VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
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Este documento describe las características de una variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria discreta solo puede tomar valores numéricos aislados y su función de distribución es escalonada. Se define como una aplicación que asocia cada elemento de un espacio muestral a un número real. Se proveen ejemplos de variables aleatorias discretas y se describen sus funciones de densidad, distribución, densidad conjunta y marginales, así como el valor esperado, varianza, covarianza y correlación.
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VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
- 1. Una variable aleatoria discreta es aquella cuya función de distribución es escalonada. Variable aleatoria discreta: solo puede tomar valores numericos aislados (fijados dos consecutivos, no puede existir ninguno intermedio). Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio maestral (S) de un experimento, un número real. X : S → R Ejemplo: Se realiza un experimento en un laboratorio cuyo resultado puede ser positivo o negativo. Construir el espacio muestral y dar una v.a. asociada al experimento. S = {Positivo, Negativo} X ( Positivo ) = 1 X es una variable aleatoria X ( Negativo ) = 0
- 2. La distribución de probabilidad de una v.a. es una función que asigna a cada valor posible de dicha v.a. una probabilidad Ejemplo. Experimento en un laboratorio P{X = 1} = P {positivo} Ejemplo. X : “Bacterias de tipo A en una pipeta” P {1000 ≤ X ≤ 1500} = P(A)
- 3. Variable aleatoria discreta Función de densidad Dada una v.a. discreta X llamaremos función de densidad de probabilidad a aquella que asocia una probabilidad puntual a cada valor de la v.a. f (x) = P (X = x) f (x) ≥ 0 para todo real x Σx f (x) = 1
- 4. Variable aleatoria discreta Función de distribución (acumulada) Dada X una v.a. discreta llamaremos función de distribución de X a la función que indica su probabilidad acumulada. F (x) = P(X ≤ x) = Σ i ≤ x f (xi)
- 5. Variable aleatoria discreta Función de densidad conjunta 1. f (x, y) ≥ 0 2. Σ x Σ y f (x, y) = 1 3. P(X = x, Y= y) = f (x, y)
- 6. Variable aleatoria discreta Función de densidad marginal f x (x) = P(X = x) = Σ y f (x, y) f y (y) = P(Y = y) = Σ x f (x, y)
- 7. Variable aleatoria discreta Valor esperado, varianza, covarianza y correlación μ = E (x) = Σx x* f (x) V (X) = E (x2) – (E (x ))2 = Σ x2 f (x) - (E (x ))2 Cov (X, Y) = E (XY) – E (X) E (Y) = Σx Σy xy f (x, y) - E (X) E (Y)