This document discusses Armstrong numbers and provides examples and programs to check for Armstrong numbers. It defines an Armstrong number as a number such that the sum of the nth powers of its digits is equal to the number itself, where n is the number of digits. It then provides examples of Armstrong numbers with 1 to 8 digits and lists the 12 Armstrong numbers between 100 and 999. It also includes two C programming language programs, one to check if a single number is Armstrong and another to check and print all Armstrong numbers between 1 and a given limit.
B.tech ii unit-3 material multiple integrationRai University
1. The document discusses multiple integrals and double integrals. It defines double integrals and provides two methods for evaluating them: integrating first with respect to one variable and then the other, or vice versa.
2. Examples are given of evaluating double integrals using these methods over different regions of integration in the xy-plane, including integrals over a circle and a hyperbolic region.
3. The document also discusses calculating double integrals over a region when the limits of integration are not explicitly given, but the region is described geometrically.
The document discusses concepts related to clocks, including:
- Clock dials are divided into 12 hour spaces, with each hour space further divided into 5 minute spaces.
- In 60 minutes, the minute hand gains 55 minutes on the hour hand.
- Key points about the relationship between the hour and minute hands at different times, such as being coincident once per hour or at a 90 degree angle twice per hour.
- A formula is provided to calculate the angle between the hands based on the number of hours and minutes.
In spherical coordinates, each point is represented by an ordered triple of a distance and two angles, similar to the latitude-longitude system used on Earth. A point P is specified by its coordinates P(r,θ,φ), where r is the distance from the origin and θ and φ are the angular coordinates. Orthogonal surfaces in the spherical coordinate system are generated by keeping r, θ, or φ constant, resulting in a sphere, circular cone, or semi-infinite plane, respectively.
This document discusses Armstrong numbers and provides examples and programs to check for Armstrong numbers. It defines an Armstrong number as a number such that the sum of the nth powers of its digits is equal to the number itself, where n is the number of digits. It then provides examples of Armstrong numbers with 1 to 8 digits and lists the 12 Armstrong numbers between 100 and 999. It also includes two C programming language programs, one to check if a single number is Armstrong and another to check and print all Armstrong numbers between 1 and a given limit.
B.tech ii unit-3 material multiple integrationRai University
1. The document discusses multiple integrals and double integrals. It defines double integrals and provides two methods for evaluating them: integrating first with respect to one variable and then the other, or vice versa.
2. Examples are given of evaluating double integrals using these methods over different regions of integration in the xy-plane, including integrals over a circle and a hyperbolic region.
3. The document also discusses calculating double integrals over a region when the limits of integration are not explicitly given, but the region is described geometrically.
The document discusses concepts related to clocks, including:
- Clock dials are divided into 12 hour spaces, with each hour space further divided into 5 minute spaces.
- In 60 minutes, the minute hand gains 55 minutes on the hour hand.
- Key points about the relationship between the hour and minute hands at different times, such as being coincident once per hour or at a 90 degree angle twice per hour.
- A formula is provided to calculate the angle between the hands based on the number of hours and minutes.
In spherical coordinates, each point is represented by an ordered triple of a distance and two angles, similar to the latitude-longitude system used on Earth. A point P is specified by its coordinates P(r,θ,φ), where r is the distance from the origin and θ and φ are the angular coordinates. Orthogonal surfaces in the spherical coordinate system are generated by keeping r, θ, or φ constant, resulting in a sphere, circular cone, or semi-infinite plane, respectively.
The document contains 90 sentences describing various statements about an individual's ability, willingness, necessity or plans to perform certain actions such as being present, going somewhere, reading or ability to go somewhere. The sentences explore these concepts using helping verbs and modal verbs in both affirmative and negative forms as well as in the past, present and future tenses.
The document discusses coordinate geometry and the Cartesian coordinate system. It describes how René Descartes proposed using an ordered pair of numbers to describe the position of points on a plane. This allows curves and lines to be described through algebraic equations, linking algebra and geometry. The coordinate plane is defined by perpendicular x and y axes that intersect at the origin. Points on the plane are located using their coordinates (x, y), marking their distance from the two axes. The plane is divided into four quadrants by the intersecting axes.
Very powerful hanuman mantra sadhna and maruti kavachamSumit Girdharwal
Very Powerful Hanuman Mantra Sadhna and Maruti Kavach
For Astrology, Mantra Diksha & Sadhana Guidance email to sumitgirdharwal@yahoo.com or call on 9540674788,9410030994
Lord Hanuman, 11th Rudravatara of Shiva, is the Most Powerful Deity in Kaliyuga who bless his bhaktas very quickly and completes all the desires. To get his blessings you only need to his Sadhana in a correct way.
Hanuman sadhana fulfill all the wishes of the sadhaka the same way as he has complete all the work of Lord Rama.
Hanuman Sadhana removes all the troubles of the sadhaka.
Lord Hanuman was bless by all the nine planets that
भगवान शिव के ग्यारहवे रुद्रावतार हनुमानजी कलियुग के जाग्रत देवता हैं जो शीघ्र ही अपने भक्तों पर कृपा करते हैं, लेकिन बस आवश्यकता है सही विधि से उनकी साधना करने की ।
हनुमान जी ने जिस प्रकार श्री राम जी के समस्त कार्योे को सम्पन्न किया था उसी प्रकार वो अपने भक्तों के सभी कार्यो को सम्पन्न करते हैं।
हनुमान उपासना से साधक समस्त विघ्न व्याधियों पर विजय प्राप्त कर सकता है। हनुमान जी को नवग्रहों ने वरदान दिया था कि वो उनके भक्तों को कभी भी परेशान नही करेगें इसीलिए शनि-राहु आदि ग्रहों की महादशा में इनकी साधना से बहुत अधिक लाभ मिलता है। शनि देव के गुरू भगवान शिव हैं एवं हनुमान जी भगवान शिव के अवतार, इसीलिए शनिदेव शिव भक्तों एवं हनुमान भक्तों पर विशेष कृपा करते हैं।
प्रस्तुत हनुमत् मंत्र बहुत ही प्रभावशाली है जिसेे श्रीकृष्ण ने महाभारत काल में अर्जुन को प्रदान किया था। इसी मंत्र के प्रभाव से अर्जुन ने अजेय योद्धाओं पर विजय प्राप्त की थी। इस मंत्र के प्रभाव से साधक जन किसी भी प्रकार की तंत्रबाधा, रोग, शत्रुबाधा, न
Its a mixture of ten auspicious herbs according to Kerala tradition used as an ayurvedic medicine for curing chronic diseases . It is also used with “Ashtamangalyam” during marriage functions according to Kerala tradition and adding two more herbs (Total 12) called “Pathira poo” (Kerala hindu women used to wear on “Thiruvathira Day”)
This document contains a list of common English words organized by part of speech and tense. It provides the conjugations and structures for verbs in the present, past and future tenses. Examples of simple sentences are given to demonstrate how to use various verb forms and tenses in sentences. Key verb forms and structures covered include regular and irregular verbs, modal verbs, perfect tenses, continuous tenses, and conditional sentences.
Householder transformation | Householder Reflection with QR DecompositionIsaac Yowetu
Householder Reflection or Transformation is one the methods of decomposing a matrix into an Orthogonal Matrix (Q) and Right Upper Triangular Matrix (R). It helps to solve systems of equation using backward substitution.
1. An arithmetic progression (AP) is a sequence of numbers where the difference between successive terms is constant. This constant difference is called the common difference.
2. To define an AP, we need to know the first term (a1) and the common difference (d). The nth term of an AP can be calculated as an = a1 + (n-1)d.
3. Megha's annual salary increases by Rs. 1,000 each year, forming an AP. Her salary after 23 years can be calculated as a23 = Rs. 10,000 + 22(Rs. 1,000) = Rs. 32,000
NUMBER SYSTEM (संख्या पद्धति)|Classification of Numbers|YRS4learning
Hi Students,
In this video, I have explained the types of numbers we have in our #numbersystem.
Natural numbers
Whole numbers
Integers
Even numbers
Odd numbers
Prime numbers
Composite numbers
Co-prime numbers
Rational numbers
Irrational numbers
Real numbers
Imaginary numbers
You can also watch my videos for the follwing topics:-
Exercise 1.1 (Q. 1 (i) (ii)) Rational Numbers Chapter 1|Class 8 Maths | NCERT| CBSE
https://youtu.be/zUttADoiANw
Rational Numbers Chapter 1 |NCERT Class 8th Math
https://youtu.be/Y6AEXvw-mcE
Algebraic Identities For Class 8th & 9th | Part 2 | Identities class VIII & IX | YRS4learning
https://youtu.be/gP1Rm5UG_JI
Algebraic Identities For Class 8th & 9th | Part 2 | Identities class VIII & IX | YRS4learning
https://youtu.be/gP1Rm5UG_JI
Basic Concepts of Number System (संख्या पद्धति)|Classification of Numbers| YRS4learning
https://youtu.be/YAjaiEcmnzE
Coordinate geometry class 10|Coordinate Geometry | Class 10 Chapter 7 |
https://youtu.be/JQoa1cltWRQ
Divisibility Rules for 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 | YRS4Learning
https://youtu.be/Z_au2kZl0JI
How to download NCERT Books 1st to 12th Class Free Download from Google |NCERT| YRS4learning
https://youtu.be/n6-hZ3tYMh0
El documento describe diferentes formas de representar una recta en el plano, incluyendo la ecuación vectorial, paramétrica, continua y general. También explica cómo determinar la posición relativa de dos rectas y calcular distancias entre puntos y un punto a una recta.
Este documento presenta conceptos básicos de vectores en R3 como parte de una sesión introductoria de matemática básica para ingeniería. Explica cómo representar puntos y vectores en R3, calcular la magnitud de un vector, y realizar operaciones con vectores como suma, resta, producto escalar y vectorial. También introduce ecuaciones para representar rectas y planos en R3.
1) Los vectores se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos y se definen por sus componentes. 2) Se explican conceptos como suma y producto escalar de vectores, así como norma, vector unitario y ángulo entre vectores. 3) Se introduce el producto punto y producto cruz como operaciones entre vectores que producen respectivamente un escalar y un vector.
Fundamentos matemáticos geometría del plano y del espacioEstefany Martinez
Este documento presenta conceptos básicos de geometría del plano y del espacio, incluyendo definiciones de vectores, operaciones vectoriales como suma y producto escalar, y geometría tridimensional. El autor es José Barrios García del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de La Laguna.
Este documento introduce los conceptos básicos de vectores y operaciones vectoriales. Explica que un vector está representado por una magnitud y dirección y puede expresarse como un par ordenado de números reales. Define vectores en R2 y Rn y describe cómo representarlos geométricamente. También cubre las operaciones de suma, resta, multiplicación por escalar, producto punto y producto cruz de vectores, junto con sus propiedades.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de vectores, geometría del plano y del espacio. Introduce vectores y operaciones vectoriales como suma y producto escalar. Explica la norma de un vector, vectores unitarios y canónicos. También cubre conceptos como el producto escalar, producto vectorial y sus aplicaciones. Finalmente, introduce nociones básicas de geometría del plano y del espacio como vectores de posición y distancias entre puntos.
El documento describe diferentes tipos de magnitudes físicas y sistemas de coordenadas. Explica que un escalar se expresa por un solo número e indica la temperatura como un ejemplo. Un vector tiene magnitud, dirección y sentido, como la velocidad. Los campos escalares y vectoriales asocian valores a puntos en el espacio. También define sistemas de coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Finalmente, describe el producto escalar y vectorial entre vectores.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores. Define qué son cantidades escalares y vectoriales, y proporciona ejemplos de cada una. Explica cómo describir un vector mediante sus componentes vectoriales a lo largo de los ejes coordenados y los vectores unitarios asociados. También resume métodos para representar vectores, como mediante cosenos directores, y operaciones básicas con vectores como suma, resta, producto escalar y producto vectorial.
1) La física es una ciencia experimental que observa fenómenos naturales para encontrar patrones y principios que los describan. 2) El Sistema Internacional de Unidades (SI) es el sistema de unidades utilizado universalmente por científicos e ingenieros. 3) Las unidades vectoriales como fuerza y posición requieren especificar tanto magnitud como dirección y pueden representarse mediante flechas.
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores y ecuaciones de rectas en geometría analítica. Introduce vectores fijos y libres, y describe cómo realizar operaciones como suma y producto escalar de vectores. Explica cómo representar puntos, rectas y circunferencias mediante ecuaciones vectoriales, paramétricas, puntuales y de pendiente. El documento concluye describiendo cómo derivar diferentes formulaciones de la ecuación de una recta a partir de un punto y un vector director.
The document contains 90 sentences describing various statements about an individual's ability, willingness, necessity or plans to perform certain actions such as being present, going somewhere, reading or ability to go somewhere. The sentences explore these concepts using helping verbs and modal verbs in both affirmative and negative forms as well as in the past, present and future tenses.
The document discusses coordinate geometry and the Cartesian coordinate system. It describes how René Descartes proposed using an ordered pair of numbers to describe the position of points on a plane. This allows curves and lines to be described through algebraic equations, linking algebra and geometry. The coordinate plane is defined by perpendicular x and y axes that intersect at the origin. Points on the plane are located using their coordinates (x, y), marking their distance from the two axes. The plane is divided into four quadrants by the intersecting axes.
Very powerful hanuman mantra sadhna and maruti kavachamSumit Girdharwal
Very Powerful Hanuman Mantra Sadhna and Maruti Kavach
For Astrology, Mantra Diksha & Sadhana Guidance email to sumitgirdharwal@yahoo.com or call on 9540674788,9410030994
Lord Hanuman, 11th Rudravatara of Shiva, is the Most Powerful Deity in Kaliyuga who bless his bhaktas very quickly and completes all the desires. To get his blessings you only need to his Sadhana in a correct way.
Hanuman sadhana fulfill all the wishes of the sadhaka the same way as he has complete all the work of Lord Rama.
Hanuman Sadhana removes all the troubles of the sadhaka.
Lord Hanuman was bless by all the nine planets that
भगवान शिव के ग्यारहवे रुद्रावतार हनुमानजी कलियुग के जाग्रत देवता हैं जो शीघ्र ही अपने भक्तों पर कृपा करते हैं, लेकिन बस आवश्यकता है सही विधि से उनकी साधना करने की ।
हनुमान जी ने जिस प्रकार श्री राम जी के समस्त कार्योे को सम्पन्न किया था उसी प्रकार वो अपने भक्तों के सभी कार्यो को सम्पन्न करते हैं।
हनुमान उपासना से साधक समस्त विघ्न व्याधियों पर विजय प्राप्त कर सकता है। हनुमान जी को नवग्रहों ने वरदान दिया था कि वो उनके भक्तों को कभी भी परेशान नही करेगें इसीलिए शनि-राहु आदि ग्रहों की महादशा में इनकी साधना से बहुत अधिक लाभ मिलता है। शनि देव के गुरू भगवान शिव हैं एवं हनुमान जी भगवान शिव के अवतार, इसीलिए शनिदेव शिव भक्तों एवं हनुमान भक्तों पर विशेष कृपा करते हैं।
प्रस्तुत हनुमत् मंत्र बहुत ही प्रभावशाली है जिसेे श्रीकृष्ण ने महाभारत काल में अर्जुन को प्रदान किया था। इसी मंत्र के प्रभाव से अर्जुन ने अजेय योद्धाओं पर विजय प्राप्त की थी। इस मंत्र के प्रभाव से साधक जन किसी भी प्रकार की तंत्रबाधा, रोग, शत्रुबाधा, न
Its a mixture of ten auspicious herbs according to Kerala tradition used as an ayurvedic medicine for curing chronic diseases . It is also used with “Ashtamangalyam” during marriage functions according to Kerala tradition and adding two more herbs (Total 12) called “Pathira poo” (Kerala hindu women used to wear on “Thiruvathira Day”)
This document contains a list of common English words organized by part of speech and tense. It provides the conjugations and structures for verbs in the present, past and future tenses. Examples of simple sentences are given to demonstrate how to use various verb forms and tenses in sentences. Key verb forms and structures covered include regular and irregular verbs, modal verbs, perfect tenses, continuous tenses, and conditional sentences.
Householder transformation | Householder Reflection with QR DecompositionIsaac Yowetu
Householder Reflection or Transformation is one the methods of decomposing a matrix into an Orthogonal Matrix (Q) and Right Upper Triangular Matrix (R). It helps to solve systems of equation using backward substitution.
1. An arithmetic progression (AP) is a sequence of numbers where the difference between successive terms is constant. This constant difference is called the common difference.
2. To define an AP, we need to know the first term (a1) and the common difference (d). The nth term of an AP can be calculated as an = a1 + (n-1)d.
3. Megha's annual salary increases by Rs. 1,000 each year, forming an AP. Her salary after 23 years can be calculated as a23 = Rs. 10,000 + 22(Rs. 1,000) = Rs. 32,000
NUMBER SYSTEM (संख्या पद्धति)|Classification of Numbers|YRS4learning
Hi Students,
In this video, I have explained the types of numbers we have in our #numbersystem.
Natural numbers
Whole numbers
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Even numbers
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Composite numbers
Co-prime numbers
Rational numbers
Irrational numbers
Real numbers
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Exercise 1.1 (Q. 1 (i) (ii)) Rational Numbers Chapter 1|Class 8 Maths | NCERT| CBSE
https://youtu.be/zUttADoiANw
Rational Numbers Chapter 1 |NCERT Class 8th Math
https://youtu.be/Y6AEXvw-mcE
Algebraic Identities For Class 8th & 9th | Part 2 | Identities class VIII & IX | YRS4learning
https://youtu.be/gP1Rm5UG_JI
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https://youtu.be/gP1Rm5UG_JI
Basic Concepts of Number System (संख्या पद्धति)|Classification of Numbers| YRS4learning
https://youtu.be/YAjaiEcmnzE
Coordinate geometry class 10|Coordinate Geometry | Class 10 Chapter 7 |
https://youtu.be/JQoa1cltWRQ
Divisibility Rules for 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 | YRS4Learning
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El documento describe diferentes formas de representar una recta en el plano, incluyendo la ecuación vectorial, paramétrica, continua y general. También explica cómo determinar la posición relativa de dos rectas y calcular distancias entre puntos y un punto a una recta.
Este documento presenta conceptos básicos de vectores en R3 como parte de una sesión introductoria de matemática básica para ingeniería. Explica cómo representar puntos y vectores en R3, calcular la magnitud de un vector, y realizar operaciones con vectores como suma, resta, producto escalar y vectorial. También introduce ecuaciones para representar rectas y planos en R3.
1) Los vectores se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos y se definen por sus componentes. 2) Se explican conceptos como suma y producto escalar de vectores, así como norma, vector unitario y ángulo entre vectores. 3) Se introduce el producto punto y producto cruz como operaciones entre vectores que producen respectivamente un escalar y un vector.
Fundamentos matemáticos geometría del plano y del espacioEstefany Martinez
Este documento presenta conceptos básicos de geometría del plano y del espacio, incluyendo definiciones de vectores, operaciones vectoriales como suma y producto escalar, y geometría tridimensional. El autor es José Barrios García del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de La Laguna.
Este documento introduce los conceptos básicos de vectores y operaciones vectoriales. Explica que un vector está representado por una magnitud y dirección y puede expresarse como un par ordenado de números reales. Define vectores en R2 y Rn y describe cómo representarlos geométricamente. También cubre las operaciones de suma, resta, multiplicación por escalar, producto punto y producto cruz de vectores, junto con sus propiedades.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de vectores, geometría del plano y del espacio. Introduce vectores y operaciones vectoriales como suma y producto escalar. Explica la norma de un vector, vectores unitarios y canónicos. También cubre conceptos como el producto escalar, producto vectorial y sus aplicaciones. Finalmente, introduce nociones básicas de geometría del plano y del espacio como vectores de posición y distancias entre puntos.
El documento describe diferentes tipos de magnitudes físicas y sistemas de coordenadas. Explica que un escalar se expresa por un solo número e indica la temperatura como un ejemplo. Un vector tiene magnitud, dirección y sentido, como la velocidad. Los campos escalares y vectoriales asocian valores a puntos en el espacio. También define sistemas de coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Finalmente, describe el producto escalar y vectorial entre vectores.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores. Define qué son cantidades escalares y vectoriales, y proporciona ejemplos de cada una. Explica cómo describir un vector mediante sus componentes vectoriales a lo largo de los ejes coordenados y los vectores unitarios asociados. También resume métodos para representar vectores, como mediante cosenos directores, y operaciones básicas con vectores como suma, resta, producto escalar y producto vectorial.
1) La física es una ciencia experimental que observa fenómenos naturales para encontrar patrones y principios que los describan. 2) El Sistema Internacional de Unidades (SI) es el sistema de unidades utilizado universalmente por científicos e ingenieros. 3) Las unidades vectoriales como fuerza y posición requieren especificar tanto magnitud como dirección y pueden representarse mediante flechas.
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores y ecuaciones de rectas en geometría analítica. Introduce vectores fijos y libres, y describe cómo realizar operaciones como suma y producto escalar de vectores. Explica cómo representar puntos, rectas y circunferencias mediante ecuaciones vectoriales, paramétricas, puntuales y de pendiente. El documento concluye describiendo cómo derivar diferentes formulaciones de la ecuación de una recta a partir de un punto y un vector director.
El documento describe conceptos básicos de vectores en el plano R2. Define el conjunto R2 como pares ordenados de números reales y describe operaciones como suma y producto por escalares. Introduce conceptos como vectores linealmente independientes, base canónica y coordenadas cartesianas de vectores.
Este documento trata sobre vectores y sus diferentes representaciones y operaciones. Explica que un vector es un segmento de recta orientado que sirve para representar cantidades físicas vectoriales. Describe tres formas de representar un vector: geométrica, cartesiana y polar. También cubre temas como suma vectorial usando el método del polígono y de las componentes, y vectores unitarios.
El documento describe las diferentes formas de representar una recta en el espacio tridimensional R3. Explica que dos puntos determinan una recta y cómo calcular su ecuación vectorial. Luego presenta las ecuaciones paramétricas y simétrica de una recta, y define cuando dos rectas son paralelas o perpendiculares. Por último, resuelve ejercicios aplicando estos conceptos.
Estas diapositivas son de cuarto ciclo de la carrera de ingeniería industrial, y pretenden la enseñanza de vectores y sus diferentes operaciones como parte del análisis matemático, y el espacio 3D.
Teoría de Campos Electromagnéticos
Tema 1: Revisión de conceptos: Análisis Vectorial
- Sistema de coordenadas y su transformación
- Cálculo aplicado a vectores
Este documento describe conceptos geométricos en el espacio tridimensional como sistemas de coordenadas, puntos, rectas y planos. Define sistemas de referencia, coordenadas de puntos y vectores. Explica cómo calcular coordenadas de puntos medios, simétricos y baricentros. También describe posiciones relativas de rectas y planos, y cómo representarlos mediante ecuaciones.
El documento explica las ecuaciones paramétricas y su relación con el álgebra vectorial. Las ecuaciones paramétricas permiten representar curvas y superficies mediante valores que varían a lo largo de un parámetro. El álgebra vectorial estudia sistemas de ecuaciones lineales y transformaciones lineales. Ambos campos están relacionados a través de las ecuaciones de rectas, donde las ecuaciones paramétricas y vectoriales pueden representar una misma recta.
El documento resume conceptos clave sobre vectores unitarios, descomposición de vectores y cosenos directores. Explica cómo calcular un vector unitario dividiendo un vector por su magnitud. También explica cómo descomponer un vector en sus componentes cartesianas y cómo representar la dirección de un vector mediante cosenos directores y ángulos.
El documento introduce los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas como alternativas al sistema cartesiano. Explica cómo transformar entre los diferentes sistemas y cómo calcular integrales en cada uno de ellos. Proporciona ejemplos numéricos de conversiones entre sistemas de coordenadas.
Similar a vectores,rectas y plano en bidimensional(r2) y tridimensional (r3) (20)
2. Logro
Al finalizar la unidad el estudiante utiliza los conceptos
sobre vectores y rectas así como la ecuación del plano en
la resolución de problemas aplicados a la ingeniería
3. Importancia
Al estudiar magnitudes como la mecánica, el trabajo o el
magnetismo no es suficiente conocer su valor numérico también
es necesario conocer su dirección y módulo. Los vectores
aportan en la determinación de la dirección y de cálculos de
resultantes.
La recta y el plano son otros dos conceptos que se usan en
ingeniería hidráulica, ingeniera civil , economía y otras ciencias
donde se trata de explicar la relación entre dos variables ( R2) o
tres variables ( R3)
5. Vectores Rectas y Planos
en R2 y R3
• Vectores en R2
• La recta en R2
• Vectores en R3
• La recta en R3
• El Plano
6. Vectores en R2
• Plano Cartesiano, par ordenado. Vector. Plano
vectorial Bidimensional. Representación del vector
como segmento orientado.
• Modulo, aplicación del módulo como distancia
entre dos puntos. // Vector unitario. Vectores
canónicos (i,j).
• Igualdad de vectores. Adición y Diferencia de
vectores.
• Multiplicación de un escalar por un vector.
• Ortogonalidad y Paralelismo (Aplicación en puntos
de corte).
• Producto escalar. Vectores Ortogonales y ángulo
entre vectores. Ángulo de inclinación de un vector
(aplicación a resultante de fuerzas). Proyección
Ortogonal y Componente entre vectores.
7. Plano cartesiano y vector
Y
X
A(-3;-2)
B (1;3)
Se define A y B puntos
(pares ordenados) 𝑨𝑩 : segmento
𝑨𝑩 : vector
𝑨𝑩 :recta que pasa por A y B
Elementos del vector
Origen : A
Dirección y Sentido
Módulo
11. Paralelismo y Ortogonalidad de vectores
A(-7;-1)
Ԧ
𝑎
Paralelismo
Dos vectores Paralelos se
representan como: Ԧ
𝑎 ∥ 𝑏
Ԧ
𝑎 ∥ 𝑏 ⇒ Ԧ
𝑎 = 𝑘. 𝑏 (𝒌 es un escalar)
𝑏
Ԧ
𝑎 = (𝑎1; 𝑎2)
Ԧ
𝑎 = (4; 2)
Ԧ
𝑎⊥ = (−𝑎2;𝑎1)
Ԧ
𝑎⊥ = (−2; 4)
Vectores ortogonales
12. Vectores iguales
Vector Opuesto
Dado el vector 𝒎 = (5,7); definimos
el vector opuesto como −𝒎 .
Geométricamente mantiene el
módulo y la dirección pero cambia
el sentido.
−𝑚
𝑚
Los vectores 𝒎 𝑦 𝒏 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 ∶
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 , 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜
El origen puede ser diferente
𝑛
𝑚
15. Proyección ortogonal
𝒂
𝒃
La sombra que proyecta el
vector Ԧ
𝑎 sobre ത
𝑏, le decimos
proyección ortogonal
Denota: 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏
𝑎
=
Ԧ
𝑎. 𝑏
𝑏
2 . 𝑏
𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃
𝒂
𝒂
𝒃
El módulo de vector
proyección se conoce como
la componente del vector Ԧ
𝑎
sobre 𝑏
Denota: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏
𝑎
=
Ԧ
𝑎. 𝑏
𝑏
𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃
𝒂
Componente
16. La recta en R2
• La recta en dos dimensiones (R2).
• Ecuaciones de la recta. Formas
• Ángulo de inclinación y Pendiente de una recta.
• Distancia de un punto a una recta.
• Paralelismo y Ortogonalidad entre rectas.
Intersección de rectas.
17. La recta en R2
Y - Yo
X - Xo
X1 - Xo
Ecuación dado dos puntos
𝑌 − 𝑌𝑜
𝑋 − 𝑋0
=
𝑌1 − 𝑌𝑜
𝑋1 − 𝑋0
Ecuación punto pendiente
𝑌 − 𝑌𝑜 = 𝑚(𝑋 − 𝑋0)
Ecuación vectorial
(𝑋, 𝑌) = (𝑋0, 𝑌0) + 𝑡 𝐴𝐵
Ecuación paramétrica
𝑋 = 𝑋0, +𝑡 𝑎1
𝑌 = 𝑌0, +𝑡 𝑎2
Ecuación intercepto Eje Y
𝑌 = 𝑚𝑋 + 𝑏
Pendiente de una
recta
𝑚 =
𝑌1 − 𝑌𝑜
𝑋1 − 𝑋0
= tanθ Ecuación General
𝐴𝑋 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Si conoce la ecuación general 𝑚 = −
𝐴
𝐵
θ
18. Distancia de un punto a una recta
𝑥0, 𝑦0
θ
𝑑(𝑃, 𝐿) =
𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶
𝐴2 + 𝐵2
Distancia de un punto a
una recta
21. Ángulo entre rectas entre rectas
Cada recta tiene su ángulo de inclinación ( pendiente)
𝑇𝑎𝑔𝛼 = 𝑚1
𝑇𝑎𝑔𝛽 = 𝑚2
𝒙
𝒚
𝜶 𝜷
𝜽
Por Trigonometría básica:
Tg(θ) = Tg(𝛽 − 𝛼)
Tg(θ) =
𝑇𝑔 𝛽 −𝑇𝑔(𝛼)
1+𝑇𝑔 𝛽 𝑇𝑔(𝛼)
Tg(θ) =
𝑚2−𝑚1
1+𝑚2.𝑚1
θ = 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔(
𝑚2−𝑚1
1+𝑚2.𝑚1
)
𝛽 = 𝛼 + 𝜃 ⇒ 𝜃 = 𝛽 − 𝛼
22. Vectores Rectas y Planos
en R2 y R3
• Vectores en R2
• La recta en R2
• Vectores en R3
• La recta en R3
• El Plano
23. Vectores en R3
• Espacio Vectorial en tres dimensiones (R3). Módulo
del vector. Vector unitario. Vectores canónicos
(i,j,k). Suma y Diferencia de vectores. Producto de
un escalar por un vector.
• Paralelismo. Producto escalar, ángulo entre
vectores.
• Proyección Ortogonal y Componente entre
vectores.
• Producto vectorial. Triple Producto Escalar y
Vectorial.
• Aplicaciones en áreas y volúmenes.
32. La recta en R3
• La recta en tres dimensiones (R3).
• Ecuación vectorial, paramétrica y simétrica.
• Paralelismo y Ortogonalidad entre rectas. Ángulo entre
rectas. Intersección de rectas.
• Distancia entre rectas que se cruzan.
33. La recta en R3
𝜽
Ecuación vectorial de L Ecuación paramétrica:
R
t
ct
z
z
bt
y
y
at
x
x
0
0
0
c
z
z
b
y
y
a
x
x 0
0
0
Ecuación simétrica
𝒙; 𝒚; 𝒛 = 𝒙𝟎; 𝒚𝟎; 𝒛𝟎 + 𝒕(𝒂; 𝒃; 𝒄)
𝑷𝟎 = (𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎)
𝑷 = (𝒙, 𝒚, 𝒛)
35. Posiciones entre rectas no paralelas
Se cruzan Se cortan
Dadas las rectas en el espacio
Se forma 𝑄0 − 𝑃0
Ԧ
𝑎
𝑏
𝒍𝟏: 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑷𝟎 + 𝒕𝒂 y 𝒍𝟐: 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑸𝟎 + 𝒓𝒃
Distancia entre rectas que se cruzan
𝒅 𝑳𝟏, 𝑳𝟐 =
𝑷𝟎𝑸𝟎, 𝒂, 𝒃
𝒂 × 𝒃
36. La ecuación del plano
• Ecuación Vectorial, Normal y General.
• Paralelismo y Perpendicularidad.
• Ángulo diedro entre planos.
• Intersección de Planos.
37. Generación de un plano
Geométricamente 3
puntos no
colineales
determinan un
Plano
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑃0
ഥ
𝒂
ഥ
𝒃
ഥ
𝒂𝒙ഥ
𝒃 ≠ 𝟎 ⇒ ഥ
𝒂 ∦ ഥ
𝒃
(3,2,2)
(1,2, −1)
(2,1,1)
Vectorialmente 2
vectores no
paralelos
determinan un
Plano
P a
b
38. Ecuación vectorial normal y general de
un plano
𝝅: 𝑷 + 𝒕𝒂 + 𝒔𝒃 ; 𝒕, 𝒔 𝝐 𝑹
Ecuación Vectorial
𝑷𝟎
𝒂
𝒃
𝑷
𝒏 = 𝒂 𝒙𝒃
Ecuación Normal
𝐏 − 𝑷𝟎 . 𝒏 = 𝟎
Ecuación General
𝒏 = (𝑨, 𝑩, 𝑪)
donde
𝑨𝑿 + 𝑩𝒀 + 𝑪𝒁 + 𝑫 = 𝟎
39. Planos paralelos y perpendiculares
𝑨𝑿 + 𝑩𝒀 + 𝑪𝒁 + 𝑫 = 𝟎
𝑨𝟏𝑿 + 𝑩𝟏𝒀 + 𝑪𝟏𝒁 + 𝑫𝟏 = 𝟎
𝑨𝟐𝑿 + 𝑩𝟐𝒀 + 𝑪𝟐𝒁 + 𝑫𝟐 = 𝟎
𝒏𝟐
𝒏
𝒏𝟏
Q
P
R
𝑷 ∥ 𝑸 ⟹ 𝒏 ∥ 𝒏𝟐 o 𝒏 × 𝒏𝟐 = 𝟎
𝑷 ⊥ 𝑹 ⟹ 𝒏 ⊥ 𝒏𝟏 o 𝒏. 𝒏𝟏 = 𝟎
Paralelismo
Perpendicularidad
Distancia de un punto
a un plano 𝒅 𝑴, ⊿𝑷 =
𝑨𝑿𝟎 + 𝑩𝒀𝟎 + 𝑪𝟎 + 𝑫
𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝑪𝟐
𝑨𝟏𝑿 + 𝑩𝟏𝒀 + 𝑪𝟏𝒁 + 𝑫𝟏 = 𝟎
41. Conclusiones
• Las operaciones entre vectores permiten calcular la
resultante en un sistema de fuerzas y su dirección y
podemos ampliar hacia temas como la electricidad,
magnetismo.
• El producto escalar y vectorial se aplica en el cálculo de
áreas y volúmenes de regiones y superficies no
regulares.
• Para determinar la ecuación de un plano es necesario
utilizar el producto escalar y vectorial de vectores lo que
indica la conexión entre vectores, rectas y planos que son
temas previos al calculo vectorial donde se interactúa
con derivadas e integrales.