Unidad ii. contenido teórico

UNEFM Introducción a la Dinámica de Estructuras Ing. Glorimer Miquilena
UNIDAD II. VIBRACIONES Y AMORTIGUAMIENTOS
2.1.Vibraciones.
El movimiento vibratorio o vibración es la variación o cambio de configuración de un sistema
en relación al tiempo, en torno a una posición de equilibrio estable. Su característica
fundamental es que es periódico, siendo frecuente el movimiento armónico simple, por lo
que este movimiento adquiere una singular importancia en los estudios vibratorios.
Por lo común un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energía potencial
(resorte o elasticidad), un medio para conservar energía cinética (masa o inercia) y un
medio por el cual la energía se pierde gradualmente (amortiguador).
2.1.1. Vibraciones Libres.
Las vibraciones son libres cuando no existen fuerzas o acciones exteriores directamente
aplicadas al sistema a lo largo del tiempo. Es un movimiento periódico que se observa
cuando el sistema se desplaza de su posición inicial.
Características:
 Este tipo de movimiento vibra libremente si solo existen condiciones iniciales, ya sea que
se le suministre la energía por medio de un impulso (energía cinética) o debido a que posee
energía potencial.
 Las fuerzas que actúan son: fuerza del resorte, la fuerza de ficción y el peso de la masa.
 Debido a la presencia de la fricción, la vibración disminuiría con el tiempo. Esta vibración
libre se denomina transitoria.
Ecuación del Movimiento:
En la figura 1, se muestra un sistema elástico compuesto por una masa m, la cual puede
deslizar sin fricción sobre una superficie horizontal y cuya posición se describe por medio
de la coordenada x, y por un resorte que conecta la masa con un apoyo inmóvil.
Aplicando sumatoria de fuerzas en x y el principio de D´Alembert:
. → . . 0
Simplificando, se obtiene la siguiente ecuación:

. . 0 . 1
Como se sabe
. 2
Sustituyendo la ec. 2 en la anterior,
. . 0 . 3
Si se divide la ec. 3 entre m,
. 0 . 4
Si la frecuencia natural es , entonces la ecuación:
. 0 . 5
Resolviendo la ecuación diferencial homogénea de segundo orden (ec. 5):
Solución de la ecuación:
.
.
Sustituyendo las ecuación anteriores en la ec. 5:
. . 0
. 0
Ecuación Característica: 0 → √ ,
0
Para raíces complejas, la ecuación solución en función del tiempo:
. 6
0 y
Por lo tanto la ecuación general del movimiento:
. 7
Ecuación de Velocidad: . 8

Ecuación de la aceleración: . 9
Condiciones iniciales, 0 0 0

Entonces

. 10
En la figura 2, se muestra la curva desplazamiento - tiempo de una masa en vibración
simple, la cual describe un ciclo de vibración, y el desplazamiento máximo.
2.1.2. Vibraciones Forzadas.
Si un sistema se somete a una fuerza externa (a menudo, una fuerza repetitiva), la vibración
resultante se conoce como vibración forzada.
Características:
 La vibración forzada se debe a una excitación del tipo permanente.
 En este tipo de vibración un sistema tenderá a vibrar en su propia frecuencia natural,
así como también a seguir la frecuencia de la fuerza de excitación.
 Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales
del sistema, ocurre una condición conocida como resonancia, y el sistema sufre
oscilaciones peligrosamente grandes.
 En presencia de fricción, aquella parte del movimiento que no se mantiene por la
fuerza de excitación desaparecerá gradualmente, mientras que la parte que se
mantiene, se denomina vibración del estado estacionario o respuesta del sistema.
‐1.5
‐1
‐0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25
x(t)
t
Vibración Libre
Amplitud Xmax
2

Figura 2. Vibración Libre (Movimiento Armónico Simple)

 La fuerza externa o de excitación puede tener la forma: sen ,
donde es la frecuencia de la fuerza de excitación y la amplitud.
En la figura 3, se muestra un sistema lineal, en donde la masa se desliza sin fricción, y está
sometido a una fuerza de excitación:

. → . . 0
Simplificando se obtiene la siguiente ecuación:
. . . 11
Si , entonces
. . . 12
Resolviendo la ecuación diferencial no homogénea de segundo orden (ec. 12):
La ecuación solución:
Ecuación Homogénea:
. . 0
Si se divide entre m y ,
. 0  . 0 . 13
Solución de la ecuación homogénea:
.
.
Sustituyendo y simplificando,
. 0
Solución a la ecuación característica: 0 → √ ,

0 0
Solución de la ecuación homogénea: . 14
Ecuación Particular:
Solución de la ecuación particular: . . . 15
. . . .
. . . .
La solución de la ecuación . . 16
. . . . . .
. . . .
Entonces
. . 0 ⇒ 0
. . ⇒
Si , se tiene que:

1

Sustituyendo A y B en la ecuación particular
1
. . 17
1
. . 18
Ecuación de Velocidad:
.
. 19
Ecuación de la aceleración:
.
. 20
Entonces la ecuación del movimiento es:

1

1
. . 21
En la ecuación 21, se visualiza que contiene dos componentes de vibración distintos:
la ecuación particular, es la que ocasiona una oscilación con la frecuencia de excitación o
forzamiento, denominada vibración forzada o la vibración de estado estacionario, y la
ecuación homogénea es la que da la oscilación con la frecuencia natural del sistema;
denominada vibración transitoria, que depende del desplazamiento y la velocidad iniciales.
En la figura 4, se muestra con la línea continua la curva de movimiento a vibración forzada
1; 0,2; 0.5; 2 , y la línea discontinua representa la vibración del estado
estacionario. El componente transitorio se muestra como la diferencia entre las líneas
continua y discontinua de la fi gura 3.1.1, donde se ve que continúa indefinidamente.
Casos para el factor 1 , ver figura 5:
 Para 1 ó , el factor es positivo, indicando que tienen el mismo
signo, lo que significa que el desplazamiento está en fase con la fuerza aplicada, es
decir, el sistema está desplazado en la misma dirección de la fuerza.
Estado Transitorio Estado Estacionario
Figura 4. Grafica del Movimiento a Vibración Forzada – Estado Estacionario
‐2
‐1.5
‐1
‐0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 5 10 15 20 25
x(t)
tg)
Vibración Forzada
Ecuación Transitoria Ecuación Total

0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Factor de Amplificación
 Para 1 ó , el factor es negativo, indicando que tienen signos
opuestos, lo que significa que el sistema estará fuera de fase con la fuerza aplicada,
es decir el sistema está desplazado en dirección opuesta a la fuerza.
Factor de Amplificación Dinámica de Deformación (Rd):
Es la razón de la amplitud de la deformación dinámica (o vibratoria) sobre la deformación
estática .
1
1
. 22
, es el valor máximo de la deformación estática ec. 23
, deformación estática en cualquier instante t. ec. 24

Figura 6. Grafica del Factor de Ampliación Dinámica vs
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
0 0.5 1 1.5 2
1
2

Figura 5. Grafica del efecto de la relación

En la figura 6, se puede apreciar que,
 cuando → 0, el factor de amplificación Rd, es un solo poco más grande que 1,
lo que implica que la amplitud de deformación dinámica es igual a la
deformación estática .
 Cuando 1, → 0, y la amplitud de la deformación dinámica es menor que la
deformación estática.
 Si ≅ , → 1,la deformación dinámica es mayor que la deformación estática,
este fenómeno se denomina resonancia.
Para , la solución de la ecuación 21 ya no es válida. Ahora la solución particular es
2
y la solución completa con 0 0, 0 0 es
2
2.2. Amortiguamientos.
El proceso mediante el cual la amplitud de la vibración libre disminuye de manera constante
se denomina amortiguamiento. En el amortiguamiento, la energía del sistema en vibración
se disipa por diversos mecanismos y, con frecuencia, más de un mecanismo puede estar
presente al mismo tiempo.
La fuerza de amortiguamiento está relacionada con la velocidad a través del coeficiente
de amortiguamiento c (N.s/m) mediante:
. . 25
El coeficiente de amortiguamiento c, no puede ser calculado a partir de las dimensiones de
la estructura y del tamaño de los elementos estructurales, debido a que no es factible el
identificar todos los mecanismos disipadores de energía vibracional en las estructuras
actuales.
2.2.1. Amortiguamiento Viscoso.
El amortiguamiento del tipo viscoso ocurre cuando un componente del sistema está en
contacto con otro a través de un medio de fluido viscoso, en donde el amortiguamiento es
el resultado de la fricción viscosa entre el fluido y el componente. La descripción
matemática del fenómeno de amortiguamiento viscoso es la siguiente:
. . 26
donde: es la fuerza producida por el amortiguador, c constante del amortiguador y
velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador.

En general esta ecuación se
representa por medio del
diagrama de la Figura 7, donde se
aprecia que la fuerza es
proporcional a la velocidad, y la
pendiente es el coeficiente de
amortiguamiento, el cual recuerda
los amortiguadores utilizados en
los automóviles, los cuales son
amortiguadores viscosos pues
producen un efecto de
amortiguamiento al forzar el paso de un fluido viscoso a través de unos orificios en el émbolo
de un pistón de acción doble.
2.2.2. Amortiguamiento Coulomb.
El amortiguamiento de coulomb se presenta mediante el
rozamiento seco entre la superficie de dos elementos (ver
figura 8). La fuerza del amortiguador del tipo de coulomb
es igual al producto de la fuerza normal y el coeficiente de
fricción independiente de la velocidad una vez que inicie el
movimiento. La fuerza de fricción es igual al producto de la
fuerza normal a la superficie N, y el coeficiente de fricción,
μ. Matemáticamente se puede expresar por medio de la
ecuación:
. . 27
2.2.3. Amortiguamiento Histerético.
El amortiguamiento del tipo histéresis se presenta cuando un material es deformado,
entonces la energía es absorbida y desplazada por el material.
La histéresis es un fenómeno por medio del cual dos, o más, propiedades físicas se
relacionan de una manera que depende de la historia de su comportamiento previo. Este
tipo de amortiguamiento se presenta cuando un elemento estructural es sometido a
inversiones en el sentido de la carga aplicada cuando el material del elemento se encuentra
en el rango inelástico o no lineal. El hecho de que la curva de carga tenga una trayectoria
diferente a la curva de descarga conduce a que no toda la energía de deformación
acumulada en el elemento se convierta en energía cinética en el ciclo de descarga.

En la figura 9 se muestra el comportamiento (fuerza-deformación), de un elemento
estructural construido con un material inelástico durante unos ciclos de carga y descarga.
Cuando se llega a la fuerza de fluencia Fy el elemento se sigue deformando pero sin
aumento de la fuerza. Una vez se invierte el movimiento, se inicia el ciclo de descarga, y
el material reacciona de una manera diferente a cuando fue cargado, hasta cuando llega a
la fluencia en el lado opuesto, -Fy.
La acumulación de energía de deformación corresponde al área bajo la curva de carga; y
cuando el sistema descarga la energía que el sistema transfiere para convertirse en energía
cinética corresponde al área bajo la curva de descarga. La diferencia entre las dos áreas
corresponde a energía disipada por el sistema y que se convierte en calor, ruido u otros
tipos de energía.
2.3.Vibraciones Libres con amortiguamiento.
Cuando se pierde o disipa energía por fricción u otra resistencia durante la oscilación, la
vibración se conoce como vibración amortiguada. En muchos sistemas físicos, la cantidad
de amortiguamiento es tan pequeña que puede ser ignorada en la mayoría de las
aplicaciones de ingeniería. Sin embargo, la consideración del amortiguamiento se vuelve
extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios próximos a la resonancia.
Características:
 Este movimiento se caracteriza porque tanto la amplitud como la energía mecánica
disminuyen con el tiempo.
 Las causas de este amortiguamiento están asociadas con diferentes fenómenos dentro
de los cuales se puede contar la fricción de la masa sobre la superficie de apoyo, el
efecto del aire que rodea la masa, el cual tiende a impedir que ocurra el movimiento, la
no linealidad del material del resorte, entre otros.
 Dichas fuerzas de amortiguamiento forman mecanismos que disipan o transforman la
energía mecánica del sistema en otras formas de energía, como por ejemplo en calor.
 La manera más sencilla de describir matemáticamente el efecto del amortiguamiento, es
suponer que las fuerzas disipativas son proporcionales a la magnitud de la velocidad y
de dirección opuesta a la del movimiento, esto tipo de amortiguamiento se conoce como
amortiguamiento viscoso.
En la figura 10, se puede
apreciar, un sistema lineal
de masa m, colocada
sobre una superficie sin
fricción, están conectados
un resorte con constante
de rigidez k y un
amortiguador cuya
constante es c.

. → . . . 0
Simplificando se obtiene la siguiente ecuación:
. . . 0 . 28
Sustituyendo la ec. 28 en la anterior,
. . . 0 . 29
Si se divide la ec. 28 entre m,
. . 0 . 30
Si la frecuencia natural es y entonces la ecuación:
. . 0 . 31
Resolviendo la ecuación diferencial de segundo orden (ec. 31):
.
.
Sustituyendo las ecuación anteriores en la ec. 31:
. . . . 0
. 0
Ecuación Característica: . 0 . 32
4.
2
2 4
. 33
Del término de la raíz cuadrada de la ec. 33, depende que los sistemas amortiguados
puedan clasificarse en diferentes tipos de movimiento como se muestra tabla 1.

Tabla 1. Tipos de Movimientos Amortiguados
Si: Raíces Tipo Definición
4
Reales y Diferentes Sobreamortiguado Ocurre cuando el
amortiguamiento es fuerte, el
movimiento oscilatorio no
ocurrirá
4
Reales e Iguales Críticamente
Amortiguado
Es aquel en el cual la cantidad
de amortiguamiento es tal que
el movimiento resultante está
sobre la línea de límite de los
otros dos casos; es decir al
poner en libertad la masa, está
simplemente retornará a su
posición de equilibrio estático.
4
Complejas
Conjugadas
Subamortiguado Ocurre cuando el
amortiguamiento es poco, por lo
tanto se pueden producir pocas
oscilaciones.
El amortiguamiento crítico se define como , y es igual a:
4
0
2 . 34
Y a partir de esta definición se obtiene ξ, que es la razón o fracción del amortiguamiento
crítico.
2
. 35
La ecuación solución en función del tiempo,
Para un sobreamortiguamiento (raíces reales distintas, ):
. 36
En donde:
1
2 4
. 2
2
. 2
4
. . 1
1
2
2 4
1
2
1 2
1
. 37

Ecuación de la Velocidad:
2
1 .
2
1 2
1 .
2
1
. 38
. 1
2 1

. 1
2 1

1
2 1

1
2 1
. . 39
Para el amortiguamiento crítico (raíces iguales, ):
. 40
1 2
2
.
. .
. 41
Ecuación de la Velocidad:
.
. . . .
. 42
. .
. 43
Para el subamortiguamiento (raíces complejas, ):
. 44
La solución de la ecuación 33, para este caso, el radical es negativo, por lo tanto, se
expresara dela siguiente forma:
2 4
Para raíces complejas se tiene que: 1 y 2
2

4
. 2
4
1
La cantidad anterior se puede expresar como:
1 . 45
La cual se conoce como la frecuencia natural de vibración amortiguada y denota como .
La frecuencia es siempre menor que .
1 1 . 46
. 1 . 1 . 1
. 1
. 1 . 1 . 47
1
1
1 . 48
‐1.5
‐1
‐0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25
x(t)
t
Vibración Libre Amortiguada
Sobreamortiguado Amortiguamiento Crítico
Subamortiguado Libre No Amortiguada
Figura 11. Comparaciones de la Vibraciones Libres Amortiguadas
ξ˂1
ξ=1
ξ˃1

La Figura 11 ilustra la comparación de un sistema en vibración libre con otros amortiguados,
resaltando la variación de la amplitud y las oscilaciones. Con respecto a la comparación de
las curvas de los diferentes tipos de amortiguamiento en un sistema en vibración libre se
muestra que:
 Cuando ξ 1, el sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar
(Sistema con Amortiguamiento Crítico)
 Si ξ 1, el sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente
(Sistema Sobreamortiguado).
 Si ξ 1, el sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud
que decrece progresivamente (sistema Subamortiguado).
La vibración amortiguada es la de mayor interés en la dinámica estructural, pues las
estructuras reales poseen esta característica. Se concluye que estructuras con
amortiguamientos menores al crítico tienen un desplazamiento decreciente en el tiempo, y
cuando se aumenta el amortiguamiento estructural esto reduce la amplitud de las
vibraciones (ver figura 12), lo cual es beneficioso para la estructura, pues disminuye el nivel
de daños esperados en ella.
La fracción de amortiguamiento para los distintos tipos de estructuras, son muy variados,
ver tabla 2
Tabla 2. Valores de Fracción de Amortiguamiento
para diferentes Estructuras
Tipo de Estructura ξ % de Amortiguamiento
Edificio de Acero 2 – 5
Edificio de Concreto Reforzado 5 – 10
Construcciones de Albañilería 8 – 15
Construcciones de Madera 10 – 15
‐1
‐0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25
x(t)
t
Sistema Subamortiguado con diferentes
Fracciónes de Amortiguamiento
Series1 Series2
ξ = 10% ξ = 20%
Figura 12. Sistema Subamortiguado con diferentes ξ

2.3.1. Decremento Logarítmico.
El decremento logarítmico representa una relación entre la variación en dos picos sucesivos
de una vibración libre amortiguada y su fracción de amortiguamiento. Sea y
, ( 2 , se denomina periodo natural de vibración amortiguada), los tiempos
correspondientes a dos amplitudes sucesivas (desplazamientos), medidas un ciclo aparte
para un sistema amortiguado, ver figura 13. Usando la ecuación 39, y conociendo que
1 podemos formar la relación:
Simplificando algunos términos, la ecuación es igual a:
Entonces el decremento logarítmico (δ) se define como el logaritmo natural de la relación
de cualquiera de las dos amplitudes sucesivas.
. 49
También se puede denotar como:
2 2
1
. 50
Si ξ es pequeña, los amortiguamientos son pequeños por lo tanto
≅ 2 para ξ˂˂1 . 51
De la ecuación 50 se deduce que el valor de la fracción de amortiguamiento es:
2 1
4
. 52
Y de la ecuación 51, . 53
El decremento logarítmico también se puede representar tomando en cuenta el número de
ciclos (j):
1
≃ 2 . 54

La figura 13, presenta un sistema amortiguado comparado con otro no amortiguado, en
donde se puede apreciar que el movimiento del sistema subamortiguado disminuye de
amplitud exponencialmente (tangente a la envolvente). También se observa que la
amplitud del sistema no amortiguado es la misma en todos los ciclos de vibración, en
cambio para el sistema amortiguado la amplitud decrece por ciclos consecutivos, a
intervalos iguales de tiempo.
Por lo tanto, el amortiguamiento tiene el efecto de reducir la frecuencia natural de ω a ωD
y
aumentar el periodo natural de T a TD
; este efecto es despreciable para una relación de
amortiguamiento ξ debajo del 20%, un rango en el cual están incluidas la mayoría de las
estructuras; y para la mayoría de las estructuras ωD
y TD
son aproximadamente iguales a ω
y T.
ó . .
. 55
. .
1
. 56
‐1.5
‐1
‐0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25
x(t)
t
Vibración Libre Amortiguada
Subamortiguado Envolvente Envolvente Vibración Libre
Figura 13. Efecto del amortiguamiento en Vibración libre – Decremento Logarítmico
.
.

2.4.Vibraciones Forzadas o Armónicas con Amortiguamiento.
Es un movimiento forzado exteriormente en tanto que se disipa su energía.
Características:
 Este movimiento está compuesto por una parte transitoria y otra estacionaría.
 La energía es disipada por el amortiguador y la amplitud disminuye con el tiempo.
Si se le proporciona una fuente de energía externa se puede mantener las
oscilaciones con una amplitud constante.
Para determinar las ecuaciones que la gobiernan a este movimiento consideremos un
sistema masa, resorte y amortiguador viscoso sometido a una fuerza periódica externa F
. , tal como se muestra en la figura 14.
. → . . . sen 0
reacomodando se obtiene la siguiente ecuación:
. . . sen . 57
Si , entonces
. . . sen . 58
Resolviendo la ecuación diferencial no homogénea de segundo orden, y con coeficientes
contantes (ec. 58):
La ecuación solución:
Ecuación Homogénea:
. . . 0
.

Si se divide entre m y y 2. . . ,
.
. . .
. 0  . 2. . . 0 . 59
Solución de la ecuación homogénea:
.
.
Sustituyendo y simplificando,
2. . . . 0
Solución a la ecuación característica: 2. . . 0,
1
Para raíces complejas: 1 y 2
2
1
Y como 1
La ecuación complementaría u homogénea:
. 60
Ecuación Particular:
Solución de la ecuación particular: . .
. . . .
. . . .
La solución de la ecuación . 2. . . sen . 61
. . 2. . . . . .
. . . . sen
. . 2. . . . . 2. . . . . sen
Entonces
. 2. . . . . ⇒
2. . . .

. 2. . . . . 0 ⇒ . 2. . .
2. . . .
. . 0
4. . .

2. . . .
2. . . .
4. . .
2. . . . .
4. . .
2. . .
2. . . . .
4. . .
.
4. . . 4. . . . .
4. . .
4. . .
La ecuación particular:
4. . .
.
2. . . . .
4. . .
. . 62
. . . .
4. . .
.
2. . . . .
4. . .
. . 63

. . . .
. . .
. . .
4. . .
.
2. . . .
4. . .
. . 64
2. . . . .
4. . .
2. . . . .
4. . . 4. . .
Entonces la respuesta a la ecuación del movimiento es:
2. . . . .
4. . .
. .
2. . . . .
4. . . 4. . .
. .
4. . .
.
2. . . . .
4. . .
. . 65
En la figura 15, se observa como la curva de la respuesta transitoria decae
exponencialmente con el tiempo a una tasa que depende de , y , hasta que se hace
insignificante. Mientras que la respuesta estacionaría se mantiene en el tiempo, por lo que
la máxima deformación ocurre antes que el sistema haya alcanzado el estado estacionario.

2.4.1. Resonancia .
En un sistema en vibración forzada con amortiguamiento, el fenómeno clásico de
resonancia ocurre cuando las frecuencias son iguales . Por lo tanto la ecuación del
movimiento se expresa de la siguiente forma:
2. .
. .
.
2. . .
2. .
. . 66
Si 0 0 la ecuación 66 toma la forma:
2. .
. .
.
2.
. .
2. .
. . 67
Donde
. .
es el desplazamiento límite del movimiento.
Para , ⟶ 0, ⟶ 0
2. .
. .
1 . 68
‐2
‐1.5
‐1
‐0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
x(t)
t
Vibración Forzada con Amortiguamiento
Respuesta Total Respuesta Estacionaria Respuesta Transitoria
Figura 15. Respuesta de un Sistema en Vibración Forzada con Amortiguamiento
Función Envolvente

En la figura 16 se muestra como la amplitud se incrementa en función del tiempo de acuerdo
a la curva envolvente. Es importante el notar que la amplitud del estado estacionario de
deformación del sistema es influenciada fuertemente por el amortiguamiento.
2.4.2. Deformación Máxima:
La deformación máxima en el estado estacionario debido a la carga armónica, se expresa:
. . 69
ó :
1
1 2. .
. 70
:
2. .
1
, define el tiempo entre la respuesta y la fuerza ec. 71
‐10
‐8
‐6
‐4
‐2
0
2
4
6
8
10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
x(t)
t
Vibración Forzada con Amortiguaiento (ϖ = ω)
Efecto de la Resonancia Envolvente
Figura 16. Respuesta de un Sistema en Vibración Forzada con Amortiguamiento

En la figura 17 se presenta la gráfica del factor de amplificación dinámica de deformación
como una función de para unos valores de ξ, lo cual demuestra que el amortiguamiento
reduce el factor de amplificación y por consiguiente a la amplitud de la deformación en todas
las frecuencias de excitación. La magnitud de esta reducción es muy dependiente de la
frecuencia de excitación, y se analiza a continuación para tres regiones de la escala de
excitación-frecuencia:
 Si ω
ω 1, implica que la fuerza “varia lentamente”, Rd es solo un poco mayor
que 1 y es independiente del amortiguamiento. La amplitud de la respuesta
dinámica es la misma de la deformación estática, y es controlada por la rigidez del
sistema.
ec. 72
 Si ω
ω 1, implica que la fuerza “varia rápidamente”, Rd tiende a cero, y no se
ve afectada por el amortiguamiento. La amplitud de la respuesta dinámica es
controlada por masa del sistema.
.
ec. 73
‐2
‐1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Amplificación Dinámica
Series1
Series2
Series3
Series4
Series5
Series6
Rd

0.01
0.05
0.1
0.2
0.7
1
Figura 17. Factor de Amplificación Rd vs , relacionado con la fracción de amortiguamiento

 Si ω
ω ≅ 1, Rd puede ser mucho mayor que 1 para valores pequeños de ξ, por lo
tanto es sensible al amortiguamiento. La amplitud de la respuesta dinámica puede
ser mucho mayor que la deformación estática, debido a que la respuesta está
controlada por el amortiguamiento.
.
ec. 74
Como ya se mencionó, los edificios por lo general tienen amortiguamientos menores al 0.05,
por lo que es importante el evitar frecuencias de excitación semejantes a las frecuencias
naturales, para poder evitar de esta forma amplificaciones dinámicas importantes.
2.5.Vibración Transitoria.
El término “vibración transitoria” se refiere a una excitación temporal en un sistema
mecánico. Los impactos y choques son ejemplos de vibración transitoria no periódica, que
normalmente se caracterizan por ser aplicados repentinamente, tener una alta severidad, y
ser de corta duración. Impactos causados por diferentes fuentes son encontrados
normalmente en la vida cotidiana, por ejemplo aquellos causados por prensas,
troqueladoras, caída libre de objetos, automóviles pasando por topes, etc.
Este tipo de vibraciones suelen ser bastante dañinas en muchos aspectos, principalmente
por su naturaleza no periódica y porque normalmente se ven involucrados altos niveles de
aceleración, y grandes deformaciones, que hacen que su control y aislamiento efectivo se
vuelvan complicados. Lo anterior hace necesario el desarrollo de nuevas técnicas para el
aislamiento de impactos.
La determinación de la respuesta de un sistema que se ve afectado por una excitación que
no es ni periódica ni armónica, tiende a presentar un grado de complejidad mayor. No
obstante, el planteamiento matemático de su solución es relativamente sencillo. En muchos
casos prácticos donde se tienen excitaciones que no se prestan a una descripción
matemática hay necesidad de recurrir a métodos numéricos para obtener la solución. Desde
la aparición del computador la alternativa de utilizar soluciones por medio de métodos
numéricos ha cobrado mayor popularidad y puede afirmarse que aún en muchos casos para
los cuales existe solución trascendental, se recurre al computador.
Tabla 3. Tipos de Fuerzas Transitorias
Tipos Gráfica Respuesta
Impuso Unitario

Excitación
Arbitraría
Escalonada
Rampa

Fuerza
Escalona
Creciente
Pulso
Rectangular
Pulso
Sinusoidal
Pulso Triangular

2.5.1. Respuesta a un Impulso.
Un impulso es una fuerza de gran magnitud que actúa
durante un tiempo muy corto. El efecto del impulso está
definido por dos parámetros, el valor de la fuerza y su
duración. En la figura 18 se muestra un impulso cuya
fuerza tiene una magnitud F y que obra por un instante de
tiempo Δt. La magnitud del impulso está definida por:
.
∆
. 75
Aplicando la segunda ley de Newton:
. .
Al reordenar
.
Al resolver la ecuación diferencial se obtiene que
. 76
Por lo tanto, el sistema sufre un cambio de velocidad pero no de desplazamiento. Esto es
totalmente equivalente a imponer una condición inicial de velocidad , mientras que la
condición inicial de desplazamiento , es nula. La condición inicial de velocidad es:
. 77
La respuesta del movimiento para un sistema no amortiguado en vibración libre:
.
. 78
Y para el sistema amortiguado.
. 1
. 1 . 79
Es evidente que esta ecuación adolece de la claridad que requiere la definición de impulso:
"Es una fuerza de gran magnitud que actúa durante un tiempo muy corto".
Para un impulso aplicado en cualquier tiempo τ:
Conociendo que . , se tiene que:
Para sistema no Amortiguado:

.
.
. 80
Para sistema Amortiguado:
.
. 1
. 1 . 81
2.5.2. Excitación Arbitraria.
Cuando un sistema como el mostrado en la figura 19 se somete a una excitación arbitraria
expresada en términos de fuerza, como la indicada en la figura 19, es posible dividirla en
una serie de impulsos que se aplican en el tiempo y que tienen una duración .
Al integrar el efecto de cada uno de estos impulsos diferenciales variando τ, se obtiene para
el caso sin amortiguamiento:
1
. 82
Y para el caso con amortiguamiento
1
1
1 . 83
Estas integrales se conocen como integrales de convolución o de Duhamel, y corresponden
a la solución particular del sistema. Si hay condiciones iniciales hay necesidad de
adicionarles la solución homogénea.

2.5.3. Excitación en la Base.
El caso en el cual la excitación del sistema proviene de un movimiento en su base es muy
importante en la dinámica estructural, pues la excitación sísmica induce este tipo de
respuesta del sistema. En la figura 20 se presenta la idealización de un sistema dinámico:
La ordenada describe el movimiento de la base de la estructura y la ordenada x
corresponde a la posición de la masa. Los otros parámetros son los mismos de los sistemas
estudiados anteriormente.
Al aplicar diagrama de cuerpo libre de la masa del sistema, se tiene que
La fuerza inercial: .
La fuerza del Resorte: .
La fuerza ejercida por el amortiguador: .
Al aplicar el principio de D´Alembert:
. . . 0 . 84
Definiendo la variable como el desplazamiento relativo entre la masa y la base de apoyo
del sistema, entonces:
Al derivarla:
Al remplazar las ecuaciones anteriores en la ecuación 84:
. . . . . 85
La cual indica que un sistema al que se le introduce movimiento en su base es equivalente
a un sistema con su base fija al cual se le aplica una fuerza igual a la masa del sistema

multiplicada por el negativo de la aceleración del terreno. Utilizando la ecuación 83 se
obtiene la siguiente solución para la respuesta del sistema:
1
1
1 86
Para las soluciones de las ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de
segundo orden, se tomó como apoyo el procedimiento matemático de Larson y Hostetler
(2006), ver figura 21:
Figura 21.  Resumen Ecuaciones Diferenciales

BIBLIOGRAFÍA
Rao S. (2012). Vibraciones Mecánicas. Quinta Edición. Editorial Pearson.
México.
Díaz F. (2011). Texto Guía de Vibraciones Mecánicas. Departamento de Ingeniería.
Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán. México.
García L. (1998). Texto Guía de Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico.
Facultad de Ingeniería. Impresos por la Universidad de los Andes de Colombia. .
Colombia
Paz M. (1992). Dinámica Estructural. Teoría y Cálculo. Editorial Reverte, S.A. España.
Chopra A. (2014). Dinámica de Estructuras. Cuarta Edición. Editorial Pearson. México.
Cendoya P. Texto Guía de Dinámica de Estructuras. Departamento de Ingeniería Civil.
Universidad de Concepción. Chile.
Larson R; Hostetler R. (2006). Cálculo y Geometría Analítica. Voumen 2. Sexta Edición.
Editorial MCGrill. Madrid.

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