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1. VARIABLES ALEATORIAS

2. Definición: una variable aleatoria X es una
función que asocia a cada resultado del espacio
muestral (Ω) un número real
Notación:
X = Variable aleatoria (v.a)
x = valor de la variable aleatoria
Ejemplo: analizar la variable aleatoria
x: número de caras que se obtienen al arrojar dos
monedas:
1°) El espacio muestral es: Ω = {𝑐𝑐, 𝑐𝑠, 𝑠𝑐, 𝑠𝑠}
2°) el recorrido de la variable aleatoria x es
x : 0, 1, 2

3. 2. CLASES DE VARIABLES ALEATORIAS

4. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
x es una variable aleatoria discreta si el recorrido de
x es un conjunto finito numerable, es decir 𝑋 =
{𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, … … . . 𝑥 𝑛}
Podemos distinguir:
Función de probabilidad
Función de distribución de probabilidad

5. b) SU FUNCIÓN DE PROBABILIDAD (llamada función de
cuantía)
Sea X una variable aleatoria discreta.
F(x)= Px(x) = P[X=x]= P({w ∈ Ω /X(w)=x})
Es decir es la probabilidad asignada a cada elemento del
espacio muestral:
𝑃 𝑥𝑖 = 𝑃 𝑋 𝑤 = 𝑥𝑖
Expresados como el conjunto de parejas ordenados
(x, P(x)) donde 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 = 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑋

6. Propiedades
i) P(x) > 0 ∀ x ∈ R; y
i i) 𝑥 𝑖 𝜖 𝑅 𝑋
𝑃(𝑥𝑖) = 1
iii) 𝑃 𝑥𝑗 < 𝑥 < 𝑥 𝑘 = 𝑃 𝑥𝑗+1 + 𝑃 𝑥𝑗+2 + ⋯ . . 𝑃(𝑥 𝑘−1)
X X1 X2 ………. Xn
P(X=x) P(X1) P(X2) P(Xn)
La distribución de probabilidad, incluye solo valores
discretos la cual se describe mediante tres formas:
 La grafica (graficas de batones)
 Tabla de valores de v.a. y sus respectivas probabilidades
 Fórmula

7. EJEMPLO: La función de probabilidad del ejercicio
anterior es:
X 0 1 2
P(x) ¼ 2/4 ¼
Observamos que cada valor numérico de x le
corresponde una probabilidad.

8. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE X
Definición: sea X una v.a. discreta es una suma en la que F
es la función de DISTRIBUCIÖN ACUMULATIVA de la variable
aleatoria X como 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑖
𝑘
𝑃(𝑥𝑖)
Propiedades de la función de distribución
1. 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1; ∀ 𝑥 ∈ 𝑅
2. F(x) es no decrecientes decir si 𝑥1 <
𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹(𝑥) ≤ 𝐹(𝑥2)
3. 𝑎) 𝐹 ∞ = 1, 𝑏) 𝐹 −∞ = 0
4. si 𝑥 ∈ 𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑘+1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹 𝑥 = 𝐹(𝑥 𝑘) eso implica
que F(x) es una función escalera

9. EJEMPLO: La función de probabilidad del ejercicio
anterior es:
𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 x<0 0 ≤ 𝑥 < 1 1 ≤ 𝑥 < 2 𝑥 ≥ 2
𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) 0 ¼ ¾ 1
Dónde:
si x< 0 entonces P(x≤ 0) = 0
Si 0 ≤ 𝑥 < 1 entonces P(x≤ x) = 𝑃 𝑥 = 0 = 1/4
si 1 ≤ 𝑥 < 2 entonces P(x≤ x) = 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 =
1
4
+
2
4
Si 𝑥 ≥ 2 entonces P(x≤ x) = 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑃 𝑥 = 2
=
1
4
+
2
4
+
1
4
= 1

10. ESPERANZA MATEMÁTICA
𝜇 = 𝐸 𝑥 = x. P x
PROPIEDADES
E(c) = 0 ∀ c es constante
E(cx) = cE(x) ∀ c es constante
E(cx + m ) = cE(x) ∀ c y m = constantes
E(ax + by) = aE(x) + bE(y) ∀ a,b = constantes

11. VARIANZA
v 𝑥 = 𝐸 𝑥2
− 𝜇2
PROPIEDADES
1. V(c) = 0 ∀ c es constante
2. V(cx) = 𝑐2
V(x) ∀ c es constante
3. V(ax + b ) = 𝑎2
V(x) ∀ a y b = constantes
4. Si “x” e “y” son variables independientes
V(ax + by) = 𝑎2
𝐕(x) + 𝑏2
𝐕(y) ∀ a,b = constantes

12. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
x es una variable aleatoria continua si existe
una función f(x) con x perteneciente a un
intervalo , es decir el número de valores
posibles de la variable en estudio es un
conjunto no numerable. Es decir, la variable
toma infinitos valores

13. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Se define como función a la v.a.c si cumple las
siguientes propiedades:
i) f(x) > 0 ∀ x ∈ intervalo y
ii) −∞
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
iii) 𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
Siendo F(x) la función de distribución donde −∞ <
𝑎 < 𝑏 < +∞

14. Ejemplo
Verifica que la función
𝑓 𝑥 =
𝑒−2𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
0, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
es una función de densidad
Solución
1. Debo probar que 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑅
Pues 𝑒−2𝑥
≥ 0 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒
2 > 0 y 𝑒−2𝑥 > 0 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
2. Debo probar que 0
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
Vemos
0
+∞
2𝑒−2𝑥
𝑑𝑥 = 2
0
+∞
𝑒−2𝑥
𝑑𝑥 = 1
= 2
1
−2
𝑒−2𝑥
𝑥=0
𝑥→+∞
= (−𝑒−∞) − (−𝑒0)

15. 3. 𝑃 0 < 𝑥 < 𝐿𝑛3 =
0
𝐿𝑛3
2𝑒−2𝑥
𝑑𝑥
= −𝑒−2𝑥
𝑥=0
𝑥=𝐿𝑛3
= (−𝑒−2𝐿𝑛3
) − (−𝑒0
)
= −
1
9
+ 1 =
1
8

16. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
sea x una v.a.c. con función de densidad f(x);
luego, la función de probabilidad acumulada o
función de distribución de una v.a.c. x se define
como:
F x = P X ≤ x =
−∞
𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

17. PROPIEDADES
1. F −∞ = 0
2. F +∞ = 1
3. 0 ≤ F 𝑥 ≤ 1, ∀𝑥𝜖𝑅
4. F 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
5. f 𝑥 =
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
6. P 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = F b − F(a)

18. ESPERANZA MATEMATICA
𝑬 𝒙 =
−∞
∞
𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙
PROPIEDADES
E(c) = 0 ∀ c es constante
E(cx) = cE(x) ∀ c es constante
E(cx + m ) = cE(x) + m ∀ c y m = constantes
E(ax + by) = aE(x) + bE(y) ∀ a,b = constantes

19. VARIANZA
𝑬 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝑽 𝒙 = 𝒙 𝟐
𝒇(𝒙)𝒅𝒙 − 𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙
PROPIEDADES
1. V(c) = 0 ∀ c es constante
2. V(cx) = 𝑐2
V(x) ∀ c es constante
3. V(ax + b ) = 𝑎2
V(x) + m ∀ a y b = constantes
4. Si “x” e “y” son variables independientes
V(ax + by) = 𝑎2
𝐕(x) + 𝑏2
𝐕(y) ∀ a,b = constantes