2. Barra rectangular colgante En el caso de una barra rectangular colgante es un buen ejemplo para la combinación de las ecuaciones que gobiernan la deformación elástica en el marco de condiciones que simplifican el sistema : esfuerzos nulos salvo los verticales. Barra antes de deformarse: Barra deformada por su propio peso (vista en plano): Vista en plano: Esfuerzos laterales nulos Mayores esfuerzos verticales en el tope Desplazamiento vertical esférico Mayores desplazamiento lateral en la base

3. Definición de ejes coordenados Cartesianos Dimensiones antes de deformarse Por la ecuación de equilibrio, 0 y la condición de esfuerzos laterales y de corte nulos, Donde es la aceleración de gravedad El medio es uniforme. Integrando respecto a x 1 y tomando en cuenta la condición de borde X 1 X 2 X 3 a c b

4. Definición de ejes coordenados Cartesianos Dimensiones antes de deformarse Utilizamos la relación esfuerzo - deformación en su forma inversa para un medio elástico isotrópico, El medio es uniforme. Estiramiento vertical Acortamiento horizontal No hay cizalla Todas las deformaciones son mayores en el tope y se anulan en la base X 1 X 2 X 3 a c b

5. Definición de ejes coordenados Cartesianos Dimensiones antes de deformarse Utilizamos la relación deformación – desplazamiento integramos primero los desplazamientos en los ejes X 2 y X 3, El medio es uniforme. Como en el plano central, x 2 =0, no hay desplazamiento lateral perpendicular, u 2 =0, por simetría el termino adicional es nulo, Siguiendo el mismo razonamiento, 0 Dados estos campos de desplazamientos, Y para conservar las deformaciones de corte nulas requerimos X 1 X 2 X 3 a c b

6. Definición de ejes coordenados Cartesianos Dimensiones antes de deformarse En resumen para integrar el desplazamiento en X 1 tenemos las tres derivadas parciales El medio es uniforme. Agrupando términos, Donde la constante es nula para tener desplazamiento vertical cero en el tope del eje central. Integrando, 0 En particular en la base, x 1 = a Es mayor en el centro y crece con el cuadrado de la longitud de la barra X 1 X 2 X 3 a c b

7. La situación de esfuerzos planos Decimos que los esfuerzos son planos o bidimensionales si tenemos, Y además los esfuerzos en el plano X 1 y X 2 son independientes de x 3 Placas delgadas con caras libres de esfuerzo. Desplazamiento vertical nulo Este caso tiene aplicación para una serie de situaciones practicas como Bordes con esfuerzo Esfuerzos independientes de x 3 X 3 Componentes del esfuerzo perpendiculares a X 3

8. Aplicando la relación deformación esfuerzo para medios elásticos e isotrópicos (Ley de Hooke inversa), Estiramiento en el plano X 1 X 2 Acortamiento a lo largo del eje X 3 Sustituyendo los esfuerzos en la cuarta ecuación, Obtenemos la deformación axial como función de las deformaciones orientadas en el plano. Placas delgadas con caras libres de esfuerzo. Bordes con esfuerzo Esfuerzos independientes de x 3 X 3 Componentes del esfuerzo perpendiculares a X 3

9. Las tres componentes de la deformación en el plano están relacionadas por la ecuación de compatibilidad, . Derivando las tres expresiones obtenidas para estas deformaciones y sustituyendo en la ecuación, Es la ecuación de compatibilidad para los esfuerzos planos. Adicionalmente tenemos las ecuaciones de equilibrio para el caso de los esfuerzos planos Estas dos ecuaciones junto a la de compatibilidad son las tres ecuaciones que gobiernan el equilibrio en situación de esfuerzo plano. Estas deben ajustarse a las condiciones de borde para resolver los problemas. 0 Placas delgadas con caras libres de esfuerzo. Bordes con esfuerzo Esfuerzos independientes de x 3 X 3 Componentes del esfuerzo perpendiculares a X 3

10. Las tres componentes de la deformación en el plano están relacionadas por la ecuación de compatibilidad, . Derivando las tres expresiones obtenidas para estas deformaciones y sustituyendo en la ecuación, Es la ecuación de compatibilidad para los esfuerzos planos. Adicionalmente tenemos las ecuaciones de equilibrio para el caso de los esfuerzos planos Estas dos ecuaciones junto a la de compatibilidad son las tres ecuaciones que gobiernan el equilibrio en situación de esfuerzo plano. Estas deben ajustarse a las condiciones de borde para resolver los problemas. 0 Placas delgadas con caras libres de esfuerzo. Bordes con esfuerzo Esfuerzos independientes de x 3 X 3 Componentes del esfuerzo perpendiculares a X 3

11. Las tres ecuaciones juntas son, Es la forma mas usada de la ecuación de compatibilidad para los esfuerzos planos. Donde podemos apreciar el operador Laplaciano en la parte izquierda. Cuando las fuerzas de cuerpo son constantes, Derivando las dos ultimas y sustituyendo en la primera Las ecuaciones de equilibrio se satisfacen escogiendo un potencial de esfuerzos, llamado potencial de Airy, tal que, Quedando unicamente por resolver la ecuación de compatibilidad para el potencial de esfuerzos de Airy, Una sola ecuación que gobierna el equilibrio para esfuerzos planos. Placas delgadas con caras libres de esfuerzo. Bordes con esfuerzo Esfuerzos independientes de x 3 X 3 Componentes del esfuerzo perpendiculares a X 3

12. Torsión de barras cilíndricas X 1 X 2 Vamos a considerar el caso de una barra de sección uniforme y eje en X 3 , que esta sometida a torques externos opuestos en sus extremos. Los extremos no están contenidos de manera que no hay esfuerzos en la dirección X 3 . Rotación uniforme en el plano X 1 X 2 Extremos libres X 3 Adoptamos las siguientes presunciones: 1) Dada la simetría cilíndrica de la pieza los desplazamientos en los planos X 1 X 2 se describen por rotaciones de desplazamiento angular uniforme con x 3 . X 1 X 2 X 2 donde es el desplazamiento angular Esfuerzos de corte aplicados solo en las caras externas per-pendiculares al eje Superficie cilíndrica libre de esfuerzos

13. Rotación uniforme en el plano X 1 X 2 X 1 X 2 Para desplazamientos angulares pequeños u 1 u 2 r Sustituyendo por, formulamos los desplazamientos en el plano X 1 X 2.

14. X 1 X 2 Combeo en dirección X 3 Extremos libres X 3 La segunda presunción es : 2) que puede haber desplazamientos longitudinales en dirección X 3 (efecto de combeo o warping) pero uniformes para cualquier posición x 3 . En síntesis para los desplazamientos, para las deformaciones.

15. X 2 Combeo en dirección X 3 Extremos libres X 3 Podemos calcular los esfuerzos mediante la ley de Hooke generalizada (directa): Diferenciando de manera cruzada la segunda y tercera ecuaciones respecto a x 2 y x 1 y restando obtenemos una ecuación de compatibilidad de los esfuerzos, para la torsión de barras cilíndricas, σ 31 σ 32 σ 13 σ 23 Los cuatro esfuerzos nulos σ 33 σ 12 σ 22 σ 21 σ 22 Los cuatro esfuerzos no nulos

16. X 2 Combeo en dirección X 3 X 3 Adicionalmente, aplicando la ecuacion de equilibrio en direccion X 3 σ 31 σ 32 σ 13 σ 23 Los cuatro esfuerzos nulos σ 33 σ 12 σ 22 σ 21 σ 22 0 0 De donde obtenemos un sistema de dos ecuaciones acopladas para las dos componentes no nulas del esfuerzo Los cuatro esfuerzos no nulos que deben resolverse y ajustarse a las condiciones de borde.

17. La solucion se facilita mediante la introducción de un potencial de esfuerzo, ,llamada función de esfuerzo de Prandtl, donde y sustituyendo en la primera ecuación X 2 Combeo en dirección X 3 X 3 σ 31 σ 32 σ 13 σ 23 Los cuatro esfuerzos nulos σ 33 σ 12 σ 22 σ 21 σ 22 Los cuatro esfuerzos no nulos Mediante la cual se satisface la segunda ecuación del sistema previamente descrito, Tenemos que el potencial de Prandtl debe satisfacer la ecuación de Poisson.

18. X 2 X 3 T j n i Es vector de esfuerzos T j =0 X 1 Las condiciones de borde prescritas indican que 1) sobre las caras externas cilíndricas no se aplican esfuerzos El vector de esfuerzos viene dado por, n 1 n 2 X 2 -n 2 X 1 n i s i n 1 n 1 n 2 Esta condición en términos del vector unitario para un elemento de arco cilíndrico, Lo que indica que el potencial es constante las caras externas del cilindro. Se adopta el valor, en la cara cilíndrica externa.

19. X 2 X 3 T j n i Es vector de esfuerzos T j =0 X 1 La otra condiciona de borde prescritas indica que 2) sobre las caras externas normales al cilindro se aplican solo esfuerzos de corte que producen torque neto. El vector de esfuerzos viene dado por, X 2 X 1 r y el torque total sobre la cara frontal, T j 0 Es la segunda condición de borde sobre el potencial de Prandtl Porque el potencial es nulo en el perímetro externo 0

20. X 1 X 2 Combeo en dirección X 3 Extremos libres X 3 Ejemplo: Caso de sección cilíndrica elíptica Proponemos como función potencial: Sección elíptica a b la cual cumple con la condición del borde cilíndrico externo: aplicando el Laplaciano, Por lo que cumple con la ecuación de Poisson prescrita si, L Aplicando la condición de borde en la cara normal al eje, de donde,

21. Ejemplo: Caso de sección cilíndrica elíptica Momento de la sección elíptica respecto a eje X 2 Sustituyendo tenemos la ecuacion que relaciona el torque y la rata de torsion por unidad de longitud, Integrado para el desplazamiento angular, X 1 X 2 Combeo en dirección X 3 Extremos libres X 3 Sección elíptica a b L recordando, Momento de la sección elíptica respecto a eje X 1 Área de la elipse Podemos rescribir el potencial de esfuerzo en términos del torque,

22. Ejemplo: Caso de sección cilíndrica elíptica Para el desplazamiento longitudinal de combamiento, recordamos que X 1 X 2 Combeo en dirección X 3 Extremos libres X 3 Sección elíptica a b L sustituyendo, Sustituyendo en equaciones precedentes podemos encontrar los desplazamientos, integrando,