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1. ESTADÍSTICA INFERENCIAL
UNIDAD 3
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:
MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD
PARTE 1

2. OBJETIVOS
 Describir las características de la distribución de probabilidad normal y
exponencial.
 Calcular la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar de un
experimento aleatorio en distribuciones continuas.
 Determinar la probabilidad de que una observación este entre dos valores de
una distribución, utilizando la distribución normal estándar.
 Utilizar la distribución de probabilidad normal para aproximar la distribución de
probabilidad binomial.

3. CARACTERISTICAS
 Una variable aleatoria continua es la que puede tomar un
número infinito de valores dentro de un número infinito
de valores dentro de un intervalo.
 La contraparte de la distribución de probabilidad discreta
es la función de densidad de probabilidad. f(x). Esta no
da probabilidades directamente, sino un área en la curva
f(x) que es el intervalo donde la variable aleatoria tome
un valor.
 Una diferencia entre las VAD y VAC, es cómo se calculan
las probabilidades.

4.  En la siguiente distribución de frecuencias se muestra el peso en kg de 44
recién nacidos, así mismo se muestra el polígono de frecuencias; realizar un
análisis al respecto considerando la variable y sus características.
Peso (Kg) f
1 - 1,99 4
2 - 2,99 10
3 - 3,99 20
4 - 4,99 8
5 - 5,99 2
44 0
5
10
15
20
25
1 - 1,99 2 - 2,99 3 - 3,99 4 - 4,99 5 - 5,99
Frecuencia Peso (Kg)
Distribución de frecuencias de recien nacidos por peso

5. CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
NORMAL
 La curva normal es acampanada y presenta un solo pico en el
centro de la distribución.
 Es simétrica con respecto a su media. Si se corta la curva normal
verticalmente en este valor central, ambas mitades serán iguales.
 La media aritmética, mediana y moda de la distribución son
iguales y están localizadas en el pico.
 La curva decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del
valor central.

6. µ ± σ
µ ± 2σ
µ ± 3σ
2
2
1
.
2
1
)
(





 

 



x
e
x
f

7. Ejemplo: (datos adaptados de Lind/Marshall)
Una prueba del tiempo de vida útil de baterías alcalinas tipo D, reveló que su tiempo
medio de vida es 19.0 horas. La distribución de los tiempos de vida se aproxima a
una distribución normal. La desviación estándar de la distribución es 1.2 hrs
 Datos:
 µ = 19
 σ = 1,2
a) ¿Entre que par de valores falla alrededor de
68% de las baterías?
µ ± σ
19 ±1,2
17,8 y 20,2
b) ¿Entre que par de valores falla
aproximadamente 95% de las baterías?
µ ± 2σ
19 ± 2(1,2)
16,6 y 21,4
c) ¿Entre que par de valores fallan prácticamente
todas las baterías?
µ ± 3σ
19 ± 3(1,2)
15,4 y 22,6

8.  Toda familia de distribuciones normales se diferencia por medio de dos
parámetros : la media µ y la desviación estándar σ.
 La σ determina qué tan plana y ancha es la curva normal. σ grandes
corresponden a curvas más planas y más anchas, que indica mayor variabilidad
en los datos.
σ = 3.1
σ = 5.0
µ= 20
σ = 1.6
µ= 283 µ= 301

9. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR (O TIPIFICADA)
 La distribución normal estándar es una distribución normal con media cero y
desviación estándar de 1.
 También es llamada distribución z.
 Un valor z es la distancia entre un valor seleccionado llamado x, y la media de la
población µ, dividida entre la desviación estándar, σ.
La fórmula es:
z=
𝑋 −µ
σ
uso de la tabla de
pg 782. Libro Lind/Marshall

10. Tipos de probabilidades que se necesita
calcular:
1.- La probabilidad de que la variable aleatoria normal estandar z sea menor o igual que un valor
dado.
Ejemplo: P(z ≤ 1)= 0,5 + 0,3413 = 0,8413
2.- La probabilidad de que z este entre dos valores
Ejemplo: P(-0,5 ≤ z ≤ 1,25 = 0,3944+0,1915=0,5859
3.- La probabilidad de que z sea mayor o igual que un valor dado
Ejemplo: P(z ≥ 1,58)= 0,5-0,4429=0,0571

11.  (nota adaptada de Lind/Marshall pg 238)

13. Tipos de probabilidades que se necesita
calcular:
Ejercicios
1.- P(0 ≤ z ≤ 1,5)=
2.- P(-1,57 ≤ z ≤ 0) =
3.- P(z ≥ 0,44)=
4.- P(z ≥ - 0,23)=
5.- P(z< 1,20) =
6.- P(z ≤ -0,71)=

14. Tipos de probabilidades que se necesita
calcular:
Ejercicios
1.- P(0 ≤ z ≤ 1,5)=
2.- P(-1,57 ≤ z ≤ 0) =
3.- P(z ≥ 0,44)=
4.- P(z ≥ - 0,23)=
5.- P(z< 1,20) =
6.- P(z ≤ -0,71)=

15. APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA
(datos adaptados de Lind/Marshall)
La temperatura del café que vende Mistercafe
sigue una distribución de probabilidad normal
con una media de 150 grados. La desviación
estándar de esta distribución es de 5 grados.
a) ¿cuál es la probabilidad de que la
temperatura del café esté entre los 150 y 154
grados?
Datos:
 µ = 150
 σ = 5
 x=150 y x=154
Para x=150
Para x=154
P(150 ≤ x ≤ 154)= P(0 ≤ z ≤ 0,80)
= 0 + 0,2881
= 0,2881
z=
𝑋 −µ
σ
z=
150 −150
5
= 0
z=
154 −150
5
= 0,80

16. APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA
(datos adaptados de Lind/Marshall)
La temperatura …...
b) ¿ cuál es la probabilidad de que la
temperatura del café sea de más de 164
grados?
Datos:
 µ = 150
 σ = 5
 X >164
Para x=164
P( x >164)= P(z > 2,80) = 0,5 – 0,4974 = 0,0026
z=
164 −150
5
= 2,80

17. APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA
(datos adaptados de Lind/Marshall)
La temperatura …...
c) cuál es la probabilidad de que la
temperatura del café esté entre 146 y 156
grados?
Datos:
 µ = 150
 σ = 5
 x=146 y x=156
Para x=146
Para x=156
P(146 ≤ x ≤ 156)= P(-0,80 ≤ z ≤ 1,20)
= 0,2881 + 0,3849
= 0,673
z=
146 −150
5
= -0,80
z=
156 −150
5
= 1,20

18. APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA
(datos adaptados de Lind/Marshall)
La temperatura …...
d) cuál es la probabilidad de que la
temperatura del café sea de más de 156 grados
pero menos de 162 grados?
Datos:
 µ = 150
 σ = 5
 x=156 y x=162
Para x=156
Para x=162
P(156 ≤ x ≤ 162)= P(1,20 ≤ z ≤ 2,40)
= 0,4918 - 0,3849
= 0,1069
z=
156 −150
5
= 1,20
z=
162 −150
5
= 2,40

19. APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA
(datos adaptados de Fernández Ch.)
Los coeficientes de inteligencia (CI) de un
grupo de pacientes tienen aproximadamente
una distribución normal, con media de 100 y
una desviación estándar típica de 10. se pide:
a) hallar la proporción de pacientes con CI
mayores que 125.
Datos:
 µ = 100
 σ = 10
 X >125
Para x=125
P( x >125)= P(z > 2,50) = 0,5 – 0,4938 = 0,0062
b) ¿cuál es la probabilidad de que un paciente
elegido al azar entre los de esa población,
tenga una CI entre 105 y 115?
z=
125 −100
10
= 2,50

20. APROXIMACIÓN DE LA NORMAL A LA BINOMIAL
Cuando se debe utilizar la aproximación normal a la binomial? Cuando
n*p y n(1-p), son por lo menos 5
una distribución discreta de probabilidad que se basa en un experimento aleatorio, tiene
las siguientes características:
 El experimento consiste en una serie de n ensayos idénticos de un experimento.
 En cada ensayo hay dos resultados posibles.(éxito, fracaso)
 La probabilidad de éxito (p), no cambia de un ensayo a otro. La probabilidad de
fracaso q = (1-p)tampoco.
 Los ensayos son independientes lo cual significa que el resultado de un ensayo no
afecta al resultado de algún otro.
𝑃 𝑥 = nCx ∗ 𝑝𝑥 ∗ 𝑞𝑛−𝑥

21. APROXIMACIÓN DE LA NORMAL A LA BINOMIAL
Se utiliza el factor de corrección por continuidad; el valor 0.5 que se resta o se
suma dependiendo de la situación.
Como se aplica el factor de corrección:
 Para la probabilidad de que por lo menos ocurra x, se usa el área sobre los
valores mayores que (X-0.5)
 Para la probabilidad de que ocurran mas de X, se usa el área sobre los valores
menores que (X+0.5)
 Para la probabilidad de que ocurran X o menos, se usa el área sobre los valores
menores que (X+0.5)
 Para la probabilidad de que ocurran menos de X, se usa el área sobre los
valores menores que (X-0.5)
𝑃 𝑥 = nCx ∗ 𝑝𝑥 ∗ 𝑞𝑛−𝑥

22. APROXIMACIÓN DE LA NORMAL A LA BINOMIAL
Ejemplo.-
La gerencia de la Pizzería Eli´s encontró
que 70% de sus nuevos clientes regresa a
su establecimiento. En una semana en que
hubo 80 consumidores nuevos ¿Cuál es la
probabilidad de que 60 o mas regresen en
otra ocasión?
Datos:
P = 0,70
n = 80
X ≥ 60
𝑃 𝑥 = nCx ∗ 𝑝𝑥 ∗ 𝑞𝑛−𝑥
𝑃 𝑥≥60 = P x = 60 + P x = 61 + P x = 62 +. . .
Ex = 𝜇 = n ∗ 𝑃 = 80 ∗ 0,70 = 56
z=
𝑋 −µ
σ
σ2 =n * P * q =80*0,70*0,30 =16,8
σ = 𝟏𝟔, 𝟖 = 4,10
z=
59,5 −56
4,10
= 0,85

23. Resolver ejercicios
impares páginas
239, 241, 245, 246 del
libro de Lind/Marschall

24. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL
 La variable aleatoria exponencial, es el tiempo que transcurre hasta que se da el primer
evento de Poisson. Es decir, la distribución exponencial puede modelar el lapso entre dos
eventos consecutivos de Poisson que ocurren de manera independiente y a una frecuencia
constante.

0.33

25. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL
 Se aplica a variables como las llegadas de automóviles a un
lavado de coches, tiempos requeridos para cargar un camión,
distancias entre dos averías, etc.
P(x < xi) = 1 - ⅇ
−
𝑥
𝜇
P(x> xi) = ⅇ
−
𝑥
𝜇
l
exponencia
ad
probabilid
de
densidad
de
Función
0
0,
x
para
e
1
)
x
(
f
x




 


26. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo.-
Datos adaptados de Lind/Marshall
Las órdenes para pedidos de medicamentos
por recetas llegan a FARMACORP virtual de
acuerdo con una distribución exponencial a
una media de una cada 20 segundos.
Encuentre la probabilidad de que la siguiente
orden llegue:
a) en menos de 5 segundos;
b) en más de 40 segundos y
c) entre 5 y 40 segundos.
Datos:
𝝁 = 20
a) para x=5
P(x < 5) = 1 - ⅇ−
5
20 = 1 – 0,7788 =0,2212
b) Para x= 40
P(x > 40) = ⅇ−
40
20 = 0,1353
c) Para 5<x<40
P(5<x<40)= P(x<40) – P(x<5)
= (1 - ⅇ−
40
20 ) – 0,2212 = 0,8647 – 0,2212
= 0,6435

27. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo.-
Datos adaptados de Lind/Marshall
Un foco posee una vida media de 150 días
días. Encuentre la probabilidad de que:
a) El tiempo de falla sea mayor a 200 días
Datos:
𝝁 = 150
a) Para x= 200
P(x > 200) = ⅇ−
200
150 = 0,2636

28. Resolver ejercicios
impares páginas
250 del libro de
Lind/Marschall