Ecuacion de-tres-momentos

2. Introducción
Es un método basado en el método de las fuerzas y fue
desarrollado por el ingeniero francés Clapeyron en
1857
“La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres
puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya
discontinuidades, tales como articulaciones, en esa
parte de la estructura”.
El método permite escribir una ecuación en forma
independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos
en una viga continua. De esta manera, se llega a un
sistema compatible “n” ecuaciones independientes con
“n” incógnitas.

3. Trabajo
Se define como la capacidad de transmitir energía de
un sistema a otro. El trabajo hecho por una fuerza F la
cual mueve un cuerpo una distancia X cuyos vectores
forman un ángulo  viene dado por el producto
escalar:

4. Trabajo de una fuerza y un momento
Ahora se definirá cómo se calcula el trabajo hecho por
una fuerza y un momento sobre una estructura.

5. Trabajo de una fuerza y un momento
Cuando se está en el rango elástico lineal, se tiene:
Rango Elástico Lineal
d
P

6. Trabajo de una fuerza y un momento
Es importante distinguir entre cuando una fuerza se
aplica o no en forma gradual
Rango Elástico Lineal

P + F
P
’A G F
D
C
B
P
P + F

’


7. Conservación de la energía
El principio de conservación de la energía para
estructuras se enuncia como sigue:
“El trabajo efectuado sobre una estructura elástica
por fuerzas aplicadas estáticamente (en forma
gradual) es igual al trabajo realizado por las
fuerzas internas, o sea, la energía de deformación
almacenada en la estructura”
Matemáticamente se expresa como:
We=Wi ó Ue=Wi

8. Energía de deformación elástica
La forma de energía más común considerada en el
Análisis de Estructuras es la energía potencial elástica.

9. Energía de deformación elástica
Se presenta a continuación la energía de deformación
para varios los tipos más comunes de estructuras usadas
en la Ingeniería Civil.
Armaduras
Vigas
Pórticos

10. Energía de deformación elástica
Consideraciones importantes:
• Las deformaciones por fuerzas cortantes en las vigas
suelen despreciarse debido a que son bastante pequeñas
a comparación de las debidas por flexión
• Las deformaciones por fuerzas axiales en pórticos son
mucho menores que las debidas a flexión y suelen
despreciarse en el análisis.
• Cuando alguna de las funciones F(x), V(x), M(x) y T(x)
no son continuas en los elementos, entonces este debe
dividirse en segmentos tales donde las anteriores
funciones sí lo sean para que la suma o integral sea
continua. Luego, se suma la contribución de cada
elemento para obtener la energía de deformación total.

11. Métodos energéticos
A continuación se presentan los métodos que se han
desarrollado teniendo como base el teorema de trabajo-
energía y el principio de conservación de la energía. Los
métodos que se trabajarán serán los siguientes:
 Método del trabajo real
 Método del trabajo virtual (Basado en el principio del
trabajo virtual)
 Método basado en el segundo teorema de Castigliano

12. Principio del Trabajo Virtual
Fue introducido por Johan Bernoulli en 1717. Es una
poderosa herramienta analítica en muchos problemas
de mecánica estructural. Este principio puede ser
enunciado de dos maneras:
 Principio de desplazamientos virtuales para los
cuerpos rígidos: El método de Müller-Breslau para el
trazado de líneas de influencia está basado en esta
forma de expresar el principio.
 Principio de fuerzas virtuales para los cuerpos
deformables: Se emplea para el cálculo de deflexiones.

13. Principio del Trabajo Virtual
El principio de desplazamientos virtuales para los
cuerpos rígidos se enuncia así:
“Si un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio bajo
un sistema de fuerzas y si se sujeta a cualquier
desplazamiento virtual de cuerpo rígido, el trabajo
virtual realizado por las fuerzas externas es cero”

14. Principio del Trabajo Virtual
El principio de fuerzas virtuales para los cuerpos deformables se
enuncia así:
“Si una estructura deformable está en equilibrio bajo un
sistema virtual de fuerzas (y pares) y si se sujeta a
cualquier deformación real pequeña, coherente con las
condiciones de apoyo y continuidad de la estructura,
entonces el trabajo virtual externo realizado por las
fuerzas externas (y pares externos) virtuales que actúan a
través de los desplazamientos (y rotaciones) externos
reales es igual al trabajo interno virtual realizado por las
fuerzas internas (y pares internos) que actúan a través de
los desplazamientos (y rotaciones) internos reales”

15. Principio del Trabajo Virtual
Consideraciones Importantes:
 La segunda manera de enunciar el Principio del Trabajo
Virtual puede ser resumido como sigue:

16. Principio del Trabajo Virtual
Consideraciones Importantes:
 Nótese de que en virtud de que las fuerzas virtuales son
independientes de las acciones que causan la deformación
real y permanecen constantes durante esta deformación,
las expresiones del trabajo virtual, externo e interno, no
contienen el factor ½. Al aplicar la fuerza virtual esta
recorrerá la deformación real (ya impuesta antes de aplicar
la fuerza virtual).

17. Principio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes
• Armaduras: Se considerarán 3 casos generales, según sea
el origen de la deflexión (no se consideran pendientes, los
elementos de una armadura trabajan sólo a fuerza axial):
por fuerzas, errores de fabricación y cambios de
temperatura.

18. Principio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes
• Situaciones tales como fuerzas de tracción, errores de fabricación
que lleven a miembros más largos o aumentos en la temperatura
son cantidades que se suelen considerar como positivas en el
cálculo de deflexiones en armaduras. Las contrarias se toman como
negativas.
• La misma convención de signos debe ser usada tanto para el
sistema real como para el sistema virtual.
• Para los casos de errores de fabricación y cambios de temperatura
sólo es necesario calcular las fuerzas internas en aquellos
miembros en los que ocurra alguna de las situaciones antes
mencionadas.

19. Principio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes
• Vigas: Si bien en una viga es posible tener fuerzas axiales,
cortantes y momentos flectores, sólo se consideran
prominentes el momento flector y la fuerza cortante. Para
la gran mayoría de vigas se desprecia el trabajo interno
efectuado por las fuerzas cortantes virtuales que actúan a
través de las deformaciones causadas por esas cortantes.
En este caso, es posible calcular deflexiones y pendientes.

20. Principio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes
• Vigas: Las expresiones derivadas a partir la aplicación del
principio del trabajo a vigas se presentan a continuación:
Las anteriores expresiones deben ser evaluadas en tramos
en los cuales la función de momento sea continua.

21. Principio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes
• Pórticos: Las expresiones derivadas a partir la aplicación del
principio del trabajo a pórticos se presentan a continuación:
Las anteriores expresiones deben ser evaluadas en tramos
en los cuales la función de momento sea continua.

22. Principio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes:
Es posible que en vigas o pórticos se tengan otras posibles
situaciones que causen deflexiones. Aunque es poco el
aporte de estas a la energía de deformación, la cual será en
forma primaria debida a flexión, se expondrán de igual
forma.
Las acciones adicionales que se incluirán son debidas a
fuerza axial, fuerza cortante, momentos torsores y
gradientes de temperatura

23. Principio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes:
• Fuerza axial
• Fuerzas cortante
• Momentos torsores
• Temperatura

24. Teoremas de Castigliano
En 1876 el Ingeniero de Ferrocarriles Alberto Castigliano,
como parte de su trabajo de grado, presentó dos teoremas,
el segundo de los cuales permite encontrar cualquier
componente de deflexión de una estructura a partir de la
energía de deformación de la misma
Se pueden resumir que su trabajo consta de dos teoremas y
un corolario, los cuales permiten establecer ecuaciones de
equilibrio en estructuras, calcular deflexiones y rotaciones,
y finalmente, resolver estructuras indeterminadas (es decir,
hiperestáticas)
El Primer Teorema de Castigliano ya está en desuso.

25. Teoremas de Castigliano
 Primer Teorema de Castigliano: Su mayor uso es para
establecer ecuaciones de equilibrio en estructuras. Su uso
es casi nulo hoy en día. Matemáticamente, el enunciado de
este teorema es:

26. Teoremas de Castigliano
 Segundo Teorema de Castigliano: “Para estructuras
linealmente elásticas, la derivada parcial de la energía de
deformación con respecto a una fuerza aplicada (o par
aplicado) es igual al desplazamiento (o rotación) de la
fuerza (o par) a lo largo de su línea de acción”. Este teorema
sólo permite el cálculo de deflexiones y rotaciones debidas
a fuerzas o momentos.

27. Teoremas de Castigliano
Aplicaciones del Segundo Teorema de Castigliano
 Armaduras
• Vigas

28. Teoremas de Castigliano
Aplicaciones del Segundo Teorema de Castigliano
 Pórticos

29. Teoremas de Castigliano
 Corolario del Segundo Teorema de Castigliano:
“La derivada parcial de la energía interna de deformación
de una estructura cargada con respecto a una componente
de reacción, es igual a cero”
“En cualquier estructura indeterminada sometida a carga
los valores de las redundantes deber ser tales que hagan
mínima la energía total interna de deformación elástica que
resulta de la aplicación del sistema de cargas dado”

30. Ley de Maxwell
Esta es la llamada ley de las deflexiones recíprocas, y fue
desarrollada por James Clerck Maxwell en 1864. Se
considera esta ley de Maxwell un caso particular de la ley
de Betti. Dicha ley se enuncia así:
“Para una estructura linealmente elástica, la deflexión en
un punto i debida a una carga unitaria aplicada en un punto
j es igual a la deflexión en j debida a una carga unitaria en i”

31. Ley de Betti
Es el caso generalizado de la ley de Mawell. Fue enunciada
en 1872 por E. Betti. Esta se expresa como:
“Para una estructura linealmente elástica, el trabajo virtual
realizado por un sistema P de fuerzas y pares actuando a
través de la deformación causada por otro sistema Q de
fuerzas y pares es igual a trabajo virtual del sistema Q
actuando a través de la deformación debida al sistema P”

32. Ejercicios: Método del Trabajo Real
 Calcular la deflexión en el punto D, para una carga de
50 T aplicada en el mismo. Para todas las barras
L/A=10cm-1, y que el material es acero estructural con
E=2040 T/cm2.

33.  Ecuación:
Programación: Método del Trabajo Real

34. Ejercicios: Teoremas de Castigliano
 Encuentre la deflexión horizontal del punto A, producida por el
sistema de cargas mostrado. Para las diagonales L/A= 100 cm-1,
para las otras barras L/A= 50 cm-1. El material es acero
estructural con E= 2100T/cm2 :

35. Programación Segundo Teoremas de
Castigliano
 Ecuación:

36. Ejercicio Método del trabajo virtual
 Determinar la componente vertical de deflexión del
nudo L4. El numero al lado de cada barra es el área de
la barra en pulgadas cuadradas y E= 29*10+6 lb/pulg2.

37. Programación del Método del Trabajo
Virtual
 Ecuación:

38. Referencias
 KASSIMALI, Aslam. Análisis Estructuras. Editorial Thompson.
Segunda Edición.2004.
 URIBE Escamilla, Jairo. Análisis de Estructuras. ECOE Ediciones.
Segunda Edición.2000.
 HIBBELER, Russell. Mecánica de Materiales. Editorial Pearson.
Sexta Edición. 2006.
 McCORMAC, Jack. Análisis de estructuras. Editorial Alfaomega.
Primera edición.1999
 HIBBELER, Russell. Structural Analysis. Editorial Pearson.
Séptima Edición. 2009.

39. Referencias
 LEET, Kenneth. UANG-CHIA, Ming. GILBERT, Anne M.
Fundamentos de Análisis Estructural. Editorial McGraw-Hill.
Segunda edición. 2006
McCORMAC, Jack. Análisis de estructuras. Editorial Alfaomega.
Tercera edición.2006
 KINNEY, Sterling J. Análisis de estructuras indeterminadas.
Editorial Continental. Primer edición. 1960
 GONZALEZ, Cuevas Oscar. Análisis estructural. Editorial
Limusa. Segunda edición. 2002.