El documento presenta conceptos fundamentales de cálculo como la razón de cambio promedio, la derivada y sus aplicaciones. Explica que la derivada de una función representa su razón de cambio instantánea y es igual a la pendiente de la tangente. Además, introduce reglas para calcular derivadas como la regla de la potencia y aplicaciones como determinar la ecuación de la tangente y el análisis marginal.

1. TÓPICOS DE MATEMÁTICA EPE (ADM)
Sesión 9.1
Razón de Cambio Promedio
Razón de Cambio instantánea
(la derivada)

2. Razón de Cambio Promedio
La razón de cambio promedio de “y”
respecto a “x”, cuando x cambia de x1 a x2
corresponde al resultado de dividir: el
cambio en el valor de “y” entre el cambio
en el valor de “x”:
12
12
12
; xx
xx
yy
≠
−
−

3. Ejemplo:
Para f (x) = x2
, determine la razón de
cambio promedio cuando:
a. x cambia de 1 a 3
b. x cambia de 5 a 7

4. Razones de cambio promedio
x x + h
f (x)
f(x+h)
h
Ls

5. Razones de cambio promedio
La razón de cambio promedio de f con
respecto a x está dado por:
0,
)()(
≠
−+
hdonde
h
xfhxf

6. Ejercicio:
Para f (x) = x2
determine la razón de
cambio promedio en cada caso:
a. x = 5 y h = 3
b. x = 5 y h = 0,1

7. Note que la razón de cambio promedio no
es otra cosa que la pendiente de la recta
secante (Ls) a la gráfica de la función. Es
decir :
h
xfhxf
m sL
)()( −+
=

8. Ejercicios
Material p. 36: 1 y 2

9. La Derivada
Si tomamos el límite de la razón de
cambio promedio cuando “h” tiende a
cero, la pendiente de la recta secante se
convierte en la pendiente de la recta
tangente, observemos:

10. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

11. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

12. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

13. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

14. x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
Tangente!!!

15. En el límite, cuando h tiende a cero, la
recta secante se confunde con la recta
tangente en x0 , y podemos decir que su
pendiente es:
h
xfhxf
Límm
h
)()( 00
0
−+
=
→
La Derivada

16. Este último límite es conocido en el
Cálculo Diferencial é Integral como la
derivada de la función respecto de la
variable x, en x = x0 .
La Derivada

17. En consecuencia, la derivada de una
función es numéricamente igual a la
pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función en x = x0 .
La Derivada
El valor de la derivada de una función
indica la rapidez con que la
función está cambiando en un valor
específico de x, en x = x0.

18. entonces, la
derivada de
una función en
x = x0 es:
h
xfhxf
Lím
h
)()( 00
0
−+
→
Pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la
función en x = x0
La razón de cambio
instantánea de la función
en x = x0
Conceptualización de la derivada de una función

19. Notación de la derivada de una función:
La derivada de una función y = f (x)
respecto de la variable x, se denota de las
siguientes maneras :
dx
dy
)(xf ′= y′=

20. Ejemplo:
Usando la definición, determine las
expresiones de la derivada de las
siguientes funciones :
b) f (x) = x2
a) f (x) = x

21. TÓPICOS DE MATEMÁTICA EPE (ADM)
Técnicas de derivación

22. Regla de la potencia
¿Cuáles serán las derivadas de las
siguientes funciones?
1. f (x) = x
2. f (x) = x2
¿Se puede generalizar?

23. Regla de la potencia
1−
=′⇒= kk
xkyxy
:kreal,númerocualquierPara
Ejemplos

24. Derivada de una función constante
La derivada de una función constante es
cero
Es decir :
0=′⇒= ycy
Ejemplos

25. Derivada de una constante por una función
La derivada de una constante por una
función, corresponde a la constante
multiplicada por la derivada de la función.
Esto se puede escribir así :
fcyfcy ′=′⇒= ..
Ejemplos

26. La derivada de una suma o diferencia de
funciones, es igual a la suma o diferencia
de las derivadas de dichas funciones
gfygfy ′±′=′⇒±=
Derivada de una suma o diferencia de funciones
Ejemplos

27. . ' '. . 'y f g y f g f g= ⇒ = +
Derivada del producto de funciones
Ejemplos

28. Derivada del cociente de funciones
Si : 0, ≠= g
g
f
y
Entonces:
2
..
g
gfgf
y
′−′
=′
Ejemplos

29. Ejercicios
Material p. 36: 3 (a, d, g, j) y 4

30. Ejercicios:
Sección de ejercicios 2.5: p. 148
del 1 al 62 impares
Sección de ejercicios 2.7: p. 163
del 1 al 38 impares y 77
(extra para profundizar: del 89 al 102
impares)

31. TÓPICOS DE MATEMÁTICA EPE (ADM)
Aplicaciones de la
Derivada

32. Determine la ecuación de la tangente a la
curva y = x2
+ 2x en el punto donde x = 2.
Aplicaciones: Recta tangente

33. Una compañía determina que las ventas
mensuales S, en miles de dólares, después
de t meses de comercializar un producto se
dan por la expresión:
S(t) = 2t3
- 40t2
+ 220t + 160.
Halle la razón de cambio instantánea de las
ventas en t = 1 y en t = 4.
Aplicaciones: Razón de Camb. Inst.

34. Aplicaciones: Análisis Marginal
¿Cómo podríamos determinar en forma
aproximada el costo de producción de
la novena unidad sin tener que hacer
una diferencia de costos?

35. 8 9
C(8)
C(9)
Creal Caproximado
Costo (C)
Análisis Marginal
1 2 3 4 5 6 7
2° unidad
1° unidad
9° unidad
Cantidad (q)

36. La pendiente de la recta tangente en q = 8
es la derivada del costo total en q = 8
Esta pendiente es numéricamente igual a
cociente Caproximado / 1, es decir, al costo
aproximado de producir la 9° unidad.
Análisis Marginal
Es decir, se puede deducir que:
C' (8) = Caproximado unidad 9.

37. En general podemos decir que :
Cunidad “n” = C' (n-1)
Análisis Marginal

38. La función ingreso marginal es la
derivada de la función ingreso
La función utilidad marginal es la
derivada de la función utilidad
Análisis Marginal

39. Si la demanda de un producto está dada
por:
p = 16 – 0,02 x
a)Encuentre el ingreso aproximado que
genera la venta de la unidad 43.
b)Encuentre el ingreso real que genera la
venta de la unidad 43.
Ejemplo

40. Ejercicios
Material p. 37: del 6 al 12