Este documento contiene 10 ejercicios de vectores y producto escalar resueltos. Los ejercicios involucran hallar simétricos, vértices de triángulos, normalizar vectores, calcular ángulos entre vectores, proyecciones, clasificar triángulos y expresar vectores en bases. Para cada ejercicio, se provee la solución resuelta de manera concisa.

1. Vectores. Producto escalar. Ejercicios
1Hallar el simétrico del punto A(4, - 2) respecto de M(3, - 11).
2Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular
el tercer vértice.
3Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera
que se obtenga
4Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1),
C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
5 Si { , } forma una base ortonormal, calcular:
1 ·
2 ·
3 ·
4 ·
6 Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean:
1 Perpendiculares.
2 Paralelos.
3 Formen un ángulo de 60°.
7 Calcular el valor de k sabiendo que
8 Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores
tienen como expresiones:
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.
9 Calcula la proyección del vector sobre el vector .
10 Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .

2. Vectores. Producto escalar. Ejercicios
1Hallar el simétrico del punto A(4, - 2) respecto de M(3, - 11).
Hallar el simétrico del punto A(3, - 2) respecto de M(- 2, 5).
2Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular
el tercer vértice
Ejercicios resueltos
Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el
tercer vértice.
3Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera
que se obtenga
Ejercicios resueltos
Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera
que se obtenga

3. 4Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1),
C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
Ejercicios resueltos
Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1),
C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
5 Si { , } forma una base ortonormal, calcular:
1 ·
2 ·
3 ·
4 ·
Ejercicios resueltos
Si { , } forma una base ortonormal, calcular:
1 · = 1 · 1 · cos 0° = 1
2 · = 1 · 1 · cos 90° = 0

4. 3 · = 1 · 1 · cos 90° = 0
4 · = 1 · 1 · cos 0° = 1
6 Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean:
1 Perpendiculares.
2 Paralelos.
3 Formen un ángulo de 60°
Ejercicios resueltos
Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean:
1 Perpendiculares.
2 Paralelos.
3 Formen un ángulo de 60°.

5. 7 Calcular el valor de k sabiendo que
Ejercicios resueltos
Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores
tienen como expresiones:
Calcular el valor de k sabiendo que .
8 Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores
tienen como expresiones:
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.
Ejercicios resueltos
Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores
tienen como expresiones:
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.

6. 9 Calcula la proyección del vector sobre el vector .
. Ejercicios resueltos
Calcula la proyección del vector sobre el vector .
10 Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .
Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .

7. Vectores. Producto escalar. Ejercicios
1Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo,
¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?
2Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6), C(1, -3) y D(-4, 2) pertenecen a una
circunferencia de centro (1, 2).
3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).
4Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8. -8).
5Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:
1 90°
2 0°
3 45°
6Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).
7Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del
triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.
8Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).
9Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta
base el vector = (−1, −1).
10Calcular el valor de a para que los vectores = 3 + 4 y = a − 2 formen un
ángulo de 45°.
Vectores. Producto escalar. Ejercicios
1Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo,
¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?
Ejercicios resueltos
1
Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo,
¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

8. x1 = 7 x5 = 7 x3 = −1
y1 = 4 y5 = 0 y3 = 3
A(7, 4)B(5, 0) C(−1, 2)
2Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6), C(1, -3) y D(-4, 2) pertenecen a una
circunferencia de centro (1, 2).
Ejercicios resueltos
Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de
centro (1, 2).
Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales
3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).
Ejercicios resueltos
3
Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

9. Si:
4Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8. -8).
Ejercicios resueltos
Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8. -8).

10. 5Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:
1 90°
2 0°
3 45°
Ejercicios resueltos
Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:
1 90°
2 0°
3 45°
6Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

11. Ejercicios resueltos
Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).
7Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del
triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.
Ejercicios resueltos
Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del
triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

12. 8Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).
Ejercicios resuelto
Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

14. 9Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta
base el vector = (−1, −1).
Ejercicios resueltos
Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base
el vector = (−1. −1).
(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)
−1 = a +b a = −1 −b a= 2
−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3
= 2 − 3
10Calcular el valor de a para que los vectores = 3 + 4 y = a − 2 formen un
ángulo de 45°.
Ejercicios resueltos
Calcular el valor de a para que los vectores = 3 + 4 y = a − 2 formen un
ángulo de 45°.