1. CV00-842 – CV2009 Mecánica de Sólidos II Carlos Enrique Nungaray Pérez
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ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN PARA
DEFORMACIÓN PLANA
Introducción
En estas notas se presenta el desarrollo de las ecuaciones de transformación de
deformaciones para el estado de deformación plana, por medio de la energía de
deformación por unidad de volumen. Para ello, se consideran dos estados de esfuerzo
equivalentes, los cuales corresponden al estado de esfuerzos de un mismo punto para dos
orientaciones diferentes de los ejes. Como los dos estados de esfuerzo corresponden en
realidad a uno solo, la energía de deformación por unidad de volumen para cada caso es
la misma. A partir de esta condición se obtienen las ecuaciones de transformación
requeridas.
Ecuaciones de transformación
Consideremos un estado de deformación plana, esto es
0=== yzxzz γγε
( )yxz
E
σσ
ν
σ +=
Para este estado de deformación plana, consideremos ahora dos estados equivalentes de
esfuerzo:
a) { } { }aaxyyxxyzyx εσγεετσσσ ,,,,,,, ⇒
b) { } { }bbyxyxyxzyx εσγεετσσσ ,,,,,,, 111111111
⇒
El estado (b) corresponde al (a) referido a los ejes girados un ángulo θ en contra de las
manecillas del reloj. Así, con base en las ecuaciones de transformación para esfuerzos,
los esfuerzos del estado (b) se pueden escribir en términos de los del estado (a) de la
manera siguiente:
θτθ
σσσσ
σ 2sin2cos
221 xy
yxyx
x +
−
+
+
= (1a)
θτθ
σσσσ
σ 2sin2cos
221 xy
yxyx
y −
−
−
+
= (1b)
θτθ
σσ
τ 2cos2sin
211 xy
yx
yx +
−
−= (1c)
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en forma matricial de la manera siguiente:

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2
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
xy
y
x
yx
y
x
τ
σ
σ
θθθ
θθθ
θθθ
τ
σ
σ
2cos2sin
2
1
2sin
2
1
2sincossin
2sinsincos
22
22
11
1
1
(2)
Como los estados de esfuerzo (a) y (b) son equivalentes, tienen la misma energía
de deformación por unidad de volumen, w . Esto es,
ba ww = (3)
Si usamos la notación matricial, las energías de deformación se pueden escribir de la
manera siguiente:
{ }aaaw εσ
2
1
= (4a)
{ }bbbw εσ
2
1
= (4b)
En las ecuaciones (4), usamos la notación
{ }T
=
Así,
xyyxa
τσσσ = (5a)
1111 yxyxb
τσσσ = (5b)
No se incluye el esfuerzo zσ en las ecuaciones anteriores porque no contribuye a la
energía de deformación, pues la deformación zε es igual a cero.
Al substituir las ecuaciones (5) en la ecuación (2) obtenemos la siguiente
expresión:
{ } { }ab σ
θθθ
θθθ
θθθ
σ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
2cos2sin
2
1
2sin
2
1
2sincossin
2sinsincos
22
22
que se puede escribir en forma abreviada como
{ } [ ]{ }ab T σσ = (6)
en donde

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3
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
θθθ
θθθ
θθθ
2cos2sin
2
1
2sin
2
1
2sincossin
2sinsincos
22
22
T (7)
De la ecuación (6), obtenemos
[ ]T
ab
Tσσ = (8)
La matriz [ ]T definida en la ecuación (7) sirve como matriz de transformación
entre los dos estados de esfuerzo.
Al substituir la ecuación (8) en la ecuación (4) e igualar las energías de
deformación por unidad de volumen para los estados (a) y (b), obtenemos
{ } { } [ ] { }b
T
abbaa
T εσεσεσ
2
1
2
1
2
1
==
de donde
{ } [ ] { }b
T
a T εε = (9)
Las deformaciones correspondientes a la configuración girada, { }b
ε , se obtienen
despejándolas de la ecuación (9). De esta forma,
{ } [ ] { }a
T
b T εε
1−
= (10)
Con base en la ecuación (7), obtenemos
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
−
θθθ
θθθ
θθθ
2cos2sin2sin
2sin
2
1
cossin
2sin
2
1
sincos
22
22
1
T
T (11)
Al substituir la ecuación (11) en la (10), obtenemos la ecuación matricial de
transformación para deformación plana:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
xy
y
x
yx
y
x
γ
ε
ε
θθθ
θθθ
θθθ
γ
ε
ε
2cos2sin2sin
2sin
2
1
cossin
2sin
2
1
sincos
22
22
11
1
1
(12)
El desarrollo de la ecuación (12) resulta en las siguientes ecuaciones:
θ
γ
θεθεε 2sin
2
sincos 22
1
xy
yxx ++= (13a)

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4
θ
γ
θεθεε 2sin
2
cossin 22
1
xy
yxy −+= (13b)
θγθεθεγ 2cos2cos2sin11 xyyxyx ++−= (13c)
Las ecuaciones (13) se pueden escribir, después de hacer uso de las identidades
trigonométricas para 2
sin θ y 2
cos θ en términos de senos y cosenos del doble del
ángulo, de la forma siguiente:
θ
γ
θ
εεεε
ε 2sin
2
2cos
221
xyyxyx
x +
−
+
+
= (14a)
θ
γ
θ
εεεε
ε 2sin
2
2cos
221
xyyxyx
y −
−
−
+
= (14b)
θ
γ
θ
εεγ
2cos
2
2sin
22
11 xyyxyx
+
−
−= (14c)
Al comparar las ecuaciones (14) con las ecuaciones (1), observamos que existen
las siguientes correspondencias entre los esfuerzos del estado de esfuerzo plano y las
deformaciones del estado de deformación plana:
Esfuerzo Deformación
xσ xε
yσ yε
xyτ
2
xyγ
1xσ 1xε
1yσ 1yε
11yxτ
2
11yxγ
Con base en la tabla anterior, podemos usar el Círculo de Mohr para
deformaciones de la misma forma que lo hicimos para esfuerzos. De esta forma, tenemos:

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5
σ
τ
ε
γ/2
(a) Círculo de Mohr para
esfuerzos
(b) Círculo de Mohr para
deformaciones
Figura 1. Círculos de Mohr para esfuerzos y deformaciones.