apuntes

1. Interpolación Lineal
y
Polinomios de Newton
Guillermo Castro 200670305
Jairo Valverde 200669165
Nathalie Chavarría 200663611
Rodny Céspedes 200658110
Rogelio Salazar 200324364

2. Interpolación Lineal
La Interpolación lineal es la forma
más simple de interpolación; pues
esta consiste en conectar dos
puntos con una línea recta.

3. El método se observa de la siguiente manera:
Usando triángulos
semejantes:

4. Partiendo de:
Despejando:
Obtenemos:

5. En general:
 La notación f(X) indica que se trata de un polinomio de
interpolación de primer orden
Además de representar la pendiente de la línea que
conecta los dos puntos, el término [f(X1) - f(X0)] / (X1 –
X0) es una aproximación de diferencias divididas finitas a
la primera derivada

6. Ejemplo 1:
Calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando
interpolación lineal.
Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando
entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.7917595.
 Después repítase el procedimiento, pero usando
un intervalo más pequeño desde:
ln 1 = 0 a ln 4 = 1.3862944.
Nótese que el valor real de ln2 = 0. 69314718

7. Solución:
Evaluando la fórmula de interpolación lineal (3) de X =
1 a X = 6 da:
La cual representa un error porcentual de e% = 48.3
%. Usando el intervalo más pequeño desde X = 1 a X
= 4 da:
Utilizando el intervalo más pequeño se reduce el error
relativo porcentual a e% = 33.3%.

9. ¿Cuándo falla el método de
interpolación lineal?
Cuando la derivada es horizontal en
un punto. Además, el valor de la segunda
derivada es muy grande.

10. Ejemplo 2:
Estime el logaritmo base 10 de 5 (log 5):
Primero, llévese a cabo los cálculos
interpolando entre log 4 = 0.60206 y log 6 =
0.7781513.
 Después repítase el procedimiento, pero
usando un intervalo más pequeño desde:
log 4.5= 0.6532125 a log 5.5 = 07403627.
Nótese que el valor real de log 5 = 0. 6989700043

11. Solución:
Evaluando la fórmula de interpolación lineal de
X = 4 a X = 6 da:
La cual representa un error porcentual de e% =
1.268 %. Usando el intervalo más pequeño
desde X = 4.5 a X = 5.5 da:
Utilizando el intervalo más pequeño se reduce
el error relativo porcentual a e% = 0.31223%.

12. Polinomios de Interpolación
de Newton
La estrategia de este método consiste en mejorar la
estimación introduciendo curvatura a la línea de
unión de puntos.
Para generalizar, se utiliza el polinomio de grado n
para diferencias divididas de newton como:
fn (x) = b0 + b1 ( x – x0) + b2 ( x– x0 ) ( x – x1 ) + ... + bn ( x - x0 )
( x – x1 ) ( x – x2 )… ( x - xn-1).

13. Donde los coeficientes se obtienen utilizando los (n+1)
puntos requeridos de la siguiente forma:
b0 = f (x0)
b1 = f [x1, x0]
b2 = f [x2, x1, x0]
.
:
bn = f [xn, xn-1, ..., x1, x0]

14. Donde las evaluaciones de la función colocadas
entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por
ejemplo:
1. f [ xi, xj] = f(xi) - f(xj)
xi – xj
2.
f [ xi, xj , xk] = f [xi, xj ] - f [ xj, xk ]
xi - xk

15. En general, la n-ésima diferencia
dividida finita es:
f[xn, xn-1, xn-2, x1, x0] = f[xn, xn-1, xn-2, x1] - f[xn-1, xn-2,x1,x0]
xn – x0

18. Para concluir la secuencia anterior
se llega a:

19. X f(X)
X0=1 0.000 0000
X1=4 1.386 2944
X2=6 1.791 7595
X3=5 1.609 4379
Ejemplo 1:
Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2
con un polinomio de interpolación de Newton con
diferencias divididas de tercer orden.

20. Solución:
Primero debemos recordar que el polinomio con
n = 3, es:

21. Las primeras diferencias divididas del problema
son:

22. Las segundas diferencias divididas son:

23. La tercera diferencia dividida es:

24. i xi f (xi)
Primera
diferencia
dividida
Segunda
diferencia
dividida
Tercera
diferencia
dividida
0 1.0 0.00000000
0.46209813
1 4.0 1.3862944 - 0.051873116
0.20273255 0.0078655415
2 6.0 1.7917595 - 0.020410950
0.18232160
3 5.0 1.6094379

25. i xi f (xi)
Primera
diferencia
dividida
Segunda
diferencia
dividida
Tercera
diferencia
dividida
0 1.0 0.00000000
0.46209813
1 4.0 1.3862944 - 0.051873116
0.20273255 0.0078655415
2 6.0 1.7917595 - 0.020410950
0.18232160
3 5.0 1.6094379

26. Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2,
x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con
b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da:
f3 (x) = 0 + 0.46209813 (x - 1) - 0.0518731 (x - 1) (x - 4)
+ 0.0078655415 (x - 1) (x - 4) (x - 6)
Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=2,
f3(2) = 0.62876869, lo que representa un error del
εa % = 9.3%.

27. Ejemplo 2:
Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese log 5
con un polinomio de interpolación de Newton de tercer
grado:
X f(X)
X0=4 0.60206
X1=4.5 0.6532125
X2=5.5 0.7403627
X3=6 0.7781513

28. Solución:
Nuevamente debemos recordar que el polinomio
con n = 3, es:

29. Las primeras diferencias divididas del problema
son:
A continuación se facilitará la tabla con las diferencias
divididas

30. Las segundas diferencias divididas son:

31. La tercera diferencia dividida es:

32. i xi f (xi)
Primera
diferencia
dividida
Segunda
diferencia
dividida
Tercera
diferencia
dividida
0 4 0.60602
0.094385
1 4.5 0.6532125 - 0.0048232
0.0871502 -0.001446065
2 5.5 0.7403627 - 0.00771533
0.0755772
3 6 0.7781513

33. Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2,
x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con
b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da:
f3 (x) = 0.60602 + 0.094385 (x - 4) - 0.0048232(x – 4) (x – 4.5)
-0.001446065 (x - 4) (x –4.5) (x – 5.5)
Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=5,
f3(5) = 0.6983549163, lo que representa un error del
εa % = 0.087999%.