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- 2. LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante diferencia entre magnitudes escalares y vectoriales, identificar los elementos de un vector, descomponer los vectores así como también resuelve problemas de vectores utilizando el algebra vectorial obteniendo sus resultados siguiendo una secuencia lógica y fundamentada.
- 3. CONTENIDO Magnitudes Escalares y Vectoriales. ❖ Diferencia entre magnitudes escalares y vectoriales. ❖ Definición de Vector. ❖ Representación gráfica y analítica de un vector. ❖ Componentes de un vector. Operaciones con vectores. ❖ Producto de un escalar por un vector. ❖ Suma de vectores por el método gráfico y por el método analítico. ❖ Producto de vectores.
- 4. MAGNITUDES FÍSICAS Magnitudes Físicas Escalares Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad Vectoriales Asociadas a propiedades que se caracterizan no solo por su cantidad sino por su dirección y su sentido
- 6. VECTOR ¿Qué es un vector? Los vectores son segmentos de recta orientados que se emplean para representar la dirección de las magnitudes vectoriales, y si se usa una escala adecuada también pueden representar la medida de las magnitudes vectoriales. ¿Por qué son importantes los vectores para la física? Es importante para la física como herramienta matemática para estudiar los distintos fenómenos naturales que tienen además de su módulo tienen dirección y sentido.
- 7. VECTOR ✓ Es un ente matemático ✓ Un vector en física es un segmento orientado en el espacio ✓ Se puede caracterizar, por tanto, por cuatro elementos diferenciadores, que son: • Punto de Aplicación u origen • Dirección o línea de acción • Sentido del vector • Módulo del vector ✓ En física, un vector es una herramienta geométrica para representar una magnitud vectorial
- 9. VECTOR SÍMBOLOGIA DE UN VECTOR SÍMBOLO DE VECTOR: Ԧ 𝐴 𝑨 𝐴ො 𝑢 NOTA: Algunos textos utilizan la representación de un vector con letra negrita: A. SÍMBOLO DE MÓDULO: Ԧ 𝐴 𝐴
- 11. VECTOR Tensiones en los cables
- 12. VECTOR Tensiones en los cables
- 13. VECTOR Tensiones o fuerzas en los músculos Fuerzas de reacción
- 14. VECTOR Torques o momentos de fuerzas Trabajo mecánico
- 15. VECTOR Tensiones o fuerzas en los músculos Fuerzas de reacción
- 16. VECTOR Torques o momentos de fuerzas Trabajo mecánico
- 17. SISTEMA DE COORDENADAS cartesianas 2d y 3d En el sistema de coordenadas cartesianas un punto en el plano viene determinado por una pareja de números reales 𝑃 𝑥, 𝑦 y en el espacio por una terna 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 , también llamados coordenadas cartesianas 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑥 𝑂 𝑋 𝑌 𝑌 𝑍 𝑋 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧
- 18. COORDENADAS CARDINALES 50 𝑚, 40° 𝑁 del 𝐸 40 𝑚, 60° 𝑁 del 𝑂 60 𝑚, 65° 𝑂 del 𝑆 40° al Norte del Este 60° al Norte del Oeste 65° al Oeste del Sur 𝐸 𝑁 𝑂 𝑆 40° 65° 60° 𝟓𝟎 𝒎 𝟒𝟎 𝒎 𝟔𝟎 𝒎
- 19. COORDENADAS CARDINALES 𝑃𝐵 = 𝑁 𝛽 𝐸 𝑬 𝑵 𝑶 𝑺 𝛼 𝜙 𝛾 𝑩 𝑨 𝑫 𝛽 𝑪 𝑬 𝑵 𝑶 𝑺 𝑵𝑬 𝑵𝑶 𝑺𝑶 𝑺𝑬 𝑷
- 20. CLASES DE VECTORES Ԧ 𝑟 Ԧ 𝑟 Ԧ 𝑎 𝑏 Ԧ 𝑐 Vectores colineales Vectores Concurrentes Vectores Deslizantes Vectores Coplanares Ԧ 𝐴 𝐵 Ԧ 𝐶 Ԧ 𝐴 𝐵 Ԧ 𝐶 𝐷 Vectores ortogonales Ԧ 𝐴 𝐵
- 21. CLASES DE VECTORES Ԧ 𝑟 Ԧ 𝑟 Ԧ 𝑎 𝑏 Ԧ 𝑐 Vectores colineales Vectores Concurrentes Vectores Deslizantes Vectores Coplanares Ԧ 𝐴 𝐵 Ԧ 𝐶 Ԧ 𝐴 𝐵 Ԧ 𝐶 𝐷 Vectores ortogonales Ԧ 𝐴 𝐵
- 22. • Es un vector colineal con el vector original • Tiene un módulo igual a la unidad (Por ejemplo Ƹ 𝑒𝐴 = 1) • Se define como el vector dado entre su módulo correspondiente es decir VECTOR UNITARIO Ԧ 𝐴 Ƹ 𝑒𝐴 Ƹ 𝑒𝐴 = Ԧ 𝐴 Ԧ 𝐴 Ԧ 𝐴 = Ԧ 𝐴 Ƹ 𝑒𝐴 CLASES DE VECTORES
- 23. CLASES DE VECTORES Ƹ 𝑖, Ƹ 𝑗, 𝑘 Ƹ 𝑖 = Ƹ 𝑗 = 𝑘 = 1 ❖ A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores unitarios: ❖ Cada uno de estos vectores unitario tienen módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí. VECTOR UNITARIOS CANONICOS 𝒚 𝒙 𝒛 Ƹ 𝒊 Ƹ 𝒋 𝒌
- 24. CLASES DE VECTORES VECTOR POSICIÓN 𝒚 𝒙 𝒛 Ԧ 𝑟 𝑂 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 Ԧ 𝑟 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 − 0,0,0 Ԧ 𝑟 = 𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝑦 Ƹ 𝑗 + 𝑧 𝑘 Ԧ 𝑟 = 𝑂𝑃 Su módulo del vector posición es Ԧ 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
- 25. CLASES DE VECTORES 𝒚 𝒙 𝒛 Ԧ 𝑟𝑃 𝑂 𝑃 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 ∆Ԧ 𝑟 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 − 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 ∆Ԧ 𝑟 = 𝑥2 − 𝑥1 Ƹ 𝑖 + 𝑦2 − 𝑦1 Ƹ 𝑗 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑘 ∆Ԧ 𝑟 = 𝑄𝑃 Su módulo del vector posición es ∆Ԧ 𝑟 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 + 𝑧2 − 𝑧1 2 VECTOR POSICIÓN RELATIVO Ԧ 𝑟𝑄 𝑄 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
- 26. OPERACIONES VECTORIALES 𝑨 𝑩 𝑪 𝑹 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 ADICIÓN DE VECTORES
- 27. OPERACIONES VECTORIALES ADICIÓN DE VECTORES – MÉTODO GRAFICO Método del Paralelogramo Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes 𝜃 𝐵 Ԧ 𝐴 𝑅 𝐵 Ԧ 𝐴 𝑅 = Ԧ 𝐴 + 𝐵
- 28. OPERACIONES VECTORIALES ADICIÓN DE VECTORES – MÉTODO GRAFICO Método del Triángulo Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes 𝜃 𝐵 Ԧ 𝐴 𝑅 𝐵 Ԧ 𝐴 𝑅 = Ԧ 𝐴 + 𝐵
- 29. OPERACIONES VECTORIALES Método del Polígono ADICIÓN DE VECTORES – MÉTODO GRAFICO 𝑨 𝑩 𝑪 𝑹 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪
- 30. OPERACIONES VECTORIALES Método del Polígono Cerrado ADICIÓN DE VECTORES – MÉTODO GRAFICO 𝑨 𝑩 𝑪 𝑹 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎
- 31. OPERACIONES VECTORIALES ADICIÓN DE VECTORES CONCURRENTES Y COPLANARES Ԧ 𝐴 𝐵 𝑅 𝑅 = Ԧ 𝐴 2 + 𝐵 2 + 2 Ԧ 𝐴 𝐵 cos 𝜃 𝑅 sin 𝜋 − 𝜃 = Ԧ 𝐴 sin 𝛼 = 𝐵 sin 𝛽 ❖ La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de cosenos ❖ La dirección del vector resultante se halla mediante la Ley de Senos.
- 32. 𝒎𝑨 Y 𝑨 TIENEN LA MISMA ORIENTACIÓN 𝒏𝑨 Y 𝑨 TIENEN ORIENTACIONES OPUESTAS 𝒎, 𝒏 : ESCALARES 𝑨 𝒎𝑨 𝒎 > 𝟎 𝒏𝑨 𝒏 < 𝟎 MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
- 33. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que la suma de esta componentes nos de le vector original. La descomposición pude ser en un plano en el espacio. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO Ԧ 𝐴 = 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 tan 𝜃 = 𝐴𝑦 𝐴𝑥 Ԧ 𝐴 = Ԧ 𝐴𝑥 + Ԧ 𝐴𝑦 Ԧ 𝐴 = 𝐴𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝐴𝑦 Ƹ 𝑗 Ԧ 𝐴 = 𝐴 cos 𝜃 Ƹ 𝑖 + 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 Ƹ 𝑗 Ԧ 𝐴 = 𝐴(cos 𝜃 Ƹ 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 Ƹ 𝑗) Ԧ 𝐴 = 𝐴 Ƹ 𝑒𝐴 Ƹ 𝑒𝐴 = (cos 𝜃 Ƹ 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 Ƹ 𝑗) Ƹ 𝑗 𝑥 𝑦 Ԧ 𝐴 Ƹ 𝑖 Ԧ 𝐴𝑥 = Ԧ 𝐴𝑥 Ƹ 𝑖 Ԧ 𝐴𝑦 = Ԧ 𝐴𝑦 Ƹ 𝑗 𝜃 𝜃 = tan−1 𝐴𝑦 𝐴𝑥
- 34. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Ԧ 𝐴 = Ԧ 𝐴𝑎−𝑎 + Ԧ 𝐴𝑏−𝑏 EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen por el extremo del vector original formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes Ԧ 𝐴 Ԧ 𝐴𝑏−𝑏 Ԧ 𝐴𝑎−𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑎
- 35. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL En el Espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes Ԧ 𝐴 = Ԧ 𝐴𝐻 + Ԧ 𝐴𝑉 Ԧ 𝐴 = 𝐴𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝐴𝑦 Ƹ 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 Ԧ 𝐴 = 𝐴 cos 𝜃𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝐴 cos 𝜃𝑦 Ƹ 𝑗 + 𝐴 cos 𝜃𝑧 𝑘 Ԧ 𝐴 = 𝐴(cos 𝜃𝑥 Ƹ 𝑖 + cos 𝜃𝑦 Ƹ 𝑗 + cos 𝜃𝑧 𝑘) ො 𝑢 = (cos 𝜃𝑥 Ƹ 𝑖 + cos 𝜃𝑦 Ƹ 𝑗 + cos 𝜃𝑧 𝑘) 𝐴𝑅 = 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜: Ƹ 𝑗 Ԧ 𝐴𝑉 = 𝐴𝑧 𝑘 Ԧ 𝐴 𝑦 𝑧 𝑥 𝜃𝑦 𝜃𝑥 𝜃𝑧 Ԧ 𝐴𝑦 = 𝐴𝑦 Ƹ 𝑗 Ԧ 𝐴𝑥 = 𝐴𝑥 Ƹ 𝑖 𝑘 Ƹ 𝑖 Ԧ 𝐴𝐻
- 36. PRODUCTO ESCALAR Ԧ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ Ԧ 𝑎 Ԧ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏 cos 𝜃 Ԧ 𝑎 + Ԧ 𝑐 ∙ 𝑏 = Ԧ 𝑎 ∙ 𝑏+Ԧ 𝑐 ∙ 𝑏 Ԧ 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃 Se define como aquel número que representa el producto de los módulos de dos vectores en la misma línea de acción. Sus aplicaciones son múltiples; entre ellas: Determinar el ángulo entre líneas, cálculo del trabajo mecánico, etc. Propiedad del producto escalar: Conmutativa: Distributiva:
- 37. Características: 1. El producto escalar Ԧ 𝑎. 𝑏, es un número. 2. Es 0 si los vectores forman 90° (vectores perpendiculares). 3. Es máximo si los vectores forman 0°(vectores paralelos con igual sentido). 4. Es mínimo (negativo) si los vectores forman 180° (vectores con sentidos opuestos). PRODUCTO ESCALAR
- 38. Vectores unitarios diferentes (perpendiculares): Vectores unitarios iguales (paralelos): Sean los vectores: El producto escalar 𝒂 ∙ 𝒃 también se puede calcular usando la fórmula: 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 Para vectores de tres componentes: 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧 Ƹ 𝑖 ∙ Ƹ 𝑗 = 0 Ƹ 𝑖 ∙ 𝑘 = 0 Ƹ 𝑗 ∙ 𝑘 = 0 Ƹ 𝑖 ∙ Ƹ 𝑖 = 1 Ƹ 𝑗 ∙ Ƹ 𝑗 = 1 𝑘 ∙ 𝑘 = 1 PRODUCTO ESCALAR 𝒂 = 𝑎𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝑎𝑦 Ƹ 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘 𝒃 = 𝑏𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝑏𝑦 Ƹ 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘 𝒂 = 𝑎𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝑎𝑦 Ƹ 𝑗 𝒃 = 𝑏𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝑏𝑦 Ƹ 𝑗
- 39. Ԧ 𝑎 𝑏 𝜃 Ԧ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏 cos 𝜃 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 Ԧ 𝑎 ∙ 𝑏 𝑎𝑏 Ԧ 𝑎 ∙ 𝑏 𝑎; 𝑏 Muchas veces es importante medir el ángulo entre dos líneas, por que el producto escalar de vectores podrá ayudarnos con aquello. Ángulo entre dos líneas Imagine que posee estos vectores: Siga los siguientes pasos: 1. Calcule el producto escalar de ambos vectores 2. Determine el módulo de ambos vectores 3. Y, de la definición del producto escalar despeje el ángulo, y listo ¡
- 40. PRODUCTO ESCALAR PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1. El producto escalar es conmutativo 2. El producto escalar es distributivo 3. Producto de un escalar por el producto escalar 4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector Ԧ 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ Ԧ 𝐴 Ԧ 𝐴 ∙ 𝐵 + Ԧ 𝐶 = Ԧ 𝐴 ∙ 𝐵 + Ԧ 𝐴 ∙ Ԧ 𝐶 𝑐 Ԧ 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑐 Ԧ 𝐴 ∙ 𝐵 Ԧ 𝐴 + 𝐵 ∙ Ԧ 𝐶 = Ԧ 𝐴 ∙ Ԧ 𝐶 + 𝐵 ∙ Ԧ 𝐶
- 41. PRODUCTO ESCALAR PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 5. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales 6. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes. 7. Producto escalar de dos vectores Ƹ 𝑖 ∙ Ƹ 𝑖 = Ƹ 𝑖 Ƹ 𝑖 𝑐𝑜𝑠 0 = 1 Ƹ 𝑗 ∙ Ƹ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 1 Ƹ 𝑖 ∙ Ƹ 𝑗 = Ƹ 𝑖 Ƹ 𝑗 𝑐𝑜𝑠 Τ 𝜋 2 = 0 Ƹ 𝑖 ∙ 𝑘 = Ƹ 𝑗 ∙ 𝑘 = 0 Ԧ 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝐴𝑦 Ƹ 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 ∙ 𝐵𝑥 Ƹ 𝑖 Ԧ 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥 Ƹ 𝑖 ∙ 𝐵𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝐴𝑦 Ƹ 𝑗 ∙ 𝐵𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝐴𝑧 𝑘 ∙ 𝐵𝑥 Ƹ 𝑖 Ԧ 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 Ƹ 𝑖 ∙ Ƹ 𝑖 + +𝐴𝑦𝐵𝑥 Ƹ 𝑗 ∙ Ƹ 𝑖 + 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝑘 ∙ Ƹ 𝑖 Ԧ 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥
- 42. PRODUCTO ESCALAR PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 8. Producto escalar de dos vectores en forma de componentes Ԧ 𝐴 = 𝐴𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝐴𝑦 Ƹ 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 𝐵 = 𝐵𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝐵𝑦 Ƹ 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘. Entonces tenemos 9. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares Ԧ 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧 Ԧ 𝐴. 𝐵 = 0 ⇒ Ԧ 𝐴 ⊥ 𝐵
- 43. PRODUCTO VECTORIAL Ԧ 𝑎 𝑏 𝜃 𝒂 × 𝒃 𝒂. 𝒃. 𝒔𝒆𝒏𝜽 Dados dos vectores Ԧ 𝑎 𝑦 𝑏, el producto vectorial o producto cruz se define como: Ԧ 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 𝑏 sen 𝜃 ො 𝑢 Donde su módulo es: Ԧ 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Geométricamente, el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo formado por los vectores Ԧ 𝑎 y 𝑏.
- 44. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 1. La dirección del vector se define por la regla de mano derecha. 2. No posee propiedad conmutativa: 3. Es válida la propiedad distributiva: 4. Su módulo es 0 si los vectores forman 0° ó 180°. 5. Su módulo es máximo si los vectores forman 90°. Ԧ 𝑎 × 𝑏 = −𝑏 × Ԧ 𝑎 Ԧ 𝑎 + Ԧ 𝑐 × 𝑏 = Ԧ 𝑎 × 𝑏+ Ԧ 𝑐 × 𝑏
- 45. 1. El producto vectorial no es conmutativo 2. El producto vectorial es distributivo con respecto a la suma 3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial. 4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios Ԧ 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × Ԧ 𝐴 Ԧ 𝐴 × 𝐵 + Ԧ 𝐶 = Ԧ 𝐴 × 𝐵 + Ԧ 𝐴 × Ԧ 𝐶 Ԧ 𝐴 + 𝐵 × Ԧ 𝐶 = Ԧ 𝐴 × Ԧ 𝐶 + 𝐵 × Ԧ 𝐶 𝑐 Ԧ 𝐴 × 𝐵 = 𝑐 Ԧ 𝐴 × 𝐵 Ԧ 𝐴 × 𝑐𝐵 = 𝑐 Ԧ 𝐴 × 𝐵 Ƹ 𝑖 × Ƹ 𝑗 = 𝑘 Ƹ 𝑗 × 𝑘 = Ƹ 𝑖 𝑘 × Ƹ 𝑖 = Ƹ 𝑗 Ԧ 𝐴 × 𝐵 = −𝐵 × Ԧ 𝐴 , pero se cumple: Ƹ 𝑖 × 𝑘 = − Ƹ 𝑗 Ƹ 𝑖 × Ƹ 𝑖 = 0 𝑘 × Ƹ 𝑗 = − Ƹ 𝑖 𝑘 × 𝑘 = 0 Ƹ 𝑗 × Ƹ 𝑖 = − 𝑘 Ƹ 𝑗 × Ƹ 𝑗 = 0 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
- 46. PRODUCTO VECTORIAL Ƹ 𝒊 Ƹ 𝒋 𝒌 𝒌 × Ƹ 𝒊 = Ƹ 𝒋 × Ƹ 𝒊 Ƹ 𝒋 𝒌 Ƹ 𝒊 × Ƹ 𝒋 = 𝒌 × Ƹ 𝒊 Ƹ 𝒋 𝒌 Ƹ 𝒋 × 𝒌 = Ƹ 𝒊 × Ƹ 𝒊 Ƹ 𝒋 𝒌
- 47. 5. Multiplicación vectorial de vectores cualquiera Sean los vectores: Ԧ 𝐴 = 𝐴𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝐴𝑦 Ƹ 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 y 𝐵 = 𝐵𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝐵𝑦 Ƹ 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘 Ԧ 𝐴 × 𝐵 = Ƹ 𝑖 Ƹ 𝑗 𝑘 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 Ԧ 𝐴 × 𝐵 = Ƹ 𝑖 Ƹ 𝑗 𝑘 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 Ƹ 𝑖 Ƹ 𝑗 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝐵𝑦 Ԧ 𝐴 × 𝐵 = Ƹ 𝑖 𝐴𝑦 𝐵𝑧 + Ƹ 𝑗 𝐴𝑧 𝐵𝑥 + 𝑘 𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐵𝑥 𝐴𝑦 𝑘 + 𝐵𝑦 𝐴𝑧 Ƹ 𝑖 + 𝐵𝑧 𝐴𝑥 Ƹ 𝑗 Ԧ 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦 Ƹ 𝑖 + 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 Ƹ 𝑗 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥 𝑘 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
- 49. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Represente el siguiente vector Ԧ 𝐴 30𝑁; 40° 𝑥 𝑦 30 𝑁 40° 𝑂 Solución Forma polar del un vector
- 50. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 2. Sea el punto O(0,0) y P(3,4) representar el vector: Ԧ 𝑟 = 𝑂𝑃 𝑥 𝑦 𝑂 Solución 1 2 3 4 1 2 3 4 5 𝑃 3,4 Ԧ 𝑟 Ԧ 𝑟 = 3,4 − 0,0 Ԧ 𝑟 = 3,4 Ԧ 𝑟 = 3 Ƹ 𝑖 + 4 Ƹ 𝑗
- 51. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 3. Encuentre el vector de posición dado que el vector Ԧ 𝑟 tiene un punto inicial en 3,2 y un punto terminal en 4,5 . 𝑥 𝑦 𝑂 Solución 3,2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 4,5 Ԧ 𝑟 Ԧ 𝑟 = 4,5 − 3,2 Ԧ 𝑟 = 1,3 Ԧ 𝑟 = 1 Ƹ 𝑖 + 3 Ƹ 𝑗
- 52. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 4. Sea el punto 𝑀 2,1 y 𝑁 6,5 representar el vector: Ԧ 𝑠 = 𝑀𝑁 𝑥 𝑦 𝑂 Solución 𝑀 2,1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 𝑁 6,5 Ԧ 𝑠 Ԧ 𝑠 = 6,5 − 2,1 Ԧ 𝑠 = 4,4 Ԧ 𝑠 = 4 Ƹ 𝑖 + 4 Ƹ 𝑗 6 5 6
- 53. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 5. Dados los vectores 𝑢 = (1,1), Ԧ 𝑣 = (−3, −4) determinar el módulo de cada vector y los ángulos que forma cada vector con los ejes cartesianos. 𝑥 𝑦 𝑂 Solución 1,1 1 2 1 2 𝑢 𝜃𝑥 𝜃𝑦 𝑢 = (1,1) Módulo: 𝑢 = 𝑢 = 12 + 12 𝜃𝑥 = tan−1 1 1 𝑢 = 𝑢 = 2 𝜃𝑥 = 45° 𝜃𝑦 = tan−1 1 1 𝜃𝑦 = 45° 𝑢 = 𝑢 ≈ 1.414
- 54. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución Ԧ 𝑣 = (−3, −4) Módulo: Ԧ 𝑣 = 𝑣 = −3 2 + −4 2 𝜃𝑥 = tan−1 −4 −3 Ԧ 𝑣 = 𝑣 = 5 𝜃𝑥 = 53° 𝜃𝑦 = tan−1 −3 −4 𝜃𝑦 = 37° 𝑥 𝑦 𝑂 −3, −4 −3 −2 −1 −4 −3 −2 −1 1 1 −4 −5 Ԧ 𝑣 𝜽𝒚 𝜽𝒙
- 55. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 6. Dados los vectores 𝑢 = (1,1,4) , Ԧ 𝑣 = (2, −1, −5) y 𝑤 = (−3,0,4) determinar los ángulos que forma cada vector con los ejes cartesianos Solución Sea el vector: 𝑢 = (1,1,4) Módulo: 𝑢 = 𝑢 = 1 2 + 1 2 + 4 2 Ángulos directores: 𝜃𝑥 = cos−1 1 3 2 𝑢 = 𝑢 = 3 2 𝜃𝑦 = cos−1 1 3 2 𝜃𝑧 = cos−1 4 3 2 𝜃𝑥 ≈ 76.37° 𝜃𝑦 ≈ 76.37° 𝜃𝑧 ≈ 19.47°
- 56. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución Sea el vector: 𝑤 = (−3,0,4) Módulo: 𝑤 = 𝑤 = −3 2 + 0 2 + 4 2 Ángulos directores: 𝜃𝑥 = cos−1 −3 5 𝑤 = 𝑤 = 5 𝜃𝑦 = cos−1 0 5 𝜃𝑧 = cos−1 4 5 𝜃𝑥 ≈ 126.9° 𝜃𝑦 = 90° 𝜃𝑧 ≈ 36.87°
- 57. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 7. Hacer una gráfica de la resultante de los siguientes desplazamientos, Ԧ 𝐴: 10 𝑚 al Norte 60° Oeste; 𝐵: 30 𝑚, Sur 45° Este. 𝑬 𝑵 𝑶 𝑺 60° 45° 𝐵 Ԧ 𝐴 Solución Ԧ 𝐴: 10 𝑚 al Norte 60° Oeste 𝐵: 30 𝑚, Sur 45° Este
- 58. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 8. Un hombre que se muestra en la figura jala la cuerda con una fuerza de 70 𝑙𝑏. Represente esta fuerza al actuar sobre el soporte 𝐴 como un vector cartesiano
- 59. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución 0,0,30 𝑝𝑖𝑒𝑠 12, −8,6 𝑝𝑖𝑒𝑠 Ԧ 𝐹 ො 𝑢 ❖ Hallando la fuerza Ԧ 𝐹 = 𝐹 ො 𝑢 Ԧ 𝐹 = 70 𝑙𝑏 12 Ƹ 𝑖 − 8 Ƹ 𝑗 − 24 𝑘 122 + −8 2 + −24 2 Ԧ 𝐹 = 70 𝑙𝑏 12 Ƹ 𝑖 − 8 Ƹ 𝑗 − 24 𝑘 28 Ԧ 𝐹 = 2.5 𝑙𝑏 12 Ƹ 𝑖 − 8 Ƹ 𝑗 − 24 𝑘 Ԧ 𝐹 = 30 Ƹ 𝑖 − 20 Ƹ 𝑗 − 60 𝑘 𝑙𝑏 Ԧ 𝐹 = 𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐵
- 60. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución Ángulos directores: 𝜃𝑥 = cos−1 30 70 𝜃𝑦 = cos−1 −20 70 𝜃𝑧 = cos−1 −60 70 𝜃𝑥 ≈ 64.62° 𝜃𝑦 ≈ 106.6° 𝜃𝑧 ≈ 149.0° Ԧ 𝐹 = 30 Ƹ 𝑖 − 20 Ƹ 𝑗 − 60 𝑘 𝑙𝑏 𝐹 = 70 𝑙𝑏
- 61. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 9. Supongamos que en dicha figura los vectores Ԧ 𝐴 y 𝐵 sean la magnitud fuerza. Asumamos además que el ángulo entre los vectores es igual a 60 ° y que sus módulos son respectivamente 100 𝑁 y 90 𝑁. Deseamos calcular el módulo de la resultante y su dirección. Solución 𝜃 𝐵 Ԧ 𝐴 𝐵 Ԧ 𝐴 Hallando el Módulo: 𝑅 = 100 2 + 90 2 + 2 100 90 cos 60° Ley del coseno 𝑅 = 10 000 + 8 100 + 18 000 × 0.5 𝑅 = 27 100 𝑅 ≈ 164.6 𝑁 𝑅 = 10 271 𝑁
- 62. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución ❖ Hallando la dirección : tan 𝛼 = 90 sen 60° 100 + 90 cos 60° 𝛼 ≈ 28.26° α = tan−1 90 sen 60° 100 + 90 cos 60° 𝛼 90 𝑁 100 𝑁 164.6 𝑁 60° 90 cos 60° 90 sen 60°
- 63. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 10. Hacer una gráfica de la resultante de los siguientes desplazamientos, Ԧ 𝑎 = 10 𝑚 al Noroeste; 𝑏 = 20 𝑚, Este 30° Norte; Ԧ 𝑐 = 35 𝑚 hacia el sur. Solución: En nuestro sistema de coordenadas rectangulares tenemos en cuenta 𝑦 = 𝑁, 𝑥 = 𝐸, −𝑦 = 𝑆, −𝑥 = 𝑂. Colocamos el primer desplazamiento en el origen de coordenadas y al término de esté el siguiente vector y así sucesivamente hasta obtener la siguiente figura Ԧ 𝑎 (𝑎) 45° 𝑁 𝑆 𝐸 𝑂 Ԧ 𝑎 (𝑏) 45° 𝑁 𝑆 𝐸 𝑂 30° 𝑏 Ԧ 𝑎 (𝑐) 45° 𝑁 𝑆 𝐸 𝑂 30° 𝑏 Ԧ 𝑐 Ԧ 𝑎 (𝑑) 45° 𝑁 𝑆 𝐸 𝑂 30° 𝑏 Ԧ 𝑐 𝑅
- 64. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 11. Calcule la componente horizontal y vertical de la fuerza mostrada en la figura 𝐵 𝐷 20° 𝐴 500 𝑁
- 65. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución 𝐵 𝐷 20° 𝐴 500 𝑁 ❖ Hallando las componentes de la fuerza 𝐹𝑥 = 469.846 310 4 𝑁 𝐹𝑦 = 171.010 071 7 𝑁 Ԧ 𝐹 = 469.8 Ƹ 𝑖 − 171.0 Ƹ 𝑗 500𝑁 20° sen 20° = 𝐶𝑎𝑡. 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 cos 20° = 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝐹𝑥 𝐹𝑦 sen 20° = 𝐹𝑦 500 𝐹𝑦 = 500 sen 20° cos 20° = 𝐹𝑥 500 𝐹𝑥 = 500 cos 20° 𝐹𝑦 ≈ 171.0 𝑁 𝐹𝑥 ≈ 469.8 𝑁
- 66. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 12. Calcule las componentes horizontal y vertical de las fuerzas mostradas en la figura 170 𝑁 8 15
- 67. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución ❖ Hallando las componentes de la fuerza 170 𝑁 𝐹𝑥 = 170 𝑁 15 17 𝐹𝑦 = 170 𝑁 8 17 𝐹𝑥 = 150 𝑁 𝐹𝑦 = 80 𝑁 8 15 152 + 82 8 15 17 𝐹𝑥 𝐹𝑦 170 𝑁 𝐹𝑥 15 = 170 𝑁 17 𝐹𝑦 8 = 170 𝑁 17 ≅
- 68. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 13. Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la resultante de las fuerzas sobre el perno. 24 7 1 3 𝐹2 = 80 𝑁 𝐹1 = 150 𝑁 𝐹3 = 110 𝑁 𝐹4 = 100 𝑁 𝐴 20°
- 69. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1 3 2 24 7 1 3 𝐹2 = 80 𝑁 𝐹1 = 150 𝑁 𝐹3 = 110 𝑁 𝐹4 = 100 𝑁 𝐴 20° Solución ❖ Hallando las fuerzas ❖ Haciendo la descomposición de las fuerzas: 𝐹1 = 150𝑁 𝑦 𝑥 Ԧ 𝐹1 = 150 3 2 150 1 2 150 3 2 Ƹ 𝑖 + 150 1 2 Ƹ 𝑗 Ԧ 𝐹1 = 75 3 Ƹ 𝑖 + 75 Ƹ 𝑗
- 70. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución 24 7 1 3 𝐹2 = 80 𝑁 𝐹1 = 150 𝑁 𝐹3 = 110 𝑁 𝐹4 = 100 𝑁 𝐴 20° ❖ Hallando las fuerzas ❖ Haciendo la descomposición de las fuerzas: 20° 𝐹2 = 80 𝑁 𝑦 𝑥 Ԧ 𝐹2 = 80 sen 20° 80 cos 20° − 80 sen 20° Ƹ 𝑖 + 80 cos 20° Ƹ 𝑗
- 71. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 24 7 1 3 𝐹2 = 80 𝑁 𝐹1 = 150 𝑁 𝐹3 = 110 𝑁 𝐹4 = 100 𝑁 𝐴 20° Solución ❖ Hallando las fuerzas ❖ Haciendo la descomposición de las fuerzas: 𝐹3 = 110 𝑁 𝑦 𝑥 Ԧ 𝐹3 = 0 Ƹ 𝑖 − 110 Ƹ 𝑗
- 72. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 24 25 7 Solución 24 7 1 3 𝐹2 = 80 𝑁 𝐹1 = 150 𝑁 𝐹3 = 110 𝑁 𝐹4 = 100 𝑁 𝐴 20° ❖ Hallando las fuerzas ❖ Haciendo la descomposición de las fuerzas: 𝑦 𝑥 Ԧ 𝐹4 = 100 24 25 100 7 25 96 Ƹ 𝑖 + 28 Ƹ 𝑗 𝐹4 = 100 𝑁
- 73. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución ❖ Hallando la fuerza resultante 𝑅 = Ԧ 𝐹1 + Ԧ 𝐹2 + Ԧ 𝐹3 + Ԧ 𝐹4 𝑅 = 75 3 Ƹ 𝑖 + 75 Ƹ 𝑗 + −80 sen 20° Ƹ 𝑖 + 80 cos 20° Ƹ 𝑗 + 0 Ƹ 𝑖 − 110 Ƹ 𝑗 + 96 Ƹ 𝑖 − 28 Ƹ 𝑗 𝑅 = 75 3 − 80 sen 20° + 0 + 96 Ƹ 𝑖 + 75 + 80 cos 20° − 110 − 28 Ƹ 𝑗 𝑅 = 198.542 199 1 Ƹ 𝑖 + 12.175 409 66 Ƹ 𝑗 𝑅 ≈ 198.5 Ƹ 𝑖 + 12.18 Ƹ 𝑗 𝑁
- 74. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución ❖ Hallando la magnitud de la fuerza resultante y dirección 𝑅 = 198.52 + 12.182 𝑅 = 198.873 332 6 𝑁 𝑅 ≈ 198.9 𝑁 𝜃 𝑅 tan 𝜃 = 12.18 198.5 𝜃 = tan−1 12.18 198.5 𝜃 = 3.511 278 251° 𝜃 = 3.511° 𝑦 𝑥 198.5 12.18 𝑅 ≈ 198.5 Ƹ 𝑖 + 12.18 Ƹ 𝑗 𝑁
- 75. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 14. El tendón del bíceps de la Figura ejerce una fuerza 𝐹𝑚 = 7 𝑘𝑁 sobre el antebrazo. El brazo aparece doblado de tal manera que esta fuerza forma un ángulo de 40° con el antebrazo. Hallar las componentes de 𝐹𝑚: a) Paralela al antebrazo (fuerza estabilizadora), b) Perpendicular al antebrazo (fuerza de sostén).
- 76. 𝐹𝑚 𝐹𝑣 𝐹ℎ 40° PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución 𝐹𝑣 𝐹ℎ 𝐹𝑚 = 7 𝑘𝑁 40° 𝐹𝑣 = 7 sin 40° ❖Paralela al antebrazo (fuerza estabilizadora) 𝐹ℎ = 7 cos 40° ❖Perpendicular al antebrazo (fuerza de sostén). 𝐹ℎ ≈ 5.362 𝑘𝑁 𝐹𝑣 ≈ 4.500 kN
- 77. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 15. La figura muestra la forma del tendón del cuádriceps al pasar por la rótula. Si la tensión T del tendón es 1 400 𝑁. Calcular: a) la magnitud y b) la dirección de la fuerza de contacto Ԧ 𝐹 ejercida por el fémur sobre la rótula.
- 78. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución 37° 𝛼 80° 𝑇 𝑇 𝐹 Parte a ❖ Hallando la magnitud de la fuerza de contacto Ԧ 𝐹 ejercida por el fémur sobre la rótula 𝐹 = 1 400 2 + 1 400 2 + 2 1 400 1 400 cos 117° Ley del coseno 𝐹 ≈ 1 463 𝑁
- 79. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución 37° 𝛼 80° 𝑇 𝑇 𝐹 Parte b ❖ Hallando la dirección de la fuerza de contacto Ԧ 𝐹 ejercida por el fémur sobre la rótula 𝜃 𝜃 𝜃 = 37° + 𝛼 𝜃 + 𝛼 = 80° 37° + 𝛼 + 𝛼 = 80° 2𝛼 = 80° − 37° 𝛼 = 21.5°
- 80. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 16. Hallar la fuerza que ejerce sobre el pie el dispositivo de tracción de la Figura. 53 ° 16 °
- 81. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución 53 ° 16 ° 𝑇 = 3 𝑘𝑁 𝑇 = 3 𝑘𝑁 69° ❖Hallando la fuerza que se ejerce el pie sobre el dispositivo de tracción 𝑅 = 32 + 32 + 2 3 3 cos 69° 𝑅 ≈ 4.945 𝑘𝑁
- 82. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 17. El sistema mostrado se llama tracción de Russell. Si la suma de las fuerzas hacia abajo ejercidas en 𝐴 y 𝐵 por las piernas del paciente es de 32.2 𝑙𝑏, ¿cuál es el peso 𝑊?
- 83. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución ❖ Haciendo la descomposición rectangular de las fuerzas 32.2 𝑙𝑏 𝑊 𝑊 𝑊 𝐵 60 ° 𝑊 sin 60° 𝑊 𝑐𝑜𝑠 60° 𝑊 𝑠𝑒𝑛 25°
- 84. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución ❖ Aplicando la primera condición de equilibrio 𝐹𝑦 = 0 −32.2 + 𝑊 sin 60° + 𝑊 sin 25° = 0 𝑊 sin 60° + sin 25° = 32.2 𝑊 = 32.2 sin 60° + sin 25° 𝑊 ≈ 25.00 𝑙𝑏
- 85. CINEMÁTICA
- 86. CINEMÁTICA 𝑂 𝑥 Desplazamiento ∆𝒙 = 𝒙 − 𝒙𝟎 𝑣 𝒙𝟎 to= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 𝒙 t
- 87. CINEMÁTICA Velocidad : Aceleración : Movimientos mas importantes 𝑣 = ∆𝑥 ∆𝑡 𝑣 = Τ 𝑚 𝑠 𝑎 = ∆𝑣 ∆𝑡 𝑎 = Τ 𝑚 𝑠2 ❖ MRU, 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ❖ MRUV, 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ❖ MCU, 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
- 88. CINEMÁTICA Movimiento Rectilíneo uniforme Rapidez : Distancia recorrida: Tiempo empleado: Ejemplos: ✓ El movimiento de un rayo de luz ✓ El movimiento de una burbuja en un tubo rectilíneo inclinado. 𝑥 = 𝑣 ∙ 𝑡 𝑣 = 𝑥 𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 = 𝑥 𝑣
- 89. CINEMÁTICA Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado Rapidez : Distancia recorrida: Ejemplo: - el movimiento de caída libre Aceleración : Rapidez media : 𝑎 = ∆𝑣 𝑡 = 𝑣 − 𝑣0 𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑣𝑚 = 𝑣 + 𝑣0 2 𝑑 = 𝑣𝑚𝑡 𝑑 = 𝑣0𝑡 + 1 2 𝑎𝑡2 𝑑 = 𝑣2 − 𝑣0 2 2𝑎
- 90. CINEMÁTICA Caída Libre Velocidad : 𝒗 = 𝒈𝒕 Aceleración : 𝒂 = 𝒈 = 𝟗. 𝟖 Τ 𝒎 𝒔𝟐 Distancia (altura): 𝒉 = 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 𝑣 h 𝒉 = 𝒗𝟐 𝟐𝒈
- 92. CINEMÁTICA Movimiento Circular Uniforme R 𝒗𝟏 𝒗𝟐 s 𝑨 𝑩 Velocidad tangencial (lineal): Desplazamiento angular : ∆𝜃 Velocidad Angular: 𝑣 = ∆𝑠 ∆𝑡 𝜔 = ∆𝜃 ∆𝑡
- 93. CINEMÁTICA Movimiento Circular 𝜽 𝑣2 𝑣1 𝑠 R 𝑺 = 𝜽𝑹 𝒍 = 𝟐𝝅𝑹 MCU : MCUV: Aceleración centrípeta: 𝝎 = ∆𝜽 ∆𝒕 = 𝟐𝝅 𝑻 𝒗 = ∆𝑺 ∆𝒕 = 𝟐𝝅𝑹 𝑻 𝒗 = 𝝎𝑹 𝜶 = ∆𝝎 ∆𝒕 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝝎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒄 = 𝒗𝟐 𝑹 = 𝝎𝟐𝑹
- 96. Salto vertical 1. Propulsión 2. Vuelo ℎ 𝑣𝑑 𝑑 𝑦 c.g. c.g. c.g. 𝑥 𝑣0 = 0; 𝑎 = 𝑎𝑑 ↑ 𝑣𝑑 2 = 2𝑎𝑑𝑑 𝑣 = 𝑣𝑑; 𝑣0 = 𝑣𝑑; 𝑎 = 𝑔 ↓ 𝑣 = 0 𝑒𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ∴ 𝑎𝑑 = ℎ 𝑑 𝑔 𝑣𝑑 2 = 2𝑔ℎ c.g. 𝑣0 = 0 Ԧ 𝑎𝑑 Ԧ 𝑔 PROPULSIÓN VUELO
- 97. CINEMÁTICA Movimiento Parabólico Es aquel movimiento mecánico en la cual la trayectoria es una parábola y el cuerpo se encuentra en caída libre. ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO Es estudio de este movimiento generalmente se desarrolla descomponiendo el movimiento en la horizontal y la vertical. • En la horizontal: MRU, usar: 𝒅𝒙 = 𝒗𝒙. 𝒕 • En la vertical: caída libre, usar: 𝒉 = 𝒗𝟎. 𝒕 + 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐
- 98. CINEMÁTICA ❖Ecuación de la trayectoria: Del vector posición obtenemos las ecuaciones paramétricas: 𝑦 = ℎ0 + 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡 − 1 2 𝑔𝑡2 𝑥 = 𝑣0𝑡𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡 = 𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 Eliminado el parámetro obtenemos: 𝑦 = ℎ0 + 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1 2 𝑔 𝑥 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 2 𝑦 = ℎ0 + tan 𝜃 𝑥 − 𝑔 2 𝑣0 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑥2 Representa una parábola Movimiento Parabólico
- 99. CINEMÁTICA ❖Algunos parámetros del tiro parabólico ℎ = 𝑣0 2 sen2𝜃 2𝑔 𝑅 = 𝑣0 2 sen2𝜃 𝑔 Movimiento Parabólico
- 100. CINEMÁTICA Movimiento Parabólico ❖Máximo Alcance Trayectorias de un proyectil con diferente ángulo inicial
- 102. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Juan creció 5 𝑐𝑚 entre las edades de 14 a 14.5 𝑎ñ𝑜𝑠. a)¿Cuál es la rapidez promedio de cambio de estatura en este tiempo? b) A los 14 𝑎ñ𝑜𝑠 Juan medía 1.52 𝑚 de estatura. Suponiendo que la rapidez de cambio de estatura (rapidez de crecimiento) es constante entre las edades de 14 y 17 𝑎ñ𝑜𝑠, hallar el cambio de estatura en este tiempo ¿Cuál será la altura cuando alcance la edad de 17 𝑎ñ𝑜𝑠? Solución Parte a Hallando la rapidez de crecimiento de Juan es: 𝑣 = ∆ℎ ∆𝑡 𝑣 = 5 𝑐𝑚 0.5 𝑎ñ𝑜𝑠 = 10 Τ 𝑐𝑚 𝑎ñ𝑜
- 103. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Parte b Como 𝑣 = 10 Τ 𝑐𝑚 𝑎ñ𝑜 es constante, el cambio de estatura es: ∆ℎ′ = 𝑣 ∆𝑡′ ∆ℎ′ = 10 𝑐𝑚 𝑎ñ𝑜 3 𝑎ñ𝑜𝑠 ∆ℎ′ = 30 𝑐𝑚 ∆ℎ′ = 0.30 𝑚 La estatura de Juan a los 17 𝑎ñ𝑜𝑠 será: ℎ = ℎ0 + ∆ℎ′ ℎ = 1.52 + 0.30 ∴ ℎ = 1.82 𝑚
- 104. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 2. Con los datos de la siguiente tabla 1, calcular: a) la velocidad de despegue 𝑣𝑑 para un ser humano y b) La aceleración de despegue 𝑣𝑑 Distancias de aceleración d y alturas verticales h para varios animales. Todas las distancias están en metros. Distancia de aceleración 𝑑 Altura vertical ℎ Seres humanos 0.5000 𝑚 1.0 𝑚 Canguro 1.0000 𝑚 2.7 𝑚 Mono 0.1600 𝑚 2.2 𝑚 Rana 0.0900 𝑚 0.3 𝑚 Langosta 0.0300 𝑚 0.3 𝑚 Pulga 0.0008 𝑚 0.1 𝑚 Tabla 1
- 105. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución ℎ 𝑣𝑑 𝑑 𝑦 c.g. c.g. c.g. 𝑣0 = 0 Ԧ 𝑎𝑑 Ԧ 𝑔 𝑣2 = 𝑣0 2 − 2𝑔ℎ La velocidad de despegue se determina considerando la fase de ascenso, es decir, cuando la velocidad cambia de 𝑣0 = 𝑣𝑑 a 𝑣 = 0 y la altura de su centro de gravedad de 𝑦0 = 0 y ℎ = 1 𝑚. 𝑦 = 0 Parte a 02 = 𝑣𝑑 2 − 2 9.81 1 0 = 𝑣𝑑 2 − 19.6 𝑣𝑑 = 4.427 Τ 𝑚 𝑠
- 106. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución ℎ 𝑣𝑑 𝑑 𝑦 c.g. c.g. c.g. 𝑣0 = 0 Ԧ 𝑎𝑑 Ԧ 𝑔 𝑣2 = 𝑣0 2 + 2𝑎𝑑 Durante la fase de despegue supongamos que 𝑎𝑑 es constante y que la velocidad cambia de 𝑣 = 𝑣𝑑. Como la distancia de aceleración es de 𝑑 = 0.5 𝑚. 𝑦 = 0 Parte b 𝑣𝑑 2 = 0 + 2𝑎𝑑𝑑 19.6 2 = 2𝑎𝑑 0.5 19.6 = 𝑎𝑑 𝑎𝑑 = 19.6 Τ 𝑚 𝑠2
- 107. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 3. Un astronauta con traje espacial puede dar saltos de 2.00 𝑚 de largo sobre la tierra. ¿Cuál sería la longitud de sus saltos en un planeta donde la aceleración gravitatoria fuera la mitad de la superficie terrestre? Solución ❖ Sabiendo que el alcance máximo está dado por: 𝑅 = 𝑣𝑑 2 𝑔 𝑅 = 2 𝑚 ; donde 𝑣𝑑 es la velocidad de despegue (velocidad inicial). Por dato del problema ❖ Por condición del problema, el alcance máximo del astronauta será: 𝑅′ = 𝑣𝑑 2 𝑔′
- 108. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Solución 𝑅′ = 𝑣𝑑 2 𝑔 2 𝑅′ = 2 𝑣𝑑 2 𝑔 𝑅′ = 2𝑅 𝑅′ = 2 2𝑚 𝑅′ = 4 𝑚
- 109. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 4. Un baloncestista quiere lanzar una falta con un ángulo 𝜃 = 53° respecto a la horizontal, tal como se muestra en la figura. ¿Qué velocidad inicial 𝑣0 hará que la pelota pase por el centro del aro? 3.20 𝑚 4.00 𝑚 2.00 𝑚
- 110. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 3.20 𝑚 4.00 𝑚 2.00 𝑚 𝑦 𝑥 4.00,1.20 𝑚 ❖ Aplicando la ecuación de la trayectoria Solución 𝑦 = tan 𝜃 𝑥 − 𝑔 2𝑣0 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑥2 1.20 = tan 53° 4 − 9.81 2𝑣0 2 𝑐𝑜𝑠253° 4 2 1.20 4 = 4 3 − 19.62 𝑣0 2 3 5 2 19.62 𝑣0 2 3 5 2 = 4 3 − 3 10 1.20 = 4 tan 53° − 9.81 2𝑣0 2 𝑐𝑜𝑠253° 4
- 111. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 3.20 𝑚 4.00 𝑚 2.00 𝑚 𝑦 𝑥 4.00,1.20 𝑚 ❖ Aplicando la ecuación de la trayectoria Solución 19.62 𝑣0 2 3 5 2 = 4 3 − 3 10 𝑣0 = 5 3 19.62 31 30 𝑣0 = 7.262 364 318 Τ 𝑚 𝑠 𝑣0 ≈ 7.262 Τ 𝑚 𝑠 19.62 4 3 − 3 10 = 𝑣0 2 3 5 2 𝑣0 2 = 5 3 2 19.62 31 30
- 112. 5. Un águila sólo percibe un objeto si éste cubre un ángulo mayor o igual que un minuto de arco. Si un roedor mide 12 𝑐𝑚, calcular la altura máxima a la que el águila debe situarse para registrar la presencia del roedor. Si desde esa altura se lanza en caída libre, calcular el tiempo que tarda en llegar a tierra y, por tanto, el tiempo que tiene el roedor para protegerse PROBLEMAS DE APLICACIÓN
- 113. Solución PROBLEMAS DE APLICACIÓN ❖ De la figura se puede obtener: ∆𝑠 = ∆𝜃 ℎ ❖ Reemplazando los datos 12 𝑐𝑚 = 1′ ℎ 12 𝑐𝑚 = 1′ × 1° 60′ × 𝜋 𝑟𝑎𝑑 180° ℎ 12 𝑐𝑚 = 𝜋 10 800 𝑟𝑎𝑑 ℎ ℎ = 12 × 10−2𝑚 10 800 𝜋 ℎ ≈ 412.5 𝑚
- 114. Solución PROBLEMAS DE APLICACIÓN ❖ Hallando el tiempo: 𝑡 ≈ 9.170 𝑠 ℎ = 𝑔 2 𝑡2 𝑡 = 2ℎ 𝑔 ❖ Reemplazando los datos: 𝑡 = 2 412.5 9.81 𝑔 = 9.81 Τ 𝑚 𝑠2
- 115. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2009). Física para ciencias e ingeniería con física moderna. Cengage Learning Editores. Freedman, Y., & Zemansky, S. (2009). Física universitaria. Editorial. Prentice Hall. México. Decimosegunda edición. Strelkov, S., & Yabovlev, I. Mechanics. Hewitt, P. G. Título: Física. conceptual. P. imprenta: Pearson Educación. México.(MX) c2004. 789 p., il. Tipler, P. A., & Mosca, G. (2021). Física para la ciencia y la tecnología. Volumen 1A: Mecánica (Vol. 1). Reverte.