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Docente:
Unidad:
Introducción a la Matemática para la Ingeniería
Vectores, rectas y plano en R2 y
R3
Jaime Fernández Caycho
Logro
Al finalizar la unidad el estudiante utiliza los conceptos
sobre vectores y rectas así como la ecuación del plano en
la resolución de problemas aplicados a la ingeniería
Importancia
Al estudiar magnitudes como la mecánica, el trabajo o el
magnetismo no es suficiente conocer su valor numérico también
es necesario conocer su dirección y módulo. Los vectores
aportan en la determinación de la dirección y de cálculos de
resultantes.
La recta y el plano son otros dos conceptos que se usan en
ingeniería hidráulica, ingeniera civil , economía y otras ciencias
donde se trata de explicar la relación entre dos variables ( R2) o
tres variables ( R3)
Contenido general
• Vectores en R2
• La Recta en R2
• Vectores en R3
• La Recta en R3
• El Plano
Vectores Rectas y Planos
en R2 y R3
• Vectores en R2
• La recta en R2
• Vectores en R3
• La recta en R3
• El Plano
Vectores en R2
• Plano Cartesiano, par ordenado. Vector. Plano
vectorial Bidimensional. Representación del vector
como segmento orientado.
• Modulo, aplicación del módulo como distancia
entre dos puntos. // Vector unitario. Vectores
canónicos (i,j).
• Igualdad de vectores. Adición y Diferencia de
vectores.
• Multiplicación de un escalar por un vector.
• Ortogonalidad y Paralelismo (Aplicación en puntos
de corte).
• Producto escalar. Vectores Ortogonales y ángulo
entre vectores. Ángulo de inclinación de un vector
(aplicación a resultante de fuerzas). Proyección
Ortogonal y Componente entre vectores.
Plano cartesiano y vector
Y
X
A(-3;-2)
B (1;3)
Se define A y B puntos
(pares ordenados) 𝑨𝑩 : segmento
𝑨𝑩 : vector
𝑨𝑩 :recta que pasa por A y B
Elementos del vector
Origen : A
Dirección y Sentido
Módulo
Definición y módulo de un vector
A(-8;3)
B(-3;7)
𝑨𝑩 = 𝒂𝒙
𝟐
+ 𝒂𝒚
𝟐
𝒂𝒙
𝒂𝒚
𝑨𝑩 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝟐
𝒙𝟏 𝒙𝟐
𝒚𝟏
𝒚𝟐
𝑨𝑩 = 𝑩 − 𝑨 𝑨𝑩 = −𝟑, 𝟕 − (−𝟖; 𝟑)
𝑨𝑩 = 𝟓, 𝟒
Vector unitario y vectores canónicos
Ԧ
𝒋 = (𝟎; 𝟏)
Ԧ
𝒊 = (𝟏; 𝟎)
Vectores Canónicos
Vector Unitario
Vector cuyo módulo es 1; se representa con la letra “u”.
𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) ǁuǁ= (𝑢1)2 + (𝑢2)2 = 1
Equivalencia
Ԧ
𝑎 = −3,4 = −3Ԧ
𝒊 + 𝟒 Ԧ
𝒋
Ԧ
𝑎 = 0,4 = 𝟒 Ԧ
𝒋
Ԧ
𝑎 = (𝑎1, 𝑎2)
𝑢𝑎 =
𝑎1
Ԧ
𝑎
;
𝑎2
Ԧ
𝑎
Para cualquier vector
Suma y resta de vectores
A(-7;-1)
B(-6;7)
C(2;1)
M(-2;4)
Ԧ
𝑎 𝑏
- 𝑏
Ԧ
𝑎 + 𝑏
Ԧ
𝑎 − 𝑏
Ԧ
𝑎 = (5; 5) 𝑏 = (4; −3)
Ԧ
𝑎 + 𝑏 = (9; 2)
Ԧ
𝑎 − 𝑏 = (1; 8)
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 3 Ԧ
𝑎 + 2𝑏
= 3 5; 5 + 2 4; −3
= 15; 15 + 8; −6
= 23; 9
Multiplicación de un escalar
por un vector
Paralelismo y Ortogonalidad de vectores
A(-7;-1)
Ԧ
𝑎
Paralelismo
Dos vectores Paralelos se
representan como: Ԧ
𝑎 ∥ 𝑏
Ԧ
𝑎 ∥ 𝑏 ⇒ Ԧ
𝑎 = 𝑘. 𝑏 (𝒌 es un escalar)
𝑏
Ԧ
𝑎 = (𝑎1; 𝑎2)
Ԧ
𝑎 = (4; 2)
Ԧ
𝑎⊥ = (−𝑎2;𝑎1)
Ԧ
𝑎⊥ = (−2; 4)
Vectores ortogonales
Vectores iguales
Vector Opuesto
Dado el vector 𝒎 = (5,7); definimos
el vector opuesto como −𝒎 .
Geométricamente mantiene el
módulo y la dirección pero cambia
el sentido.
−𝑚
𝑚
Los vectores 𝒎 𝑦 𝒏 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 ∶
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 , 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜
El origen puede ser diferente
𝑛
𝑚
Producto escalar de vectores
Ԧ
𝑎 = (𝑎1; 𝑎2)
𝑏 = (𝑏1; 𝑏2)
Ԧ
𝑎. 𝑏 = 𝑎1; 𝑎2 . 𝑏1;𝑏2
Observación Ԧ
𝑎 ⊥ 𝑏 ⇒ Ԧ
𝑎 . 𝑏 = 0
Ԧ
𝑎. 𝑏 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2. 𝑏2
Descomposición de un vector
𝜽
𝟑
𝟓
𝒂
𝐶𝑜𝑠𝜃 =
𝑎1
𝑎
⇒ 𝑎1 = 𝑎 Cos𝜃
𝒂𝟏
𝒂𝟐
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑎2
𝑎
⇒ 𝑎2 = 𝑎 sen𝜃
𝐭𝐚𝐧𝜽 =
𝒂𝟐
𝒂𝟏
⇒ 𝜽 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝒂𝟐
𝒂𝟏
Proyección ortogonal
𝒂
𝒃
La sombra que proyecta el
vector Ԧ
𝑎 sobre ത
𝑏, le decimos
proyección ortogonal
Denota: 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏
𝑎
=
Ԧ
𝑎. 𝑏
𝑏
2 . 𝑏
𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃
𝒂
𝒂
𝒃
El módulo de vector
proyección se conoce como
la componente del vector Ԧ
𝑎
sobre 𝑏
Denota: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏
𝑎
=
Ԧ
𝑎. 𝑏
𝑏
𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃
𝒂
Componente
La recta en R2
• La recta en dos dimensiones (R2).
• Ecuaciones de la recta. Formas
• Ángulo de inclinación y Pendiente de una recta.
• Distancia de un punto a una recta.
• Paralelismo y Ortogonalidad entre rectas.
Intersección de rectas.
La recta en R2
Y - Yo
X - Xo
X1 - Xo
Ecuación dado dos puntos
𝑌 − 𝑌𝑜
𝑋 − 𝑋0
=
𝑌1 − 𝑌𝑜
𝑋1 − 𝑋0
Ecuación punto pendiente
𝑌 − 𝑌𝑜 = 𝑚(𝑋 − 𝑋0)
Ecuación vectorial
(𝑋, 𝑌) = (𝑋0, 𝑌0) + 𝑡 𝐴𝐵
Ecuación paramétrica
𝑋 = 𝑋0, +𝑡 𝑎1
𝑌 = 𝑌0, +𝑡 𝑎2
Ecuación intercepto Eje Y
𝑌 = 𝑚𝑋 + 𝑏
Pendiente de una
recta
𝑚 =
𝑌1 − 𝑌𝑜
𝑋1 − 𝑋0
= tanθ Ecuación General
𝐴𝑋 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Si conoce la ecuación general 𝑚 = −
𝐴
𝐵
θ
Distancia de un punto a una recta
𝑥0, 𝑦0
θ
𝑑(𝑃, 𝐿) =
𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶
𝐴2 + 𝐵2
Distancia de un punto a
una recta
Rectas paralelas y perpendiculares
θ θ
𝐿1 ∥ 𝐿2 ⟺ 𝑚1 = 𝑚2
Rectas Paralelas
𝐿1 ⊥ 𝐿3 ⟺ 𝑚1. 𝑚2 = −1
Rectas Perpendiculares
Intersección entre rectas
Dadas dos rectas,
RECTAS COINCIDENTES
Si
𝑨
𝑫
=
𝑩
𝑬
=
𝑪
𝑭
RECTAS PARALELAS
si:
𝑨
𝑫
=
𝑩
𝑬´
≠
𝑪
𝑭
RECTAS SECANTES
Si :
𝑨
𝑫
≠
𝑩
𝑬
𝐿1 ∶ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝐿2 ∶ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝐿1 ∶ 3𝑥 + 5𝑦 − 2 = 0
𝐿2 ∶ 6𝑥 + 10𝑦 − 4 = 0
𝐿1 ∶ 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
𝐿2 ∶ 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0
𝐿1 ∶ 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
𝐿2 ∶ 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0
Solución (2,1)
Ángulo entre rectas entre rectas
Cada recta tiene su ángulo de inclinación ( pendiente)
𝑇𝑎𝑔𝛼 = 𝑚1
𝑇𝑎𝑔𝛽 = 𝑚2
𝒙
𝒚
𝜶 𝜷
𝜽
Por Trigonometría básica:
Tg(θ) = Tg(𝛽 − 𝛼)
Tg(θ) =
𝑇𝑔 𝛽 −𝑇𝑔(𝛼)
1+𝑇𝑔 𝛽 𝑇𝑔(𝛼)
Tg(θ) =
𝑚2−𝑚1
1+𝑚2.𝑚1
θ = 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔(
𝑚2−𝑚1
1+𝑚2.𝑚1
)
𝛽 = 𝛼 + 𝜃 ⇒ 𝜃 = 𝛽 − 𝛼
Vectores Rectas y Planos
en R2 y R3
• Vectores en R2
• La recta en R2
• Vectores en R3
• La recta en R3
• El Plano
Vectores en R3
• Espacio Vectorial en tres dimensiones (R3). Módulo
del vector. Vector unitario. Vectores canónicos
(i,j,k). Suma y Diferencia de vectores. Producto de
un escalar por un vector.
• Paralelismo. Producto escalar, ángulo entre
vectores.
• Proyección Ortogonal y Componente entre
vectores.
• Producto vectorial. Triple Producto Escalar y
Vectorial.
• Aplicaciones en áreas y volúmenes.
Vectores en R3
(2,1,0)
(-2,-2,3)
-3
-4
c
3
Módulo de un vector en R3
Ԧ
𝑣 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 → Ԧ
𝑣 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
Ԧ
𝑣 = −4, −3,3 → Ԧ
𝑣 = (−4)2+(−3)2+32 = 34
𝒗 = 𝒂, 𝒃, 𝒄
Vector unitario – Vectores canónicos
𝒗 = 𝒂, 𝒃, 𝒄
𝒖 =
𝒗
𝒗
Ԧ
𝒊 = 𝟏, 𝟎, 𝟎
Ԧ
𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟎
𝒌 = 𝟎, 𝟎, 𝟏
Ԧ
𝒊 = 𝟏, 𝟎, 𝟎
Ԧ
𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟎
𝒌 = 𝟎, 𝟎, 𝟏
Suma y Diferencia de Vectores
𝒖
𝒗
𝒗
-𝒗
𝒖 + 𝒗
𝑢 = −3,4,3
Ԧ
𝑣 = 2𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘
𝒖 + 𝒗 = −3,4,3 + 2,2,3 = (−1,6,6)
𝒖 − 𝒗 = −3,4,3 - 2,2,3 = (−5,2,0)
Multiplicación por un escalar
𝑢 = −3,4,3
Ԧ
𝑣 = 2𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘
Calcula 3𝒖 + 𝟓𝒗
𝟑𝒖 + 𝟓𝒗 = 3 −3,4,3 +5 2,2,3
𝟑𝒖 + 𝟓𝒗 = −9,12,9 + 10,10,15
𝟑𝒖 + 𝟓𝒗 = 1,22,24
Vectores Paralelos
𝒖 = 𝟏, 𝟏, 𝟐
𝒗 = 𝟑, 𝟑, 𝟔
𝒖 ∥ 𝒗 ⟺ 𝒖 = 𝒌𝒗
Producto Escalar
𝒂 = −𝟏, 𝟏, −𝟐 𝒚 𝒃 = 𝟑, 𝟒, −𝟐
𝒂. 𝒃 = −𝟏 × 𝟑 + 𝟏 × 𝟒 + (−𝟐) × (−𝟐)
𝒂. 𝒃 = 𝟓
Si ഥ
𝒂. ഥ
𝒃 = 𝟎 ⇒ 𝜽 = 𝟗𝟎𝟎
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
ഥ
𝒂. ഥ
𝒃
ഥ
𝒂 ഥ
𝒃
ഥ
𝒂. ഥ
𝒃 = ഥ
𝒂 ഥ
𝒃 𝑪𝒐𝒔𝜽
𝜽
Ángulo entre vectores
⇒
Vectores Perpendiculares
ഥ
𝒂 ⊥ ഥ
𝒃 ⟹ ഥ
𝒂. ഥ
𝒃 = 𝟎
Proyección ortogonal y componente de
un vector
𝒑𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂
𝒂
𝒃
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏
𝑎
=
Ԧ
𝑎. 𝑏
𝑏
𝒑𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 =
𝒂. 𝒃
𝒃
𝟐
𝒃
Producto vectorial
El producto vectorial Ԧ
𝑎 × 𝑏 se caracteriza por:
Módulo: sen 𝜃
Dirección: perpendicular a ambos: y
Ԧ
𝑎 × 𝑏
Ԧ
𝑎
𝑏
𝜃
Ԧ
𝑎 × 𝑏 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 2 3
2 1 2
Ԧ
𝑎 × 𝑏 =
2
1
3
2
Ԧ
𝑖 −
1
2
3
2
Ԧ
𝑗 +
1
2
2
1
𝑘
Ԧ
𝑎 × 𝑏 = Ԧ
𝑖 − (−4)Ԧ
𝑗 + −3𝑘
Ԧ
𝑎 × 𝑏 = (1,4, −3)
Triple producto escalar
Triple Producto Vectorial
𝑢. Ԧ
𝑣. 𝑤 = Ԧ
𝑢. Ԧ
𝑣 × 𝑤
ത
𝑎𝑥(ത
𝑏𝑥 ҧ
𝑐) = ത
𝑏. ത
𝑎. ҧ
𝑐 − ҧ
𝑐. (ത
𝑎. ത
𝑏)
ഥ
𝒃
ത
𝒄
ഥ
𝒃𝒙ത
𝒄
ഥ
𝒂
ത
𝑎𝑥(ത
𝑏𝑥 ҧ
𝑐)
Aplicaciones : Área y Volumen
Volumen del Tetraedro
Á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐏𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐦𝐨
Á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐭𝐫𝐢á𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨
𝑽𝑻 =
ഥ
𝒂.ഥ
𝒃.ത
𝒄
𝟔
𝑽𝑷𝑹 =
ഥ
𝒂. ഥ
𝒃. ത
𝒄
𝟐
𝑽𝑷 = ഥ
𝒂. ഥ
𝒃. ത
𝒄
𝐴𝑇 =
Ԧ
𝑎𝑥𝑏
2
𝐴𝑃 = Ԧ
𝑎𝑥𝑏
𝐕𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞𝐧 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐞𝐩í𝐩𝐞𝐝𝐨
𝐕𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞𝐧 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐫𝐢𝐬𝐦𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐨
La recta en R3
• La recta en tres dimensiones (R3).
• Ecuación vectorial, paramétrica y simétrica.
• Paralelismo y Ortogonalidad entre rectas. Ángulo entre
rectas. Intersección de rectas.
• Distancia entre rectas que se cruzan.
La recta en R3
𝜽
Ecuación vectorial de L Ecuación paramétrica:
R
t
ct
z
z
bt
y
y
at
x
x












0
0
0
c
z
z
b
y
y
a
x
x 0
0
0 




Ecuación simétrica
𝒙; 𝒚; 𝒛 = 𝒙𝟎; 𝒚𝟎; 𝒛𝟎 + 𝒕(𝒂; 𝒃; 𝒄)
𝑷𝟎 = (𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎)
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛)
Paralelismo entre rectas
𝑆𝑖 𝐿1 ∥ 𝐿2 ⇒ ത
𝑎 ∥ ത
𝑏
Dadas las rectas 𝑙1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃0 + 𝑡 Ԧ
𝑎 y 𝑙2: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑄0 + 𝑟𝑏
𝑳𝟏
𝑳𝟐
ത
𝑎 × ത
𝑏 =0
Otra forma
Dadas las rectas 𝑙1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃0 + 𝑡 Ԧ
𝑎 y 𝑙3: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑅0 + 𝑠𝑏
𝑆𝑖 𝐿1 ⊥ 𝐿2 ⇒ ത
𝑎. ത
𝑏 = 0
𝑪𝒐𝒔𝜽 =
ത
𝑎. ത
𝑏
ഥ
𝒂 ഥ
𝒃
Ángulo entre rectas
Rectas perpendiculares
Posiciones entre rectas no paralelas
Se cruzan Se cortan
Dadas las rectas en el espacio
Se forma 𝑄0 − 𝑃0
Ԧ
𝑎
𝑏
𝒍𝟏: 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑷𝟎 + 𝒕𝒂 y 𝒍𝟐: 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑸𝟎 + 𝒓𝒃
Distancia entre rectas que se cruzan
𝒅 𝑳𝟏, 𝑳𝟐 =
𝑷𝟎𝑸𝟎, 𝒂, 𝒃
𝒂 × 𝒃
La ecuación del plano
• Ecuación Vectorial, Normal y General.
• Paralelismo y Perpendicularidad.
• Ángulo diedro entre planos.
• Intersección de Planos.
Generación de un plano
Geométricamente 3
puntos no
colineales
determinan un
Plano
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑃0
ഥ
𝒂
ഥ
𝒃
ഥ
𝒂𝒙ഥ
𝒃 ≠ 𝟎 ⇒ ഥ
𝒂 ∦ ഥ
𝒃
(3,2,2)
(1,2, −1)
(2,1,1)
Vectorialmente 2
vectores no
paralelos
determinan un
Plano
P a
b
Ecuación vectorial normal y general de
un plano
𝝅: 𝑷 + 𝒕𝒂 + 𝒔𝒃 ; 𝒕, 𝒔 𝝐 𝑹
Ecuación Vectorial
𝑷𝟎
𝒂
𝒃
𝑷
𝒏 = 𝒂 𝒙𝒃
Ecuación Normal
𝐏 − 𝑷𝟎 . 𝒏 = 𝟎
Ecuación General
𝒏 = (𝑨, 𝑩, 𝑪)
donde
𝑨𝑿 + 𝑩𝒀 + 𝑪𝒁 + 𝑫 = 𝟎
Planos paralelos y perpendiculares
𝑨𝑿 + 𝑩𝒀 + 𝑪𝒁 + 𝑫 = 𝟎
𝑨𝟏𝑿 + 𝑩𝟏𝒀 + 𝑪𝟏𝒁 + 𝑫𝟏 = 𝟎
𝑨𝟐𝑿 + 𝑩𝟐𝒀 + 𝑪𝟐𝒁 + 𝑫𝟐 = 𝟎
𝒏𝟐
𝒏
𝒏𝟏
Q
P
R
𝑷 ∥ 𝑸 ⟹ 𝒏 ∥ 𝒏𝟐 o 𝒏 × 𝒏𝟐 = 𝟎
𝑷 ⊥ 𝑹 ⟹ 𝒏 ⊥ 𝒏𝟏 o 𝒏. 𝒏𝟏 = 𝟎
Paralelismo
Perpendicularidad
Distancia de un punto
a un plano 𝒅 𝑴, ⊿𝑷 =
𝑨𝑿𝟎 + 𝑩𝒀𝟎 + 𝑪𝟎 + 𝑫
𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝑪𝟐
𝑨𝟏𝑿 + 𝑩𝟏𝒀 + 𝑪𝟏𝒁 + 𝑫𝟏 = 𝟎
Ángulo diedro entre planos
𝒏𝟏 𝒏𝟐
𝑪𝒐𝒔𝜽 =
𝒏𝟏. 𝒏𝟐
𝒏𝟏 𝒏𝟏
𝜽
Intersección de planos = Recta
𝑳 = ቊ
𝑨𝟏𝑿 + 𝑩𝟏𝒀 + 𝑪𝟏𝒁 + 𝑫𝟏 = 𝟎
𝑨𝟐𝑿 + 𝑩𝟐𝒀 + 𝑪𝟐𝒁 + 𝑫𝟐 = 𝟎
𝑨𝟐𝑿 + 𝑩𝟐𝒀 + 𝑪𝟐𝒁 + 𝑫𝟐 = 𝟎
𝑨𝟏𝑿 + 𝑩𝟏𝒀 + 𝑪𝟏𝒁 + 𝑫𝟏 = 𝟎
Conclusiones
• Las operaciones entre vectores permiten calcular la
resultante en un sistema de fuerzas y su dirección y
podemos ampliar hacia temas como la electricidad,
magnetismo.
• El producto escalar y vectorial se aplica en el cálculo de
áreas y volúmenes de regiones y superficies no
regulares.
• Para determinar la ecuación de un plano es necesario
utilizar el producto escalar y vectorial de vectores lo que
indica la conexión entre vectores, rectas y planos que son
temas previos al calculo vectorial donde se interactúa
con derivadas e integrales.
Gracias
Docente: Jaime A. Fernández Caycho

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vectores,rectas y plano en bidimensional(r2) y tridimensional (r3)

  • 1. Docente: Unidad: Introducción a la Matemática para la Ingeniería Vectores, rectas y plano en R2 y R3 Jaime Fernández Caycho
  • 2. Logro Al finalizar la unidad el estudiante utiliza los conceptos sobre vectores y rectas así como la ecuación del plano en la resolución de problemas aplicados a la ingeniería
  • 3. Importancia Al estudiar magnitudes como la mecánica, el trabajo o el magnetismo no es suficiente conocer su valor numérico también es necesario conocer su dirección y módulo. Los vectores aportan en la determinación de la dirección y de cálculos de resultantes. La recta y el plano son otros dos conceptos que se usan en ingeniería hidráulica, ingeniera civil , economía y otras ciencias donde se trata de explicar la relación entre dos variables ( R2) o tres variables ( R3)
  • 4. Contenido general • Vectores en R2 • La Recta en R2 • Vectores en R3 • La Recta en R3 • El Plano
  • 5. Vectores Rectas y Planos en R2 y R3 • Vectores en R2 • La recta en R2 • Vectores en R3 • La recta en R3 • El Plano
  • 6. Vectores en R2 • Plano Cartesiano, par ordenado. Vector. Plano vectorial Bidimensional. Representación del vector como segmento orientado. • Modulo, aplicación del módulo como distancia entre dos puntos. // Vector unitario. Vectores canónicos (i,j). • Igualdad de vectores. Adición y Diferencia de vectores. • Multiplicación de un escalar por un vector. • Ortogonalidad y Paralelismo (Aplicación en puntos de corte). • Producto escalar. Vectores Ortogonales y ángulo entre vectores. Ángulo de inclinación de un vector (aplicación a resultante de fuerzas). Proyección Ortogonal y Componente entre vectores.
  • 7. Plano cartesiano y vector Y X A(-3;-2) B (1;3) Se define A y B puntos (pares ordenados) 𝑨𝑩 : segmento 𝑨𝑩 : vector 𝑨𝑩 :recta que pasa por A y B Elementos del vector Origen : A Dirección y Sentido Módulo
  • 8. Definición y módulo de un vector A(-8;3) B(-3;7) 𝑨𝑩 = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒂𝒚 𝟐 𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝑨𝑩 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟐 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑨𝑩 = 𝑩 − 𝑨 𝑨𝑩 = −𝟑, 𝟕 − (−𝟖; 𝟑) 𝑨𝑩 = 𝟓, 𝟒
  • 9. Vector unitario y vectores canónicos Ԧ 𝒋 = (𝟎; 𝟏) Ԧ 𝒊 = (𝟏; 𝟎) Vectores Canónicos Vector Unitario Vector cuyo módulo es 1; se representa con la letra “u”. 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) ǁuǁ= (𝑢1)2 + (𝑢2)2 = 1 Equivalencia Ԧ 𝑎 = −3,4 = −3Ԧ 𝒊 + 𝟒 Ԧ 𝒋 Ԧ 𝑎 = 0,4 = 𝟒 Ԧ 𝒋 Ԧ 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2) 𝑢𝑎 = 𝑎1 Ԧ 𝑎 ; 𝑎2 Ԧ 𝑎 Para cualquier vector
  • 10. Suma y resta de vectores A(-7;-1) B(-6;7) C(2;1) M(-2;4) Ԧ 𝑎 𝑏 - 𝑏 Ԧ 𝑎 + 𝑏 Ԧ 𝑎 − 𝑏 Ԧ 𝑎 = (5; 5) 𝑏 = (4; −3) Ԧ 𝑎 + 𝑏 = (9; 2) Ԧ 𝑎 − 𝑏 = (1; 8) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 3 Ԧ 𝑎 + 2𝑏 = 3 5; 5 + 2 4; −3 = 15; 15 + 8; −6 = 23; 9 Multiplicación de un escalar por un vector
  • 11. Paralelismo y Ortogonalidad de vectores A(-7;-1) Ԧ 𝑎 Paralelismo Dos vectores Paralelos se representan como: Ԧ 𝑎 ∥ 𝑏 Ԧ 𝑎 ∥ 𝑏 ⇒ Ԧ 𝑎 = 𝑘. 𝑏 (𝒌 es un escalar) 𝑏 Ԧ 𝑎 = (𝑎1; 𝑎2) Ԧ 𝑎 = (4; 2) Ԧ 𝑎⊥ = (−𝑎2;𝑎1) Ԧ 𝑎⊥ = (−2; 4) Vectores ortogonales
  • 12. Vectores iguales Vector Opuesto Dado el vector 𝒎 = (5,7); definimos el vector opuesto como −𝒎 . Geométricamente mantiene el módulo y la dirección pero cambia el sentido. −𝑚 𝑚 Los vectores 𝒎 𝑦 𝒏 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 ∶ 𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 , 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 El origen puede ser diferente 𝑛 𝑚
  • 13. Producto escalar de vectores Ԧ 𝑎 = (𝑎1; 𝑎2) 𝑏 = (𝑏1; 𝑏2) Ԧ 𝑎. 𝑏 = 𝑎1; 𝑎2 . 𝑏1;𝑏2 Observación Ԧ 𝑎 ⊥ 𝑏 ⇒ Ԧ 𝑎 . 𝑏 = 0 Ԧ 𝑎. 𝑏 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2. 𝑏2
  • 14. Descomposición de un vector 𝜽 𝟑 𝟓 𝒂 𝐶𝑜𝑠𝜃 = 𝑎1 𝑎 ⇒ 𝑎1 = 𝑎 Cos𝜃 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑎2 𝑎 ⇒ 𝑎2 = 𝑎 sen𝜃 𝐭𝐚𝐧𝜽 = 𝒂𝟐 𝒂𝟏 ⇒ 𝜽 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒂𝟐 𝒂𝟏
  • 15. Proyección ortogonal 𝒂 𝒃 La sombra que proyecta el vector Ԧ 𝑎 sobre ത 𝑏, le decimos proyección ortogonal Denota: 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏 𝑎 = Ԧ 𝑎. 𝑏 𝑏 2 . 𝑏 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃 𝒂 𝒂 𝒃 El módulo de vector proyección se conoce como la componente del vector Ԧ 𝑎 sobre 𝑏 Denota: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏 𝑎 = Ԧ 𝑎. 𝑏 𝑏 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃 𝒂 Componente
  • 16. La recta en R2 • La recta en dos dimensiones (R2). • Ecuaciones de la recta. Formas • Ángulo de inclinación y Pendiente de una recta. • Distancia de un punto a una recta. • Paralelismo y Ortogonalidad entre rectas. Intersección de rectas.
  • 17. La recta en R2 Y - Yo X - Xo X1 - Xo Ecuación dado dos puntos 𝑌 − 𝑌𝑜 𝑋 − 𝑋0 = 𝑌1 − 𝑌𝑜 𝑋1 − 𝑋0 Ecuación punto pendiente 𝑌 − 𝑌𝑜 = 𝑚(𝑋 − 𝑋0) Ecuación vectorial (𝑋, 𝑌) = (𝑋0, 𝑌0) + 𝑡 𝐴𝐵 Ecuación paramétrica 𝑋 = 𝑋0, +𝑡 𝑎1 𝑌 = 𝑌0, +𝑡 𝑎2 Ecuación intercepto Eje Y 𝑌 = 𝑚𝑋 + 𝑏 Pendiente de una recta 𝑚 = 𝑌1 − 𝑌𝑜 𝑋1 − 𝑋0 = tanθ Ecuación General 𝐴𝑋 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Si conoce la ecuación general 𝑚 = − 𝐴 𝐵 θ
  • 18. Distancia de un punto a una recta 𝑥0, 𝑦0 θ 𝑑(𝑃, 𝐿) = 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶 𝐴2 + 𝐵2 Distancia de un punto a una recta
  • 19. Rectas paralelas y perpendiculares θ θ 𝐿1 ∥ 𝐿2 ⟺ 𝑚1 = 𝑚2 Rectas Paralelas 𝐿1 ⊥ 𝐿3 ⟺ 𝑚1. 𝑚2 = −1 Rectas Perpendiculares
  • 20. Intersección entre rectas Dadas dos rectas, RECTAS COINCIDENTES Si 𝑨 𝑫 = 𝑩 𝑬 = 𝑪 𝑭 RECTAS PARALELAS si: 𝑨 𝑫 = 𝑩 𝑬´ ≠ 𝑪 𝑭 RECTAS SECANTES Si : 𝑨 𝑫 ≠ 𝑩 𝑬 𝐿1 ∶ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝐿2 ∶ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝐿1 ∶ 3𝑥 + 5𝑦 − 2 = 0 𝐿2 ∶ 6𝑥 + 10𝑦 − 4 = 0 𝐿1 ∶ 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 𝐿2 ∶ 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 𝐿1 ∶ 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 𝐿2 ∶ 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 Solución (2,1)
  • 21. Ángulo entre rectas entre rectas Cada recta tiene su ángulo de inclinación ( pendiente) 𝑇𝑎𝑔𝛼 = 𝑚1 𝑇𝑎𝑔𝛽 = 𝑚2 𝒙 𝒚 𝜶 𝜷 𝜽 Por Trigonometría básica: Tg(θ) = Tg(𝛽 − 𝛼) Tg(θ) = 𝑇𝑔 𝛽 −𝑇𝑔(𝛼) 1+𝑇𝑔 𝛽 𝑇𝑔(𝛼) Tg(θ) = 𝑚2−𝑚1 1+𝑚2.𝑚1 θ = 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔( 𝑚2−𝑚1 1+𝑚2.𝑚1 ) 𝛽 = 𝛼 + 𝜃 ⇒ 𝜃 = 𝛽 − 𝛼
  • 22. Vectores Rectas y Planos en R2 y R3 • Vectores en R2 • La recta en R2 • Vectores en R3 • La recta en R3 • El Plano
  • 23. Vectores en R3 • Espacio Vectorial en tres dimensiones (R3). Módulo del vector. Vector unitario. Vectores canónicos (i,j,k). Suma y Diferencia de vectores. Producto de un escalar por un vector. • Paralelismo. Producto escalar, ángulo entre vectores. • Proyección Ortogonal y Componente entre vectores. • Producto vectorial. Triple Producto Escalar y Vectorial. • Aplicaciones en áreas y volúmenes.
  • 24. Vectores en R3 (2,1,0) (-2,-2,3) -3 -4 c 3 Módulo de un vector en R3 Ԧ 𝑣 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 → Ԧ 𝑣 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 Ԧ 𝑣 = −4, −3,3 → Ԧ 𝑣 = (−4)2+(−3)2+32 = 34 𝒗 = 𝒂, 𝒃, 𝒄
  • 25. Vector unitario – Vectores canónicos 𝒗 = 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝒖 = 𝒗 𝒗 Ԧ 𝒊 = 𝟏, 𝟎, 𝟎 Ԧ 𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟎 𝒌 = 𝟎, 𝟎, 𝟏 Ԧ 𝒊 = 𝟏, 𝟎, 𝟎 Ԧ 𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟎 𝒌 = 𝟎, 𝟎, 𝟏
  • 26. Suma y Diferencia de Vectores 𝒖 𝒗 𝒗 -𝒗 𝒖 + 𝒗 𝑢 = −3,4,3 Ԧ 𝑣 = 2𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 𝒖 + 𝒗 = −3,4,3 + 2,2,3 = (−1,6,6) 𝒖 − 𝒗 = −3,4,3 - 2,2,3 = (−5,2,0) Multiplicación por un escalar 𝑢 = −3,4,3 Ԧ 𝑣 = 2𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 Calcula 3𝒖 + 𝟓𝒗 𝟑𝒖 + 𝟓𝒗 = 3 −3,4,3 +5 2,2,3 𝟑𝒖 + 𝟓𝒗 = −9,12,9 + 10,10,15 𝟑𝒖 + 𝟓𝒗 = 1,22,24
  • 27. Vectores Paralelos 𝒖 = 𝟏, 𝟏, 𝟐 𝒗 = 𝟑, 𝟑, 𝟔 𝒖 ∥ 𝒗 ⟺ 𝒖 = 𝒌𝒗 Producto Escalar 𝒂 = −𝟏, 𝟏, −𝟐 𝒚 𝒃 = 𝟑, 𝟒, −𝟐 𝒂. 𝒃 = −𝟏 × 𝟑 + 𝟏 × 𝟒 + (−𝟐) × (−𝟐) 𝒂. 𝒃 = 𝟓 Si ഥ 𝒂. ഥ 𝒃 = 𝟎 ⇒ 𝜽 = 𝟗𝟎𝟎 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 ഥ 𝒂. ഥ 𝒃 ഥ 𝒂 ഥ 𝒃 ഥ 𝒂. ഥ 𝒃 = ഥ 𝒂 ഥ 𝒃 𝑪𝒐𝒔𝜽 𝜽 Ángulo entre vectores ⇒ Vectores Perpendiculares ഥ 𝒂 ⊥ ഥ 𝒃 ⟹ ഥ 𝒂. ഥ 𝒃 = 𝟎
  • 28. Proyección ortogonal y componente de un vector 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 𝒂 𝒃 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏 𝑎 = Ԧ 𝑎. 𝑏 𝑏 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 = 𝒂. 𝒃 𝒃 𝟐 𝒃
  • 29. Producto vectorial El producto vectorial Ԧ 𝑎 × 𝑏 se caracteriza por: Módulo: sen 𝜃 Dirección: perpendicular a ambos: y Ԧ 𝑎 × 𝑏 Ԧ 𝑎 𝑏 𝜃 Ԧ 𝑎 × 𝑏 = 𝑖 𝑗 𝑘 1 2 3 2 1 2 Ԧ 𝑎 × 𝑏 = 2 1 3 2 Ԧ 𝑖 − 1 2 3 2 Ԧ 𝑗 + 1 2 2 1 𝑘 Ԧ 𝑎 × 𝑏 = Ԧ 𝑖 − (−4)Ԧ 𝑗 + −3𝑘 Ԧ 𝑎 × 𝑏 = (1,4, −3)
  • 30. Triple producto escalar Triple Producto Vectorial 𝑢. Ԧ 𝑣. 𝑤 = Ԧ 𝑢. Ԧ 𝑣 × 𝑤 ത 𝑎𝑥(ത 𝑏𝑥 ҧ 𝑐) = ത 𝑏. ത 𝑎. ҧ 𝑐 − ҧ 𝑐. (ത 𝑎. ത 𝑏) ഥ 𝒃 ത 𝒄 ഥ 𝒃𝒙ത 𝒄 ഥ 𝒂 ത 𝑎𝑥(ത 𝑏𝑥 ҧ 𝑐)
  • 31. Aplicaciones : Área y Volumen Volumen del Tetraedro Á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐏𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐦𝐨 Á𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐭𝐫𝐢á𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝑽𝑻 = ഥ 𝒂.ഥ 𝒃.ത 𝒄 𝟔 𝑽𝑷𝑹 = ഥ 𝒂. ഥ 𝒃. ത 𝒄 𝟐 𝑽𝑷 = ഥ 𝒂. ഥ 𝒃. ത 𝒄 𝐴𝑇 = Ԧ 𝑎𝑥𝑏 2 𝐴𝑃 = Ԧ 𝑎𝑥𝑏 𝐕𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞𝐧 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐞𝐩í𝐩𝐞𝐝𝐨 𝐕𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞𝐧 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐫𝐢𝐬𝐦𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐨
  • 32. La recta en R3 • La recta en tres dimensiones (R3). • Ecuación vectorial, paramétrica y simétrica. • Paralelismo y Ortogonalidad entre rectas. Ángulo entre rectas. Intersección de rectas. • Distancia entre rectas que se cruzan.
  • 33. La recta en R3 𝜽 Ecuación vectorial de L Ecuación paramétrica: R t ct z z bt y y at x x             0 0 0 c z z b y y a x x 0 0 0      Ecuación simétrica 𝒙; 𝒚; 𝒛 = 𝒙𝟎; 𝒚𝟎; 𝒛𝟎 + 𝒕(𝒂; 𝒃; 𝒄) 𝑷𝟎 = (𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎) 𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛)
  • 34. Paralelismo entre rectas 𝑆𝑖 𝐿1 ∥ 𝐿2 ⇒ ത 𝑎 ∥ ത 𝑏 Dadas las rectas 𝑙1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃0 + 𝑡 Ԧ 𝑎 y 𝑙2: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑄0 + 𝑟𝑏 𝑳𝟏 𝑳𝟐 ത 𝑎 × ത 𝑏 =0 Otra forma Dadas las rectas 𝑙1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃0 + 𝑡 Ԧ 𝑎 y 𝑙3: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑅0 + 𝑠𝑏 𝑆𝑖 𝐿1 ⊥ 𝐿2 ⇒ ത 𝑎. ത 𝑏 = 0 𝑪𝒐𝒔𝜽 = ത 𝑎. ത 𝑏 ഥ 𝒂 ഥ 𝒃 Ángulo entre rectas Rectas perpendiculares
  • 35. Posiciones entre rectas no paralelas Se cruzan Se cortan Dadas las rectas en el espacio Se forma 𝑄0 − 𝑃0 Ԧ 𝑎 𝑏 𝒍𝟏: 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑷𝟎 + 𝒕𝒂 y 𝒍𝟐: 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑸𝟎 + 𝒓𝒃 Distancia entre rectas que se cruzan 𝒅 𝑳𝟏, 𝑳𝟐 = 𝑷𝟎𝑸𝟎, 𝒂, 𝒃 𝒂 × 𝒃
  • 36. La ecuación del plano • Ecuación Vectorial, Normal y General. • Paralelismo y Perpendicularidad. • Ángulo diedro entre planos. • Intersección de Planos.
  • 37. Generación de un plano Geométricamente 3 puntos no colineales determinan un Plano 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃0 ഥ 𝒂 ഥ 𝒃 ഥ 𝒂𝒙ഥ 𝒃 ≠ 𝟎 ⇒ ഥ 𝒂 ∦ ഥ 𝒃 (3,2,2) (1,2, −1) (2,1,1) Vectorialmente 2 vectores no paralelos determinan un Plano P a b
  • 38. Ecuación vectorial normal y general de un plano 𝝅: 𝑷 + 𝒕𝒂 + 𝒔𝒃 ; 𝒕, 𝒔 𝝐 𝑹 Ecuación Vectorial 𝑷𝟎 𝒂 𝒃 𝑷 𝒏 = 𝒂 𝒙𝒃 Ecuación Normal 𝐏 − 𝑷𝟎 . 𝒏 = 𝟎 Ecuación General 𝒏 = (𝑨, 𝑩, 𝑪) donde 𝑨𝑿 + 𝑩𝒀 + 𝑪𝒁 + 𝑫 = 𝟎
  • 39. Planos paralelos y perpendiculares 𝑨𝑿 + 𝑩𝒀 + 𝑪𝒁 + 𝑫 = 𝟎 𝑨𝟏𝑿 + 𝑩𝟏𝒀 + 𝑪𝟏𝒁 + 𝑫𝟏 = 𝟎 𝑨𝟐𝑿 + 𝑩𝟐𝒀 + 𝑪𝟐𝒁 + 𝑫𝟐 = 𝟎 𝒏𝟐 𝒏 𝒏𝟏 Q P R 𝑷 ∥ 𝑸 ⟹ 𝒏 ∥ 𝒏𝟐 o 𝒏 × 𝒏𝟐 = 𝟎 𝑷 ⊥ 𝑹 ⟹ 𝒏 ⊥ 𝒏𝟏 o 𝒏. 𝒏𝟏 = 𝟎 Paralelismo Perpendicularidad Distancia de un punto a un plano 𝒅 𝑴, ⊿𝑷 = 𝑨𝑿𝟎 + 𝑩𝒀𝟎 + 𝑪𝟎 + 𝑫 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝑪𝟐 𝑨𝟏𝑿 + 𝑩𝟏𝒀 + 𝑪𝟏𝒁 + 𝑫𝟏 = 𝟎
  • 40. Ángulo diedro entre planos 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝑪𝒐𝒔𝜽 = 𝒏𝟏. 𝒏𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟏 𝜽 Intersección de planos = Recta 𝑳 = ቊ 𝑨𝟏𝑿 + 𝑩𝟏𝒀 + 𝑪𝟏𝒁 + 𝑫𝟏 = 𝟎 𝑨𝟐𝑿 + 𝑩𝟐𝒀 + 𝑪𝟐𝒁 + 𝑫𝟐 = 𝟎 𝑨𝟐𝑿 + 𝑩𝟐𝒀 + 𝑪𝟐𝒁 + 𝑫𝟐 = 𝟎 𝑨𝟏𝑿 + 𝑩𝟏𝒀 + 𝑪𝟏𝒁 + 𝑫𝟏 = 𝟎
  • 41. Conclusiones • Las operaciones entre vectores permiten calcular la resultante en un sistema de fuerzas y su dirección y podemos ampliar hacia temas como la electricidad, magnetismo. • El producto escalar y vectorial se aplica en el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y superficies no regulares. • Para determinar la ecuación de un plano es necesario utilizar el producto escalar y vectorial de vectores lo que indica la conexión entre vectores, rectas y planos que son temas previos al calculo vectorial donde se interactúa con derivadas e integrales.
  • 42. Gracias Docente: Jaime A. Fernández Caycho