850
21 .257 .686 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819
22 .256 .686 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792
23 .256 .685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.767
24 .256 .685 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745
25 0.256 0.684 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725
26 .256 .684 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707
27 .256 .684 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690
28 .256 .683 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674
29 .256 .683 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659
30 0.256 0.683 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646
40 .255 .681 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551
60 .254 .679 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460
120 .254 .677 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 2.860 3.160 3.373
∞ .253 .674 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291
Nivel de confianza C = 1 - α
Prueba de una
cola .60 .75 .90 .95 .975 .99 .995 .9975 .999 .9995
Prueba de dos
colas .20 .50 .80 .90 .95 .98 .99 .995 .998 .999
Nota: Un nivel de significancia de α se asocia, por ejemplo, con un área de cola superior α en una prueba de cola superior, pero con un
área tanto superior como inferior de α/2 en una prueba de dos colas. El nivel de confianza siempre es igual a C = 1 – α. Por tanto, un
nivel de significancia de α = .05, por ejemplo, irá con un área de cola superior de .05 en una prueba de cola superior (C = 0.95), pero
con un área de cola superior de .025 en una prueba de dos colas (C = .95).
Fuente: E. S. Pearson y H. O. Hartley, Biométrica Tables for Statisticians, vol. 1 (Cambridge University Press, 1966), p. 146. Reimpreso
con licencia de Biometika Trustes (fiduciarios).
TABLA 2: DISTRIBUCIONES t DE STUDENT
La siguiente tabla contiene los valores de tα que corresponden a un
área α de cola superior dada y un número especificado de grados de
libertad. Por ejemplo, para un área de cola superior de .05 y 9
grados de libertad, el valor de tα = 1.833

10. Estadística II Ing. Perci Huaringa H.
Grados
de
libertad
Valores críticos para área de cola superior α
.99 .98 .95 .90 .80 .70 .50 .30 .20 .10 .05 .02 .01 .001
1 .0
3
157 .0
3
628 .00393 .0158 .0642 .148 .455 1.074 1.642 2.706 3.841 5.412 6.635 10.827
2 .0201 .0404 .103 .211 .446 .713 1.386 2.408 3.219 4.605 5.991 7.824 9.210 13.815
3 .115 .185 .352 .584 1.005 1.424 2.366 3.665 4.642 6.251 7.815 9.837 11.345 16.266
4 .297 .429 .711 1.064 1.649 2.195 3.357 4.878 5.989 7.779 9.488 11.668 13.277 18.467
5 .554 .752 1.145 1.610 2.343 3.000 4.351 6.064 7.289 9.236 11.070 13.388 15.086 20.515
6 .872 1.134 1.635 2.204 3.070 3.828 5.348 7.231 8.558 10.645 12.592 15.033 16.812 22.457
7 1.239 1.564 2.167 2.833 3.822 4.671 6.346 8.383 9.803 12.017 14.067 16.622 18.475 24.322
8 1.646 2.032 2.733 3.490 4.594 5.527 7.344 9.524 11.030 13.362 15.507 18.168 20.090 26.125
9 2.088 2.532 3.325 4.168 5.380 6.393 8.343 10.656 12.242 14.684 16.919 19.679 21.666 27.877
10 2.558 3.059 3.940 4.865 6.179 7.267 9.342 11.781 13.442 15.987 18.307 21.161 23.209 29.588
11 3.053 3.609 4.575 5.578 6.989 8.148 10.341 12.899 14.631 17.275 19.675 22.618 24.725 31.264
12 3.571 4.178 5.226 6.304 7.807 9.034 11.340 14.011 15.812 18.549 21.026 24.054 26.217 32.909
13 4.107 4.765 5.892 7.042 8.634 9.926 12.340 15.119 16.151 19.812 22.362 25.472 27.688 34.528
14 4.660 5.368 6.571 7.790 9.467 10.821 13.339 16.222 18.151 21.064 23.685 26.873 29.141 36.123
15 5.229 5.985 7.261 8.547 10.307 11.721 14.339 17.322 19.311 22.307 24.996 28.259 30.578 37.697
16 5.812 6.614 7.962 9.312 11.152 12.624 15.338 18.418 20.465 23.542 26.296 29.633 32.000 39.252
17 6.408 7.255 8.672 10.085 12.002 13.531 16.338 19.511 21.615 24.769 27.587 30.995 33.409 40.790
18 7.015 7.906 9.390 10.865 12.857 14.440 17.338 20.601 22.760 25.989 28.869 32.346 34.805 42.312
19 7.633 8.567 10.117 11.651 13.716 15.352 18.338 21.689 23.900 27.204 30.144 33.687 36.191 43.820
20 8.260 9.237 10.851 12.443 14.578 16.266 19.337 22.775 25.038 28.412 31.410 35.020 37.566 45.315
21 8.897 9.915 11.591 13.240 15.445 17.182 20.337 23.858 26.171 29.615 32.671 36.343 38.932 46.797
22 9.542 10.600 12.338 14.041 16.314 18.101 21.337 24.939 27.301 30.813 33.924 37.659 40.289 48.268
23 10.196 11.293 13.848 14.848 17.187 19.021 22.337 26.018 28.429 32.007 35.172 38.968 41.638 49.728
24 10.856 11.992 13.848 15.659 18.062 19.943 23.337 27.096 29.553 33.196 36.415 40.270 42.980 51.179
25 11.524 12.697 14.611 16.473 18.940 20.867 24.337 28.172 30.675 34.382 37.652 41.566 44.314 52.620
26 12.198 13.409 15.379 17.292 19.820 21.792 25.336 29.246 31.795 35.563 38.885 42.856 45.642 54.052
27 12.879 14.125 16.151 18.114 20.703 22.719 26.336 30.319 32.912 36.741 40.113 44.140 46.963 55.476
28 13.565 14.847 16.928 18.939 21.588 23.647 27.336 31.391 34.027 37.916 41.337 45.419 48.278 56.893
29 14.256 15.574 17.708 19.768 22.475 24.577 28.336 32.461 35.139 39.087 42.557 46.693 49.588 58.302
30 14.953 16.306 18.493 20.599 23.364 25.508 29.336 33.530 36.250 40.256 43.773 47.962 50.892 59.703
Nota: Cuando el número de grados de libertad excede de 30, la distribución
2
 puede ser aproximada por la distribución normal, pero
la tabla original de Fisher/Yates contiene valores hasta 70 grados de libertad.
Fuente: Ronald A. Fisher y Frank Yates, Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research, 6ª edición, (Nueva York,
Hafner, 1963), p.47
TABLA 3: DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO
Esta tabla contiene los valores de α que corresponden a un
área dada de la cola superior, , y a un número específico de grados
de libertad. Por ejemplo, para un área de cola superior de .05 y 4
grados de libertad, el valor crítico de .05 es 9.488