1. INTRODUCCION
Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que
oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en
máquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a
las pérdidas de energía que las acompañan. Por lo tanto, es necesario
eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado.
El análisis de vibraciones se ha vuelto cada vez más importante en los últimos
años debido a la tendencia actual para producir máquinas de más alta velocidad
y estructuras más ligeras. Hay razones para esperar que esta tendencia continúe
y que una incluso mayor necesidad de análisis de vibraciones genere en el futuro
.El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado textos
completos. En consecuencia, este estudio de limitará a los tipos más simples de
vibraciones, a saber, las vibraciones de un cuerpo o un sistema de cuerpos con
un grado de libertad.
Desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería, las vibraciones
más importantes son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones
ocurren cuando un sistema se somete a una fuerza periódica o cuando esta
elásticamente conectado a un apoyo que tiene un movimiento alternante.
2. Vibraciones Forzadas
Existe un motor magnético que genera una fuerza que desplazará el cono.
Fees la nueva fuerza añadida.
Podemos escribir la ecuación de esta forma, reuniendo todas las fuerzas
presentes:
En el caso del altavoz, la fuerza de excitación es una suma de frecuencias
puras, y resulta interesante examinar el caso de cuando f(t) es una onda
cosenoidal pura:
(ec2)
Como ya hemos resuelto la parte homogénea, aplicaremos el método de
los coeficientes indeterminados para hallar la resolución, que será alguna de las
tres posibles soluciones anteriores (soluciones homogéneas) más una solución
particular. Tomaremos como solución:
Sustituimos en (ec2) y obtenemos el sistema
de donde obtenemos A y B, que son:
Es decir, nuestra solución particular es la siguiente:
Para simplificar la ecuación hacemos el siguiente cambio:
3. y nos queda la siguiente solución particular:
Recordamos que la solución a una ecuación diferencial de 2º orden no
homogénea es la suma de la solución homogénea más la particular (x=xh+xp),
y que tenemos tres posibles soluciones homogéneas que dependen de los
parámetros c (coeficiente de rozamiento viscoso), M (masa móvil) y k (constante
elástica), y que definen los casos estudiados anteriormente: sobreamortiguado,
críticamente amortiguado y subamortiguado.
Sobreamortiguado:
Si las dos raíces m1 y m2 son iguales,
y
Esto implica que LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES IGUAL QUE LA
CAUSADAPOR LA ELASTICIDAD. Tenemos una raíz doble, m1=-a. La solución
es
La gráfica de esto es como un lado de una
campana de Gauss. La masa también tenderá a su
posiciónde reposo cada vez más lentamente, pero
la velocidad al principio crece lentamente.
Críticamente amortiguado:
En este caso, LA FUERZA DEL AMORTIGUAMIENTO ES MENOR QUE LA
CAUSADA POR LA ELASTICIDAD. Las raices que tenemos son complejas y
conjugadas.
4. Para simplificar las ecuaciones, haremos:
Transformando la solución mediante la fórmula de Euler de las exponenciales de
números complejos, tenemos una solución de la forma:
Aplicando las condiciones iniciales calculamos C1 y C2, y tendremos
Y con un último cambio,
Tendremos la solución que nos indica cómo será el movimiento de una manera
más sencilla que la anterior.
Es decir, es una onda senoidal con un desfase
determinado, modulada por una exponencial que
decrece con el tiempo y una constante.
La masa tenderá a su posición de reposo pero
habrá la fuerza amortiguadora no es lo
suficientemente fuerto como para frenerlo antes de
que llegue al punto x=0 (punto de reposo). Como
se puede ver a la derecha, se pasará del punto de
reposo.
Submortiguado:
En dos primeros casos el sistema resonante no llega a completar un sólo
ciclo, por lo que no tiene sentido hablar de frecuencias, pero en este último caso,
el sistema si tiene una frecuencia de resonancia que viene dada por alfa, el
coeficiente que acompaña al tiempo en la función periódica coseno, que es:
Vemos como cuando la viscosidad del medio (amortiguamiento) se hace próximo
a cero la fórmula tiende a la del caso donde no había amortiguamiento:
5. Es de imaginar también que cuanto menor es el amortiguamiento más se
parecerá la última fórmula a una función coseno, es decir: la vibración durará
más tiempo cuanto menos amortiguada esté.
En todos, como consecuencia del tipo de movimiento y con la única
necesidad de que exista un mínimo amortiguamiento, tenemos una parte que
decrece, que tiende a cero (la que define el tipo de vibración) y una parte que es
constante en el tiempo, consecuencia de la vibración forzada. A la primera parte
se la denomina transitoria y a la segunda estacionaria, ya que con el transcurso
del tiempo la primera desaparece, se hace cero, pero la segunda permanece.
Aplicaciones:
Sirve para interpretar la respuesta temporal del
sistema: Los sistemas sobreamortiguados son los
que mejores características temporales poseen,
mientras que los sistemas subamortiguados son
los que peor se comportan.
Por decirlo de alguna manera, los tiempos de
establecimiento (subida y bajada completa) de la
onda (pensando más bien en valor absoluto, quizás en
un valor RMS) son menores en los sistemas
sobreamortiguados que en los subamortiguados.
En la imagen de arriba a la derecha podemos ver la
respuesta ante tres ciclos de onda de un sistema
resonante críticamente amortiguado (por ejemplo: caja
cerrada con Q=0,5, Bessel).
El tiempo de subida puede interpretarse como parte del
comportamiento paso alto que tiene la onda, al final
vemos que la onda desaparece dejando sólo una ligera
sobreoscilación, que puede deberse a un error en la
simulación.
En la imagen central podemos ver un ejemplo de sistema
subamortiguado, en el caso una caja cerrada con
6. Q=0,707 (Butterworth). La respuesta es buena pero la sobreoscilación al final es
mayor.
La última imagen no corresponde con lo estudiado porque se trata de una
caja bass-freflex, que es un sistema resonante de 4º orden, no de 2º. Conocemos
las ventajas de extensión de la respuesta de las BR, y también que se consigue
a base de penalizar la respuesta temporal.
Aquí vemos el porqué. La respuesta es mala, con sobreoscilaciones al
principio pero muy especialmente al final, y sin que se llegue a alcanzar el valor
máximo que debía alcanzar.
Esto da una idea de que el orden también es un elemento tan importante como
el coeficiente de amortiguamiento.
RESONANCIA
Nos quedamos con la solución particular del apartado anterior, las
vibraciones forzadas, que es la parte estacionaria.
De ella, una parte es periódica y otra no, es su coeficiente, y éste coeficiente
depende de la frecuencia.
El módulo depende de las condiciones de masa (M), amortiguamiento (c) y la
constante elástica (k), y por supuesto de la frecuencia y de F0.
Cuando c es muy pequeño hemos observado antes que la frecuencia de
resonancia del sistema
tiende a
y la gráfica del coseno modulada por la exponencial decreciente tarda mucho en
decrecer, para intervalos de tiempo razonablemente pequeños, el movimiento
descrito con poco amortiguamiento se asemejará la un simple coseno, como si
no existiese amortiguamiento.
7. Esto quiere decir que el sistema vibra con gran libertad a su frecuencia,
pero ¿qué pasará si forzamos la vibración con una fuerza cosenoidal de
frecuencia próxima a Fs?
Cuando se excita el sistema con una frecuencia próxima a la frecuencia de
resonancia
En uno de los términos del denominador sucede lo siguiente:
Y como hemos dicho que c tiene un valor muy pequeño, el denominador
entero tiende a cero, sólo pudría serlo si c fuese cero (pero entonces la ecuación
sería diferente). Esto hace que se obtengan valores del módulo muy altos, y lo
que sucede en la realidad es que la amplitud de la vibración es muy alta, tanto
mayor como menor sea el amortiguamiento.
Ejemplos:
1. Un objeto de 10 kg está suspendido por dos muelles idénticos
de constante elástica K=500 N/m asociados en serie, y un
amortiguador de tipo viscoso de constante c=90 N·s/m.
Calcular:
a) Coeficiente de amortiguamiento crítico
b) Factor de frecuencias (Ω)
c) Valor del pseudoperiodo justificando su existencia
d) Si, inicialmente, se separa de su posiciónde equilibrio estable
5cm, calcular la energía total en ese instante.
e) Indicar el principio de conservación de la energía que cumple
RESOLUCIÓN
a) Constante equivalente (serie)
1
𝐾𝑒𝑞
=
1
𝑘1
=
1
𝑘2
=
1
500
+
1
500
=
2
500
; 𝐾𝑒𝑞 =
250𝑁
𝑚
𝑐 𝑜𝑟 = 2√𝐾𝑚 = 2. √2500 = 100
𝑁. 𝑠
𝑚
; 𝑊𝑛 = √
𝐾𝑒𝑞
𝑚
= 5
𝑟𝑎𝑑
𝑠
; 𝑓 =
𝑐
𝑐 𝑐𝑟
=
90
100
= 0,9
8. b) Factor de frecuencias
Ω2
= 1 − 𝑓2
= 0.19; = 0.527; Ω2
= 0.436; Ω =
𝑊𝑛
´
𝑊𝑛
=
2,18
5
= 0.436;
Comprobación: 𝑊𝑛
´
= 𝑊𝑛√1 − (
𝑐
𝑐 𝑐𝑟
)
2
= 5√1 − (
90
100
)
2
= 2.18
𝑟𝑎𝑑
𝑠
c) Pseudoperiodo, existe por ser un amortiguamiento subcrítico
T′
=
2𝜋
𝑊𝑛
´
=
2𝜋
2.10
= 2.88𝑠
d) Cumple el principio de conservación de la energía total, el principio de
conservación de la energía mecánica no lo cumple por existir fuerza
amortiguadora disipadora de energía.
2. El motor eléctrico de 30kg mostrando en la figura, está soportando
mediante cuatro resortes y cada resorte tiene rigidez de 200 N/m. Si el
rotor R esta desbalanceado de manera que su efecto es equivalente a
una masa de 4 kg ubicado a 60 mm del eje de rotación, determine la
amplitud de vibración cuando el rotor este girando a 𝜔 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠. El
factor de amortiguamiento es C/Cc = 0.15
Solución
La fuerza periódica responsable de que el motor vibre es la fuerza centrífuga
debida al rotor desbalanceado. Esta fuerza tiene magnitud constante de
𝐹0 = 𝑚𝑎 𝑛 = 𝑚𝑟𝜔2
= 4𝐾𝑔(0.06𝑚) (10
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
2
= 24𝑁
Como 𝐹 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡, donde 𝜔 = 10
𝑟𝑎𝑑
𝑠
, entonces
𝐹 = 24 𝑠𝑒𝑛10𝑡
La rigidez de todo el sistema de cuatro resortes es K=4(200 N/m)=800 N/m. Por
tanto, la frecuencia naturalde vibraciones es
9. 𝜔 𝑛 = √
𝑘
𝑚
= √
800 𝑁/𝑚
30 𝐾𝑔
= 5.16 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Como el factor de amortiguador es conocido, la amplitud de estado estable
puede ser determinada con la primera de las ecuaciones vistas anteriormente,
esto es,
𝐶′
=
𝐹0
𝑘
√[1 − (
𝜔
𝜔 𝑛
)
2
]
2
+ [2(0.15)(
10
5.16
)]
2
= 0.0107 𝑚 = 10.7 𝑚
11. Conclusión
Los resultados obtenidos sobre estos temas son el haber conocido sobre
los conceptos acerca de las vibraciones, se aprendió acerca de las fórmulas que
se utilizan para resolver los problemas planteados y saber dónde poder utilizarlo
en la vida cotidiana.
Para poder concluir con el tema de vibraciones forzadas, se debe saber
que este tema se encuentra al nuestro alrededor como las estructuras las
maquinas entre otras, y como ya se sabe sobre los temas de vibraciones se
puede saber si las estructuras están bien diseñadas o las pueden corregir de
algún modo que no le cueste tanto, por ello es importante aprender bien los
conceptos.
12. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria.
Universidad Politécnica Territorial de Paria “Luis Mariano Rivera”.
Programa Nacional de Formación en Ingeniería Mecánica.
VIBRACIONES FORZADAS
Profesor: Participante:
Evelio Guerra Dalmy La Rosa
C.I V- 24691454
Carúpano, Marzo de 2016
