estudio

1. Capítulo 8
Interpolación
Polinómica

2. REGRESION INTERPOLACION
Los Métodos Numéricos
Métodos mas utilizados
Ajuste de Curvas y Modelamiento

3. INTRODUCCIÓN
 La finalidad del cálculo de las funciones de
interpolación se centra en la necesidad de obtener
valores intermedios (INTERPOLACIÓN) o de
valores fuera del intervalo para el que se dispone
de datos (EXTRAPOLACIÓN).
 Como es difícil encontrar la función representativa
de un conjunto de datos, es mejor aproximarlo a
una forma polinómica.

4. Interpolación polinómica
 En análisis numérico, la interpolación polinomial es una técnica de
interpolación de un conjunto de datos o de una función por un
polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por
muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un
polinomio que pase por todos los puntos.
X Y
-----------------------
X1 Y1
X2 Y2
X3 Y3
X 4 Y4
…… ……
Xn Yn

5. Interpolación lineal
x=[0 1 2 3 4 5 6];
Y=[0 0.9 1 0.2 -0.9 -1 -0.3];
Encontrar Y(1.5)

6. Interpolación Numérica
Interpolación
 Sustitución de una función (conocida o
tabulada) por otra más simple
 Interpolante como combinación de la base de
un espacio funcional:
Funciones base: polinómicas, trigonométricas, …
 Función interpolante “coincide” con la inicial
 Lagrange: valor de la función en algunos puntos
 Taylor: valor de las derivadas en un punto
 Hermite: valor de la función y la derivada
   
0
n
i i
i
x x
  

 

7. Interpolación Numérica
Objetivos de la Interpolación
 Plantear las condiciones de existencia y unicidad de solución
del problema general de interpolación
 Saber que el problema de Lagrange tiene un único polinomio
de interpolación de grado mínimo
 Conocer las diferentes formas de representar dicho polinomio
 Conocer las ventajas e inconvenientes de las formas de
Lagrange y de Newton
 Comprender la relación entre diferencias divididas y expansión
en serie de Taylor y su uso para acotar el error
 Comprender las limitaciones e incertidumbres de la
extrapolación
 Valorar las ventajas e inconvenientes de los diferentes
interpolantes segmentarios

8. Introducción:
Se trata de obtener un polinomio (polinomio de interpolación) que
cumpla:
f(x )≈ p(x).
en una serie de n puntos x0, x1, …, xn .

9. Interpolación con polinomios MUESTRAS
PEQUEÑAS
 se utiliza una función interpoladora de tipo
polinómico de grado no mayor que n, siendo n el
número de puntos conocidos menos uno


10. Interpolación lineal
Encontrar P(13) a través
de los puntos
(x0,y0)=(12,18),
(x1,y1)=(14,21)
5 10 15 20
5
10
15
20
25
Hora
Grados







1
1
1
0
0
0
1
0
y
x
a
a
y
x
a
a







21
a
14
a
18
a
12
a
1
0
1
0
x
a
a
)
x
(
P 1
0
1 


11. La solución de estas 2 ecuaciones, nos da los
valores de ao , a1
A=[1 12 18;1 14 21];
Sol=rref(A)
Ejecutando
Sol =[1.00 0.00 0.00
0.00 1.00 1.50]
Equivale ao =0, a1=1.5
Y=0 +1.5x
Y(13)=1.5(13)=19.5

12. Interpolación lineal
x0 x x1
f(x0)
f1(x)
f(x1)
f(x)
Utilizando triángulos semejantes
       
0
1
0
1
0
0
1
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f





Reordenando
        
0
0
1
0
1
0
1 x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f 





13. Interpolación con ajuste
cuadrático
Expresión del polinomio
Condiciones de interpol
El polinomio puede ser
P(x)=a+bx + cx2,
entonces 5 10 15 20
5
10
15
20
25
Hora
Grados
Polinomio de grado2
















2
2
2
2
2
1
0
1
2
1
2
1
1
0
0
2
0
2
0
1
0
y
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
a
2
2
1
0
2 x
a
x
a
a
)
x
(
P 



14. Ej1.- Dados (1,1), (3,6), (5,1). Hallar f(4)
X=[1, 3, 5]; Y=[1, 6, 1];plot(X,Y);grid;
P(x)=a+bx + cx2
a +b + c = 1
a +3b+9c=6
a+5b+25c=1
A=[1 1 1 1;1 3 9 6;1 5 25 1];abc=rref(A)
Ejecutando en octave, se obtiene
abc = 1.00 0.00 0.00 -5.25
0.00 1.00 0.00 7.50
0.00 0.00 1.00 -1.25
Es decir: a=-5.25; b=7.5; c=-1.25;
Y(4) = y4=a+b*4+c*16
y4 = 4.75

15. Expresión
Determinación































n
2
1
0
n
n
n
2
n
2
n
1
0
n
2
n
2
2
2
2
1
0
n
1
n
2
1
2
1
1
0
n
0
n
2
0
2
0
1
0
y
y
y
y
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
a










n
n
2
2
1
0
n x
a
x
a
x
a
a
)
x
(
P 



 
Forma normal del polinomio
de interpolación

16. Ej2. Interpolación polinomial
Dados x=[0 1 2 3 4 5 6];
Y=[0 0.9 1 0.2 -0.9 -1 -0.3];
x1=1.5
Encontrar y(1.5)
Podemos utilizar diferentes
Alternativas: segmentario lineal entre (1,0.9)y (2,1), y(1.5)=0.95
Segmentario parabólico entre (1,0.9),(2,1),(3,0.2):P(x)=a+bx+cx2
a+b+c =0.9
a+2b+4c=1
a+3b+9c=0.2
P=1.06

17. Contin. Ej.2. Forma cuadrática
x=[0 1 2 3 4 5 6];
Y=[0 0.9 1 0.2 -0.9 -1 -0.3];
a=0
a+b+c =0.9
a+2b+4c=1
a+3b+9c=0.2
b+c =0.9
b+2c =0.5 -- > c=-0.4
bc=[1 1 0.9;1 2 0.5];bc=rref(bc)
b+c =0.9
b+3c =0.2/3=0.066 -- > 2c=-0.83 -- > c=-0.415
c =-0.41, b=1.31
x=1.5;P=1.31*x-0.41*x^2
y(1.5)=1.04; y(0.5)=0.55

18. Ej3.Interpolación forma cúbica
x=[0 1 2 3 4 5 6];
Y=[0 0.9 1 0.2 -0.9 -1 -0.3];
Encontrar y(4.5), y(5.5)
P(x) =a+bx + cx2 + dx3
Escogemos
x=[1 2 5 6];
Y=[0.9 1 -1 -0.3];
a+b+c+d=0.9
a+2b+4c+8d=1
a+5b+25c+125d=-1
a+6b+36c+216d=-0.3

19. Cont Ej3.Interpolación polinomial
a+b+c+d=0.9
a+2b+4c+8d=1
a+5b+25c+125d=-1
a+6b+36c+216d=-0.3
A=[1 1 1 1 0.9; 1 2 4 8 1;1 5 25 125 -1;1 6 36 216 -0.3];
A=rref(A)
A =
1.00 0.00 0.00 0.00 -0.65
0.00 1.00 0.00 0.00 2.49
0.00 0.00 1.00 0.00 -1.04
0.00 0.00 0.00 1.00 0.11
>> x=4.5;y=-0.65+2.49*x-1.04*x*x+0.11*x^3
y = -0.48

20. Forma de Lagrange del
polinomio de interpolación
Polinomios de Lagrange
Polinomio de interpolación
n
,
,
2
,
1
,
0
i
para
)
x
x
(
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
(
)
x
x
(
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
(
)
x
(
n
i
1
i
i
1
i
i
0
i
n
1
i
1
i
0
in



















L
(x)
y
···
(x)
y
(x)
y
(x)
y
(x)
P n
n
2
2
1
1
0
0
n L
L
L
L 





21. Polinomio de interpolación de Lagrange
Sea una función f(x), de tal manera que conozcamos su valor en cada uno de
n+1 puntos: f(x0), f(x1), …, f(xn).
1º. Obtenemos los “multiplicadores o coeficientes de Lagrange”):
0 1 1 1
0 1 1 1
( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )
( )
( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )
k k n
k
k k k k k k k n
x x x x x x x x x x
L x
x x x x x x x x x x
 
 
          

          
Son n+1 coeficientes: conk=0, 1, 2, …, n .
0
( )
( )
( )
n
i
k
i k i
i k
x x
L x
x x






i = 0, 1, 2, …, n
k = 0, 1, 2, …, n

22. Propiedad de los coeficientes Lk(x):
El coeficiente Lk(x) se anula en cada punto xi, excepto en el xk que tiene el
valor 1 (valor máximo).
Ejemplo: Supongamos como soporte los seis puntos siguientes,
x0 = 1, x1 = 3, x2 = 4, x3 = 6, x4 = 8, x5 = 9.
3
( 1) ( 3) ( 4) ( 8) ( 9)
( )
(6 1) (6 3) (6 4) (6 8) (6 9)
x x x x x
L x
        

        

23. El polinomio de interpolación deLagrange se
obtiene:
0
( ) ( ) ( )
n
k k
k
p x f x L x

 

24. EJEMPLO: Si los valores de la función en los cuatro puntos:
x0=2, x1=2.5, x2=3, x3=4,
es:
f(x0) = 7.3890, f(x1) = 12.1825, f(x2) = 20.0855, f(x3) = 54.5980
Hallemos el polinomio de interpolación de Lagrange:
3 2
0
3 2
1
3 2
2
3
( 2.5)( 3)( 4)
( ) 9.5 29.5 30
(2 2.5)(2 3)(2 4)
( 2)( 3)( 4)
( ) 2.66667 24 69.3333 64
(2.5 2)(2.5 3)(2.5 4)
( 2)( 2.5)( 4)
( ) 2 17 46 40
(3 2)(3 2.5)(3 4)
( 2)( 2
( )
x x x
L x x x x
x x x
L x x x x
x x x
L x x x x
x x
L x
  
     
  
  
    
  
  
     
  
 
 3 2
.5)( 3)
0.3333 3.5 6.16667 5
(4 2)(4 2.5)(4 3)
x
x x x

   
  

25. El polinomio de interpolación de Lagrange es:
p(x) = f(x0) L0(x) + f(x1) L1(x) + f(x2) L2(x) + f(x3) L3(x)
p(x) = 3.12601 x3 – 17.2259 x2 + 39.432 x – 27.5792

26. Ej. Dados x=[-3 0 1 4 6 ];y=[-8 5 -1 7 -3 ];xi=5 encontrar y(5) con el
Algoritmo de Lagrange en Octave
 clc;clear;
 x=[-3 0 1 4 6 ];y=[-8 5 -1 7 -3 ];LS=0;xi=5;n=5;
 plot(x,y);grid;
 for i=1:n
 L=1;
 for j=1:n
 if i~=j
 L=L*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));
 end
 end
 LS=LS+L*y(i);
 end
 sol=LS

27. Los resultados se verifican con los datos originales
como y(4)=7, y se corrigen y ajustan con la Gráfica
.
Y(5)= 8.8783, según Lagrange
Y(5)=4, valor corregido, suavisado y ajustado con la gráfica
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8

28. Ej. Encontrar y(5.5) mediante el algoritmo de Lagrange y
ayuda del Octave
x=[0 1 2 3 4 5 6];
Y=[0 0.9 1 0.2 -0.9 -1 -0.3];
Encontrar y(4.5), y(5.5)
P(x) =a+bx + cx2 + dx3
Escogemos
x=[1 2 5 6];y=[0.9 1 -1 -0.3];
Luego se ingresan estos datos en el Programa de Octave
Y obtenemos y(5.5)= -0.83 (Lagrange)

29. Interpolación Numérica
Otra Forma de Lagrange
Grado n y además
Ejemplo
   
0
:
n
n n k
k
i i k i
k i k
k i
x x
L x L x
x x




 


 
   
   
3 2
3
2
2 1 2 4 4
1 2 1 1 1 2 6
x x x x x x
L x
     
 
   
 
   
   
3 2
3
1
2 1 2 4 4
1 2 1 1 1 2 6
x x x x x x
L x
     
 
     
 
   
   
3 2
3
3
2 1 1 2 2
2 2 2 1 2 1 12
x x x x x x
L x
     
 
  
 
   
   
3 2
3
0
1 1 2 2 2
2 1 2 1 2 2 12
x x x x x x
L x
     
 
      
             
3 3 3 3 3
13 3
5 5
0 1 2 3
0
3 2 3 2 3 2 3 2
13 3
5 5
3 2
1 1 2
10 2 5
3 2
2 2 4 4 4 4 2 2
3 2
12 6 6 12
3
n
n i i
i
P x f x L x L x L x L x L x
x x x x x x x x x x x x
x x x

      
           
    
 
   

x F(x)
X0=-2 -13/5
X1=-1 -3
X2=1 -2
X3=2 3/5

30. Interpolación Numérica
Forma de Lagrange (II)
 Ventajas
 Fácil de calcular
 Independientes de la
función a interpolar
 Inconvenientes
 El interpolante puede ser
mucho más simple que
los polinomios de
Lagrange
 Si cambia el soporte los
polinomios obtenidos son
inútiles, es necesario
repetir todo el proceso
Función
{(-2,-5),(-1,-3),(1,1),(2,3)}
     
       
3
0
3 3 3 3
0 1 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
5 3 1 3
2 2 4 4
5 3
12 6
4 4 2 2
1 3
6 12
0 0 2 1
n
n i i
i
P x f x L x
L x L x L x L x
x x x x x x
x x x x x x
x x x

 
     
     
   

     
 

   


31. Interpolación Numérica
Ejemplos
 Existencia y unicidad de
 F(-)=1,F(0)=0,F()=1
– Base polinómica: solución única
– {1,sen(x),sen(2x)}: sin solución
– {1,cos(x),cos(2x)}: solución múltiple
 F(x0)=y0,F(x1)=y1,F’(x2)=y2
– Base polinómica:
– Solución única si
     
     
1 1
2 2
1 1
2 2
1 cos 0 cos 2
0 1 cos cos 2
x x x
x x x




  
  
   
2 2
1
2 0 0
P x x x

  
 
1
0 1 2 0 1
2
x x x x x
   

32. Expresión
Pn(x) = c0 + c1(xx0) + c2(xx0)(xx1) +   
+ cn(xx0)(xx1)    (xxn1)
Determinación algebraica
Pn(x0) = y0 = c0
Pn(x1) = y1 = c0+ c1(x1x0)
Pn(x2) = y2 = c0+ c1(x2x0) + c2(x2x0)(x2x1)
Forma de Newton del
polinomio de interpolación

33. MÉTODO DE NEWTON
P2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)
Ej. Hallar f(4). Dados los puntos
1 3 5
1 4 1
P(x)= b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)
P(x)=b0 + b1(x – 1) + b2(x – 1)(x – 3)
P(3)=1+ b1(3 – 1) =4 -- >b1 =3/2
b2=

34. Interpolación Numérica
Forma de Newton – Diferencias Divididas (I)
 Origen:
 Propiedades
 Simetría
 Cálculo
       
1 1
0 1
0 0
0 0
, ,
i i
n n
n i k i k
i i
k k
P x x x f x x x x x

 
 
 
   
 
 
       
     
1
1
0
1
1
0
n
n n n n k
k
n
n n n k
k
Q x P x P x x x
P x P x x x








   
  


 
 
 
 
      
0 1
0 0 0 1 1
0
, ,
k k
i i
k k
i i i i i i i i n
i j
j
j i
f x f x
f x x x
x x x x x x x x
x x
   


 
   

 

   
 
   
0 0
0 1 1 1 1
0 1 1
0
, , , ,
, , , k k k
k k
k
f x f x
f x x x f x x x
f x x x x
x x
 





Demo
Demo

35. Interpolación polinomial de Newton
Revisaremos solo algunos casos: lineal, de segundo grado y
de tercer grado.

36. Interpolación cuadrática y cúbico
Polinomio cuadrático
f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) (1)
f3(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)+ b3(x – x0)(x – x1)(x – x2)
f2(x) = b0 + b1x – b1x0 + b2x2 + b2x0 x1 – b2xx0 – b2xx1
Podemos escribirlo como
f2(x) = a0 + a1x + a2x2
Donde
a0 = b0 – b1x0 + b2x0 x1, a1 = b1 – b2x0 – b2x1, a2=b2
Podemos evaluar b0, b1 y b2 sustituyendo x0, x1 y x2 en la ecuación (1), se obtiene
b0 = f(x0)
   
0
1
0
1
1
x
x
x
f
x
f
b



       
0
2
0
1
0
1
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
b








37. Ejemplo 2
Calculemos ln 2 con ln 4 y ln 6, los punto que se conocen son:
x0 = 1 f(x0) = 0
x1 = 4 f(x0) = 1.386294
x0 = 6 f(x0) = 1.791759
Aplicando las ecs. anteriores
b0 = 0
b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981
b2 = ((1.791759 – 1.386294)
/(6 – 4) – 0.4620981)/(6 – 1)
= – 0.0518731
El polinomio es
f2(x) = 0.4620981(x – 1) – 0.0518731(x – 1)(x – 4)
f2(2) = 0.5658444
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x) = ln x
Estimación cuadrática
Valor verdadero
Estimación lineal
Valor real ln 2 = 0.6931472
Error relativo porcentual = 18.4%

38. Interp. Diferencias divididas
.
Pn(x0) = ƒ(x0) = a0. Pn(x1)= a0 + a1(x1 – x0),
como Pn(x1)= ƒ(x1) y a0= ƒ(x0), entonces
reemplazando se tiene
ƒ(x1)=ƒ(x0) + a1(x1–x0), donde

39. Ejemplo : Halle el polinomio que interpola los datos:
.
Luego P3(x)=4 – 0.5(x - 1) + 0.5(x - 1)(x - 2) – 0.1(x - 1)(x - 2)(x - 3)
P(4)=4-0.5(3)+0.5(3)(2)-0.1(3)(2)(1)
P(4)=4-1.5+3-0.6 = 4.9
X 1 2 3 5
f(x) 4 3.5 4 5.6
xi f(xi)
1 4
-0.5
2 3.5 0.5
0.5 -0.1
3 4 0.1
0.8
5 5.6

40. Ej. Si x=[-3,0,1,4,6];y=[-8,5,-1, 7,-3]; encontrar y(3)
 clc;clear;x=[-3,0,1,4,6];y=[-8,5,-1, 7,-3];plot(x,y);grid;
 D(:,1)=y';xi=3;n=5;
 for j=2:n
 for k=j:n
 D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));
 end;
 end;
 P=D(1,1);
 for k=1:n-1
 F=1;
 for j=1:k
 F=F*(xi-x(j));
 end;
 P=P+F*D(k+1,k+1);
 end;
 fprintf('Pd=');disp(P);

41. Las diferencias finitas son:
-3 -8.00 0 0 0 0
0 5.00 4.33 0 0 0
1 -1.00 -6.00 -2.58 0 0
4 -7.00 -2.00 1.00 0.51 0
6 -3.00 2.00 0.80 -0.03 -0.06

42. La matriz de las diferencias divididas y el polinomio de Newton son como
sigue:
 -1 -8.00 0 0 0 0
 0 4.00 12.00 0 0 0
 2 -1.00 -2.50 -4.83 0 0
 4 -5.00 -2.00 0.13 0.99 0
 6 2.00 3.50 1.38 0.21 -0.11
P(x)=-8+12(x+1)-4.83(x+1)x+0.99(x+1)x(x-2)-0.11(x+1)x(x-2)(x-4)
P(3)=-4.7571

43. Interpolación Numérica
Forma de Newton – Diferencias Divididas (II)
Cálculo de la tabla de Diferencias divididas
x F(x)
x0=-2
x1=-1
x2=1
x3=2
          
     
0 0 1 0 0 1 2 0 1
0 1 0 1 1
, , ,
, ,
n
n n
P x f x f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x 
      
  
  13
0 5
f x 

 
1 3
f x  
 
2 2
f x  
  3
3 5
f x 
 
       
   
13
0 1 5
0 1
0 1
3 2
,
2 1 5
f x f x
f x x
x x

 

   
   
 
       
   
1 2
1 2
1 2
3 2 1
,
1 1 2
f x f x
f x x
x x
   
  
  
 
       
   
3
2 3 5
2 3
2 3
2 13
,
2 1 5
f x f x
f x x
x x
 

  
 
 
   
0 1 1 2
0 1 2
0 2
, , 3
, ,
10
f x x f x x
f x x x
x x

 

 
   
1 2 2 3
1 2 3
1 3
, , 7
, ,
10
f x x f x x
f x x x
x x

 

 
   
0 1 2 1 2 3
0 1 2 3
0 3
, , , , 1
, , ,
10
f x x x f x x x
f x x x x
x x

 

          
        
13 3
2 1
5 5 10 10
3 13 7 1
5 5 10 10
2 2 1 2 1 1
2 2 1 2 1 1
n
P x x x x x x x
x x x x x x
 
         
         
  3 2
1 1 2
3 10 2 5 3
P x x x x
   

44. Interpolación Numérica
Problema de Hermite
 Existencia y unicidad asociadas al sistema
 Base polinónica: soporte sin puntos repetidos
 Base trigonométrica: soporte sin puntos repetidos y
comprendidos en [-  ,  ]
         
         
         
         
         
0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
0 1 1 2 1
0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 1
0 1 1 2 1 2 1
n n n
n n n
n n n n n n n n n
n n n n
n n n n n n n n n
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
     
     
     
     
     
 
 
 
  
  
 
 
 
 
 
 
 
    
 
 
 
     
 
 
 
 
 
 
0
1
0
n
n
f x
f x
f x
f x
f x
 

 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
  
  
   
   
   
2 1
0
: , 0,1,
n
k k
i i
i k k
x f x
x x k n
x f x

  






 

 




 
2 3 2 1
1, , , , n
x x x x 
       
 
1,sin ,cos , sin ,cos ,
x x kx kx

45. Interpolación Numérica
Problema de Taylor
 Existencia y unicidad asociados al sistema
 Series de potencias
– Criterios del cociente y de la raíz
– Si L=, converge en x=0, si L=0, converge x
– Sino converge para |x|<1/L
     
   
 
0
: , 0,1,
n
k k
i i
i
x x a f a k n
   

  

     
     
 
   
   
 
 
 
 
 
0 1 0
0 1 1
0 1 0
n
n
n n n n
n
n
a a a f a
a a a f a
a a a f a
   
   

  
   
 
   
 
   
   
  
   
 
   
 
   
 
   
 
¿ ?
0
converge
k
k
k
x x
 





1
lim lim
k k
k
k k
k
L L




 
  

46. Interpolación Numérica
Forma de Newton – Diferencias Divididas (III)
 Ventajas
 Los cálculos son muy
simples
 La tabla de
diferencias divididas
se simplifica cuando
el interpolante es de
menor grado
 Las operaciones se
pueden reutilizar al
añadir o eliminar
puntos
 Inconvenientes
 El cálculo depende de la
función
 Polinomio:y=2x-1
– {(-2,-5),(-1,-3),(1,1),(2,3)}
x F(x)
x0=-2 -5
x1=-1 -3 2
x2=1 1 2 0
x3=2 3 2 0 0

47. 0
0
0 y
]
x
[
f
=
c 
0
2
1
0
2
1
2
1
0
2
x
x
]
x
,
x
[
f
]
x
,
x
[
f
]
x
,
x
,
x
[
f
c




0
k
1
k
1
0
k
2
1
k
1
0
k
x
x
]
x
,
x
,
f[x
]
x
,
x
,
f[x
]
x
,
x
,
f[x
c



 



0
1
0
1
1
0
1
x
x
]
x
[
f
]
x
[
f
]
x
,
x
[
f
=
c



Diferencias divididas





48. ]
x
,
x
,
x
,
x
[
f
]
x
,
x
,
x
[
f
]
x
,
x
[
f
]
x
[
f
y
]
x
,
x
,
x
[
f
]
x
,
x
[
f
]
x
[
f
y
]
x
,
x
[
f
]
x
[
f
y
]
x
[
f
y
3
2
1
0
3
2
1
3
2
3
3
2
1
0
2
1
2
2
1
0
1
1
0
0




12 18
14 21 1.5000
10 12 2.2500 -0.3750
16 19 1.1667 -0.5417 -0.0417
Tabla de diferencias divididas
Ejemplo de las temperaturas

49. Evaluación de los polinomios
6 8 10 12 14 16 18 20
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
Grados 0 a 3

50. Interpolación Numérica
Forma de Newton – Diferencias Finitas
 Puntos equiespaciados xk=x0+k h
Progresivas
Regresivas
 Relaciones





    1 1
1 1
y n n n
k k k k k k
f f x f x f f f
 
 
      
    1 1
1 1
y n n n
k k k k k k
f f x f x f f f
 
 
      
1 y n n
k k k k n
f f f f
 
     
 
1
! , , ,
n n
k k k k n
f n h f x x x
 
 
 
0
1
n
n i
n
k k n i
i
n
f f
i

 

 
    
 

 
0
1
n
n i
n
k k i
i
n
f f
i



 
    
 

 
1
! , , ,
n n
k k n k k
f n h f x x x
 
 