Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística para un curso universitario de ingeniería de minas. Introduce conceptos como experimento, espacio muestral, eventos, probabilidad de eventos, variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, esperanza matemática y varianza. También cubre intervalos de confianza, pruebas de hipótesis y niveles de significancia. El objetivo es proporcionar herramientas estadísticas para que los ingenieros puedan tomar decisiones informadas bajo condiciones de in

1. UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y METALURGIA
ESCUELA ACADÉMICA: Ingeniería de minas
CURSO: Estadística
AÑO Y SEMESTRE ACADÉMICO: 2015 – II
CICLO: V
DOCENTE: SALDAÑA MIRANDA, Marcela Yvone
RESPONSABLES:
FUENTES TOLEDO, Waldir
HUERTA SOTELO, Ray
OCAMPO ENRIQUE, Marco
ROSARIO HURTADO, Vlademir
ZAVALETA TRUJILLO, Leonel
Trabajo De Investigación

2. INTRODUCCION
Es difícil exagerar la importancia de la teoría de probabilidades, en muchos
problemas de ingeniería necesitamos tomar decisiones frente a la incertidumbre. Para
un ingeniero posiblemente no tiene sentido en preguntarse durante cuánto tiempo
funcionara un determinado mecanismo pero si tendrá tiempo en preguntarse cuál es la
probabilidad de que este mecanismo funcione más de diez horas.
Para un fabricante a gran escala tendrá sentido preguntarse qué porcentaje de
sus productos serán aceptados en el mercado. En la mayoría de los casos hay que
tomar decisiones en base a los experimentos y que sean aleatorios.

3. PROBABILIDADES
EXPERIMENTO:
Se utiliza para describir un proceso que genera un conjunto de datos cualitativos
o cuantitativos. En la mayoría de los casos los resultados del experimento dependen del
azar no pueden pronosticarsecon exactitud, los experimentos pueden serde dos clases:
a) EXPERIMENTO DETERMINISTICO.- Si los resultados del experimento están
completamente determinados y pueden describirse por una forma matemática
llamada método determinístico.
EJEMPLO
 Lanzar una pelota a una tina de agua
b) EXPERIMENTO NO DETERMINISTICO.- Si los resultados del experimento no
pueden determinarse con exactitud antes de determinar el experimento y se
denota por Ԑ.
EJEMPLO
 Ԑ1: Lanzar tres monedas y observar la cara superior
1° 2° 3° RESULTADO
C CCC
C
C S CCS
C CSC
S
S CSS
C SCC
C
S S SCS
C SSC
S
S SSS
Diagrama del árbol

4.  Ԑ2: Lanzar dos dados y observar la cara superior
1 2 3 4 5 6
1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)
Cuadro de doble entrada
ESPACIO MUESTRAL (Ω):
Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento
EJEMPLO
Hallar los espacio muestral del ejemplo anterior:
 Ω1: {CCC; CCS; CSC; CSS; SCC; SCS; SSC; SSS}
 Ω2: {(1;1), (1;2), (1;3),………..….., (6;4), (6;5), (6;6)}
EVENTOS:
Es un subconjunto del espacio muestral se representa por las letras mayúsculas del
abecedario.
EJEMPLO
Del conjunto 1 y 2 hallar los eventos
 Z: Que las monedas sean iguales ↔Z: {CCC; SSS}
 P: Que la primera sea cara ↔ P: {CCS; CSC; CCC; CSS}
 Y: Que la primera sea menor que tres ↔Y: { (1;1) }
 R: Que los dos datos sean iguales ↔R: {(1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5),
(6;6) }
SUCESO:
Es todo elemento del espacio muestral o de un evento
OPERACIONES CON EVENTOS:

5. i. UNION.- Dados los eventos A y B que consiste que todos los elementos del
espacio muestral que pertenecen a A o a B o a ambos de este modo.
AUB = {W Є Ω / W Є A V W Є B}
Ω Ω
AUB AUB
ii. INTERSECCION.- Dados los eventos A y B; que consiste que todos los puntos
muestrales son comunes de A y B.
Ω
A∩B
iii. DIFERENCIA.- A y B son dos eventos que consiste que todos los puntos
muestrales que los puntos de A no pertenecen a B.
Ω
A-B
iv. MUTUAMENTE EXCLUYENTES.- Dos eventos A y B son mutuamente
excluyentes si no ocurren juntos es decir:
Ω
A∩B=ø
ALGEBRA DE EVENTO
1. A U B = A
A ∩ B = A
2. A U B = B U A
A ∩ B = B ∩ A
3. A U AC
= Ω
A ∩ AC
= ø
4. A U Ω = Ω
A ∩ Ω = A
A B A B
A B
A B
A B

6. 5. A U ø = A
A ∩ ø = ø
6. ΩC
=ø; øC
= Ω; (AC
)C
= A
7. A U (B ∩ C) = (A U B) ᴧ (A U C);
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) v (A ∩ C)
8. (A U B)C
= AC
∩ BC
(A ∩ B)C
= AC
U BC
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
Axiomas:
 Axioma N° 01
P(A) ≥ 0
 Axioma N° 02
P(Ω) = 1
 Axioma N° 03
0 ≤ P(A) ≤ 1
Teoremas:
 Teorema N° 01
P(ø) = 0
 Teorema N° 02
P(Ā) = 1.P(A); P(A) = 1.P(A)
 Teorema N° 03
A C B → P(A) ≤ P(A)
 Teorema N° 04
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)}→P(AB)
* Si se tiene tres eventos tenemos como resultado
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
𝑃(𝐴/𝐵) =
𝑃(𝐴𝐵)
𝑃(𝐵)
Donde: P(B) > 0
REGLA DE LA MULTIPLICACION:
P(A B) = P(A) . P(B/A)
Generalizando tenemos:
P(A B C) = P(A) . P(B/A) . P(C/A B)

7. EVENTOS INDEPENDIENTES:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
PARTICION DE UN ESPACIO MUESTRAL
Se denomina partición de un espacio muestral a un conjunto de eventos A1, A2,…, AK
no vacío mutuamente excluyentes y cuya unión es el espacio muestral
A2 A4
A1 A3 A5………………………….. AK
PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES
PROBABILIDAD TOTAL:
Si K eventos A1, A2,……, AK constituyen una partición del espacio muestral
entonces para cualquier evento en el espacio muestral se tiene:
P(B) = P(A1) . P(B/A1) + P(A2) . P(B/A2) + ………. + P(AK) .P(B/AK)
𝑃( 𝐵) = ∑ 𝑃( 𝐴 𝑖).𝑃(
𝐵
𝐴 𝑖
)
𝐾
𝑖=1
TEOREMADE BAYES:
Si los K eventos A1, A2,……, AK constituyen una partición del espacio muestral
para cualquier evento B del espacio muestral se tiene:
𝑃 (
𝐴 𝑖
𝐵
) =
𝑃( 𝐴 𝑖). 𝑃 (
𝐵
𝐴 𝑖
)
𝑃( 𝐵)

8. A1∩B..........................................AK∩B
Donde: P(B) > 0
Ω
B
A1 ………………… AK
VARIABLES ALEATORIAS
Se denomina variable aleatoria a una variable estadísticacuantitativa definida en
un espacio muestral las variables aleatorias se clasifican en variables aleatorias
discretas y variables aleatorias continuas.
EJEMPLO
Ω = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}
Interés número de caras
CCC 3
CCS
CSC 2
SCC
SSC
SCS 1
CSS
SSS O
1) VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.- Es aquella entre cuyos valores
posibles no admite otros. Su rango es un conjunto finito o infinito numerable
FUNCION PROBABILIDAD

9. 0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4
Condición:
 f(x) > 0; ∀ x Є R
 ∑ 𝑓( 𝑥) = 1𝑋𝑖∈ 𝑅
 𝑃( 𝐴) = ∑ 𝑃[ 𝑋 = 𝑋𝑖] = ∑ 𝑓( 𝑋𝑖)𝑋𝑖∈𝐴
Representación tabular
X X1 X2 …….. Xk
P(x) P(X1) P(X2) …….. P(Xk)
Representación grafica
P(x)
X
FUNCION DE DISTRIBUCION.- La función de distribución o función acumulativa
de una variable discreta se define en todos los números reales.
𝐹( 𝑥) = 𝑃[ 𝑥 ≤ 𝑥] = ∑ 𝑃[ 𝑥 ≤ 𝑘] = ∑ 𝑓(𝑥)𝑘≤𝑥𝑘≤𝑥 ; Para: -∞ ‹ x ‹ ∞
F(x): función acumulativa
2) VARABLE ALEATORIA CONTINUA
FUNCION DE DENSIDAD
Condición
 f(x) ≥ 0 ∀ x Є R
 ∫ 𝑓( 𝑥) = 1
∞
−∞
 𝑃( 𝐴) = 𝑃[ 𝑋 ∈ 𝐴] = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥𝐴
FUNCION DE DISTRIBUCION.- La función de distribución acumulada de una
variable aleatoria continúa X cuya función de densidad es f(x) se define en todo
el número real X por:

10. 𝐹( 𝑥) = 𝑃[ 𝑋 ≤ 𝑋] = ∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑋
−∞ ; Para: -∞ ‹ x ‹ ∞
Gráficamente:
F(x) = P[X = x]
ESPERANZA Y VARIANZA
𝐸( 𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 𝑃( 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
= ∫ 𝑥𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
∞
−∞
𝑉( 𝑥) = 𝐸( 𝑥2).[ 𝐸( 𝑥)]2
Donde:
𝐸( 𝑥2) = ∑ 𝑥𝑖
2
𝑃( 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
= ∫ 𝑥2 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
∞
−∞

11. EJEMPLOS APLICATIVOS DE PROBABILIDADES

13. INTERVALO DE CONFIANZA
a. Intervalo de confianza para la media
 Cuando se conoce la varianza poblacional
[
____
X −
𝑍1−∝/2. 𝜎 𝑋
√ 𝑛
≤ 𝜇 ≤
____
X +
𝑍1−∝/2. 𝜎 𝑋
√ 𝑛
]
 Cuando se desconoce la varianza poblacional pero conocemos 𝑆 𝑥
2
[
____
X −
𝑡(1−∝/2; 𝑛−1).𝑆 𝑋
√ 𝑛
≤ 𝜇 ≤
____
X +
𝑡(1−∝/2; 𝑛−1). 𝑆 𝑋
√ 𝑛
]
 Intervalo de confianza para la proporción
[P − 𝑍1−∝/2√
𝑃(1 − 𝑃)
𝑛
≤ 𝜇 ≤ P + 𝑍1−∝/2√
𝑃(1 − 𝑃)
𝑛
]
Donde: 𝑃 =
𝑥
𝑛

14. EJEMPLOS DE INTERVALOS DE CONFIANZA

16. PRUEBA DE HIPOTESIS
Se denomina prueba de hipótesis estadístico a cualquier información o conjetura
que se hace a cerca de la distribución de una o más poblaciones. Esta puede referirse
bien a la forma o tipo de distribución de probabilidad o al valor o valores de uno o más
parámetros de la distribución conocida como forma
FORMULACION DE HIPOTESIS
 HIPOTESIS NULA (H0).- Es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya
validez será sometida a comprobación experimental, permitiendo seguir
aceptando o rechazando dicha hipótesis alterna. Se acepta en caso que se
rechace la hipótesis nula.
 HIPOTESIS ALTERNA (H1):
ERROR TIPO I, ERROR TIPO II Y NIVEL DE SIGNIFICANCIA
Decisión/Hipótesis H0 verdadero H1 falso
Rechazar
H0
Error tipo I
Probabilidad: 𝛼
Decisión correcta
Probabilidad: 1 − 𝛽
Aceptar
H1
Decisión correcta
Probabilidad: 1 − 𝛼
Error tipo II
Probabilidad: 𝛽
 ERRORDETIPO I.- Se cometeal tomar la decisión de rechazarla hipótesis nula
cuando realmente es verdadera.
 ERROR DE TIPO II.- Se comete al tomar la decisión de aceptar la hipótesis nula
cuando realmente es falsa.
 NIVEL DE SIGNIFICANCIA (𝛼).- Es la probabilidad de cometer el error de tipo I
RA
RA
𝛼 1 − 𝛼
RR∝/2 RR∝/2
C -C C
Unilateral Bilateral
Donde:
RA: Región aceptada
RR: Región de rechazo
C: Punto critico

17. TIPOS DE PRUEBADE HIPOTESIS
 Prueba bilateral
H0: Q = Ǭ
H1: Q ≠ Ǭ RA
1 − 𝛼
RR∝/2 RR∝/2
-C C
 Prueba unilateral
H0: Q ≤ Ǭ
H1: Q > Ǭ RA
𝛼
RR∝
C
H0: Q ≥ Ǭ
H1: Q < Ǭ RA
RR∝ 𝛼
-C
Pasos para una prueba de hipótesis:
I. Formular la hipótesis
II. Fijar el nivel de significancia
III. Determinar el estadístico de prueba
IV. Especificar la región critica
V. Realizar los cálculos
VI. Tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula
VII. Realizar la conclusión
PRUEBADE HIPOTESIS PARALA MEDIA
 Cuando se conoce la varianza poblacional (estadístico de prueba)
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 𝑥
√ 𝑛
Z(1-∝/2): Si la pruebe de hipótesis es bilateral.
Z(1-∝): Si la prueba de hipótesis es unilateral.
FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS
H0: 𝜇 = 𝜇0

18. H1: 𝜇 ≠ 𝜇0 (Valor de la media poblacional)
RA
1 − 𝛼
RR∝/2 RR∝/2
-Z(1-∝/2) Z(1-∝)
H0: 𝜇 ≤ 𝜇0
H1: 𝜇 > 𝜇0 RA
1 − 𝛼
RR∝
Z(1-∝)
H0: 𝜇 ≥ 𝜇0
H1: 𝜇 < 𝜇0 RA
RR∝ 1 − 𝛼
-Z(1-∝/2)
 Cuando se desconoce la varianza poblacional (Estadístico de prueba)
𝑡 =
____
X − 𝜇
𝑆 𝑥
√ 𝑛
t(1-∝/2; n-1): Si la pruebe de hipótesis es bilateral.
Z(1-∝; n-1): Si la prueba de hipótesis es unilateral.
FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS
H0: 𝜇 = 𝜇0
H1: 𝜇 ≠ 𝜇0 (Valor de la media poblacional)
RA
1 − 𝛼
RR∝/2 RR∝/2
-t(1-∝/2; n-1) t(1-∝/2; n-1)
H0: 𝜇 ≤ 𝜇0
H1: 𝜇 > 𝜇0 RA
1 − 𝛼
RR∝

19. t(1-∝; n-1)
H0: 𝜇 ≥ 𝜇0
H1: 𝜇 < 𝜇0 RA
RR∝ 1 − 𝛼
- t(1-∝; n-1)

20. EJEMPLOS APLICATIVOS DE PRUEBADE HIPOTESIS
1) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado.Tras realizar una campaña
publicitaria,se toma la muestra de 1 000 habitantes,de los cuales,25 no conocían el producto.A un nivel
de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?
a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.
b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto
Datos:
n = 1000
x = 25
Donde:
x = ocurrencias
n = observaciones
= proporción de la muestra
= proporción propuesta
Solución:
a)
a = 0,01
H0 es aceptada,ya que zprueba (-0,93) es menor que ztabla (2,326),por lo que no es cierto que más del
3% de la población no conoce el nuevo producto.

21. En Excel
b)
a = 0,01
H0 es rechazada, ya que Zprueba (1,13) es menor que Ztabla (2,326), por lo que es cierto que menos del
2% de la población no conoce el nuevo producto.
2) Cuando las ventas medias,por establecimiento autorizado,de una marca de relojes caen por debajo
de las 170,000 unidades mensuales,se considera razón suficiente para lanzar una campaña
publicitaria que active las ventas de esta marca.Para conocer la evolución de las ventas, el departamento
de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados,seleccionados aleatoriamente,que
facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de esta marca.A partir de estas cifras se obtienen los
siguientes resultados:media = 169.411,8 unidades.,desviación estándar = 32.827,5 unidades.
Suponiendo que las ventas mensuales por establecimiento se distribuyen normalmente;con un nivel de
significación del 5 % y en vista a la situación reflejada en los datos.¿Se considerará oportuno lanzar una
nueva campaña publicitaria?

22. Datos:
n = 51
Solución:
H0: ( = 170000
H1: ( < 170000
a = 0,05
Se rechaza Ho, porque zprueba (-0,12) es menor que ztabla (1,645), por lo tanto se acepta H1: ( <
170000,y se debe considerar oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria.
En Excel

23. BIBLIOGRAFIA:
MANUEL CÓRDOVA ZAMORA/EstadísticaDescriptivae Inferencial,(PUCP)
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/ CursoEstadistica.htm
Apuntes de la Lic. SALDAÑA MIRANDA, Marcela Yvone
Apuntesde laclase del Lic.DE LA CRUZ MONZALVITE, Jorge Eduardo