Este documento presenta varios problemas de análisis dimensional y vectorial. El primer problema pide calcular las dimensiones de A y B en una ecuación dada. La resolución muestra que las dimensiones de A son L T-1 y las de B son L T-2. Los problemas siguientes también presentan ecuaciones físicas y piden determinar dimensiones o valores desconocidos. Las resoluciones muestran los cálculos dimensionales para encontrar las dimensiones correctas.

1. Página 138
SEMANA 1
ANÁLISIS DIMENSIONAL
ANÁLISIS VECTORIAL
1. Calcule las dimensiones de A y B
respectivamente, en la siguiente
ecuación dimensionalmente correcta
d = A t + 0,5 B t2
Donde d es distancia y t es tiempo.
A) L T  1
; L T  2
B) L T  2
; L 2
T  2
C) L T  2
; L T  3
D) L 2
T  1
; L 2
T  2
E) L 2
T  3
; L T  2
RESOLUCIÓN
Si la ecuación es dimensionalmente
correcta, entonces cada uno de los
términos de la ecuación debe tener
las mismas dimensiones. Luego, la
ecuación dimensional se expresa:
[ e ] = [A] [t] = [0,5] [ B ] [ t ]2
Nótese que todos los términos han
sido igualados y ahora se
reemplaza las dimensiones de las
cantidades físicas conocidas.
L = [ A ] T = (1) [ B ] T 2
Recuerde: [0,5 ] = (1).
Finalmente se deduce:
[ A ] = L T  1
; [ B ] = = L T  2
RPTA.: A
2. La energía en el S.I., se mide en
joules (J). Si la energía cinética (Ec)
de un cuerpo está definida
mediante:
EC = 0,5 mv 2
Donde m es masa y v es el módulo
de la velocidad.
¿Cuál de los siguientes grupos de
unidades equivale al Joule?
A) kg m2
s1
B) kg m 1
s 2
C) kg m 2
s 2
D) kg m2
s 2
E) kg m3
s 2
RESOLUCIÓN
Escribimos la ecuación dimensional
de la energía cinética y
reemplazamos las dimensiones de
las cantidades físicas conocidas.
[ EC ] = [ 0,5 ] [ m ] [ v ] 2
[ EC ] = (1) M ( LT  2
) 2
[ EC ] = M L 2
T  2
Reemplazamos las unidades de
cada magnitud fundamental y
encontramos el joule (J)
expresado en términos de las
unidades fundamentales.
Joule = J = kgm 2
s  2
RPTA.: D
3. Un grupo de unidades que
representa la medición de la
potencia es:
A) lb pie3
s 3
B) lb pie2
s2
C) kg m3
s 2
D) lb pie2
s 3
E) kg m3
s 2
RESOLUCIÓN:
lb pie 2
s  3
RPTA.: D
4. El número de Reynolds es un valor
adimensional el cual nos indica si
un flujo es turbulento o laminar,
dentro de un tubo. El número de

2. Página 139
Reynolds “R”, se calcula mediante
la siguiente ecuación:
R =  V d /
Donde  es la densidad, V la
rapidez promedio y d el diámetro
del tubo. Determinar las
dimensiones de la viscosidad .
A) M2
L1
T 1
B) M3
L1
T 1
C) M L1
T 1
D) M L2
T 1
E) M L1
T 2
RESOLUCIÓN
Escribimos la ecuación dimensional:
[R] [] = [] [V] [d]
Como R es adimensional lo
reemplazamos por la unidad
(1) [] = ML3
LT 1
L
[] = ML1
T 1
RPTA.: C
5. La densidad (D) de un sólido según
la temperatura, está dada por la
siguiente ecuación :
Donde M es la masa y ∆T la
variación de la temperatura.
Determinar las dimensiones de B.
A) L3
1
B) L3
1
C) L 3
D) M3
1
T 1
E) M L1
1
RESOLUCIÓN
[D] ( [A] + [B][∆T] ) = [M]
[D] [A] = [D] [B] [∆T] = [M]
ML 3
[A] = ML 3
[B]  = M
[B] = L3
 1
RPTA.: B
6. Un objeto que realiza un
movimiento periódico tiene la
siguiente ecuación:
X =A e t
cos ( t + )
Donde X es la posición, t el tiempo
y e  2,82. Determine la dimensión
de [A   ].
A) L T 2
B) L T 1
C) L2
T 2
D) L 2
T 2
E) L 2
T 1
RESOLUCIÓN
Escribimos la ecuación dimensional
y resolvemos:
[X] = [A] [e ] t
[cos (t + )]
[X] = [A] (1) (1)
L = [A]
Los exponentes son adimensionales,
por lo tanto dimensionalmente se
igualan a la unidad:
[exponente] = 1
[t ] = 1  [1] [] [t] = 1
(1) [] T = 1
[] = T 1
Los ángulos son adimensionales:
[ángulo] = 1
[(t + )] = 1  [] [t] = [] = 1
[]T = [] = 1
[] = T 1
; [] = 1

3. Página 140
Reemplazando las dimensiones
encontradas, tenemos:
[A ] = (L)( T 1
)(T 1
) = L T 2
RPTA.: A
7. En cierto experimento, se mide el
tiempo que demora un péndulo
simple en dar una oscilación. Se
observa que este tiempo depende
de la aceleración de la gravedad y
de la longitud de la cuerda. La
ecuación empírica del periodo en
función de estas dos últimas
cantidades es:
A) 6,28 g1/2
L1/2
B) 4,22 g1/3
L1/2
C) 3,12 g1/5
L1/3
D) 1,24 g1/3
L1/3
E) 3,14 g2
L1/2
RESOLUCIÓN:
Las tres cantidades relacionadas
son:
t = tiempo
g = aceleración de la gravedad.
L = longitud de la cuerda.
Se elabora una relación entre las
cantidades físicas:
t = k g x
L y
Donde:
k: es un número adimensional,
denominado constante de
proporcionalidad.
x e y: son exponentes de valor
desconocido, que determinaremos
para que la ecuación empírica
quede determinada.
Se escribe la ecuación dimensional
y se reemplaza las dimensiones de
las cantidades conocidas.
[ t ] = [ k ] [ g ] x
 [ L ] y
T = (1) ( LT  2
) x
( L ) y
T = L x + y
T  2 x
Comparando los exponentes de las
dimensiones a cada lado de la
ecuación, deducimos:
 2x = 1  x = 1/2
x + y = 0  y = +1/2
Finalmente la ecuación empírica es:
t = kg 1/2
L1/2
=
RPTA.: A
8. Con respecto a la gráfica,
determine la dimensión del área
sombreada.
A) M 2
L T 1
B) M L T 1
C) M L2
T 1
D) M L2
T 1
E) L2
T 2
RESOLUCIÓN:
La dimensión del área comprendida
por la gráfica F – t es:
[área (F–t)] = [F] [t]/2=(MLT2
)(T)/1
[área (F–t)] = ML T 1
RPTA.: B
9. Con respecto a la gráfica A vs B
mostrada en la figura, determine la
dimensión de la pendiente de la
recta. Donde A es masa y B es
volumen.
A) M L1
B) M L2
C) M 1
L1
D) M T 3
E) M L3
t(s)
F(N)
2
s
B
x
4
0
m
1
s
A

4. Página 141
RESOLUCIÓN:
La dimensión de la pendiente de la
recta es:
[pendiente (A – B) ] =
 
 
A
B
[pendiente (A–B)] =
 
  3
masa M
volumen L

[pendiente (A–B)] 3
ML

RPTA.: E
10. La diferencia de potencial eléctrico
“ V ” entre dos puntos de un
material está dada por:
W
V
q
 
Donde W es el trabajo necesario
para trasladar las cargas entre
dichos puntos y q es la cantidad de
carga neta que se traslada.
Determine las dimensiones de la
diferencia de potencial eléctrico.
A) M L 1
T 3
I 1
B) M L 2
T 3
I 1
C) M1
L1
T 3
I 1
D) M T 3
I 1
E) M L 3
I 1
RESOLUCIÓN:
Escribimos la ecuación dimensional
y reemplazamos las dimensiones
del trabajo y la carga eléctrica:
 
 
 
2 2
W M L T
V
q I T

  
  2 3 1
V M L T I 
 
RPTA.: B
La unidad de la
diferencia de
potencial o
voltaje es el
voltio (V).
11. La capacitancia (C) de un capacitor
es la división entre el valor de la
carga (Q) que almacena una de sus
armaduras y la diferencia de
potencial (V) entre las armaduras
del capacitor. Determine las
dimensiones de la capacitancia.
A) M1
L2
T 4
I1
B) M L 2
T 3
I1
C) M1
L1
T 3
I1
D) M T 3
I 1
E) M 1
L2
T4
I2
RESOLUCIÓN:
Escribimos la ecuación dimensional
y reemplazamos las dimensiones de
la carga eléctrica y de la diferencia
de potencial:
 
 
  2 3 1
q I T
C
V M L T I 
 

  1 2 4 2
C M L T I 

RPTA.: E
La unidad de la
capacidad eléctrica
es el faradio (F).
12. Determine el módulo de la
resultante de los vectores

A ,

B y

C .
60°
60°
4 6

A u
B

= 4u

5. Página 142
A) 12 u B) 14 u C) 24 u
D) 13 u E) 15 u
RESOLUCIÓN
Sumamos los vectores B y C
 
,
usando el método del
paralelogramo:
Calculamos el modulo de

 CB
usando la fórmula:
Un análisis geométrico adicional nos
lleva a la conclusión de que el
vector

 CB biseca al ángulo de
60°, esto es por que los vectores
que se han sumado tienen igual
módulo. Por lo tanto el ángulo que
forman entre si el vector

A y

 CB es 90°.
Sumamos ahora

A y

 CB con el
método del paralelogramo.
Calculamos el modulo de
R A B C
   
   usando la fórmula:
12R u


RPTA.: A
13. Dos vectores

A y

B tienen
módulos de 10 u y 6 u
respectivamente. Determinar en
que intervalo se encuentra el
módulo de la resultante que se
pueden obtener con estos dos
vectores.
A) uBAu 160 

B) uBAu 40 

C) uBAu 166 

D) uBAu 106 

E) uBAu 164 

RESOLUCIÓN
Calculamos el módulo de la
resultante máxima y mínima de
estos dos vectores, cuando formen
0° y 180° entre sí respectivamente.
u16BA 

; u4BA 

El intervalo entre los cuales se
encontrará la resultante de estos
vectores de acuerdo al ángulo que
formen entre si será:
C

= 4u
A = 46 u
u34CB 

u12CBA 

90°
2 2
4 4 2 4 4 60 4 3B C ( )( ) Cos u
 
     
2 2
4 6 4 3 2 4 6 4 3 90R ( ) ( ) ( )( ) Cos

   
B = 4u
C = 4u
60°
60°
4 3B C u
 
 
4 6A u

6. Página 143
4 16u A B u
 
  
RPTA.: E
14. Dos vectores tienen una resultante
máxima cuyo módulo es 14 u y una
resultante mínima cuyo módulo es
2u. Determine el módulo de la
resultante de los vectores cuando
son perpendiculares entre si.
A) 12 u B) 14 u C) 20 u
D) 10 u E) 15 u
RESOLUCIÓN
Supongamos que sean dos vectores

A y

B , entonces según lo afirmado
en el problema.

 BAu14 ;

 BAu2
Resolvemos y encontramos los
módulos de los vectores

A y

B .
u8A 

u6B 

Calculamos el módulo de los
vectores

A y

B usando la fórmula
[1], cuando los vectores son
perpendiculares ( = 90°).


90Cos)6)(8(268BA 22
u10BA 

RPTA.: D
15. Sea el vector A

de módulo 5 u que
forma 63° con respecto al eje +x, y
las rectas L1 y L2 que forman
ángulos de 137° y 10° con
respecto al eje +x. Determine los
módulos de las componentes del
vector A

sobre L1 y L2.
A) 4 u y 6 u B) 8 u y 5 u
C) 5 u y 6 u D) 4 u y 5 u
E) 4 u y 3 u
RESOLUCIÓN
Dibujamos el vector

A y las rectas
L1 y L2, Construimos un
paralelogramo y trazamos los
componentes de

A .
Calculamos el módulo de las
componentes usando ley de senos y
obtenemos:
A1 = 5cm Y A2 = 6cm
RPTA.: C

A
L2
L1

2A

1A 63°
10°
137°

7. Página 144
16. Los vectores A,B y C
  
están
ubicados en el sistema ortogonal,
tal como se muestra en la figura.
Determine la resultante de los
vectores.
A) R 0,8 i 0,3 j
  
 
B) R 0,8 i 0,3 j
  
  
C) R 0,8 i 0,3 j
  
 
D) R 0,8 i 0,3 j
  
  
E) R 0,3 i 0,8 j
  
 
RESOLUCIÓN
Descomponemos rectangularmente
los vectores y calculamos los
módulos de las componentes.
Calculamos la resultante en cada
eje usando vectores unitarios.
xR 1,2 i 2 i 2,4 i 0,8 i
    
   
yR 1,6 j 2 j 0,7 j 0,3 j
    
   
R 0,8 i 0,3 j
  
 
RPTA.: A
17. Los vectores A,B y C
  
están
ubicados en el sistema ortogonal,
tal como se muestra en la figura.
Determine la resultante de los
vectores.
A) 4 u  7º
B) 1 u  8 º
C) 4 u  0 º
D) 1 u  0 º
E) 1 u  10 º
RESOLUCIÓN
Los ángulos mostrados no
corresponden a triángulos notables.
Si los vectores son girados 7° en
sentido horario, obtenemos que los
vectores forman ángulos notables
con respecto a los ejes ortogonales.
A

= 2
cm
B

= 2 2 cm
C

= 2,5 cm
16° 53°
45° A

= 10u
B

= 82 u
u
83°
30°
38°
C

= 10u
AI
BJ
CJ
16° 53°
45°
CI
AJ
BI
A = 2cm
C = 2,5cm
B = 2 2 cm
A = 10u
B = 82 u
37°
45°
C = 10u
7°
7°
7°
90°

8. Página 145
Descomponemos los vectores y
calculamos los componentes de
cada vector.
Calculamos la resultante

 i4i10i8i6Rx

 j0j0j8j8Ry

 i4R
El módulo de la resultante es:
u4R 

, girando el vector 7° en
sentido antihorario (para restituir el
ángulo anteriormente girado), la
dirección y el sentido del vector
resultante será: 7° con respecto al
eje +x.
RPTA.: A
18. Sean los vectores A 6 i 8 j 2k
   
   y
B 2 i 12 j 6k
   
   . Determine el
módulo de R 6 A 5 B
  
 
A) 42 u B) 12 u C) 63 u
D) 26 u E) 98 u
RESOLUCIÓN
Calculamos

R :

 B5A6R
)k6j12i2(5)k2j8i6(6R



 k42j36i30R
Calculemos el módulo de la
resultante.
63)42()36()30(R 222


RPTA.: C
AI
B = 82 u
53°
45°
C = 10u
AJ
A = 10 u
BI
BJ
u6
5
3
1037Sen10AI 







u8
5
4
1037Cos10AJ 







u8
2
1
2845Cos28BI 







u8
2
1
2845Sen28BJ 








9. Página 146
19. Calcule el módulo de la resultante
de los vectores que se muestran en
la figura.
A) 8 u
B) 10 u
C) 6 u
D) 5 u
E) 9 u
RESOLUCIÓN
Rx = 8 u
Ry = 6 u
Calculamos la resultante aplicando
Pitágoras:
R = 10 u
RPTA.: B
20. Determine el módulo del vector

A
tal que la resultante de los vectores
mostrados en la figura sea vertical.
(B = 25u)
A) 40 u
B) 20 u
C) 60 u
D) 30 u
E) 90 u
RESOLUCIÓN
Descomponemos y sumamos:
x x xR B i A i 0
25cos53 i Acos60 i 0
A 30u
  
 
  
   

RPTA.: D
1u
1u
B

53°
A

60°
B

53°
A

y
60°
x