Tema 2.deformacion simple

U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales Página 27
TEMA 2: DEFORMACIÓN SIMPLE
2.1.- CONTENIDOS CURRICULARES.
OBJETIVO DIDÁCTICO: DETERMINAR LAS DEFORMACIONES INDUCIDAS EN SISTEMAS SOMETIDOS A CARGA
AXIAL
CONCEPTUALES PROCEDIMIENTALES ACTITUDINALES
 Deformación simple
 Deformación unitaria
 Material dúctil
 Material frágil
 Diagrama de esfuerzo vs
deformación
 Resistencia a la fluencia
 Esfuerzo limite de
proporcionalidad
 Resistencia ultima
 Resistencia a la fractura
 Diagrama real
 Diagrama ingenieril
 Ley de Hooke
 Definición de deformación simple, deformación
total y deformación unitaria
 Descripción de la características del diagrama
esfuerzo vs deformación para un material frágil y
dúctil
 Definición de la Ley de Hooke
 Cooperación en
la resolución de
ejercicios
prácticos en
clase.
 Actitud crítica
ante las
soluciones
encontradas al
resolver un
problema
 Esfuerzo de diseño
 Factor de seguridad
 Esfuerzo de falla
 Sistemas estáticamente
indeterminados
 Esfuerzos de origen térmico
 Deformación térmica
 Definición de esfuerzo de diseño
 Interpretación de factor de seguridad y su
relación con el esfuerzo de falla
 Diferenciación entre sistemas estáticamente
indeterminados y sistemas estáticamente
determinados
 Definición de conductividad térmica en los
metales y sus relación con sus deformaciones y
esfuerzos
 Determinación de deformación térmica en
diferentes tipos de materiales
 Cálculo de esfuerzos generados por cambio de
temperatura en sólidos con restricciones al
desplazamiento
(Machado, Raúl 2006)
2.2.- INTRODUCCIÓN.
En este tema, se consideraran las deformaciones de un elemento estructural como una varilla, barra o
placa sometida a carga axial. En particular, se estudian las relaciones geométricas entre las deformaciones
elásticas que, junto con las condiciones de equilibrio y las relaciones fuerza-deformación, permitan
resolver los problemas estáticamente indeterminados. En la solución de todos los problemas de
resistencia de materiales, es deseable tener un conocimiento de las acciones físicas que tienen lugar
dentro del miembro. Por consiguiente, es importante ser capaz de visualizar el esfuerzo y la deformación
que ocurren en un cuerpo. Se necesita memorizar muy pocas formulas para la solución de estos
problemas. Sin embargo, el hábito de hacer diagramas completos, cuidadosamente trazados, de los
miembros bajo carga, ayudará enormemente a comprender esta materia.

TEMA 2. DEFORMACIÓN SIMPLE.
2.3.- DEFORMACIÓN TOTAL.
La deformación es el proceso por el cual una pieza, metálica o no metálica, sufre una elongación por una
fuerza aplicada en equilibrio estático o dinámico, es decir, la aplicación de fuerzas paralelas con sentido
contrario. La deformación total es el cambio de longitud del miembro. Esta se denota por la letra griega δ
(delta).
Figura 2-1. Barra sometida a carga axial.
Fuente: http://www.uclm.es/profesorado/porrasysoriano/elementos/Tema01.pdf
2.4.- DEFORMACIÓN UNITARIA (Є).
La deformación unitaria se define como el cambio en longitud por unidad de longitud. Esta se denota por
la letra griega Є (épsilon) Expresada algebraicamente, la deformación unitaria es:
Є
Donde:
Є: deformación unitaria normal en pulg/pulg o en m/m.
δ: deformación total en pulg o en m.
L: longitud original en pulg o en m.
2.5.- DEFORMACIÓN SIMPLE.
La expresión correcta de la deformación unitaria normal en cualquier punto es:
Є (2-2)
Que determina el valor de la deformación en una longitud tan pequeña (dL) que puede considerarse
constante en dicha longitud. No obstante, en ciertas condiciones, se puede suponer que la deformación es
constante (deformación simple) y aplicar la ecuación (2-1). Estas condiciones son:
El elemento sometido a tensión debe tener una sección transversal recta o constante.
El material debe ser homogéneo.
La fuerza o carga debe ser axial, es decir, producir un esfuerzo uniforme.
2.6.- DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN.
Es un gráfico del esfuerzo como una función de la deformación. Se construye a partir de los datos
obtenidos en el ensayo mecánico de tracción en el que se aplica carga a un material (probeta), y las
mediciones continuas de esfuerzo y de formación se realizan simultáneamente. Los resultados del ensayo

de tracción se suelen representar en un gráfico en el que en las ordenadas se llevan las cargas y en las
abscisas los correspondientes alargamientos. En la figura 2-2 se representa un grafico de esta clase; se
puede observar que no aparecen representadas las fuerzas y los alargamientos totales, sino las fuerzas
unitarias o esfuerzos y los alargamientos unitarios o deformaciones, ya que solo se pueden comparar las
propiedades de una muestra con las de la otra sí se reducen los valores observados a unos puntos de
referencia comunes.
Figura 2-2. Diagrama esfuerzo-deformación unitario y probeta para realizar ensayo de tracción
Fuente: Fuente: http://ocwus.us.es/ocwus/mecanica-de-medios-continuos-y-teoria-de-estructuras
2.7.- PUNTOS CARACTERÍSTICOS DEL DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN.
En el diagrama esfuerzo deformación se puede observar lo siguiente:
a.) Limite de proporcionalidad (σp): hasta este punto la relación entre el esfuerzo y la deformación
es lineal.
b.) Limite de elasticidad (σe): más allá de este límite el material no recupera su forma original al ser
descargado, quedando con una deformación permanente
c.) Punto de fluencia o cedencia (σy): aparece en el diagrama un considerable alargamiento o
cedencia sin el correspondiente aumento de carga. Este fenómeno no se observa en los
materiales frágiles. Es el valor del esfuerzo que debe aplicarse sobre el material para inicial su
deformación permanente.
d.) Esfuerzo ultimo o limite de resistencia (σu): es la máxima ordenada del diagrama esfuerzo –
deformación. Es el valor máximo del esfuerzo de ingeniería que se puede aplicar sobre el material.
Cuando aplicado se iguala a la resistencia de tensión, se inicia la estricción y luego se fractura el
material.
e.) Esfuerzo de ingeniería (σ): se define como la fuerza aplicada dividida entre el área transversal
inicial del material (el área que tiene el material antes de aplicar la fuerza).
f.) Esfuerzo real (σr): se define como la fuerza aplicada dividida entre el área transversal real o
instantánea que posee el material mientras esta actuado la fuerza.
g.) Deformación unitaria de ingeniería (Є): se define como la deformación (δ) dividida entre la
longitud inicial (L) del material.

h.) Deformación unitaria real (Єr): se define de la siguiente manera:
Donde Lf es la longitud final y Lo es la longitud original.
i.) Punto de ruptura real: cuanto el material falla (determinado con el esfuerzo y deformación de
ingeniería).
j.) Punto de ruptura aparente: cuando el material falla (determinado con el esfuerzo y la
deformación real).
k.) Estricción. Es la reducción de la sección que sufre la probeta en la zona de rotura. El alargamiento
y la estricción se usan para ver el grado de ductilidad de los materiales.
2.8.- MÓDULO DE ELASTICIDAD (E).
El módulo de elasticidad, también denominado módulo de Young, es un parámetro que se obtiene
empíricamente a partir de un ensayo denominado ensayo a tracción.
El modulo de elasticidad es la pendiente de la línea recta que se forma en la zona elástica de la curva hasta
el límite de proporcionalidad. El modulo de elasticidad es una medida de la rigidez del material. Si se
tienen dos materiales (A y B), A es más rígido que B si se deforma elásticamente menos que B al aplicarles
a ambas la misma fuerza. El material es más rígido entre mayor sea su modulo de elasticidad.
Figura 2-3. Módulos de elasticidad y de rigidez de algunos materiales

2.9.- PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES.
Las propiedades mecánicas de los materiales se describen a continuación:
ELASTICIDAD: es la propiedad que hace que un cuerpo que ha sido deformado regrese a su forma original
después que se han removido las fuerzas deformadoras.
PLASTICIDAD: es aquella propiedad que permite al material sobrellevar una deformación permanente sin
que sobrevenga la ruptura.
DUCTILIDAD: Es una medida de la cantidad de deformación plástica que puede darse en un material antes
que este se rompa. La ductilidad puede medirse de dos formas:
 El porcentaje de elongación. Se define de la siguiente forma:
(2-7)
 El porcentaje de reducción de área, el cual se define de la siguiente forma:
(2-8)
Una idea cualitativa de la ductilidad de un material puede obtenerse al ver la longitud de la curva
esfuerzo-deformación unitaria en la dirección del eje Є.
FRAGILIDAD: Es lo opuesto a ductilidad. Se dice que un material es frágil cuando se fractura y su
deformación no ha llegado a 5% de su longitud inicial. Los conceptos frágil y quebradizo son sinónimos.
RIGIDEZ: tiene que ver con la deformabilidad relativa de un material bajo carga. Se le mide por la
velocidad del esfuerzo con respecto a la deformación. Mientras mayor sea el esfuerzo requerido para
producir una deformación dada, más rígido se considera que es el material.
2.10.- MATERIALES DÚCTILES Y FRÁGILES.
Las características del comportamiento dúctil o frágil de un material pueden reconocerse en un diagrama
esfuerzo-deformación unitaria. Un material dúctil, tal como el acero estructural dulce, el aluminio o el
latón, exhibirán un amplio intervalo de deformación en el intervalo plástico, antes de la fractura.
Figura 2-4. Diagrama esfuerzo-deformación de material dúctil y frágil.
Fuente: Mecánica de Materiales. Fitzgerald Robert.

2.11.- LEY DE HOOKE Y DEFORMACIÓN AXIAL.
En el diagrama esfuerzo–deformación, la línea recta indica que la deformación es directamente
proporcional al esfuerzo en el tramo elástico, este principio es conocido como la ley de Hooke. Asimismo,
la proporción representada por la pendiente de la recta, es constante para cada material y se llama
módulo de elasticidad (E) o modulo de Young
Є
Que se suele escribir en la forma: Є (2 - 10)
De la ley de Hooke, se puede determinar que las unidades del modulo de elasticidad son idénticas a las
unidades para el esfuerzo.
Otra forma de la expresión de la ley de Hooke, se obtiene al sustituir σ por P/A y Є por δ/L, entonces
resulta:
O lo que es igual,
(2 - 12)
EJERCICIO ILUSTRATIVO 2.1.
Determine la deformación de la varilla de acero mostrada en la figura 2-5(a) bajo las cargas dadas (E = 29 x
106
psi).
Figura 2-5. Varilla de acero con diagramas de cuerpo libre.
Fuente: Mecánica de Materiales. Beer Johnston
Solución:
Se divide la varilla en tres partes (la figura 2-5b) y se tiene:
L1 = L2 = 12in L3= 16in
A1 = A2 = 0.9 in2 A3= 0.3 in2

Para encontrar las fuerzas internas P1, P2 y P3, se deben hacer cortes a través de cada una de las partes,
dibujando cada vez un diagrama de cuerpo libre de la porción de la varilla localizada a la derecha de la
sección (figura2-5c). Expresando que cada uno de los cuerpos libes esta en equilibrio, se obtiene
sucesivamente;
P1 = 60kip s= 60 x 103 lb
P2 = -15kips = -15 x 103lb
P3 = 30kips = 30 x 103lb
Llevando los valores obtenidos a la ecuación (2-11), se tiene que:
La barra rígida BDE se soporta en dos eslabones AB y CD. El eslabón AB es hecho de aluminio (E= 70GPa) y
tiene un área de sección transversal de 500 mm2
; el eslabón CD es de acero (E=200Gpa) y tiene un área de
sección transversal de 600 mm2
. Para la fuerza mostrada de 30 kN, determine la deflexión a) de B, b) de D,
c) de E.
Figura 2-6. Sistema mecánico.
Solución
Cuerpo Libre: Barra BDE
FCD= + 90kN FCD= 90kN Tensión
FAB = - 60kN FAB= 60kN Compresión
a. Deflexión de B. Como la fuerza interna en el eslabón AB es
compresiva, tenemos que P=-60kN.
El signo negativo indica una contracción del elemento AB y, por lo
tanto, una deflexión hacia arriba de B:

b. Deflexión de D. Como varilla CD, P= 90kN, se escribe:
c. Deflexión de E. Se denota con B’ y D’ las posiciones desplazadas de
los puntos B y D. ya que describe BDE es rígida, los puntos B’,D’ y E’
se encuentran en línea recta y se escribe:

2.12.- LEY DE HOOKE Y DISTORSIÓN.
Las fuerzas angulares producen una deformación angular o distorsión. Un elemento sometido a fuerza
cortante no varía la longitud de sus lados, solo se manifiesta un cambio de forma, de rectángulo a
paralelogramo como se observa en la figura 2-7.
Figura 2-7. Elemento sometido a fuerzas tangenciales.
Fuente: Mecánica de Materiales. Fitzgerald Robert.
La deformación angular media se obtiene:
L
s
  (2-13)
O sea que, la distorsión es la variación que experimenta el ángulo entre las dos caras perpendiculares de
un elemento diferencial. La distorsión también es llamada deformación unitaria promedio a corte del
material.
Suponiendo que la ley de Hooke también es válida en el cortante, entonces:
 G (2-14)
En donde G es el modulo de elasticidad de corte llamado a veces modulo de rigidez.
La relación entre la deformación tangencial total y las fuerzas cortantes aplicadas es:
GA
LV
s
s  (2-15)

Un bloque rectangular de material con un módulo de rigidez G=90 ksi se une a dos placas rígidas
horizontales. La placa inferior está fija, mientras que la placa superior se somete a una fuerza horizontal P
(figura 2-8a). Sabiendo que la placa superior se mueve 0.04 in. Bajo la acción de la fuerza, halle a) la
deformación unitaria promedio a corte del material (distorsión). B) la fuerza P ejercida sobre la placa
superior.
(a) (b)
Figura 2-8. Bloque rectangular sometido a fuerza cortante.
Solución:
a) Deformación unitaria a corte (distorsión). Se seleccionan ejes coordenados centrados en el punto C
del borde AB y dirigidos como se muestra en la figura 2-8b. De acuerdo con su definición, la
deformación unitaria bajo cortante γxy es igual al ángulo formado por la vertical y por la línea vertical
CF que une los puntos medios de los bordes AB y DE. Advirtiendo que es un ángulo muy pequeño y
recordando que debe expresarse en radianes, entonces,
b) Fuerza ejercida sobre la placa superior. Primero se determina el esfuerzo cortante en el
material. Utilizando la ley de Hooke para el esfuerzo y la deformación unitaria, se tiene que
La fuerza ejercida sobre la placa superior es, por lo tanto,

2.13.- ESFUERZO DE TRABAJO Y FACTOR O COEFICIENTE DE SEGURIDAD.
El esfuerzo de trabajo es el esfuerzo real que soporta el material bajo la acción de unas cargas, y no
debe sobrepasar el esfuerzo admisible o de diseño, que es el máximo al que puede ser sometido el
material, con un cierto grado de seguridad en la estructura o elemento que se considere. En un diseño
real, el esfuerzo admisible σw ha de ser inferior al límite de proporcionalidad, con el objeto de que pueda
aplicarse en todo momento la relación lineal entre esfuerzos y deformaciones que establece la ley de
Hooke, y en la que se basa toda la teoría subsiguiente. Sin embargo, como es difícil determinar
exactamente el límite de proporcionalidad, se acostumbra tomar como base para fijar el esfuerzo
admisible el límite de fluencia (σy) o, en su defecto, el esfuerzo ultimo, dividiéndolos entre un número N,
convenientemente elegido, que se llama factor o coeficiente de seguridad:
o también, (2-16)
Dada su importancia y los distintos factores a tener en cuenta. La determinación del esfuerzo admisible
debe hacerse por equipos de ingenieros con experiencia. Los esfuerzos admisibles a emplear según los
casos suelen publicarse en numerosas especificaciones y normas de construcción.
Una ménsula de peso despreciable, que se ilustra en la figura 2-9(a), se carga con una fuerza P de 15 kN.
La conexión entre los extremos de las barras es por articulación de horquilla. Las dimensiones
correspondientes se muestran en la figura. Todos los pasadores son de 10 mm de diámetro. Reducir el
peso de la barra AB, utilizando un material mejor, como el acero al cromo-vanadio. La resistencia última
de este acero es aproximadamente de 825 MPa. Se utilizará un factor de seguridad de 2.5.
Solución:
Figura 2-9. Ménsula sometida a fuerzas de cortes y axiales

Cálculo de la fuerza en la barra AB.
En la figura 2-9(c) los triángulos Akm y BAD son semejantes y se indican rayados en el diagrama. Por
consiguiente, si se conoce FAX
En forma similar,
No obstante, se puede observar además que AB/DB o AD/DB son razones o cocientes, por lo tanto se
pueden utilizar las dimensiones relativas de los elementos de la ménsula. Dichas dimensiones se muestran
por un pequeño triangulo en el elemento AB, y asimismo en el BC. En el problema en cuestión
Adoptando el procedimiento anterior de descomposición de fuerzas, se traza un nuevo diagrama de
cuerpo libre, figura 2-9 (d). Dos componentes de fuerzas son necesarias en las articulaciones. Una vez
determinadas por estática las fuerzas, la ecuación de sumatoria de momentos se aplica, considerando el
diagrama de cuerpo libre de cada elemento:
Cálculo de esfuerzo permisible.
Cálculo de área requerida.
.
Se adopta una barra de 6 mm x 6 mm. Esto proporciona un área de 6 x 6 = , que se excede
ligeramente al área requerida. Son posibles muchas otras dimensiones adecuadas a la barra.
Con el área transversal seleccionada el esfuerzo de trabajo o real es algo inferior al esfuerzo permisible:
El factor de real de seguridad es
El margen real de seguridad es 1.65

2.14.- ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS O HIPERESTÁTICOS.
Existen casos de estructuras en las que las reacciones o las fuerzas resistivas internas exceden en número
al de ecuaciones independientes de equilibrio que pueden establecerse. Debido a que la estática no es
suficiente para determinar las reacciones o las fuerzas internas, tales casos se llaman estáticamente
indeterminados y requieren ecuaciones adicionales que relacionen las deformaciones elásticas en los
distintos elementos.
La variedad de casos de elementos hiperestáticos es tan grande que es preferible describirlos mediante
ejemplos que muestren como se aplican los principios generales siguientes:
 En el diagrama de cuerpo libre de la estructura o de parte de ella, aplicar las ecuaciones de
equilibrio estático.
 Si hay más incógnitas que ecuaciones independientes de equilibrio. Obtener nuevas ecuaciones
mediante relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas producidas por las cargas y por
las fuerzas desconocidas. Para ver con claridad estas relaciones, dibujar un esquema, exagerando
las deformaciones elásticas.
Un pilar de concreto de poca altura se refuerza axialmente con seis barras de acero, de 600 mm2
de
sección, colocadas simétricamente en círculo alrededor del eje del pilar, como se indica en la figura. Se le
aplica una carga de 1000 kN. Determinar los esfuerzos en el concreto y en el acero teniendo en cuenta los
módulos elásticos Ea = 200 x 109 N/m2
(acero) y Ec=14 x 109 N/m2
(concreto).
Figura 2-10. Pilar de concreto armado.
Fuente: Resistencia de Materiales. Singer.
Solución:
La fuerza aplicada y las fuerzas resistivas en cualquier sección m-n forman un sistema de fuerzas coaxiales.
La única ecuación de equilibrio estático es:
Como no existe ninguna otra ecuación estática que muestre la proporción en que se distribuye la
fuerza total entre los dos materiales, se ha de acudir a la deformación elástica de la estructura. Es
evidente que la placa de apoyo hace que el concreto y el acero se deformen la misma cantidad y. por
tanto, aplicando la expresión a estas dos deformaciones iguales resulta:

En donde simplificando y sustituyendo los valores dados de los módulos elásticos se reduce la relación
entre los esfuerzos:
Obsérvese que en esta ecuación se ha tenido en cuenta el hecho de que ambos materiales se han de
deformar la misma cantidad, pero que es independiente de las ecuaciones de la estática y, por tanto, de
las fuerzas y de las secciones del acero y del concreto, siendo válida mientras no se sobrepase el límite de
proporcionalidad de ninguno de los dos materiales. Aplicando las relaciones a la ecuación (2-17)
se trasforma en:
Sustituyendo por como indica la ecuación (b), resulta:
Y de la ecuación (2-18)
Una varilla de cobre se introduce en un cilindro hueco de aluminio. La varilla sobresale 0.130 mm, como
indica la figura 2-11. Determinar la carga máxima P que se puede aplicar al conjunto por intermedio de la
placa de apoyo con los datos que se especifican seguidamente:
COBRE (Cu) Aluminio (Al)
Área (mm2
) 1200 1800
E (GPa) 120 70
Esfuerzo admisible (MPa) 140 70
Figura 2-11. Varilla de cobre dentro de cilindro hueco de aluminio.
Fuente: Resistencia de Materiales. Singer
Solución:
Independiente de la ecuación de equilibrio estático, que es la misma que en los problemas anteriores, hay
que hallar una relación entre los esfuerzos a través de una ecuación entre deformaciones. Para ello,

consideremos la figura en la que se representan, muy exageradas, estas deformaciones. Se tiene:
De donde
(2-19)
La ecuación (2-19) determina la relación que debe existir necesariamente entre esfuerzos. Es evidente que
si se llega a , se sobrecargara el cobre por alcanzar, según ecuación (2-18), un esfuerzo de
. Por tanto, es el esfuerzo en el cobre el que limita la carga y, entonces, el correspondiente, en el
aluminio, deberá ser, según la ecuación (2-19),
,
La carga total es:
En la que, sustituyendo los esfuerzos por los valores que se acaban de determinar, resulta:
Una varilla de longitud L, área de sección
transversal A1 y modulo de elasticidad E1, se ha
colocado dentro de un tubo con la misma longitud
L, pero de área de sección transversal L2 y modulo
de elasticidad E2. ¿Cuál es la deformación de la
varilla y el tubo cuando una fuerza P se ejerce en la
placa rígida del extremo como se muestra en la
figura?
Figura 2-12. Varilla dentro cilindro hueco.

Solución:
Con P1 y P2, respectivamente, las fuerzas axiales en la varilla y en el tubo, se dibujan diagramas de cuerpo
libre de los tres elementos (figura 2-12b, 2-12c y 2-12d). Solo el último de los diagramas da información
significativa:
Es claro que una ecuación no es suficiente para determinar las dos fuerzas internas desconocidas P1 y P2.
El problema es estáticamente indeterminado.
No obstante, la geometría del problema muestra que las deformaciones de la varilla y del tubo
deben ser iguales.
Igualando las deformaciones , se obtiene:
Las ecuaciones (2-21 y 2-22) pueden resolverse simultáneamente para obtener P1 y P2:
Cualquiera de las ecuaciones (2-21) podrá emplearse para determinar la deformación común de la varilla y
del tubo.
Una barra AB de longitud L y sección transversal uniforme se sujeta a soportes rígidos en A y B antes de
cargarse. ¿Cuáles son los esfuerzos en las porciones AC y BC debido a la aplicación de la carga P en el
punto C (figura 2-13a)?
Solución:
Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la barra (2-13b), se obtiene la ecuación de equilibrio
Ya que esta ecuación no es suficiente para determinar las dos reacciones desconocidas Ra y Rb, el
problema es estáticamente indeterminado.

Figura 2-13. Varilla dentro cilindro hueco.
Sin embargo, las reacciones pueden determinarse si se observa de la geometría que el alargamiento total
de la barra debe ser cero. Denotando con , respectivamente, los alargamientos de las porciones
AC y AB, se tiene
o, expresando en términos de las fuerzas internas correspondientes P1 y P2:
Se advierte que los diagramas de cuerpo libre mostrados respectivamente en las partes b y c de la figura
2-13 que P1= RA y P2 = -RB al llevar estos valores a la ecuación (2-24) se escribe:
RA L1 – RB L2 = 0 (2 -25)
Las ecuaciones (2-23) y (2-25) pueden resolverse simultáneamente para RA y RB; se obtiene RA=PL2/L y
RB=PL1/L. los esfuerzos deseados en AC y en BC se obtienen dividiendo, respectivamente P1= RA y P2
= -RB entre el área de sección transversal de la barra:
2.15.- DEFORMACIÓN TÉRMICA.
Los elementos estructurales expuestos a importantes cambios de temperaturas sufren dilataciones o
contracciones que pueden hacer imposible su necesario comportamiento de rigidez. Esta deformación
lineal, viene dada por:
δT =α.L. (∆T) (2 -26)
En donde:
α: coeficiente de dilatación lineal en (°C)-1
L: longitud original en (m).
∆T: variación de temperatura en (°C).
δT: deformación térmica lineal en (m).
Si no se impide la deformación debida al cambio de temperatura, como ocurre en los casos estáticamente
determinados, no aparecen esfuerzos en la estructura

Figura 2-14. Elemento sometido a cambios de temperatura.
Fuente: Mecánica de Materiales. Beer- Johnston
2.16.- ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO.
Cuando se impide la deformación debida al cambio de temperatura, aparecen fuerzas internas y por lo
tanto esfuerzos en la estructura, estos son llamados esfuerzos térmicos, o de origen térmico.
A continuación se indica el procedimiento general para determinar las fuerzas y los esfuerzos originados
cuando se impide la deformación térmica:
1.- Se considera a la estructura descargada de toda fuerza y sin ligaduras que impidan la libre deformación
térmica.
2.- Se aplica ahora a la estructura las fuerzas necesarias (desconocidas) para que vuelva a las condiciones
iníciales de restricción de movimientos. Y luego representar estas fuerzas en el esquema anterior.
3.- Las relaciones geométricas entre las deformaciones debidas al cambio de temperatura y las debidas a
las fuerzas aplicadas en el esquema proporcionan unas ecuaciones que, junto con las de equilibrio
estático, permiten determinar las fuerzas desconocidas.
Determine los valores del esfuerzo en las porciones AC y CB de la barra de acero mostrada en la figura 2-
15 cuando la temperatura es de -50 o
F, sabiendo que existe un buen ajuste en ambos soportes rígidos
cuando la temperatura es de +75 o
F. Utilice los valores de E=29 x 106
psi y α = 6.5 x 10-6
/o
F para el acero.
Solución:
Primero se determinan las reacciones en los soportes. Como el problema es estadísticamente
indeterminado, se desprende la barra de su apoyo en b y se le deja pasar por el cambio de temperatura.
La deformación correspondiente (figura 2.38b) es

Aplicando ahora la fuerza desconocida RB en el extremo B (figura 2-16c), se utiliza la ecuación (2-24) para
expresar la deformación correspondiente δR. Sustituyendo
L1 = L2 = 12in
A1 = 0.6in2
A2= 1.2in2
P1 = P2 = RB E = 29 x 106
psi
En la ecuación (2-24) se escribe
Expresando que la deformación total de la barra debe ser cero como resultado de las restricciones
impuestas, se escribe:
De lo que se obtiene:
La reacción de A es igual y opuesta.

Note que las fuerzas en las dos porciones de la barra son P1=P2=18.85kips; se obtienen los siguientes
valores de esfuerzo en las porciones AC y CD de la barra:
No puede enfatizarse demasiado el hecho de que, a pesar de que la deformación total de la barra debe ser
cero, ya que las deformaciones de las porciones AC y CB no son cero. Una solución para el problema
basada en la suposición de que estar deformaciones son cero seria equivocada. Tampoco puede
suponerse que los valores de la deformación unitaria en AC o en CD sean iguales a cero. Para ampliar este
punto, determine la deformación εAC en la porción AC de la barra. La deformación εAC puede dividirse en
dos partes; una es la deformación térmica εT producida en la barra sin restricciones para el cambio de
temperatura ΔT (figura 2-16b). de la ecuación (2-26) se escribe
La otra componente de εAC se asocia con el esfuerzo σ1 debido a la fuerza RB aplicada a la barra (Figura 2-
16c). De la ley de Hooke, se expresa esta componente de la deformación como:
Sumando las dos componentes de la deformación en AC, se obtiene:
Un cálculo similar de la deformación de la porción CB de la barra:
Las deformaciones δAC y δCB de las dos porciones de la barra se expresan respectivamente como:
Puede así verificarse que, mientras que la suma de las dos deformaciones es cero, ninguna
de ellas es cero.

2.17.- AUTOEVALUACIÓN.
Instrucciones:
 Lea con cuidado y despacio cada pregunta. Si no ha entendido algo, no se apresure en el proceso, consulte la teoría
correspondiente.
 Esta herramienta para autoevaluación, está diseñada para ayudarle a evaluar sus conocimientos sobre el presente tema, por lo
tanto cuando esté considerando las preguntas, contéstelas basándose en los fundamentos teóricos.
 No conteste basándose en falsos supuestos teóricos
 Cada tema es progresivo, es decir, irá avanzando y aprovechando lo que aprendió del tema anterior.
 Por último, saque sus propias conclusiones de manera reflexiva de lo aprendido y cómo lo podrá aplicar estos conocimientos en
el campo laboral.
1.- Explique con claridad la relación entre el esfuerzo y la deformación.
2.- Dos alambres tienen la misma longitud y área en sección transversal, pero no son del mismo material.
Ambos alambres cuelgan del techo y tienen atado un peso de 2000lb cada uno. El alambre se estira dos
veces más que el de la derecha. ¿Cuál de ellos tiene mayor Modulo de Young?.
3.- ¿Depende el modulo de Young de la longitud y del área de la sección? Explique su respuesta.
4.- Dos alambres, A y B, son del mismo material y están sometidos a las mismas cargas. Comente cuáles
serán sus alargamientos relativos cuando: a) El alambre A tiene el doble de longitud y de diámetro que el
alambre B y b) El alambre A tiene el doble de longitud que el alambre B y su diámetro es igual a la mitad del
diámetro del alambre B.
5.- Una masa de 200 kg está sostenida de manera uniforme por tres alambres, uno de cobre, uno de
aluminio y uno de acero. Si los alambres tienen las mismas dimensiones, ¿a cuál de ellos corresponde el
mayor esfuerzo y a cual al menor?. ¿Cuál de ellos sufre la mayor deformación y cual la menor?
6.- Mencione varios ejemplos prácticos de esfuerzos axiales, cortantes y de aplastamiento.
2.18.- RESUMEN DE ECUACIONES.
LA DEFORMACIÓN UNITARIA: Є
δ
LEY DE HOOKE (axial): σ Є
DEFORMACION TOTAL AXIAL: δ
σ
LA DEFORMACIÓN ANGULAR MEDIA (distorsión):
γ
δ
LEY DE HOOKE (cortante): γ
DEFORMACIÓN TANGENCIAL TOTAL:
δ
FACTOR DE SEGURIDAD:
σ
σ
σ
σ
DEFORMACIÓN TÉRMICA: δT =α.L. (∆T)
Donde:
σ: Esfuerzo axial. (Pa), (ksi).
P: Carga axial aplicada. (N), (lbf).
E: Modulo de elasticidad. (Pa), (ksi).
A: Área de la sección transversal. (m
2
), (in
2
).
Є: Deformación unitaria normal. (pulg/pulg), (m/m).
δ: Deformación total. (pulg), (m).
L: Longitud original. (pulg), (m).
: Deformación tangencial. (m), (in).
V: Fuerza cortante o tangencial. (N), (lbf).
: Área de corte o tangencial. (m
2
), (in
2
).
: Factor de seguridad. (adimensional)
: Esfuerzo a corte. (Pa), (ksi).
G: Módulo de elasticidad de corte llamado a veces modulo de
rigidez.(Pa), (ksi).
: Distorsión. (rad).
σ Esfuerzo de fluencia. (Pa), (ksi).
σ : Esfuerzo último. (Pa), (ksi).
σ Esfuerzo de trabajo. (Pa), (ksi).
∆T: Variación de temperatura en (°C).
δT: Deformación térmica lineal en (m).
α: Coeficiente de dilatación lineal en (°C
)-1

2.19.- EJERCICIOS PROPUESTOS.
201.- Una varilla de acero de 2.2 m de longitud no debe estirarse más de 1.2 mm cuando se le aplica una
carga de 8.5 kN. Sabiendo que , determine: a) el diámetro mínimo de varilla que debería
usarse, b) el esfuerzo normal correspondiente causado por la carga.
Resp. a) 9.96 mm. b) 109.1 MPa.
202.- Un alambre de acero de ¼ in de diámetro y 4.8 ft de largo se sujeta a una carga der tensión de 750
lb. Sabiendo que , determine a) el alargamiento del alambre, b) el esfuerzo normal
correspondiente.
203.- Dos marcas de calibración se colocan a una separación exacta de 10 in en una varilla de aluminio con
y una resistencia ultima de 16 ksi. Sabiendo que la distancia entre las marcas de
calibración es de 10.009 in después de que se aplica una carga, encuentre a) el esfuerzo en la varilla, b) el
factor de seguridad.
Resp. a) 9.09 ksi. b) 1.760
204.- Una varilla de control de latón amarillo no debe estirarse más de 3mm cuando la tensión en el
alambre es de 4 kN. Sabiendo que y que el máximo esfuerzo normal permisible es de 180
MPa, determine a) el diámetro mínimo que puede seleccionarse para la varilla, b) la longitud máxima
correspondiente para la varilla.
205.- Un alambre de acero de 6 mm de diámetro y 9 m de longitud será empleado en un colgador. Se
observa que el alambre se estira 18 mm cuando se le aplica una fuerza P de tensión. Sabiendo que
, calcule a) la magnitud de la fuerza P, b) el esfuerzo normal correspondiente en el alambre.
Resp. a) 11.31 kN. b) 400 MPa
206.- Una tubería de aluminio de 4.5 ft no debe estirarse mas de 0.05 in cuando se somete a una carga de
tensión. Sabiendo que y que el esfuerzo permisible a tensión es de 14 ksi, determine a)
la longitud máxima permisible de la tubería, b) el area requerida por la tubería si la carga de tensión es de
127.5 kips.
207.- Un hilo de nylon se somete a una fuerza de tensión de 8.5 N. Sabiendo que y que la
longitud del hilo aumenta 1.1 %, halle a) el diámetro del hilo, b) el esfuerzo en el hilo.
Resp. a) 0.546 mm. b) 36.3 MPa
208.- Un tubo de hierro colado se emplea para soportar una carga a compresión. Sabiendo que
y que el máximo cambio permisible en longitud es de 0.025 %, encuentre a) el esfuerzo
normal máximo en el tubo, b) el espesor mínimo de pared para una carga de 1600 lb si el diámetro
exterior del tubo es de 2.0 in.
209.- Un bloque de 10 in de longitud y de 1.8 in x 1.6 in de sección transversal debe soportar una carga
centrada a compresión P. El material que se empleará es un bronce para el que . Calcule
la carga máxima que puede aplicarse, sabiendo que el esfuerzo normal no debe exceder 18 ksi y que el
decremento en longitud del bloque debe ser, cuando mucho, de 0.12% de su longitud original.
Resp. 48.4 kips

210.- Una varilla de aluminio de ¼ plg de diámetro y 25 pies de longitud trasmite una fuerza de tensión.
Determinar la fuerza máxima P que puede aplicarse. El esfuerzo permisible es de 10 000 lb/ pulg2
y la
elongación permisible es de ⅛ pulg.
211.- Una pieza de una maquina de acero de una maquina tiene 0.6 m de longitud y esta sujeta a una carga
de compresión axial de 130 kN. El esfuerzo de compresión permisible es de 82 Mpa y la deformación
permisible a compresión es de 0.25 mm. Determinar el área de acero necesaria.
Resp. A = 1.92pulg2
.
212.- Una barra de acero de 10 pies de longitud esta sujeta a una carga axial de tensión de 30 klb. El
esfuerzo admisible es de 18 klb/pulg2
y el alargamiento admisible es de a.0625 pulg. Determinar el área de
la sección trasversal necesaria.
213.- Una varilla circular de laton de 2 m de longitud transmite una fuerza de tensión de 22 kN. El esfuerzo
admisible de tensión es de 80 Mpa y el alargamiento admisible es de 0.5 mm. Diseñar la varilla. Supóngase
que se dispone de varillas con incremento de diámetros de 5 mm.
214.-Un cilindro pequeño, hueco, de hierro fundido, tiene un diámetro exterior de 150 mm y soporta una
fuerza de compresión de 900 kN. El esfuerzo admisible es de 80 Mpa. Determinar el diámetro interior
máximo admisible.
Resp. Di = 90.4 mm
215.-El pasador de acero B de la conexión mostrada en la figura tiene un área de su sección transversal de
500 x 10-6 m2. El esfuerzo cortante que se presenta en el pasador cuando la conexión esta cargada
axialmente a tensión es de 130 MPA. Encontrar la deformación unitaria en la barra de acero A. El área de la
sección transversal es de 25 x 10-6 m2 y E = 200 GPa.
Figura P-215
216.-Una barra horizontal de 10 pies de longitud, que pesa 400 lb está soportada en los extremos mediante
un alambre de latón de 4 pies de longitud y mediante un alambre de aluminio de 3 pies de longitud. Se
coloca una carga P = 10 000 lb a 3 pies del alambre de latón como se muestra en la figura. Determinar a)
el área necesaria para el alambre de latón, si el esfuerzo admisible en el latón es de 8 000 lb/plg2, b) el área
necesaria para el alambre de aluminio, si la barra debe permanecer horizontal después de cargarla.
Figura P-216

217.-Una barra de acero de 0.50 m de longitud y 200 x 10-6 m2 de área esta unida a una barra de latón de
0.80 m de longitud y 600 x 10-6 m2 de área, como se muestra en la figura. Para una carga aplicada P = 18
kN, determinar a) el esfuerzo unitario en cada barra, b) el alargamiento total en el sistema, c) la
deformación unitaria en cada barra.
Figura P-217
218.- Determinar la carga máxima P que puede aplicarse a las barras descritas en el problema anterior. El
esfuerzo admisible en el acero es de 124 MPa, el esfuerzo admisible en el latón es de 70 Mpa, y la
deformación total admisible en el sistema es de 0.5 mm.
Resp. P = 19.400 N
219.- Una columna de madera de sección 250 x 250 mm se refuerza mediante placas de acero de 250 mm
de ancho y espesor t, en sus cuatro caras laterales. Determinar el espesor de las placas de manera que el
conjunto pueda soportar una carga axial de 1200 kN sin que se excedan los esfuerzos admisibles de 8
MN/m2 en la madera y de 140 MN/m2 en el acero. Los módulos elásticos son Em = 10 x 103 MN/m2 y Ea
= 200 x 103 MN/m2.
220.- Una columna de concreto armado de 250 mm de diámetro se diseña para soportar una fuerza axial de
compresión de 400 kN. Si el esfuerzo admisible en el concreto es de 6 Mpa y en el acero de 120 Mpa,
determinar la sección de refuerzo de acero que se necesitará. Ec = 14 GPa y Ea = 200 GPa.
Resp. 1320 mm2
.
221.- Un bloque completamente rígido de masa M se apoya en tres varillas situadas en un mismo plano,
como indica la figura. las varillas de cobre tienen una sección de 900 mm2, E = 120 GPa, y esfuerzo
admisible de 70 Mpa. La varilla de acero tiene una sección de 1200 mm2, E = 200 GPa, y el esfuerzo
admisible es 140 Mpa. Calcular el máximo valor de M.
Figura P-221
Resp. M = 22.3 x 103 kg
222.-En el problema anterior, ¿qué variación ha de tener la longitud de la varilla de acero para que las tres
varillas trabajen a su máximo esfuerzo admisible?

223.-Los extremos inferiores de las barras de la figura están en el mismo nivel antes de colgar de ellas un
bloque rígido de masa 18 Mg. Las barras de acero tienen una sección de 600 mm2 y E = 200 GN/m2. La
barra de bronce tiene una sección de 900 mm2 y E = 83 GN/m2. Determinar el esfuerzo en las tres barras.
Figura P-223
Resp. σa = 124 MPa ; σb = 32.0 MPA
224.- Tres barras de acero, de secciones iguales de 100 x 25 mm, han de unirse mediante pasadores rígidos
de 20 mm de diámetro que las atravesarán por unos orificios realizados en los extremos de las barras. La
distancia entre centros de orificios es de 10 m en las dos barras laterales o exteriores, pero es 1.25 mm mas
corta en la barra central. Determinar el esfuerzo cortante en los pasadores despreciando la deformación
local en los orificios.
Resp. τ = 66.2 Mpa
225.- La plataforma rígida de la figura tiene masa despreciable y descansa sobre dos barras de aluminio,
cada una de 250.00 mm de longitud. La barra central es de acero y tiene una longitud de 249.90 mm.
Calcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que la carga central P de 400 kN se haya aplicado. Cada
barra de aluminio tiene un área de 120 mm2 y un modulo E de 70 GPa. La barra de acero tiene un área de
2400 mm2 y un modulo E de 200 GPa.
Figura P-225
226.-Una varilla de acero anclada entre dos muros rígidos queda sometida a una tensión de 5 000 N a 20ºC.
si el esfuerzo admisible es de 130 MN/m2, hallar el diámetro mínimo de la varilla para que no se sobrepase
aquél al descender la temperatura hasta -20ºC. Suponga α = 11.7 µm/ (m. ºC) y E = 200 GPa.
227.-Una llanta de acero de 10 mm de espesor y 75 mm de ancho se coloca sobre una rueda motriz de
locomotora, de 1.8 m de diámetro, calentándola a 90ºC, temperatura a la cual encaja perfectamente sobre
la rueda, que esta a 20ºC. determinar la presión de contacto entre ambas ruedas al descender la
temperatura común a 20ºC. Despreciar la deformación de la rueda producida por la presión de contacto α =
11.7 µm/ (m .ºC) y E = 200 x 109 N/m2.

228.- Un aro de bronce de 20 mm de espesor cuyo diámetro interior es de 600 mm se coloca perfectamente
ajustado sobre otro de acero de 15 mm de espesor, a una temperatura común de 130ºC. El ancho, igual
para los dos, es de 100 mm. Determinar la presión de contacto entre ambos aros cuando la temperatura
descienda hasta 20o
C. Despreciar el hecho de que el aro interior pueda abollarse por pandeo. Ea = 200 GPa
y α = 19 µm/ (m. o
C); Eb = 83 GPa y α = 19 µm/ (m. o
C).
Resp. σ = 2.86 MN/m2
229.- A una temperatura de 20ºC se coloca una plancha rígida que tiene una masa de 55 Mg sobre dos
varillas de bronce y una de acero, como se indica en la figura. ¿A qué temperatura quedara descargada la
varilla de acero?
Datos: Acero: A = 6000 mm2, E = 200 x 109 N/m2 y α = 11.7 µm/ (m.ºC)
Bronce (cada una): A = 6000 mm2, E = 83 x 109 N/m2 y α = 19.0 µm/ (m. ºC)
Figura P-229
Resp. T = 129o
C
230.- A una temperatura de 20ºC hay un claro ∆ = 0.2 mm entre el extremo inferior de la barra de bronce y
la losa rígida suspendida de las barras de acero, según se muestra en la figura. Despreciando la masa de la
losa, determine el esfuerzo en cada barra cuando la temperatura del conjunto se eleva a 100ºC. Para la
barra de bronce, A = 600 mm2, E = 83 x 109 N/m2 y α = 18.9 µm/ (m. ºC). Para cada barra de acero, A = 400
mm2, E = 200 x 109 N/m2 y α = 11.7 µm/ (m. ºC).
Figura P-230

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