Este documento presenta un módulo de aprendizaje sobre vectores. Introduce conceptos clave como magnitudes físicas, coordenadas rectangulares y polares, y transformaciones entre sistemas de coordenadas. Explica cómo representar vectores en coordenadas cartesianas usando pares ordenados o vectores unitarios, y cómo calcular las coordenadas polares de un vector a partir de sus componentes rectangulares usando trigonometría. También cubre sumas y multiplicaciones de vectores.

1. M´ODULO DE APRENDIZAJE - VECTORES
Miguel Angel Bernal Yermanos

2. ´Indice general
1. Magnitudes F´ısicas 2
1.1. Car´acter de las magnitudes f´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Vectores 4
2.1. Coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3. Leyes de transformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.1. De rectangular a polar: R → P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.3. De polar a rectangular: P → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.5. Caso especial - coordenadas geogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Algebra de vectores 9
3.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.1. Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.2. Multiplicaci´on por n´umero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
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3. Cap´ıtulo 1: Magnitudes F´ısicas
Secci´on 1.1: Car´acter de las magnitudes f´ısicas
Algunas de las propiedades f´ısicas que ayudan en la descripci´on de un sistema f´ısico dan lugar al mundo de
magnitudes f´ısicas. Sin embargo en la simple tarea de describir una mesa, se puede apelar a magnitudes como: el
volumen que ocupa, el material del que est´a hecho las diferentes partes, las medidas, la forma de la superficie, la
textura, el color, el peso, los rangos de temperatura y peso que puede soportar, etc. Con lo anterior es l´ogico que el
n´umero de magnitudes puede llegar a ser muy grande, tanto as´ı que un curso de f´ısica de colegio se puede abordar
del orden de 50 magnitudes, en una carrera de ingenier´ıa, algo cercano a las 1000 y sumando otras ciencias, el
n´umero es tan grande que si no se organiza la forma en que se aborda lo anterior se tendr´ıa un sistema enorme y
confuso.
De tal magnitud es el problema que en el a˜no 68 del siglo pasado, la comunidad cient´ıfica constituy´o formalmente
el Sistema Internacional de medidas (SI). En este se propuso que una cierta cantidad (siete) de magnitudes
fundamentales describieran el mundo f´ısico y las otras, llamadas magnitudes derivadas, se pudieran escribir
en t´erminos de las fundamentales.
Magnitud Dimensi´on Unidad Unidad
F´ısica F´ısica SI Inglesa
Masa M kg lbm
Longitud L m ft
Tiempo T s s
Temperatura θ K R
Corriente el´ectrica I A A
Intensidad luminosa C cd cd
Cantidad de sustancia N mol mol
El mecanismo de escribir magnitudes derivadas en t´erminos de las fundamentales se logra por medio de la di-
mensi´on f´ısica de la magnitud f´ısica. En la tabla anterior se muestran las magnitudes f´ısicas fundamentales
seguidas de su correspondiente dimensi´on f´ısica. Una magnitud como la velocidad, que se mide en m/s, tiene
dimensi´on f´ısica de:
[v] =
L
T
,
mientras la fuerza ser´ıa:
[F] =
ML
T2 .
Esta clasificaci´on permite organizar el mundo de las magnitudes f´ısicas, pero hay un aspecto que no es posible
tener en cuenta, el car´acter de estas.
El hecho de reducir el mundo de las magnitudes a siete fundamentales tiene consecuencias. Por ejemplo, la dis-
tancia y el desplazamiento son magnitudes f´ısicas distintas, aunque tengan la misma dimensi´on f´ısica, longitud
[L]. Lo anterior se debe principalmente a que una es un escalar, la distancia, mientras la otra es un vector, el
desplazamiento.
Magnitud escalar: La matem´atica con que se operan es la misma de los n´umeros (tambi´en llamados escalares).
Magnitud vectorial: Siguen las leyes del ´algebra de vectores.
Secci´on 1.2: Ejercicios
1. Deduzca la dimensi´on f´ısica, de las siguientes magnitudes:
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4. a) Potencia.
b) Posici´on.
c) Velocidad.
d) Trabajo.
e) Momento lineal.
f ) Torque.
g) Desplazamiento angular.
h) Aceleraci´on centr´ıpeta.
2. Identifique en cada caso si la magnitud es vectorial o escalar:
a) Potencia.
b) Posici´on.
c) Velocidad.
d) Trabajo.
e) Momento lineal.
f ) Torque.
g) Desplazamiento angular.
h) Aceleraci´on centr´ıpeta.
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5. Cap´ıtulo 2: Vectores
Vector: Elemento de un espacio vectorial. Decir que es un vector no es f´acil, se requiere algo de rigor matem´atico
para definir que es un espacio vectorial y lo anterior est´a fuera del alcance de este instructivo.
Sin embargo, a pesar que no se sabe que es un vector, esto no impide que se pueda trabajar con ellos. ¿C´omo es la
forma de un vector? Los vectores se pueden encontrar en diferentes representaciones. Por ejemplo, vectores en un
plano se pueden encontrar como parejas ordenada, como un segmento de recta dirigido o como suma de vectores
unitarios.
Secci´on 2.1: Coordenadas rectangulares
Se apela al vector de posici´on, que es la magnitud f´ısica que informa el lugar de un objeto y que como tal es un
ejemplo f´acil de visualizar por su alto valor intuitivo. Si se requiere dar la posici´on de un punto en un plano, lo
primero que se debe hacer es elegir otro punto que se llamar´a origen o punto de referencia y se marca con la letra
O.
Figura 2.1: Posici´on del punto P, respecto de O.
Una vez se ha definido el origen O, se hace pasar por este un par de ejes coordenados, los ejes x y y y las
proyecciones perpendiculares del punto a los ejes coordenados, definen la pareja r = (x, y) que ubica sin lugar a
dudas el punto en este plano y referido al origen O.
2.1.1: Ejercicios
1. Ubique en un plano cartesiano los siguientes vectores de posici´on:
a) A = (−3, 2) m.
b) B = (−1, 5) m.
c) C = (3, 6) m.
d) D = (−5, −5) m.
2. Calcule y ubique en el plano:
a) A + B.
b) 5D − 2C.
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6. c) A + B − 3D + 2C.
Cuando un vector se entrega en la forma de pareja ordenada, se dice que est´a en la forma de coordenadas rectangu-
lares o cartesianas. Las coordenadas cartesianas tienen una forma alternativa que se conoce como representaci´on
en vectores unitarios. En este caso los ejes coordenados, est´an orientados por vectores unitarios, de medida uno y
sin dimensiones, cuyo principal prop´osito es dar la orientaci´on de las componentes cartesianas en cada caso.
Un vector en representaci´on de pareja ordenada se comvierte muy f´acilmente en representaci´on de vectores unitarios
de la siguiente forma: Por ejemplo, el vector de coordenadas r = (4, 3) m, se convierte en r = (4ˆı + 3ˆ) m. Note que
mientras en la representaci´on de parejas el orden es muy importante, en la representaci´on de vectores unitarios
no, ya que los vectores ˆı y ˆ identifican si la proyecci´on en es x o y, respectivamente.
2.1.2: Ejercicio
Expresar todos los vectores de los ejercicios pasados en representaci´on de vectores unitarios.
Secci´on 2.2: Coordenadas polares
La posici´on del punto P, en la figura 2.1, se puede expresar de otra forma. Informando la medida de la longitud
de la l´ınea que une el origen con el punto P (denotada con r) y el ´angulo respecto del eje positivo de las equis
y girando en sentido contrario a las manecillas del reloj hasta la l´ınea, denotado con θ. A la distancia r se le
denomina, magnitud, aunque en algunos libros la pueden llamar: norma, resultante o m´odulo, pero en cualquier
caso significa lo mismo, la medida de la longitud de la l´ınea que va desde el origen hasta el punto P. El ´amgulo
indicado en la figura 2.2, se conoce como ´angulo polar y su definici´on es estricta, nace desde la parte positiva del
eje x (eje polar) y avanza en el sentido contrario a como rotan las agujas del reloj, cualquier otro ´angulo que se
indique, aunque puede dar correctamente la posici´on del punto no es el polar si no cumple lo anterior. Estas dos
coordenadas definen la pareja r = (r, θ), la primera componente, la magnitud, tiene unidades de metros (en este
ejemplo), mientras la segunda, el ´angulo polar, tienen unidades de grados o radianes.
2.2.1: Ejercicios
1. Con ayuda de escuadra, transportador y papel milimetrado, ubique en el plano los siguientes vectores:
a) A = (3 m, 120◦).
b) B = (5 m, 45◦).
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7. Figura 2.2: Coordenadas polares de la posici´on del punto P.
c) C = (4 m, 290◦).
2. Es posible sumar A con B , explique cualquiera que sea su respuesta.
3. C´omo se dibujar´ıa el vector 0.
Secci´on 2.3: Leyes de transformaci´on
Ya que tanto las coordenadas cartesianas como las polares ubican el punto P, es decir est´an ofreciendo la misma
informaci´on pero en “idiomas” distintos, es posible encontrar la forma en que se puede pasar un vector de su forma
cartesiana a la polar y a la viceversa.
2.3.1: De rectangular a polar: R → P
Figura 2.3: Coordenadas polares y rectangulares del punto P.
En la figura 2.3, se observa que las proyecciones de las coordenadas rectangulares (x y y) y las componentes polares
forman un tri´angulo rect´angulo y por lo tanto los conceptos de la trigonometr´ıa ser´an de mucha ayuda aqu´ı. Si se
desea pasar un vector en coordenadas cartesianas o rectangulares (R) a su correspondiente en polares (P), se debe
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8. conocer los valores de x y y, que son los catetos del tri´angulo. Entonces, por el teorema de Pit´agoras, la magnitud
se calcula con:
r = x2 + y2, (2.1)
y por la definici´on de tangente, el ´angulo con:
θ = tan−1 y
x
. (2.2)
Las ecuaciones 2.1 y 2.2, se llaman ecuaciones de transformaci´on de coordenadas rectangulares a polares.
2.3.2: Ejercicios
Convierta a coordenadas polares los siguientes vectores:
1. A = (−3, 2) m.
2. B = (−1, 5) m.
3. C = (3, 6) m.
4. D = (−5, −5) m.
2.3.3: De polar a rectangular: P → R
De nuevo, observando la figura 2.3 y recordando la definici´on de seno y coseno, se pueden calcular las componentes
cartesianas o rectangulares del vector r. As´ı:
rx = r cos θ, (2.3)
mientras
ry = r sin θ. (2.4)
Las ecuaciones 2.3 y 2.4 son llamadas ecuaciones de transformaci´on de polar a rectangular.
2.3.4: Ejercicios
Convertir los siguientes vectores a coordenadas cartesianas:
1. A = (3 m, 120◦).
2. B = (5 m, 45◦).
3. C = (4 m, 290◦).
4. Un vector tiene coordenadas rectangulares (x,3) m y polares (5 m, θ). Calcular x y θ.
2.3.5: Caso especial - coordenadas geogr´aficas
Es com´un en estos ejercicios que los vectores se presenten en coordenadas que incluyan los ejes geogr´aficos norte
(N), sur (S), este (E) y oeste (O). Por ejemplo, un vector A con coordenadas: 10 m, en direcci´on 35◦ suroeste, se
lee as´ı: el vector tiene una magnitud de 10 metros y est´a inclinado 35◦ al sur del eje oeste y se muestra en la figura
2.4, muestra en :
Claramente el ´angulo de 35◦ bajo el eje oeste no es el polar, sin embargo y para este cuadrante, basta sumar 180◦
y las coordenadas polares de este vector son:
A = 10 m
θ = 125◦
.
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9. Figura 2.4: Coordenadas geogr´aficas del vector A.
2.3.6: Ejercicios
1. Convertir a coordenadas cartesiana los siguientes vectores:
a) A = 15 m, en direcci´on de 25◦ al este del norte.
b) B = 8 m, en direcci´on de 50◦ al oeste del sur.
c) C = 10 m, en direcci´on de 15◦ al sureste.
Nota: no es igual suroeste que sureste. No es igual suroeste que al oeste del sur.
2. Resolver A + B y expresar su resultado en coordenadas geogr´aficas.
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10. Cap´ıtulo 3: Algebra de vectores
Las operaciones b´asicas con vectores incluyen: la suma, resta y tres multiplicaciones. Esta parte del curso s´olo se
dedicara a la suma, resta y la multiplicaci´on de n´umeros por vector. Importante, para realizar cualquiera de la
operaciones mencionadas los vectores deben estar en coordenadas rectangulares.
Secci´on 3.1: Suma
Para vectores en dos dimensiones hay la oportunidad de sumar con m´etodos gr´aficos y por lo tanto no hay
necesidad de convertir vectores polares o geogr´aficos a rectangulares. Son conocidos los m´etodos del paralelogramo
y del pol´ıgono. En la zona de juegos, hay un enlace a un applet java que permite visualizar como opera el
m´etodo del pol´ıgono. Para vectores de mayor dimensi´on que dos la dificultad de dibujar y sobre todo medir, tanto
distancias como ´angulos hacen que lo mejor sea ense˜nar el m´etodo anal´ıtico con la consecuencia que todos lo
vectores se deben expresar en sus coordenadas rectangulares.
Una vez se tengan los vectores en coordenadas rectangulares, la suma se realiza sumando todas la componentes
x y todas las componentes y, si los vectores tienen m´as coordenadas se sigue. Finalmente el resultado se expresa
como una pareja ordenada, donde la primera componente es la suma de las equis y la segunda componente la suma
de las y.
Ejemplo: Suponga que se desea sumar los vectores A = (−3, −4) m y B = (2, −3) m. La suma de componentes
equis es:
Ax + Bx = −3 + 2 = −1 m.
y las y:
Ay + By = −4 + −3 = −7 m.
Por lo tanto el resultado es:
A + B = (−1, −7) m.
3.1.1: Resta
Es id´entica a la suma pero restando. Ejemplo: se desea restar los vectores A = (−3, −4) m y B = (2, −3) m.
Entonces,
Ax − Bx = −3 − 2 = −5 m.
y las y:
Ay + By = −4 − −3 = −1 m.
Por lo tanto el resultado es:
A − B = (−5, −1) m.
3.1.2: Multiplicaci´on por n´umero
Se obtiene multiplicando cada componente por el n´umero y el resultado es de nuevo un vector. Ejemplo: calcular
5A, donde A = (−3, −4) m. Componentes equis:
5Ax = 5(−3) = −15 m.
y las y:
5Ay = 5(−4) = −20 m.
Por lo tanto el resultado es:
5A = (−15, −20) m.
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11. 3.1.3: Ejercicios
1. Sumar A con B, si: A = 5 m en ´angulo de 40◦ al noroeste y B = (7 m, 280◦).
2. Calcular: 3B −2A+C, con: A = (5, -4) m, B = 15 m en ´angulo de 70◦ al oeste del norte y C = (10 m, 350◦).
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