Elasticidad

ELASTICIDAD DE
MATERIALES SÓLIDOS
σσ == εε . E. E
Ms. JOEL HERRADDA VILLANUEVA
σσ == εε ..
GG

ELASTICIDAD DE
MATERIALES SÓLIDOS
SÓLIDO:
Porción de materia cuyas distancias intermoleculares
permanecen constantes en el tiempo, siempre que no
estén sometidos a fuerzas externas cuyas intensidades
pueden estar deformando al sólido
SÓLIDO RÍGIDO:
Porción de materia cuyas distancias intermoleculares
permanecen constantes en el tiempo, aún cuando estén
sometidos a fuerzas externas

ELASTICIDAD Y DEFORMACIÓN
Elasticidad: es una propiedad que tienen los
materiales en su comportamiento estructural, se
manifiesta mediante cambios en sus dimensiones al ser
sometidos a efectos deformadores, de tal modo que al
desaparecer éstos, el material recupera completamente
sus dimensiones iniciales.
Deformación: es el cambio relativo en las
dimensiones de un cuerpo como resultado de la acción
de agentes deformadores. La deformación puede ser
ELÁSTICA O PLÁSTICA.

ELASTICIDAD
Conceptos Básicos
Ley de Hooke
Esfuerzo y deformación
Deformaciones axiales
Módulo elástico (de Young)
Módulo de Rigidez
Esfuerzos de Tensión, Compresión y de Corte
Curva Esfuerzo vs. Deformación Unitaria
Deformaciones transversales. Coeficiente de
Poisson

Concepto: Esfuerzo
Corte
Los cuerpos sólidos responden de distinta forma cuando se los somete
a fuerzas externas. El tipo de respuesta del material dependerá de la
forma en que se aplica dicha fuerza (tracción, compresión, corte o
cizalladura, flexión y torsión).
Independientemente de la forma en que se aplica la fuerza, el
comportamiento mecánico del material se describe mediante tres tipos
de esfuerzos: tracción, compresión y corte.

Concepto: Deformación
Corte
Es el cambio del tamaño o forma de un cuerpo debido a los esfuerzos
producidos por una o más fuerzas aplicadas (o también por la
ocurrencia de la dilatación térmica).
Independientemente de la forma en que se aplica la fuerza, el
comportamiento mecánico del material se describe mediante tres tipos
de deformaciones: tracción, compresión y corte.

Estado de Tensiones y Deformaciones
• El estado de tensiones de un
elemento de volumen se describe
mediante tres tipos de esfuerzos:
tracción, compresión y corte.
• El estado de deformaciones de
un elemento de volumen se
describe mediante tres tipos de
deformaciones: tracción,
compresión y corte.
Por más compleja que sea la solicitación de un material:

Esfuerzo de tensión
Esfuerzo
Relación de la fuerza perpendicular aplicada
a un objeto dividida para su área transversal.
Unidad de medida: unidades de fuerza/unidades
de área; Pascal (Pa), megapascal (MPa)
0A
F
=σ
F F
A

• Normal (Axial) : la carga es perpendicular a la sección
transversal del material
- Tension : los extremos del material son estirados hacia afuera
para alargar al objeto, la carga es conocida como fuerza de
tensión.
- Compresión : Los extremos del material som empujados para
hacer al material más pequeño, la carga es llamada una
fuerza de compresión.
Tensión
Compresión
Clasificación de esfuerzos

• Esfuerzo cortante : carga Tangencial
Clasificación
estirando
Presión
Carga

Esfuerzo.
Esfuerzo longitudinal
Esfuerzo cortante
F F F F
A
σ = F/A
F
F/2
F/2
F
F/2
F/2
A
τ = F/(2A)

deformación
Deformación
La relación del cambio
de longitud debida al
esfuerzo para la
longitud original del
objeto.
Es una cantidad
adimensional
oL
e
ε =
oo
oi
l
l
l
ll ∆
=
−
=ε
oLLe −=
Elongación
e
L
Lo
F F

Esfuerzo tensionante y
deformación

Máquina hidraulica Baldwin para pruebas de Tension & Compresion

Diagrama Esfuerzo-Deformación
deformación (e/Lo)
4
1
2
3
5
Esfuerzo(F/A)
Región
Elastica
Región
Plástica
Ruptura
ultima
Fuerza
de
Tensión
pendiente=E
Region Elastica
pendiente= Módulo de Young
Región Plastica
ultima fuerza de tensión
fractura
Deformación
permanente
Esfuerzo
máximo
UTSσ
yσ
εEσ =
ε
σ
E =
12
y
εε
σ
E
−
=

Esfuerzo cortante y deformación
El esfuerzo cortante es usado en aquellos
casos donde se aplican fuerzas puramente
torsionantes a un objeto y se denota por el
simbolo τ.
La fórmula de calculo y las unidades permanecen
iguales como en el caso de esfuerzo de tensión.
Se diferencia del esfuerzo de tensión sólo en la
dirección de la fuerza aplicada(paralela para cortante
y perpendicular para tensión)

Esfuerzo cortante
Deformación de corte o cizalladura (γ) es
definida como la tangente del ángulo θ, y,
en esencia, determina que extensión del
plano fue desplazado.

Relación Esfuerzo-Deformación
Ley de Hooke
Para materiales sometidos a esfuerzos
tensionantes, a relativamente bajo niveles,
esfuerzo y deformación son proporcionales
La constante E es conocida como el módulo
de elasticidad, o módulo de Young.
Es medida: unidades de fuerza/unidades de área
(en MPa y puede valer de ~4.5x104
a 40x107
Mpa)
ε=σ E

Esfuerzo y Deformación en Cortante
Esfuerzo cortante y la deformación se
relacionan de manera similar, pero con
una constante de proporcionalidad
diferente
La constante G es conocida como el módulo
de corte y relaciona el esfuerzo cortante en la
region elastica.
γτ G=

Coeficiente de Poisson
Cuando un cuerpo es colocado bajo un
esfuerzo tensionante, se crea una deformación
acompañante en la misma dirección.
Como resultado de esta elongación, habrá
constricciones en las otras dos direcciones.
El coeficiente de Poisson ν, es la relación de las
deformaciones lateral o transversal con la axial.
longit
transv
z
y
z
x
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ν −=−=−=

Coeficiente de Poisson
Teoricamente, los materiales isotropicos
tienen un valor de coeficiente de Poisson
de 0,25.
El maximo valor de ν es 0,5
no hay cambio de volumen durante el proceso.
La mayoría de metales presentan valores entre
0,25 y 0,35
Se usa ademas para relacionar los
módulos elástico y de corte
)1(2 ν+= GE

Deformación
La deformación elástica está alrededor de
los 0,005.
Después de este punto, ocurre la deformación
plástica (no recuperable), y la ley de Hooke no
es válida.

FORMA GENERAL DE LA
LEY DE HOOKE
Hemos visto la Ley de Hooke de la forma:
En el caso mas general cuando un elemento
está sometido a tres tensiones normales
perpendiculares entre sí acompañadas
de tres deformaciones respectivamente.
ε=σ E
zyx εεε ,,

Superponiendo las componentes de la deformación originada
por la contracción lateral debido al efecto de Poisson
(deformación lateral) a las deformaciones directas,
obtenemos la expresión general de la Ley de Hooke:

Elasticidad
Después de liberar una carga sometida, el objeto
recupera su forma original.
Durante este proceso, la curva traza una línea recta
de elasticidad
Paralela a la porción elástica de la curva

Ejemplo
Una barra de acero uniforme está suspendida verticalmente y
soporta una carga de 2 500 kg en su extremo inferior como se indica
en la figura. Si la sección recta de la barra es 6 cm², el módulo de
elasticidad E=2,1x106
kg/cm2
. Determinar
el alargamiento total de la barra.
DSL
R=5 000 kg
La barra está afectada en
tres porciones: superior,
media e inferior; la
deformación de cada
porción se calcula con la
relación:
AE
FL
L =∆
Solución

Las tres porciones de la barra se alargan, entonces el alargamiento
total es:
imsT LLLL ∆+∆+∆=∆
)/101,2(6
)25(2500)50(4000)75(5000
262
cmkgxcm
cmkgcmkgcmkg
TL ++
=∆
cmLT 0506,0=∆

Ejemplo
Dos barras prismáticas están unidas rígidamente y soportan una
carga de 5 000 kg como se indica en la figura. La barra superior es
de acero con una densidad de 0,0078 kg/cm³,
una longitud de 10 m y una sección recta de
60 cm². La barra inferior es de bronce de
densidad 0,0080 kg/cm³, una longitud de 6 m
y una sección de 50 cm². Para el acero
E=2,1x106
kg/cm2
y para el bronce E=9x105
kg/cm2
. Determinar los esfuerzos máximos en
cada material.
Solución:
Se debe calcular primero el peso de cada parte
de la barra.
Peso = (peso específico)(volumen)

El peso de la barra de bronce es:
Wb=0,008 kg/cm³(50 cm²)(600 cm)=240 kg
El peso de la barra de acero es:
Wa=0,0078 kg/cm³(60 cm²)(1000 cm)=468 kg
El máximo esfuerzo en la barra de bronce ocurre inmediatamente
debajo de la sección BB.
2
2
/105
50
)2405000(
cmkg
cm
kg
b =
+
=σ
El máximo esfuerzo en la barra de acero tendrá lugar inmediatamente
por debajo de la sección AA.
2
2
/95
60
)4682405000(
cmkg
cm
kg
a =
++
=σ

Ejemplo 2.
- Una grua esta alzando un objecto de 20,000 N.
- Caracteristicas del cable
diámetro=1.0 m, longitud previa al alzado =50 m
)785.0)(0.5r(A
a478,25
785.0
000,20
222
2
mm
P
m
N
A
F
===
===
ππ
σ
1) ¡Esfuerzo Normal en el cable?
2) ¿Deformación?
000728.0
a1035
a478,25
6
=
×
==
P
P
E
σ
ε
Pa1035
Pa000,70
Pa000,60
6
UT
×=
=
=
E
y
σ
σ

Ejemplo 3
F = 30.0 kg * 9.81 m/s2
= 294 N
A = (π /4)*(5.00mm)2
= 19.6 mm^2
σ = F/A
= 294 N / 19.6 mm2
= 15.0 N/mm2
= 1.5 x 107
Pa
= 15 MPa
2.50 m
30.0 kg
5.00 mm

Ejemplo 4
σ = 15.0 MPa
ε = σ/E
= 15.0 MPa/210000 MPa
= 7.14 x 10^-5 mm/mm
= 0.0000714 mm/mm
= 0.0000714 m/m
∆L = εL
= (0.0000714 m/m) * 2.50 m
= 0.000178 m
= 0.178 mmE = 21 x 10^4 MPa
(varilla de acero)
2.50 m
30.0 kg
5.00 mm

Ejemplo 5
Una barra de 10 mm de diámetro de un acero al carbono 1040 (E =
200 x 109
Pa) es sometida a una carga de tracción de 50 000 N.
Calcule la recuperación elástica que tendría lugar tras retirar la carga
de tracción.
Datos:Datos: E = 200 x 109
Pa; φo= 10 mm; T = 50 000 N
Fórmulas:Fórmulas: σ = F/A; ε= σ/E
Desarrollo:Desarrollo:
σ = F/A = 50 000N/ (π(5x10-3
m)2
)= 6.37 x 106
N/m2
= 6.37 MPa
ε= σ/E = 6.37 x106
Pa/(200x 109
Pa) = 3.18 x 10 -3
TT

Ejemplo 6
Una barra de 10 mm de diámetro de un aluminio (E = 70 x 109
Pa) es
sometida a una carga de tracción de 6 kN. a) Calcule el diámetro final
de la barra. b) calcule de diámetro final de la barra si se somete a una
carga de compresión de 6 kN. Relación de Poisson υ = 0.33.
Pa; φo= 10 mm; T = 6 kN
Fórmulas:Fórmulas: σ = F/A; ε= σ/E; ε= (df – do)/do
a)a) σ = F/A = 6 000N/ (π(5x10-3
m)2
)= 76.4 x 106
N/m2
= 76.4 MPa
ε= σ/E = 76.4 x106
Pa/(70x 109
Pa) = 1.09 x 10 -3
εφ= –υεz= – 0.33(1.09 x 10-3
) = – 3.6 x 10 -4
.
εφ = (df – do)/do⇒ df= do(εφ +1)=10mm( -3.6 x 10-3
+1)= 9.9964 mm
b)b) εφ= + 3.6 x 10-4
df= do(εφ +1)=10mm( +3.6 x 10-3
+1)= 10.0036 mm

Ejemplo 7
Una barra de 10 mm de diámetro de un acero al carbono 1040 (E =
200 x 109
Pa) es sometida a una carga de tracción de 50 000 N.
Calcule la recuperación elástica que tendría lugar tras retirar la carga
de tracción.
Pa; φo= 10 mm; T = 50 000 N
Fórmulas:Fórmulas: σ = F/A; ε= σ/E
σ = F/A = 50 000N/ (π(5x10-3
m)2
)= 6.37 x 106
N/m2
= 6.37 MPa
ε= σ/E = 6.37 x106
Pa/(200x 109
Pa) = 3.18 x 10 -3
T T

Ejemplo 8
Una pelota de 15 kg y de 4 cm de radio está suspendida de un punto localizado a
2.94 m sobre el piso por medio de un alambre de hierro cuya longitud es de 2.85 m
y de diámetro de 0.090 cm, siendo su módulo de Young de 180 GPa. Si la pelota se
pone a oscilar de tal manera que su centro pase por el punto más bajo de su
trayectoria a 5 m/s, ¿a qué distancia del piso pasará la pelota?
Datos:Datos: Alambre E= 180 GPa, φ= 0.09 cm, Lo = 2.85 m
pelota m= 15 kg, r = 4 cm; Altura del piso = 2.94 m.
Fórmulas:Fórmulas: Fc= T – mg ⇒ T = Fc+mg = mg + mv2
/R
R = Lo+r+∆L = 2.85+0.04 + ∆L= 2.89 + ∆L ∴ ∆L ≅0
RR
σ= Eε= E ∆L/L ⇒ ∆L= Lo σ/E= LoT/EA
⇒ T= 15(9.81+52
/2.89) =277 N
⇒ ∆L= (277x2.85)/(πx(4.5x10-4
)2
x(180x 109
)= 6.9x10-3
m
⇒ ∆h = 2.94-(2.85+0.08+6.9x10-3
)=0.0031 m
∆∆hh

Ejemplo 9
Un alambre vertical de 5 m de largo y 0.0088 cm2
de área de sección transversal,
tiene un módulo de Young E=200 GPa. Un objeto de 2 kg se sujeta a su extremo y
alarga el alambre elásticamente. Si ahora se tira de objeto hacia abajo un poco y se
suelta, el objeto experimentará un MAS vertical. Encuentre el periodo de
vibración.
Datos:Datos: alambre Lo= 5 m, A= 0.088 cm2
, E = 200GPa.; masa m= 2 kg
Formulas:Formulas: Ley de Hooke F = k.∆L ⇒k= F/ ∆L y σ= Eε⇒ F/A =E (∆L /L)
⇒k= AE/Lo= (8.8x10-7
m2
)(2x1011
Pa)/(5 m) = 35 kN/m
⇒ T= 2π (m/k)½
= 2π(2/35000) ½
= 0.047 s

Ejemplo 10
La placa de acero que se muestra en la figura tiene 12 mm de espesor, su
ancho varía uniformemente desde 50 mm en el lado izquierdo hasta 100mm
en el lado derecho, la longitud de la placa es de 450 mm. Si se aplica en
cada extremo una fuerza axial de tracción de 5 000 kg, determinar el
alargamiento de la placa. Considerar el módulo de elasticidad del acero 26
/101,2 mkgxE =

Solución:
Datos: carga aplicada P= 5 000 kg (tracción), espesor e= 12 mm,
longitud L=450 mm, ancho menor 50 mm, ancho mayor 100 mm
Fórmula:
Solución: teniendo en cuenta la fórmula dada y expresándola en
forma diferencial se tendrá: , entonces;
Luego: para expresar de forma explícita la integral anterior y
poderla integrar debemos expresar el área del elemento diferencial
en función de la variable x, entonces, si “e” es el espesor “y” la
altura, el área del elemento diferencial será: A=ey=
Donde “a” es el ancho menor y A el ancho mayor, simplificando y
reemplazando en la expresión integral tenemos:
AE
PL
L =∆
)()(
AE
PL
dLd =∆ )()(
0
∫ ∫=∆=∆
L
AE
PL
dLdL
])
2
(2
2
)[(
L
xaAa
e
−
+
∫
−+
=∆
L
e
L
x
aA
a
E
Pdx
L
0 ])(
2
[

Reemplazando los datos queda: la misma que
integrando ( ) y reemplazando valores
resulta: ∆L=0,0124 cm.
Resultado: el alargamiento de la placa por acción de las cargas
de tracción es: ∆L=0,0124 cm.
∫ +
=∆
45
0
45
9
x
dx
Ee
P
L
Cbxa
bbxa
dx
++=
+∫ )ln(
1
∆L=0,0124 cm

Módulo de Corte: G ó SMódulo de Corte: G ó S
Esfuerzo cortante = Fuerza tangencial/ área que se
corta
σS = Ft/A
Deformación cortante = distancia que se corta/distancia entre las superficies
εS=∆x/h
σS = G εS

Ejemplo 10
Una barra de acero (G = 12 x 106
lb/plg2
) de una pulgada de diámetro sobresale 1.5
pulgadas fuera de la pared. Si en el extremo de la barra se aplica un esfuerzo
cortante de 8000 libras, calcular la deflexión hacia abajo.
Datos:Datos: F= 8000 lb, φ = 1 plg, l = 1.5 plg
Formula:Formula: G = (F/A)/(d/l)⇒ d=Fl/AG
d = [(8000lb)(1.5 plg)]/[(π(1plg)2
x12x106
lb/plg2
]
d = 1.27 x 10-3 plg.

Ejemplo 11
Una gelatina con forma de caja tiene un área en su base de 15 cm2
y una altura de 3
cm. Cuando se aplica una fuerza cortante de 0.5 N en la cara superior, ésta se
desplaza 4 mm en relación a la cara inferior. ¿ Cuáles son el esfuerzo cortante, la
deformación al corte y el módulo de corte para la gelatina?
Datos:Datos: F= 0.5 N, A= 15 cm2
, h = 3 cm, ∆x= 4 mm
Formulas:Formulas: τ = Ft/A ; γ=εS=∆x/h; G = τ /εS
τ=σS = 0.5 N/(15 x 10 -4
m2
)= 0.33 kPa
γ=εS= 0.4 cm/0.3 cm = 0.13
G = 330 Pa/0.13 = 2.5 kPa

Ejemplo 12
En la figura se muestra un punzón para perforar placas de acero, suponga que se usa
un punzón con diámetro de 0.75 plg para perforar un agujero en una placa de ¼
plg como muestra la vista de perfil. Si se requiere una fuerza P = 28000 lb ¿cuál es
el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio en
el punzón?
Datos:Datos: d= 0.75 plg, P= 28000 lb, t = ¼ plg
Formula:Formula: AS= 2πrt= πdt = π(0.75 plg)(0.25 plg)= 0.589 plg2
σS = P/AS= 28000lb/0.589 plg2
= 47500 lb/plg2
σC = P/AC= P/(πd2
/4)= 28000lb/ (π(0.75 plg)2
/4)= 63400 lb/plg2

Módulo volumétrico: elasticidad de volumenMódulo volumétrico: elasticidad de volumen
B = esfuerzo de volumen/deformación de volumen
B = - (∆F/A)/ (∆V/V)
B = - ∆P/ (∆V/V)

Ejemplo 13
Una esfera sólida de latón cuyo módulo volumétrico es B,( B = 6.1 x 1010
N/m2
)
inicialmente está rodeada de aire, y la presión del aire ejercida sobre ella es
igual a 1 x 105 N/m2
(Presión atmosférica). La esfera se sumerge en el océano a
una profundidad a la cual la presión es 2 x 107
N/m2
. EL volumen de la esfera
en el aire es de 0.5 m3
. ¿ En cuánto cambiará este volumen una vez que la esfera
este sumergida?
B = - ∆P/ (∆V/V) ⇒ ∆V= - ∆P V/B = - (2 x 10 7
N/m2
)(0.5 m3
)/ (6.1x 10 10
N/m2
)
⇒ ∆V= -1.6 x 10 -4
m3

Ejemplo 14
El módulo volumétrico para el agua es 2.1 GPa. Calcule la contracción volumétrica
de 100 ml de agua cuando se someten a una presión de 1.5 MPa.
B = - ∆P/ (∆V/V) ⇒ ∆V= - ∆P V/B = - (1.5 x 10 6
N/m2
)(100 ml)/ (2.1x 10 9
N/m2
)
⇒ ∆V= -0.071 ml

SISTEMAS HIPERESTÁTICOS O ESTÁTICAMENTE
INDETERMINADOS
Un sistema se dice que es hiperestático cuando las fuerzas que
actúan sobre un cuerpo no pueden determinarse solo por las
ecuaciones de la estática, porque hay mas fuerzas desconocidas que
ecuaciones de equilibrio.
Para solucionar los sistemas hiperestáticos es necesario
suplementar las ecuaciones del equilibrio con ecuaciones de las
deformaciones; esto es, debemos disponer de n ecuaciones
independientes para hallar los valores de n incógnitas.
En los ejemplos siguientes se ilustra la forma de solucionar
problemas hiperestáticos o estáticamente indeterminados. Los
sistemas anteriormente estudiados, se denominan sistemas
Isostáticos o estáticamente determinados.

Ejemplo
Una barra de sección recta cuadrada de 5 cm de lado, está sujeta
rígidamente entre dos muros indeformables y cargada con una
fuerza axial de 20 000 kg como se ve en la figura. Determinar las
reacciones en los extremos de la barra y el alargamiento de la parte
derecha. Considerar E=2,1x106
kg/cm2
DSL de la barra
Ra+Rb=20 000 kg

Como la barra está fija a muros indeformables, entonces la
deformación de la porción izquierda de la barra será igual a la
deformación de la porción derecha; entonces:
di
di
di
RR
x
R
x
R
LL
5,1
)101,2)(25(
)15(
)101,2)(25(
)10(
66
=
=
∆=∆
Entonces:
)/101,2)(25(
)15(
262
cmkgxcm
cmR
L d
d =∆
amientoalcmLd arg0023,0 →=∆
kgR
kgR
d
i
8000
12000
=
=
Luego:

Ejemplo:
Considerar la barra AB de la figura, absolutamente rígida y
horizontal antes de aplicar la carga de 20 000 kg, articulada en A y
soportada por la varilla de acero EB y por la varilla de cobre CD.
La longitud de CD es 90 cm y la de EB es 150 cm. Si la sección de
CD es de 5 cm² y la de EB 3 cm², determinar el esfuerzo en cada
varilla vertical y el alargamiento de la de acero. Despreciar el peso
de AB y considerar para el cobre E=1,2x106
kg/cm2
y para el acero
E=2,1x106
kg/cm2

DSL de la barra AB:
0)180(20000)240()120(0
0200000
00
=−+⇒=
=−++⇒=
=⇒=
∑
∑
∑
acCuA
acCuyy
xx
FFM
FFAF
AF
Como se puede ver las ecuaciones del equilibrio del sistema no
son suficientes para solucionar el problema; debemos entonces
suplementar estas ecuaciones con otras provenientes de la
deformación ocurrida en el sistema.

El efecto de la carga aplicada deformará las barras verticales por
lo que la barra AB dejará la posición horizontal y aparecerá
inclinada como el esquema de la figura:
CuAc
CuAc
∆=∆⇒
∆
=
∆
2
120240
Teniendo en cuenta
que:
AE
FL
L =∆
)102,1)(5(
)90(2
)101,2)(3(
)150(
66
x
F
x
F CuAc
=
CuAc FF 26,1=⇒
Resolviendo el sistema
de ecuaciones tenemos: 2
2
/17005800
/360010700
cmkgkgF
cmkgkgF
CuCu
AcAc
=⇒=
=⇒=
σ
σ

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