VARIABLES

1. Matemáticas – Programa Tercero
Material : MT-21
UNIDAD: DATOS Y AZAR
PROBABILIDAD IV
Lo correspondiente a variable aleatoria discreta se estudio en el tema correspondiente a
Probabilidades III.
Recordaremos el concepto de variable aleatoria discreta y función de probabilidad
VARIABLES ALEATORIAS
Se llama VARIABLE ALEATORIA a toda función que asocia un número real a cada
elemento del espacio muestral de un experimento aleatorio.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (VAD)
Son aquellas que pueden tomar una cantidad finita de valores o una cantidad infinita
numerable de valores, por ejemplo suma de puntos en el lanzamiento de dos dados, las
preguntas correctas en una prueba, números de hijas mujeres de una familia etc.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (VAC)
Son aquellas que pueden tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo en
los números reales, por ejemplo peso de los alumnos de un curso, tiempo de
funcionamiento de un dispositivo electrónico, cantidad de agua consumida en mes por una
familia, tiempo que demora un alumno en llegar del colegio a su casa etc.
EJEMPLO
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I) El tiempo de duración de una batería es una variable aleatoria continua.
II) Al lanzar 400 veces una moneda, el número de caras que se obtiene es una
variable aleatoria discreta.
III) El peso de los primeros 200 recién nacidos del año 2017 en Santiago, es
una variable aleatoria continua.
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.

2. 2
En forma previa a estudiar la función de distribución de probabilidad acumulada para
variable aleatoria discreta, recordaremos la función de probabilidad para VAD, estudiada en
guía de probabilidad III.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE DISCRETA
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta “X” a la función que
asocia cada valor de xi con su probabilidad de ocurrencia pi.
Se denota por f(x) = P(X = x)
Propiedades:
1. 0  f(xi)  1
2. Si {x1, x2, x3, x4 ……….. xn}, es el recorrido de la variable aleatoria, entonces
f(x1) + f(x2) + …….+ f(xn) = 1
3. Si a no pertenece al recorrido de la variable aleatoria, entonces P(X = a) = 0.
Observaciones:
1. El dominio de la función de probabilidad es el recorrido de la variable aleatoria.
2. El recorrido de la función de probabilidad está en 0, 1.
EJEMPLO
1. Se tiene un dado cargado cuyos resultado y probabilidades se muestran en la tabla
adjunta
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) P(X = número primo) = 0,70
II) P(X > 6) = 0
III) P(X > 4) = 1 – P(X < 4)
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
xi 1 2 3 4 5 6
P(X=xi) 0,30 0,15 0,05 0,18 0,20 0,12

3. 3
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA PARA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
La función de distribución de probabilidad acumulada, F(x) asocia a cada valor de x
la probabilidad acumulada, es decir F(x) = P(X  x)
Propiedades:
1. Como F(x) es una probabilidad, se cumple que 0  F(x)  1
2. Si x1, x2, x3, .…., xn-1, xn son valores de la variable aleatoria, entonces
P(X  xn-1) = P(X=x1) + P(X=x2) + P(X=x3) +......+ P(X=xn-1)
3. Si a < b , entonces P( a < X  b ) = F (b) – F (a)
4. P(X > a) = 1 - P(X  a) = 1 – F(a)
Observación:
En el caso de variable aleatoria discreta la gráfica de la función de distribución de
probabilidad es escalonada.
Ejemplo:
La tabla muestra la función probabilidad y función de distribución de probabilidad
para la variable aleatoria X definida como el número de caras obtenidas al lanzar
3 monedas.
X F(xi)=P(X  xi)
0 F(0) = P(X  0) = 1/8
1 F(1) = P(X  1) = 1/8 + 3/8 = 4/8
2 F(2) = P(X  2) = 4/8 + 3/8 = 7/8
3 F(3) = P(X  3) = 7/8 + 1/8 = 8/8 = 1
Función de distribución
F(x)
V.A.D




1
x1 x2 x3 x4
Función de distribución
F(x)
lR




1
1/8
4/8
7/8
0 1 2 3
lR
V.A.D

4. 4
EJEMPLOS
1. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria W
¿Cuál es el valor de P(W  0)?
A) 0,05
B) 0,15
C) 0,30
D) 0,75
E) 0,95
2. El gráfico muestra la función de distribución de probabilidad acumulada de una variable
aleatoria X
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) P(X = -2) = P(X = 1)
II) P(X  1) = 0,8
III) P(X  4) = 1
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
3. La función de distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta
X está dada en la siguiente tabla
¿Cuál es el valor de P(X > 30)?
A) 0,23
B) 0,42
C) 0,58
D) 0,65
E) 1,75
xi 10 20 30 40 50
P(X  xi) 0,05 0,30 0,42 0,75 1
w -2 -1 0 1
f(w) 0,20 0,45 0,3 0,05
x
F(X)
-2 0 1 4
0,4
0,8
1

5. 5
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (VAC)
Son aquellas que pueden tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo en
los números reales, por ejemplo peso de los alumnos de un curso, tiempo de funcionamiento
de un dispositivo electrónico, cantidad de agua consumida en un mes por una familia,
tiempo que demora un alumno en llegar del colegio a su casa, etc.
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Para la variable aleatoria discreta se tiene una función de probabilidad (distribución de
probabilidad), que describe la probabilidad que la variable X tome algún valor en particular.
Cuando la variable es aleatoria continua, la función de probabilidad se consigue por medio
de otra función, la cual llamamos función de densidad de probabilidad, y esta función se
denota por f(x).
Como la variable aleatoria continua puede tomar una gran cantidad de valores diferentes, la
función de densidad no determina la probabilidad que tiene la variable de tomar un valor
específico, nos ayuda a determinar la probabilidad que tiene la variable de encontrarse en
un intervalo determinado de los números reales.
La probabilidad que la variable se encuentre en el intervalo [a,b], queda determinada por el
área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad en ese intervalo.
Al trabajar con una variable continua, la probabilidad que la variable aleatoria X tome un
valor exacto es 0, recuerde que la probabilidad se define como área bajo la curva, si el
intervalo esta compuesto por un punto no se tendrá figura de la cuál determinar el área, se
tendrá una recta.
OBSERVACIÓN: Cuando la variable es continua P(X ≤ b) = P(X < b)
f(x) : función de densidad de probabilidad
b
a
f(x)
El área achurada representa la
probabilidad que x Î a,b
é
ë
ù
û

6. 6
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA PARA
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
La función de distribución de probabilidad acumulada F(x) asocia a cada valor de x la
probabilidad acumulada, es decir F(x) = P(X  x) = P(X < x).
Propiedades:
1. Como F(x) es una probabilidad, se cumple que 0  F(x)  1.
2. Si a < b, entonces P(a < X  b) = F(b) – F(a).
3. P(X > a) = 1 – P(X  a) = 1 – F(a)
4. P(X = a) = 0, es decir la probabilidad que la variable tome exactamente un valor es
igual a cero.
Observación:
En el caso de variable aleatoria continua la función de distribución de probabilidad es una
función continua.
EJEMPLOS
1. La función densidad de probabilidad de la variable aleatoria X está dada por
f x
( )=
0 si x < 0
1
2
x si 0 £ x £ 2
0 si x > 2
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
, entonces ¿cuál es el valor para P(X < 0,75)?
A)
3
8
B)
3
4
C)
9
64
D)
9
32
E) Falta información.

7. 7
2. ¿Cuál es el valor de P(X ≤ 2), si la función de densidad de probabilidad de la variable
aleatoria X se define como  
; si x < 1
x 1 ; si 1 x 2
-x
0
f x =
0
+ 3 ; si 2 < x 3
; si x > 3


  






?
A) 0 %
B) 15 %
C) 25 %
D) 50 %
E) 75 %
3. ¿Cuál es el valor de k en a función densidad de probabilidad para la variable aleatoria
definida como f(x) =
0 ; si x < 0
1
4
k ; si 0 £ x £ 4
0 ; si x > 4
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
A) 4
B) 2
C)
1
2
D)
1
4
E)
1
8

8. 8

DISTRIBUCIÓN NORMAL
Una de las distribuciones importantes dentro de las distribuciones continuas es la
distribución normal.
Es un modelo matemático, que recibe su nombre debido a que en cierto momento se pensó
que la mayoría de los fenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribución
permite representar fenómenos estadísticos de manera probabilística.
Características:
1. El área bajo la curva es igual a la unidad.
2. Es simétrica con respecto a x =  , y deja un área igual a 0,5 a la izquierda y otra de
0,5 a la derecha, es decir, existe una probabilidad del 50% de observar un dato mayor a
la media y un 50% de observar un dato menor a la media.
3. Es asintótica al eje de las abscisas, es decir, la curva se acerca lo más posible al eje de
las X sin llegar a tocarlo.
4. La media, moda y mediana coinciden.
5. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
El gráfico de la función de densidad de una variable
aleatoria con distribución normal es similar al
mostrado en la figura, es decir tiene una forma
conocida como Campana de Gauss, y es simétrico
con respecto a la media, . Esta distribución queda
definida por dos parámetros: la media () y la
desviación estándar (), y se denota X ~ N(, )
o  y 2
se denota X  N(, 2
).

9. 9
INTERVALOS DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Si una población tiene media  y desviación estándar , se tiene que
EJEMPLOS
1. Sea X una variable aleatoria con distribución X ~ N(18,3). ¿Cuál(es) de las siguientes
proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) La probabilidad de que la variable tome valores mayores que 18 es el 50%.
II) P(X  21) = 0,6826
III) P(X > 24) = 0,02275
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas.
-3  +3
-2  +2
 
P - < X < + = 0,6826
   
 
P - 2 < X < + 2 = 0,9545
   
 
P 3 < X < + 3 = 0,9973
    
En el intervalo 2 , 2
     
 
 
el área encerrada es,
aproximadamente, 0,9545, es
decir 95,45% del total.
En el intervalo 3 , 3
     
 
 
el área encerrada es,
aproximadamente, 0,9973, es
decir 99,73% del total.
En el intervalo ,
     
 
  el
área encerrada es,
aproximadamente, 0,6826, es
decir 68,26% del total
-  +

10. 10
2. Los pacientes afectados por una bacteria y su tiempo de recuperación, en días, tiene
una distribución X ~ N(6; 1,3). ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente se recupere
en un tiempo mayor a 9,9 días?
A) 0,00135
B) 0,00270
C) 0,04560
D) 0,04987
E) 0,99730
3. El tiempo de duración que tienen los focos fabricados por una empresa, se distribuye
en forma normal con media aritmética igual a 1.020 horas y desviación estándar
51 horas. ¿Cuál es la probabilidad que un foco dure más de 1.122 horas?
A) 47,720%
B) 45,500%
C) 22,750%
D) 2,275%
E) 1,587%
4. Respecto a las distribuciones representadas en los gráficos de la figura, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) En el gráfico 1,
1 < 2 < 3.
II) Las distribuciones presentadas en el gráfico 1 tienen igual media.
III) Las varianzas de las distribuciones presentadas en el gráfico 2 son iguales.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo II y III
E) I, II y III
GRAFICO 1 GRAFICO 2
X
Y
N(µ,σ1)
N(µ,σ2)
N(µ,σ3)
X
Y
N(µ1,σ) N(µ2,σ) N(µ3,σ)
µ3
µ2
µ1

11. 11
EJERCICIOS
1. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados define una variable aleatoria discreta?
I) Consumo de kilos-watt hora durante una semana.
II) Número de clientes que esperan pagar en la caja de un supermercado.
III) Número de llamadas que recibe un celular en una hora.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
2. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados define(n) una variable aleatoria continua?
I) Cantidad de gasolina consumida por un vehículo.
II) Tiempo necesario para armar un puzzle de 1.500 piezas.
III) El consumo diario de agua potable de un condominio.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
3. Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria X como la suma de sus puntos,
entonces P (X ≥ 10) =
A)
1
12
B)
1
6
C)
2
9
D)
5
18
E)
1
3

12. 12
4. Una bolsa contiene 5 esferas, numeradas desde 1 hasta el 5, se extraen dos de ellas y
se define la variable aleatoria X como la diferencia positiva de los números que
contiene cada una de ellas. Entonces, P(X  3) =
A)
1
3
B)
3
10
C)
1
5
D)
9
10
E)
1
9
5. La tabla adjunta muestra la función distribución de probabilidad de la variable aleatoria
discreta Y, según esta información, ¿cuál es la probabilidad que Y tome el valor 2?
A) 0,85
B) 0,35
C) 0,25
D) 0,16
E) 0,15
6. La siguiente tabla muestra la función de probabilidad para la variable aleatoria X.
 





 






si x 1
p
si x 2
2
p
si x 3
4
0 para otro valor
p
f x
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) p =
4
7
II) P(X = 2) =
2
7
III) P(X  2) = 1 – P(X = 3)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) I, II y III
Y -1 0 1 2 3
F(y) 0,24 0,40 0,60 0,85 1

13. 13
7. La siguiente tabla muestra la función de distribución de probabilidad acumulada para la
variable aleatoria X.
F x
( ) =
k si x = 1
3
2
k si x = 3
6k si x = 6
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
¿Cuál es valor para k en esta función de distribución de probabilidad acumulada?
A)
1
36
B)
2
17
C)
1
15
D)
1
6
E)
2
3
8. Con respecto a la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s)?
I)
N Q
= M
2

II) M + Q = P(X  20)
III) P(X > 40) = 1 – P(X  30)
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
X P(X = xi) P(X  xi)
10 0,11 0,11
20 0,19 0,30
30 M N
40 0,23 0,67
50 0,17 0,84
60 Q 1,00

14. 14
9. Sea una distribución normal con media 24,3 y desviación estándar 4,8, entonces ¿cuál
de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) La desviación estándar es igual a 4,8.
B) La media  es 24,3.
C) P(X > 24,3) = 0,5.
D) P(X < 4,8) = 0,5.
E) P(19,5  X  29,1)  68%.
10. La función de distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria continua X
está dado por
F X
( ) =
0 si x < 0
x
8
si 0 £ x < 2
x2
16
si 2 £ x £ 4
1 si x > 4
ì
í
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
.
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I) F(3) =
9
16
II)
7 49
P X =
2 64
 

 
 
III) P(1 ≤ X < 3) =
7
16
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ella.

15. 15
11. Sea el gráfico de la figura, la representación de la función distribución de probabilidad
para la variable aleatoria discreta X
Entonces, la función probabilidad asociada correspondiente
A)
x 0 1 2 3 4
f(x) 0,2 0,1 0,2 0,2 0,3
con f(x) = 0, en cualquier otro caso.
B)
x 0 1 2 3 4 5
f(x) 0,2 0,1 0,1 0,1 0,4 0,1
con f(x) = 0, en cualquier otro caso.
C)
x 1 2 3 4 5
f(x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2
con f(x) = 0, en cualquier otro caso.
D)
x 0 1 2 3 4 5
f(x) 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1
con f(x) = 0, en cualquier otro caso.
E) Ninguna de las opciones anteriores.
x
F(x)
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 1 2 3 4 5

16. 16
12. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad se
define como
2(1 x) si 0 x 1
f(x)
0 para cualquier otro valor
  


 


Entonces, la probabilidad de que el valor de x sea menor a 0,5 es
A) 1
B)
3
4
C)
1
2
D)
1
4
E)
1
8
13. Si f(x) =
5kx + 1
5
es la función de probabilidad de la variable aleatoria discreta X, cuyo
recorrido es {0, 1, 2, 3}, entonces el valor de la constante k es
A)
1
2
B)
1
30
C)
1
5
D)
1
10
E)
1
6
14. Se lanza dos veces un dado y se define una variable aleatoria X de la siguiente
manera: se designa el valor 1 cuando el primer número es mayor que el segundo; 0 si
los dos números son iguales y -1 si el primer número es menor que el segundo.
Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) P(X = 0) = 6
B) El recorrido de la función de probabilidad es {-1 , 0 , 1}.
C) P(X = -1) = P(X = 1)
D) P(X = 1) =
5
36
E) P(X = -1) =
1
2

17. 17
15. El gráfico de la figura adjunta representa la función de densidad de probabilidad de
una variable aleatoria continua X, con f(x) = 0 para todo x no perteneciente a [-1, 3].
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) P(X ≥ 0) = 0,8
II) P(X < 1) = 0,4
III) P(-1 < X < 3) = 1
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
16. Una bolsa contiene 10 cubitos de igual tamaño, 4 dorados, 3 plateados y 3 blancos. Si
se extraen 4 cubitos y se definen las variables aleatorias X, Y, Z. ¿Cuál(es) de las
siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) El recorrido de X es {1, 2, 3}, si la variable aleatoria X es número de
cubitos plateados.
II) El recorrido de Y es {1, 2, 3, 4}, si la variable aleatoria Y es número de
cubitos dorados.
III) El recorrido de Z es {0, 1, 2, 3}, si la variable aleatoria Z es número de
cubitos blancos.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I, II y III
E) Ninguna de las anteriores.
17. Sea f la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X definida
como
1
f(x) x
8
 , si 0 ≤ x ≤ 4, y f(x) = 0, para cualquier otro valor de x. ¿Cuál(es) de
las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) F(x) =
II) P(1 < X < 3) =
1
2
III) P(X = 1) =
1
8
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
1 3
-1 X
Y
0,4
0,2
f(x)
0, x < 0
2
x
16
, 0  x  4
1, x > 4

18. 18
18. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es
2kx si 0 x 3
f(x) 6k si 3 x 5
0 para cualquier otro valor
 


  



Con k un número real positivo, entonces F(X = 4)
A)
18
21
B)
15
21
C)
1
21
D)
1
30
E) ninguno de los valores anteriores.
19. Sea X una variable aleatoria de distribución normal de media 21 y desviación
estándar 2. ¿Cuál es valor aproximado para P(X > 25)?
A) 0,0228
B) 0,0455
C) 0,1359
D) 0,4773
E) 0,9544
20. Si X es una variable aleatoria continua de distribución normal con varianza 144 y
media 120, entonces P(X < 108) es
A) 0,1587
B) 0,3174
C) 0,4761
D) 0,6826
E) 0,8413
21. La variable aleatoria Z tiene una distribución normal, de 
 
 y
4 32 , entonces el
valor de P(24  X  36) es aproximadamente
A) 95,45 %
B) 81,86 %
C) 68,26 %
D) 27,19 %
E) 13,60 %

19. 19
22. Los puntajes obtenidos en un test es una variable con distribución normal, si la
desviación estándar de los puntajes es 9,5 y la media 124,5 puntos, entonces
P(105,5  X < 124,5) es
A) 95,45 %
B) 97,725 %
C) 50 %
D) 47,725 %
E) 31,74 %
23. El tiempo de duración de cierta batería tiene una distribución normal con media
12 horas y desviación estándar de 45 minutos. ¿Cuál es la probabilidad que esta pila
dura más de 14,25 horas?
A) 0,27 %
B) 0,135 %
C) 15,87 %
D) 99,87 %
E) 99,73 %
24. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
X, se puede calcular el valor de P(X = 2), si:
(1) a + b + c + d = 1
(2) P(X  1) = P(X  2)
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
25. En un curso de 45 alumnos, se puede calcular la probabilidad de que un alumno
obtenga una nota superior a 6,5 en el último examen de Ciencias sociales, si se sabe
que:
(1) La notas tienen una distribución normal con media 5,8 y desviación estándar 0,4.
(2) El examen lo rindieron todos los alumnos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
x 0 1 2 3
f(x) a b c d

20. 20
MT-21
Pág. 1 2 3 4
1 E
2 A
4 E C C
6 y 7 C D C
9 y 10 C A D D
Ejemplo
RESPUESTAS EJEMPLOS
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RESPUESTAS EJERCICIOS PÁGINA 11
1. D 6. E 11. A 16. C 21. B
2. E 7. D 12. B 17. C 22. D
3. B 8. C 13. B 18. B 23. B
4. D 9. D 14. C 19. A 24. E
5. C 10. D 15. E 20. A 25. A