Estadistica

1. Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio
muestral se denomina variable aleatoria a la función que
asigna a cada elemento del espacio muestral un número real.
X : S ® R / X ( s ) = x
Ejemplo: Si se define la variable aleatoria X=número de caras obtenidas al
arrojar dos monedas
¿Quá valores puede tomar x?
X(SS)=0
X(CS)=X(SC)=1
X(CC)=2
Se denomina recorrido Rx al conjunto
de valores que puede tomar la variable.
Material Preparado por Olga S. Filippini y Hugo Delfino
S Rx
SS
CC
SC
CS
0
2
1

2. Una variable aleatoria es discreta cuando toma un número
contable de valores.Entonces entre dos valores
consecutivos de una variable aleatoria discreta no hay
ningún número que pertenezca al recorrido de la variable
Rx={X1;X2;…,Xn,…} donde cada Xi es un valor de la v.a.
En general , estos valores no serán igualmente probables,
sino que cada X tendrá asignada una probabilidad.
Luego, para caracterizar una variable aleatoria discreta es
necesario conocer su recorrido y la probabilidad de cada
elemento del recorrido
Material Preparado por Olga S. Filippini y Hugo Delfino

3. Sigamos con el ejemplo X= Cantidad de caras al
tirar dos monedas
P(X=0)= P(SS)= ¼
P(X=1)= P(SC;CS)= ½
P(X=2)= P(CC)= ¼
Función de distribución de probabilidad
P(X) Propiedades
2) P(Xi ) 1
Material Preparado por Olga S. Filippini y Hugo Delfino
0,5
0,25
0
0 1 2
X
1) P(Xi)³0 "Xi
Î
=
Xi Ri

4. Una variable es continua en un intervalo cuando puede tomar cualquier
valor perteneciente al intervalo.
En general definiremos variables aleatorias continuas cuando las
experiencias consistan en medir peso, altura, longitud, tiempo,
temperatura, etc.
En este caso se define (en lugar de la función de distribución) una
función de densidad de probabilidad que tiene las siguientes
propiedades
2 ) ( ) 1
3 ) ( ) ( )
Material Preparado por Olga S. Filippini y Hugo Delfino
1) f(x)³0 "XeR
=
+¥
- ¥
f x dx
< Þ £ £ =
b
a
a b P a x b f x dx

5. La esperanza es un parámetro de la distribución.
Es una medida de tendencia central.
i
E X xi p x
iÎ x
Material Preparado por Olga S. Filippini y Hugo Delfino
x R
m = =
m = E X = x f x dx
Si X es discreta
Si X es continua

6. La esperanza E(x) no es un resultado que esperararíamos cuando X se observa sólo
una vez.
Pero si observáramos un gran número de observaciones independientes de X el
promedio de esos resultados estará cerca de E(x).
Ejemplo:
En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1000 o sufrir
una pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0,6, demuestre
que la utilidad esperada en dicha operación es de $400.
Primero definimos la variable aleatoria
X= utilidad en operación comercial
m = = E(X)=1000*0,6+(-500)*0,4
Material Preparado por Olga S. Filippini y Hugo Delfino
E X xi p x
( ) ( i )
iÎ x
x R
E(X)=400

7. Sean X e Y variables aleatorias y c una constante
perteneciente a los reales:
1) E (c ) = c
2) E (X+c ) = E(X) + c
3) E (cX) = c E(X)
4) E (X+Y) = E(X) + E(Y)
5) E (X-Y) = E(X) - E(Y)
6) Si X e Y son independientes E (XY) = E(X) * E(Y)
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8. La variancia es un parámetro de la distribución. Es
una medida de dispersión de los valores de x
alrededor de E(X)
2 2 2
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9. Sean X e Y variables aleatorias y c una constante
perteneciente a los reales:
1) V (c ) = 0
2) V (X+c ) = V(X)
3) V (cX) = c2 V(X)
4) Si X e Y son independientes V (X+Y) = V(X) + V(Y)
5) Si X e Y son independientes V (X-Y) = V(X) + V(Y)
Material Preparado por Olga S. Filippini y Hugo Delfino