Este documento introduce el concepto de variable aleatoria y describe sus características principales. Explica que una variable aleatoria es una función que asigna valores numéricos a los resultados de un espacio muestral de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. También describe cómo calcular la distribución de probabilidad, la distribución de probabilidad acumulada, la esperanza matemática y la varianza para variables aleatorias discretas y continuas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
DPTO. DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
CÁTEDRA: ESTADÍSTICA
TEMA Nº 3. VARIABLES ALEATORIAS
Una Variable es cualquier característica que puede tomar distintos valores. Por
ejemplo: Temperatura, Presión, Coeficiente Intelectual, Peso, Estatura, etc.
En esta unidad se tratará el término de Variables Aleatorias; se dice que una
Variable es “Aleatoria” porque involucra la probabilidad de los resultados del
espacio muestral, y dicha variable es una función definida sobre el Espacio
Muestral, de manera que transforma todos los posibles resultados del espacio
muestral en cantidades numéricas.
En términos más precisos,
VARIABLE ALEATORIA: Es una función que asigna un número real a cada
resultado del Espacio Muestral de un Experimento Aleatorio.
R
S
Por ejemplo, se sacan dos pelotas en sucesión, sin reemplazo, de una urna
que contiene 4 pelotas rojas y 3 negras. La Variable aleatoria X esta definida
como: Número de pelotas rojas.
El Espacio muestral de este experimento será: S = {RR, RN, NR, NN}
Puesto que el elemento RR contiene 2 pelotas rojas, se le asigna una valor
numérico de 2. Los elementos RN y NR contienen 1 pelota roja, entonces se le
asigna un valor de 1 y a NN se le asigna un valor de 0. Los resultados posibles
y los valores de la Variable aleatoria X, donde X es el número de pelotas rojas,
son:
S X
RR 2

2. NN 0
RN 1
NR 1
Con frecuencia se utilizará la abreviatura VA, en lugar de Variable aleatoria.
Las VA suelen representarse con letras Mayúsculas X, Y, Z, etc. del alfabeto y
con letras Minúsculas x, y, z, etc. se representa cierto valor particular de la VA
correspondiente. El conjunto de los posibles valores de la VA X se denomina
rango de X.
CLASIFICACIÓN:
1. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Es aquella variable que puede
tomar un número de valores finito o infinito contable, y éstos pueden
arreglarse en una secuencia que corresponde con los enteros positivos.
Generalmente las VA discretas representan datos que se cuentan, tales
como: número de artículos defectuosos de una muestra de k artículos,
número de accidentes por año en una vía rápida. En el ejemplo anterior
de las bolas rojas y negras, dado que los valores posibles de X eran 0, 1
y 2, se dice que X es una VA discreta.
2. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Es aquella cuyo conjunto de
valores abarca todo un intervalo de valores en la recta numérica.
Generalmente la VA continuas representan datos medidos, tales como:
alturas, pesos, temperaturas, distancias o periodos de vida.
Tanto las variables aleatorias Discretas como Continuas pueden asumir cada
uno de sus valores con una cierta probabilidad.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS:
Para las VA Discretas la expresión que representa algún fenómeno
fundamental se conoce como Función de Distribución de Probabilidad.
Distribución de Probabilidad o Función de Probabilidad: Se refiere a la
colección de valores de la VA junto con la probabilidad asociada a cada uno de
estos valores.
La Distribución de probabilidad de una VA Discreta debe cumplir:
i) fx(X) 0, X
ii) fx (X) 1
x
iii) P(X = x) = fx(X)

3. Ej: Para el ejercicio de la urna que contenía pelotas rojas y negras, determine
la Distribución de probabilidad de X.
Los resultados del espacio muestral y los valores de X son:
S X
RR 2
NN 0
RN 1
NR 1
Cada uno de los resultados de S tiene la misma probabilidad de ocurrencia,
esto quiere decir que:
S RR RN NR NN
Probabilidad 1/4 1/4 1/4 1/4
La probabilidad de que X (número de pelotas rojas) sea 0 es = P(X = 0) = 1/4
La probabilidad de que X (número de pelotas rojas) sea 1 es = P(X = 1) = 1/4 +
1/4 = 1/2
La probabilidad de que X (número de pelotas rojas) sea 2 es = P(X = 2) = 1/4.
Entonces, la Distribución de Probabilidad de X será:
X 0 1 2
Fx(X) 1/4 1/2 1/4
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA:
Hay muchos problemas en los cuales se desea calcular la probabilidad de que
el valor observado de una VA X sea menor que ( ) o igual a algún número real
x. Si se escribe Fx(X) = P(X x) número real x, se define que F(X) es la
distribución acumulada de la VA X. De tal manera, debe cumplirse:
i) Fx(X) = P(X x)= f(xi )
xi x
ii) 0 Fx(X) 1
iii) Si x y entonces, F x(X) Fy(Y)

4. Para el ejercicio anterior la Distribución Acumulada de X (Número de pelotas
rojas) es:
F(0) = P(X 0) = 1/4
F(1) = P(X 1) = P(X=0) + P(X=1) = 1/4 + 1/2 = 3/4
F(2) = P(X 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1
0 si x<0
1/4 0 x <1
Fx(X)=
3/4 1 x <2
1 x 2
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS:
Una VA Continua tiene una probabilidad cero de asumir cualquiera de sus
valores exactamente. Consecuentemente, su distribución no puede darse en
forma tabular como en el caso de las VA Discretas. A pesar de ello, sí puede
tener una fórmula. Dicha fórmula, necesariamente, debe ser una función de los
valores numéricos de la Variable continua X y como tal, será expresada por la
notación funcional f(x).
Al tratar con Variables continuas, f(x) por lo general se llama función de
densidad de probabilidad, o simplemente, función de densidad de X.
La función f(x) es una función de densidad de probabilidad para la VA
Continua X, definida en el conjunto de los números reales si:
i) f(x) 0 X R
ii) f(x)dx 1
b
iii) P(a < x < b) = f(x)dx
a
Ej: Supóngase que la variable aleatoria que representa la proporción de
accidentes automovilísticos en cierta ciudad presenta la siguiente función de
densidad:
x2 si 0<x 1
fx(X)=
0 para cualquier otro valor

5. ¿Cuál es la probabilidad de que no más del 25% de los accidentes sean
fatales? En otras palabras, ¿cuál es P(X 0,25)?
1/4 1/4
2 x3 1
P(X 0,25) = F(0,25) = x dx
0
3 0
192
DISTRIBUCIÓN ACUMULADA:
La distribución acumulada F(X) de una VA Continua X con una función de
densidad f(x) es:
x
F(X) = P(X x) = f(t)dt para x
Para el ejercicio anterior encontraremos F(X) para 0 < x 1
x x
2 t3 X3
F(X) t dt
0
3 0
3
Por lo tanto,
0 si x 0
X3
Fx(X)= 3 0< x <1
1 x 1
ESPERANZA MATEMÁTICA (VALOR ESPERADO) Y VARIANZA DE UNA
VARIABLE ALEATORIA:
La media (o valor esperado) de una variable aleatoria no es más que el valor
promedio de dicha variable después de un número grande de experimentos. Se
hará referencia a este valor promedio como la media de la VA X o la media de
la distribución de probabilidad de X, y se expresa como x. También es
común expresarla como E(X).
La media o valor esperado de una VA Discreta puede obtenerse al multiplicar
cada uno de los valores x1, x2,…, xn de la VA X por sus correspondientes
probabilidades f(x1), f(x2),…, f(xn) y entonces, se suman todos los productos. En
el caso de VA Continuas, la definición de valor esperado es esencialmente la
misma, con la diferencia de que las sumas se sustituyen por integrales.

6. μx E(X) x f(x) Si X es Discreta
x
μx E(X) x f(x) dx Si X es Continua
Ej: Encuentre la Media o Valor esperado de la siguiente variable aleatoria
discreta X, cuya Distribución de Probabilidad se presenta a continuación:
X 0 1 2 3
f(x) 1/8 1/4 3/8 1/4
μx E(X) x f(x) = 0x1/8 + 1x1/4 + 2x3/8 + 3x1/4 = 1,75
x
Ej: Para la siguiente VA Continua cuya Función de densidad aparece a
continuación, encuentre su media.
3x 2
fx(X)= 8 0< x <2
0 en otro caso
2 2 2
3x2 3 3 31 4 3
μx E(X) x f(x) dx = x dx x dx x 1,5
0
8 80 84 0 2
VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA:
El término de varianza con el que se trabajará para las VA mantendrá el mismo
significado que se vio en el tema nº1 en cuanto a las Medidas de Dispersión.
La Varianza de una VA representa el grado de Variabilidad o Dispersión que
posee la Distribución de Probabilidad de dicha Variable Aleatoria y se
representa por Var(X) o σ 2 .
x
Sea X una VA con distribución de probabilidad f(x) y media x. La varianza de X
esta dad por:
2 2
σ2
x E X μ X μ f(x) Si X es discreta
x
2 2
σ2
x E X μ X μ f(x)dx Si X es continua

7. Teorema: La varianza de una VA X también está dada por: σ2
x E(x 2 ) μ2
x
Ej: Para los ejercicios anteriores determine la Varianza de la VA X.
En el caso Discreto:
3
2 2 2 2 2
σ2
x x 1,75 f(x) 0 1,75 18 1 1,75 14 2 1,75 38 3 1,75 14
x 0
15
σ2
x 0,9375
16
En el caso Continuo:
2 2 2
2 2 3 2 3 9 2
σ 2
x X 1,5 f(x)dx X 1,5 x dx x 4 3x3 x dx
0 0
8 80 4
2
3 5 9 4 9 3 3
σ 2
x x x x 0,15
40 32 32 0 20