Este documento describe el comportamiento vibratorio de un sistema resonante de segundo orden que consiste en una masa y un muelle. Existen tres casos posibles dependiendo de la fuerza de amortiguamiento en relación con la fuerza elástica del muelle: sobreamortiguado cuando la fuerza de amortiguamiento es mayor, críticamente amortiguado cuando son iguales, y subamortiguado cuando la fuerza de amortiguamiento es menor. En cada caso, la vibración exhibe un patrón diferente que se describe mediante ecuaciones matemáticas.

1. VIBRACIONES AMORTIGUADAS
Partimos de un sistema en el que hay una masa y un muelle entre la masa y una pared (eje
Y). A este sistema se le llama sistema resonante de 2º orden. Existen muchos ejemplos más,
pero nos vamos a centrar en éste por lo inmediato que resulta comprobar lo aquí mostrado,
cualquiera pude coger una goma y un peso y hacerlo oscilar. Se pueden coger diferentes
tipos de gomas y se puede ver que el comportamiento de las oscilaciones no es el mismo, al
igual que si variamos el peso.
Este sistema puede representar un altavoz, es una masa móvil (cono) y un muelle
(suspensión). Muchos de los lectores tendrán algo de experiencia con el diseño de cajas
acústicas y conocerán las cajas cerradas. Una caja cerrada, aparte de evitar el cortocircuito
acústico, es capaz de modificar los parámetros del altavoz, de manera que este de
comportará de manera diferente según sea la caja.
Hay infinidad de sistemas que se comportan igual, no sólo mecánicos, sino como veremos
al final eléctricos.
Si su nivel de matemáticas no le permite seguir la deducción, al final de cada apartado hay
un párrafo con las conclusiones en lenguaje no matemático.
Todas las derivadas serán respecto del tiempo.
La posición de la masa es x, su masa M y K la constante elástica del muelle, y el muelle se
halla parcialmente extenido.
Tenemos:
(Ley de Hooke)
Por la ley de acción y reacción (2ª de Newton), el módulo de la fuerza que ejerce el muelle
sobre la masa es la misma que recibe la masa (de cajón), y el sentido el opuesto. Osea:

2. Para resolver de manera sencilla la ecuación se hace
, y de la ecuación caracteristica se deduce que la solución es de la forma:
Aplicando las condiciones iniciales de
sale que la solución es
(x0 posición inicial).
Osea, que el sistema resonante vibra de manera armónica y permanece así indefinidamente
si nada lo frena. Esto, como veremos a continuación, en el mundo real no es posible, ya que
siempre hay pérdidas de esa energía que le hace vibrar.
La frecuencia a la que vibra el sistema se conoce como frecuencia de resonancia del
sistema (Fs), y viene dada por:

3. CONCEPTO DE AMORTIGUAMIENTO
En el mundo real esto no es posible. En todo proceso físico hay pérdidas por el motivo que
sea, no existe el movimiento continuo (a excepción de las ideas de Einstein al respecto), y
en este caso se producen por el amortiguamiento de este movimiento vibratorio armónico
simple:
El amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la velocidad, como lo son
las fuerzas de rozamiento con fluídos (aire, agua...) y por ello la fórmula es la misma. c es
un coeficiente de rozamiento viscoso.
F=c*v = c*x'
(Cuando el cono está parado no se mueve, por lo que o no hay fuerza o está compensada),
la ecuación se hace:
Para que resolver la ecuación característica sea más fácil, hacemos
y
tenemos:
La ecuación característica es:
Las raíces son:
(ec 1)

4. Esto muestra tres casos posibles, en los que las raíces son diferentes, iguales o complejas.
Estamos llegando a la compresión del fenómeno del amortiguamiento.
TRES CASOS:
CASO 1
Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MAYOR QUE LA
CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Por lo tanto,
... y tenemos dos raíces reales. La solución es
donde m1 y m2 son negativos. La gráfica de esto es una
exponencial que decrece, y que se puede ver a la derecha:
El eje vertical corresponde a la posición del cono y el
horizontal al tiempo. La masa tenderá a su posición de
reposo cada vez más lentamente.
A este caso se le llama MOVIMIENTO SOBREAMORTIGUADO
CASO 2
Si las dos raíces m1 y m2 son iguales,
y
Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES IGUAL QUE LA
CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Tenemos una raíz doble, m1=-a. La solución es

5. La gráfica de esto es como un lado de una campana de
Gauss. La masa también tenderá a su posición de reposo
cada vez más lentamente, pero la velocidad al principio
crece lentamente.
Este es el caso del MOVIMIENTO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO. Su
importancia radica en que es el estado límite entre el comportamiento anterior (sobre
amortiguado) y el siguiente, el subamortiguado.
CASO 3
En este caso, LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MENOR QUE LA
CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Las raices que tenemos son complejas y
conjugadas.
Para simplificar las ecuaciones, haremos:
Transformando la solución mediante la fórmula de Euler de las exponenciales de números
complejos, tenemos una solución de la forma:
Aplicando las condiciones iniciales calculamos C1 y C2, y tendremos
Y con un último cambio,
tendremos la solución que nos indica cómo será el movimiento de una manera más sencilla
que la anterior.

6. Es decir, es una onda senoidal con un desfase determinado,
modulada por una exponencial que decrece con el tiempo y
una constante.
La masa tenderá a su posición de reposo pero habrá la
fuerza amortiguadora no es lo suficientemente fuerto como
para frenerlo antes de que llegue al punto x=0 (punto de
reposo). Como se puede ver a la derecha, se pasará del
punto de reposo.
Luego volverá en la otra direción, se pasará de nuevo del
centro y volverá a pasarse cuando vuelva, cada vez la
oscilación será menor, así hasta en infinito donde
teóricamente se detendrá.
En la gráfica de la derecha se puede ver el movimiento un
tanto exagerado (para lo que sería un altavoz), y la
exponencial como módulo de la función coseno.
Este tipo de movimiento se llama MOVIMIENTO SUBAMORTIGUADO
En dos primeros casos el sistema resonante no llega a completar un sólo ciclo, por lo que no
tiene sentido hablar de frecuencias, pero en este último caso, el sistema si tiene una
frecuencia de resonancia que viene dada por alfa, el coeficiente que acompaña al tiempo en
la función periódica coseno, que es:
Vemos como cuando la viscosidad del medio (amortiguamiento) se hace próximo a cero la
fórmula tiende a la del caso donde no había amortiguamiento:
Es de imaginar también que cuanto menor es el amortiguamiento más se parecerá la última
fórmula a una función coseno, es decir: la vibración durará más tiempo cuanto menos
amortiguada esté.