Este documento proporciona una introducción a los vectores en matemáticas. Explica que un vector es un elemento de un espacio vectorial y puede representarse geométricamente como un segmento de recta dirigido. Presenta ejemplos de vectores en R2 y R3, y cómo representar gráficamente la suma y resta de vectores. También incluye ejercicios prácticos sobre vectores en R2 y R3.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE
EXTENSIÓN BARCELONA – PUERTO LA CRUZ
ESCUELA DE SEGURIDAD INDUSTRIAL (77)
Profesora: Bachilleres:
Ranielina Rondó Mejías Merlyn Vargas
C.I:16.717.554
Puerto la Cruz, Junio 2014

2. INTRODUCCIÓN
Los vectores es uno de los conocimientos de las matemáticas que
provienen de la física. En la distingue entre magnitudes escalares y
magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que
sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes
vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y
el sentido en que se aplican.
Un sistema de coordenadas tridimensional puede ser de orientación
derecha o de orientación izquierda. Un sistema derecho tiene la propiedad
de que cuando los dedos de la mano derecha se doblen de modo que
apunten del semieje positivo X al semieje positivo Y, entonces el pulgar
apunta en la dirección del eje Z positivo. Z Z
La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 =
R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la
forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).

3. VECTOR
Es un término que deriva de un vocablo latino y que significa “que
conduce”. Un vector es un agente que transporte algo de un lugar a otro.
Su significado, de todas formas, varía de acuerdo al contexto.
VECTOR EN MATEMÁTICA
Es un elemento de una estructura algebraica llamada espacio vectorial,
que esencialmente es un conjunto de elementos con un conjunto de
axiomas que debe satisfacer cada uno de ellos. El espacio vectorial más
pequeño es el {0} y no hay ninguno que los contenga a todos, ya que
cualquier espacio vectorial puede constar de infinitos elementos; por
ejemplo, el conjunto de los números reales. Matemáticamente un vector
puede ser también un conjunto de elementos ordenados entre sí pero a
diferencia de un conjunto normal como el de los números naturales, éste
está ordenado.
VECTOR EN R2
Un vector a de dos dimensiones es un par ordenado de números reales
a1, a2, y la representación a a1, a2. La magnitud a de a está dada por
12La dirección de a es la dirección del origen al punto a1, a2 a lo largo de
la recta que une estos puntos. Esta dirección está determinada por el
menor ángulo positivo cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo
lado terminal es el segmento que une al origen con a1, a2.
VECTORES EN R3
Es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente
manera, Geométricamente a un vector de R3 se representa en el espacio
como un segmento de recta dirigido.
Suponga que se tienen los puntos. Si trazamos un segmento de recta
dirigido desde hacia tenemos una representación del vector.

4. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA Y LA RESTA DE
VECTORES
Para vectores posición la suma es el vector representado por la diagonal
principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los
vectores y. La resta o es el vector representado por la otra diagonal al
hacer el punto final del vector es y el inicial, por eso la flecha, si fuera el
punto final sería el de y el vector tendría la dirección opuesta

5. ENFOQUE GEOMÉTRICO
Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes enel
espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza
ubicando al vector con el origen como punto de partida

6. REPRESENTACION GRAFICA EN R3
Próximamente se estudiarán relaciones entre tres variables, está relación
puede venir dada a través de una ecuación o una función. Para visualizar
mejor las relaciones siempre es
Convenientehacer una representación gráfica por lo que se estudiará el e
spacio tridimensional R3 y la representación de ecuaciones de este
espacio.
SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL Y ELPRODUCTO
CARTESIANO R3
Recordemos que para situar un punto en el plano se necesitaban dos
números reales. Si usamos un sistema de coordenadas rectangular o
cartesiano estos números vienen dados por una pareja ordenada),(ba
donde a es la coordenada (x y ) b la coordenada . La pareja, ban son las
coordenadas cartesianas del punto P del plano. Para localizar un punto en
el espacio se necesitan tres números reales. Estos números están dados
a partir de un sistema de referencia.

7. COMENTARIO
Puede haber otra selección de ejes pero normalmente todas siguen la
regla de la mano derecha, la cual consiste en extender los dedos de la
mano derecha, salvo del pulgar, en la dirección deleje de las x en el
sentido positivo y cerrando los dedos en la dirección de los y
positivos, el pulgar marca la dirección positiva del eje z .Estos ejes
determinan tres planos, el plano x y, el cual contiene el eje x y el
eje y. Similarmente el plano x z y el plano y z como ilustra la figura. Estos
planos dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. El primer
octante corresponde a la dirección positiva de los tres ejes.

8. EJERCICIOS EN R2
EJERCICIO 1. Determinar si los vectores AB = (35, -21) y CD = (-10, 6)
tienen la misma dirección. Calcular el módulo de ambos vectores.
Para determinar si dos vectores tienen la misma dirección basta
comprobar si sus componentes son proporcionales.
El cociente de las primeras componentes es 35/-10 (7/-2) y el de las
segundas -21/6 (-7/2), por lo tanto los vectores tienen la misma dirección.
EL MÓDULO DE LOS VECTORES ES:
|AB| = (1225 + 441)^1/2 = (1666)^1/2
|CD| = (100 + 36)^1/2 = (136)^1/2
EJERCICIO 2. Dado el vector libre a = (5, 3) y el punto A = (4, -1), hallar
las coordenadas del punto B para que el vector fijo A B represente al
vector a.

9. Llamando (x, y) a las coordenadas de B, las componentes del
vector AB son (x - 4, y + 1).
Para que el vector AB represente al vector libre a se ha de verificar (x -
4, y + 1) = (5, 3), de
donde, x - 4 = 5 e y + 1 = 3, obteniéndose x = 9 e y = 2.
Así las coordenadas de B son (9, 2).
EJERCICIO 3. Un vector que va de A(3, 5) a B(x, y) representa al mismo
vector que va de B(x, y) a C(8, 1). Hallar B(x, y).
Sean: V = AB = B - A = (x, y) - (3, 5) = (x-3, y-5)
W = BC = C - B = (8, 1) - (x, y) = (8-x, 1-y)
Si V=W => (x-3, y-5) = (8-x, 1-y) <=> x-3 = 8-x => x=11/2
y-5 = 1-y => y=3
Por tanto, el punto buscado es B (11/2, 3)
EJERCICIO 4. Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

10. EJERCICIO 5. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para
que los vectores y sean:
1 Perpendiculares.
2 Paralelos.
3 Formen un ángulo de 60°.

11. EJERCICIO 6. Calcula la proyección del vector sobre el
vector .
EJERCICIO 7. Hallar un vector unitario de la misma dirección del
vector .

12. EJERCICIO 8. Calcula la proyección del vector sobre él , siendo
A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).
EJERCICIO 9. Comprobar que el segmento de une los puntos medios de
los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado
BC e igual a su mitad.

14. EJERCICIO 10. Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0),
B(3,5), C(-1,-1).

15. EJERCICIOS EN R3
1. Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2, −2, 3) y (3,
−3, 2).

16. 2. Hallar un vector perpendicular a y , y que
sea unitario.
3. Dados los vectores y , hallar el
producto y comprobar que este vector es ortogonal a y a .
Hallar el vector y compararlo con .

17. 4. Considerar la siguiente figura:
Se pide:
1 Coordenadas de D para que ABCD sea un paralelogramo.
2 Área de este paralelogramo.
Por ser la figura un paralelogramo, los vectores y
son equipolentes.

18. 5. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:
1 Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.
2 Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices
de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.
1 Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.
Si A, B y C están alineados los vectores y tienen la misma
dirección, por lo que son linealmente dependientes y tienen
sus componentes proporcionales.
2 Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices
de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.
El módulo del producto vectorial de los vectores y es igual
al área del paralelogramoconstruido sobre y .

19. 6. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los tres vértices de un
triángulo. Se pide:
1 Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo.
2 Calcular el área del triángulo.
1 Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo.
2 Calcular el área del triángulo.

20. CONCLUSIÓN
Un vector es un agente que transporte algo de un lugar a otro.
Su significado, de todas formas, varía de acuerdo al contexto.
Matemáticamente un vector puede ser también un conjunto de elementos
ordenados entre sí pero a diferencia de un conjunto normal como el de los
números naturales, éste está ordenado.
La resta o es el vector representado por la otra diagonal al hacer el punto
final del vector es y el inicial, por eso la flecha, si fuera el punto final sería
el de y el vector tendría la dirección opuesta
Un vector a de dos dimensiones es un par ordenado de números reales
a1, a2, y la representación a a1, a2. La magnitud a de a está dada por
12La dirección de a es la dirección del origen al punto a1, a2 a lo largo de
la recta que une estos puntos.
Geométricamente a un vector de R3 se representa en el espacio como un
segmento de recta dirigido.

21. BIBLIOGRAFÍA
http://definicion.de/vector/
https://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080930162528AAf1E
v7
http://www.megatareas.com/doc/3286/Definicion-Vector-Interpretacion-
Geometrica.html
http://es.scribd.com/doc/8689496/Vectores-en-R3
http://pierocondor26.blogspot.com/p/ejercicios-en-r2.html