Este documento presenta varios ejemplos de variables aleatorias bidimensionales y sus distribuciones de probabilidad conjunta. En el primer ejemplo, se da una tabla con la función de probabilidad conjunta de una variable aleatoria bidimensional y se piden calcular algunas probabilidades. Los ejemplos siguientes muestran cómo construir las tablas de distribución de probabilidad conjunta para diferentes experimentos aleatorios que involucran dos variables. Finalmente, se piden calcular distribuciones marginales a partir de las distribuciones de probabilidad conjunta dadas.

1. Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD ()
Ejemplo 162
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional cuya función de probabilidad conjunta
viene dado en el siguiente cuadro.
X Y 0 1 2 3 4
0 0.01 0.11 0.0 0.10 0.05
1 0.12 0.01 0.12 0.04 0.01
2 0.09 0.08 0.0 0.12 0.03
3 0.01 0.05 0.02 0.0 0.03
Encuentre las siguientes probabilidades:
a) p(0, 3) b) P(X<3, Y = 2) c) P(X > 0, Y ≥ 2)
d) P(X = 2) e) P( Y = 2)
Solución
a) p(0, 3) = P(X = 0, Y = 3) = 0.01
b) P(X<3, Y = 2) es la suma de todas las probabilidades conjuntas cuando la variable X
toma valores X = 0, 1 y 2; mientras que Y toma valores Y = 2; es decir que P(X<3, Y = 2) =
p(0, 2) + p(1, 2) + p(2, 2) = 0.09 + 0.08 + 0.00 = 0.17
c) En este caso es más cómodo usar complementos:
P(X>0, Y ≥ 2) = p(1,2) + p(1,3) + p(2,2) + p(2,3) + p(3,2) +...+ p(4,3) = 0.33
d) P(X = 2) es la probabilidad de que ocurra el evento { X = 2 }. Pero este evento ocurre
cuando Y = 1; también ocurre cuando Y = 2 o cuando Y = 5 o Y = 9; por lo que, P(X = 2) =
0.0 + 0.12 + 0.0 + 0.02 = 0.14
e) Del mismo modo, P(Y = 2 ) = 0.09 + 0.08 + 0.0 + 0.12 + 0.03 = 0.32. Aquí también
cuando Y = 2, la variable X toma todos los valores de su recorrido: 0, 1, 2, 3, 4.
Ejemplo 163
Una urna contiene 3 bolas numeradas 1, 2, 3, respectivamente. De la urna se extraen
dos bolas, una después de otra, sin reposición. Sea X el número de la primera bola extraída
y Yel número de la segunda bola. Hallar la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y).
X Y 1 2 3
1 0.0 1/6 1/6
2 1/6 0.0 1/6
3 1/6 1/6 0.0
Solución
Sea X la variable aleatoria definida como “El número de la primera bola extraída”.
Sea Y la variable aleatoria definida como “El número de la segunda bola extraída”.
Según esto: X = 1, 2, 3; Y = 1, 2, 3. Por lo que el espacio rango de (X, Y) es el conjunto
{(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) }.
Hallemos cada una de las probabilidades individuales

2. p(1, 1) = 0; es decir, es imposible que ocurra el evento X = 1, Y = 1, sin reposición.
Del mismo modo, p(2, 2) = 0 y p(3, 3) = 0, por ser eventos imposibles
p(1, 2) = 1/6 p(1, 3) = 1/6 p(2, 1) = 1/6, .... p(3, 2) = 1/6
Ejemplo 164
Suponga que tres objetos no diferenciables se distribuyen al azar en tres celdas
numeradas. Sea X el número de celdas vacías e Y el número de objetos colocados en la
primera celda. Construya la tabla de distribución de probabilidad conjunta de (X, Y).
Solución
Si X es la variable definida como “El número de celdas vacías” y Y se define como “El
número de objetos colocados en la primera celda” entonces X = 0, 1, 2 y Y = 0, 1, 2, 3.
Puesto que 0, 1, 2 ó los 3 objetos pueden caer en cualquiera de las tres celdas, y del
mismo modo, cualquier celda puede contener 0, 1, 2 ó los tres objetos, el número de casos
posibles será 33= 27. Debemos hallar el número de casos favorables en cada caso.
p(0, 0) = P(X=0, Y=0). Significa que hay 0 celdas vacías y hay 0 objetos en la primera.
Esto es imposible por lo que p(0, 0) = 0.
p(0, 1) = P(X=0, Y=1). Significa que todas las celdas están ocupadas y que la primera
tiene un objeto. El esquema siguiente muestra las diversas situaciones que puede
presentarse:
1
La primera celda puede ser ocupada por cualquiera de los tres objetos, la segunda por
dos de ellos y la tercera sólo por uno. Esto es P(3, 3) = 6.
Por ello p(0, 1) = 6/27
p(0, 2) = P(X=0, Y=2) significa que hay cero celdas vacías y que la primera contiene dos
objetos.
Esto es imposible por ello p(0, 2) = 0.
p(0, 3) = P(X = 0, Y = 3) = 0, por la misma razón
p(1, 0) = P(X = 1, Y = 0) significa que la hay una celda vacía y que la primera debe tener
0 objetos. En este caso los objetos deben repartirse en las dos celdas, por ello p(1, 0) =
6/27
p(1, 1) = P(X = 1, Y=1) significa que debe haber una celda vacía y la primera debe
contener un objeto.
Como la primera debe contener un objeto, hay dos posibilidades de tener una celda vacía.
Puesto que la primera celda puede ser ocupada de 3 formas diferentes, el número de
maneras de obtener un objeto en la primera y una de las restantes vacías, es 3 x 2, por ello
p(1,1) = 6/27.
Encontremos ahora p(1,2) = P(X = 1,Y = 2).
El razonamiento es similar a p(1,1) excepto que la celda con 0 objetos puede ser
cualquiera de las restantes p(1,2) = 6/27.
p(1,3) = P( X = 1, Y = 3) este es un evento imposible por lo que p(1, 3) = 0.
p(2, 0) = P(X =2, Y = 0) . Esto significa que debe haber 2 celdas vacías y la primera debe
contener 0 objetos. Como la primera ya está vacía, la segunda vacía puede ser la segunda
celda o la tercera: dos posibilidades; por ello p(2, 0) = 2/27

3. p(2,1)=P(X = 2, Y = 1). Dos celdas vacías y la primera con un objeto es p(2, 1) = 0
p(2,2) = P(X =2,Y = 2) Igualmente p(2, 2) = 0
p(2,3) = P(X =2, Y =3) = 1/27. Si tiene sentido. Los tres objetos están en la primera.
X Y 0 1 2
0 0.0 6/27 2/27
1 6/27 6/27 0.0
2 0.0 6/27 0.0
3 0.0 0 1/27
Ejemplo 165
Se elige aleatoriamente uno de los números enteros 1, 2, 3, 4, 5. Después de eliminar
todos los números enteros menores que el elegido(si hubiera), se elige uno de los restantes.
Sean X e Y los números elegidos en la primera y segunda elección, respectivamente.
Determine la distribución de probabilidad conjunta de X e Y y calcule P(X + Y > 7) y P(Y
– X > 0
Solución
Definamos a X como “El número elegido en la primera vez” e Y, “El número elegido en la
segunda vez”.
Veamos un ejemplo de cómo se realiza el experimento:
Supongamos que en la primera elección se elige al dígito 3. Según el problema, se debe
eliminar los dígitos 1 y 2, que son menores que el elegido, 3. La segunda elección se hace
teniendo disponibles los dígitos 3, 4 y 5. Esto quiere decir que los valores que tomará X son:
1, 2, 3, 4, 5. Los valores que pueda tomar Y son 1, 2, 3, 4, 5.
Encontremos las probabilidades individuales.
Antes de empezar, debemos tomar en cuenta que la primera elección se hace de un total
de 5 por lo que la probabilidad de elegir cualquier dígito la primera vez siempre es 1/5.
La probabilidad de elegir el segundo número es 1/(5-k) donde k es el número de dígitos
eliminados. Esto quiere decir que p(x, y) = 1/5 (1/(5-k)) y k: 0, 1, 2, 3, 4 representa el
número de dígitos eliminados después de la primera elección.
La distribución de probabilidad en detalle se da en el siguiente cuadro.
X Y 1 2 3 4 5
1 1/25 0.01 0.0 0.0 0.0
2 1/25 1/20 0.0 0.0 0.0
3 1/25 1/20 1/15 0.0 0.0
4 1/25 1/20 1/15 1/10 0.0
5 1/25 1/20 1/15 1/10 1/5
Calculemos ahora las probabilidades pedidas
P(X+Y > 7 ): Los únicos pares que cumplen la condición X + Y > 7 es el conjunto B
definido como B = {(x, y) / x + y > 7} = { p(3, 5), p(4, 4), p(4, 5), p(5, 3), p(5, 4), p(5, 5)}.
Luego P(B) = 19/30.
Del mismo modo, si A = {(x, y)/ y – x > 0 } entonces P(A) = 163/300
Caso 2: Variable aleatoria bidimensional continua

4. Ejemplo 166
Encuentre las distribuciones marginales de X e Y, del Ejemplo 80.
Solución
La distribución de probabilidades conjunta de (X, Y) es la que se muestra en el gráfico
anterior.
A partir de ella, la distribución Marginal de X es:
Si X = 0 entonces p(0) = p(0, 1) + p(0, 2) + p(0, 3) = 6/27
Si X = 1 entonces p(1) = p(1, 1) + p(1, 2) + p(1, 3) = 18/27
Si X = 2 entonces p(0) = p(2, 1) + p(2, 2) + p(2, 3) = 3/27
Por lo que la función marginal de X, dado en forma tabular, es
X 0 1 2
p(x) 6/27 18/27 3/27
Esta misma distribución se aprecia en la última fila del cuadro de la distribución conjunta.
La distribución Marginal de Y es:
Si Y = 0 entonces q(0) = q(0, 0) + q(1, 0) + q(2, 0) = 8/27
Si Y = 1 entonces q(1) = q(0, 1) + q(1, 1) + q(2, 1) = 12/27
Si Y = 2 entonces q(2) = q(0, 2) + q(1, 2) + q(2, 2) = 6/27
Si Y = 3 entonces q(3) = q(0, 3) + q(1, 3) + q(2, 3) = 1/27
Por lo que la función marginal de X, dado en forma tabular, es
Y 0 1 2 3

5. p(y) 8/27 12/27 6/27 1/27
Esta misma distribución se aprecia en la última columna del cuadro de la distribución
conjunta.
Ejemplo 167
La función de probabilidad conjunta de (X, Y) está dada por p(x, y) = (x2 + y2)/32, x = 0,
1, 2, 3 ; y = 0, 1
Encuentre las distribuciones marginales de X e Y, respectivamente.
Solución
Para la Marginal de X. sólo debemos reemplazar los valores de Y, para cada valor que
tome X. Igualmente, para la Marginal de Y, reemplazamos valores de X, para cada valor de
Y.
Marginal de X:
Puesto que el espacio rango de X es 0, 1, 2, 3 entonces
p(0) = p(0, 0) + p(0, 1) = 0 + 1/32;
p(1) = p(1, 0) + p(1, 1) = 1/32 + 2/32
p(2) = p(2, 0) + p(2, 1) = 4/32+5/32
p(3) = p(3, 0) + p(3, 1) = 9/32 + 10/32
Por ello la distribución marginal de X se muestra en el siguiente cuadro
X 0 1 2 3
p(x) 1/32 3/32 9/32 19/32
Otra forma de responder a la preguntas es la siguiente:

6. Ejemplo 168
Se extraen al azar 2 cartas de un naipe de 52 cartas, sin reemplazo. Sea X el número de
ases que aparece e Y el número de espadas.
Obtener la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y)
Obtener las distribuciones marginales de X e Y
Evalúe P( X > Y )
Solución
Definamos a X como “El número de ases que se extraen” e Y como “El número de
espadas extraídas”, según el problema. Esto significa que X toma valores: 0, 1, 2 ; así como
Y toma 0, 1 y 2. Con esto, el espacio rango de (X, Y) es fácil encontrarlo(el producto
cartesiano).
Encontremos las probabilidades individuales:
p(0, 0) = P(X = 0, Y = 0) . Como se trata de extraer 0 ases de un total de 4, el número de
maneras de obtenerlo es C(4,0).
Igualmente, 0 espadas se extrae de C(12,0) maneras. Hemos quitado una espada ya que
el as de espadas no debe ser tomado en cuenta.
Hasta este punto, tenemos 0 ases + 0 espadas ; pero como se extraen 2 cartas,
seguramente las cartas que “faltan” (las dos), deben ser cualquiera del naipe; estas se
extraen de C(36, 2) maneras.
Luego: el número de maneras de extraer 0 ases “y” 0 espadas “y” 2 cartas cualquiera es
C(4, 0) x C(12, 0) x C(36, 2), lo que constituye “el número de casos favorables a extraer 0
ases y 0 espadas. Por otro lado, el número de casos posibles de extraer 2 cartas viene dado
por C(52, 2).
Por ello

7. p(1, 0) = P(X = 1, Y = 0). Esto significa que no debe extraerse el as de espadas. Por ello,
sólo quedan 3 ases disponibles. El número de casos favorables será C(3, 1)x C(12, 0) x
C(36, 1).
Por ello p(1, 0) = 216/2652
p(2, 0) = P(X = 2, Y = 0). Esto significa extraer 2 ases, de los cuales ninguno debe ser el
de espada, lo que hace disponible sólo a 3 de los ases. El número de maneras de lograr
esto es C(3, 2) x C(12, 0) x C(36, 0).
Luego p(2,0) = 6/2652
Calculemos p(0, 1): El número de maneras de obtener una espada que no sea el as y
una cualquiera de las restantes, es C(4, 0) x C( 12, 1) x C(36, 1). Luego la probabilidad
pedida es p(0,1) = 864/2652
Ahora p(0,2) = C(4, 0) x C(12, 2) x C(36, 0)/ 2652 = 132/2652
Calculemos ahora p(2, 1):
La probabilidad de extraer el as de espadas y otro as cualquiera es 1/52 x 3/51 = 3/1326.
Esto significa que hemos extraído 2 ases y una espada.
Por el contrario p(1, 2) significa extraer dos espadas, de las cuales una es el as de
espadas. La probabilidad de hacerlo es 1/52 x 12/51 = 12/1326
p(2, 2) = 0. No se extraen tres o cuatro cartas.
Finalmente p(1,1) significa la probabilidad de extraer el as de espada y una espada que
no debe ser el as de espada. La probabilidad de extraer el as de espada es 1/52. Una
espada que no sea el as de espada se obtiene con probabilidad 12/51. Pero hay 12 formas
diferentes de extraer una de tales cartas. Luego la probabilidad p(1,1) = (1/52) x (12/51) x
12 = 144/1326
Esto completa la distribución de probabilidad pedida, que se muestra en el siguiente
cuadro:
Las distribuciones marginales también se muestran en la figura anterior.

8. Sea A el evento definido como “El número de ases sea mayor que el número de espadas”.
Esto significa que A = {(X, Y) / X > Y }.
Según esto, P(A) = P({(1,0), (2, 0), (2, 1) } ) = 228/2656
Distribuciones condicionales
Caso discreto:
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta, cuya función de probabilidad
conjunta es p(xi, yj).
Sea p(xi) y q(yj) , i =1, 2, ..., n, ...; j = 1, 2, ..., m, ... , las distribuciones de probabilidad
marginal de X e Y. Diremos que pX/Y(xi/Y = yj) es la función de probabilidad condicional de
X, dado Y = yj, si
Ejemplo 169
Obtener las distribuciones condicionales de X, dado Y = 1 e Y, dado X = 2, del problema
planteado en el Ejemplo Nº 10.
Solución
Sea (X, Y) la variable aleatoria bidimensional discreta cuya función de probabilidad
conjunta es, de acuerdo al Ejemplo 10,
p(x, y) = (x2 + y2)/32, x = 0, 1, 2, 3; y = 0, 1
Para obtener la distribución de probabilidad condicional de X dado Y = 1, debemos
encontrar primero la distribución marginal de Y, de ella extraemos q(y = 1).
Del mismo modo, para obtener la distribución de probabilidad condicional de Y dado X =
2, debemos encontrar primero la distribución marginal de X, de ella extraemos p(x = 2).
En consecuencia debemos encontrar las dos distribuciones marginales y luego proceder
a encontrar la condicional respectiva.

9. Distribución Marginal de X: p(x) = (2x2 + 1) / 32, x = 0, 1, 2, 3.
Distribución Marginal de Y: p(y) = (14 + 4y2) / 32; y = 0, 1.
Distribución Condicional de X, dado Y = 1:
Ejemplo 170
Un inversionista tiene que adquirir dos paquetes de acciones de un conjunto de 5
paquetes disponibles en el momento de la apertura de la bolsa.
Antes de seleccionar el paquete a ser adquirido, realiza un concienzudo análisis de
rentabilidad y si estos resultados le satisfacen, adquiere el paquete. Puesto que dicho
análisis implica un alto costo, decide realizar las pruebas sólo hasta encontrar los dos
paquetes que le satisfacen.
Denotemos por X el número de pruebas que debe realizarse hasta encontrar el primer
paquete aceptable e Y el número de pruebas adicionales hasta encontrar el segundo
aceptable.
a) Obtenga la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y)
b) Obtenga las distribuciones marginales de X e Y
c) Obtenga la distribución condicional de X dado Y = 2 y la distribución condicional de Y
dado X = 3.
Solución
Sea X la variable aleatoria definida como “El número de pruebas realizadas hasta adquirir
el primer paquete de acciones”. Igualmente sea Y, “El número de pruebas adicionales hasta
adquirir el segundo paquete de acciones”.
Según esto, los valores que tomen las variables serán: X: 1, 2, 3, 4; Y: 1, 2, 3, 4.
Nos explicamos: Si el primer paquete le satisface al inversionista, lo adquiere, de manera
que X = 1, esto implica que el segundo paquete puede adquirirse después de la primera,
segunda, tercera o cuarta prueba, lo que significa que Y puede tomar valores 1, 2, 3 ó 4.
El primer paquete debe ser adquirido en la primera, segunda, tercera o cuarta prueba,
necesariamente.
Sea A el evento que representa la opción de “Adquirir el paquete” y B, el evento “Adquirir
el segundo paquete”. De acuerdo a esto, p(1, 1) = P(X = 1, Y = 1) representa la probabilidad
de que el primer paquete se adquiera en la primera prueba y el segundo, en la siguiente
prueba(una prueba adicional). Usando A y B, tenemos p(1, 1) = P({AB}) = (2/5)(1/4) = 0.1.
Del mismo modo, p(1, 2) = P(X = 1, Y = 2 ) = P({AB’B}) = (2/5)(3/4)(1/3) = 0.1 Es decir, la
probabilidad de que se adquiera el primero en la primera prueba y el segundo en la tercera
es 0.1.

10. p(1, 3) = P({AB’B’B}) =(2/5)(3/4)(2/3)(1/2) = 0.1
p(1, 4) = P({AB’B’B’B}) = (2/5)(3/4)(2/3)(1/2)(1/1) = 0.1
p(2, 4) = P({A’AB’B’B’B}) = 0 este es un evento imposible
a) En el siguiente cuadro se muestra la distribución de probabilidad conjunta de X e Y
b) En el mismo cuadro de distribución hemos sumado por fila para encontrar la
distribución marginal de Y, y luego hemos sumado por columna para encontrar la
distribución marginal de X.
De manera que, la distribución marginal de X es
c) Distribución condicional de X dado Y = 2:

11. La marginal de Y, dado X = 3 :
Esperanza condicional
Caso discreto:
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta con p(xi, yj) , i = 1, 2, ..., n, ...; j =
1, 2, ..., m, ... su función de probabilidad conjunta. Sea p(xi) y q(yj) las funciones de
distribución marginal de X e Y, respectivamente.

12. Ejemplo 171
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta cuya función de probabilidad
conjunta es
p(x, y) = (2x + y)/63; x = 1, 2, 3; y = 2, 3, 4.
Encuentre las esperanzas condicionales E[X/Y] y E[Y/X], para todos los valores de X e
Y.
Solución
Como para E[X/Y] se requiere la marginal de Y y la probabilidad condicional de X, dado
Y, así como para E[Y/X] se requiere la marginal de X y luego la probabilidad condicional de
Y, dado X, procedamos de manera ordenada:
Distribución Marginal de X:
p(x) = (6x + 9)/63; x = 1, 2, 3.
Distribución Marginal de Y:
p(y) = (12 + 3y)/63; y = 2, 3, 4.
Distribución condicional de X, dado Y:

13. Con toda esta información

14. Ejemplo 172
Se sabe que la probabilidad de que llueva en un día cualquiera es 10% en una
determinada ciudad.
Si se define a X como el número de días que llueve en los cuatro primeros días de la
semana y a Y como el número de días que llueve en los cuatro últimos días de la semana,
a) Determine la distribución de probabilidad conjunta de X e Y
b) Encuentre la probabilidad P(X < 2 / Y > 2)
c) Encuentre la probabilidad de que llueva exactamente en 4 días de la semana
Solución
Sea X: “Número de días que llueve entre el Lunes, Martes, Miércoles, Jueves” ,
del mismo modo, sea Y: “Número de días que llueve entre el Jueves, Viernes, Sábado,
Domingo”.
De acuerdo a esto, X: 0, 1, 2, 3, 4 y también, Y: 0, 1, 2, 3, 4.
La probabilidad de que llueva en un día cualquiera de la semana es 0.10. Si sólo se
definiera a X como el número de días que llueve en la semana, entonces estaríamos frente
a una distribución binomial de parámetros n = 7 y p = 0.10.
Sin embargo, no estamos muy alejados de ella pues por la manera cómo se define a X e
Y, daría la impresión de estar frente a una distribución “binomial conjunta”, excepto por lo
del Jueves que está siendo incluido tanto en X como en Y. Por ello encontraremos las
probabilidades individuales y luego armaremos el cuadro de distribución para, a partir de
ella encontrar resolver la(s) pregunta(s).

15. a) p(0,0) = P(X = 0, Y = 0) significa que no debe llover los 4 primeros días, ni menos los
últimos 4 días.
Esto es, p(0, 0) = C(7, 0)(0.1)0(0.9)7 = 0.97.
p(0, 1) = P(X = 0, Y = 1) significa que no debe llover de Lunes a Jueves, pero sí Viernes,
Sábado o Domingo; esto es, p(0, 1) = 0.94 . C(3, 1)(0.1)0.92 = 3(0.1)(0.9)6
p(1, 0) = 3(0.1)(0.9)2(0.9)4 ; es decir, p(0, 1) = p(1, 0).
p(0, 2) = p(0, 2) = C(3, 2)(0.1)2(0.9)5 = 3(0.1)2(0.9)5.
p(0, 3) = p(3, 0) = C(3, 3)(0.1)3(0.9)4 = (0.1)3(0.9)4. p(0, 4) = p(4, 0) = 0.
Imposible. No debe llover el jueves y debe llover, también, el jueves.
p(1,1)=P(Llueve Jueves)+P(No llueve Jueves) = (0.1)(0.9)6 +
C(3,1)(0.1)(0.9)3C(3,1)(0.1)0.92
p(2, 2) = C(3,2)(0.1)2(0.9)2C(3,2)(0.1)2(0.9) + C(3, 2)(0.1)2(0.9)2C(3,2)(0.1)(0.9)2
p(3, 3) = (0.1)6(0.9) + 9(0.1)3(0.9)(0.1)2(0.9)
p(4, 4) = (0.1)4(0.9)0(0.1)3(0.9)0 = (0.1)7
Dejamos para el lector el cálculo de las siguientes probabilidades individuales.
La distribución de probabilidades se muestra en la siguiente tabla.
b) P(X < 2 / Y > 2) = P(X < 2, Y > 2) / P(Y > 2) = 0.0029 / 0.0039 = 29/39
Sea A el evento: “Que exactamente llueva 4 días en la semana”. Si definimos a la variable
Z como “Número de veces que llueve en la semana” entonces Z → B(n = 7, p = 0.10). Por
ello, P(A) = P(Z = 4 ) = C(7,4)0.40.93
Ejemplo 173
Si la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y) viene dada por la siguiente tabla:

16. Solución
En la tabla conjunta ya hemos calculado las distribuciones marginales de X e Y.
E[X] = 0(.175)+1(.282)+2(.337)+3(.206) = 1.574
E[Y] = 0(.185)+1(.407)+2(.408) = 1.223
Sea Z = 3X + 4Y. Si X , Y = 0, 1, 2, 3, 4 entonces Z = 0, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14; con lo
cual su distribución será
Luego E[Z] = 0(.02) + 3(.05) + 4(.015) + ... + 4(.121) + 17(.021) = 9.614
E[Y²] = 0²(.185) + 1²(.407) + 2²(.408) = 2.039
V[Y] = E[Y²] – (E[Y])² = 2.039 – 1.223² = 0.543271
Antes de evaluar E[XY], encontremos la distribución de XY. Para ello, sea Z = XY. Los
valores que toma Z son:
0 = {(0,0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1), (0, 2)},
1 = {(1, 1) } 2 = {(1, 2), (2, 1) } 3 = {(3, 1)},
4 = {(2, 2) } 6 = {(3, 2) }
Luego su distribución es
0 1 2 3 4 6
0.340 0.106 0.272 0.140 .121 0.021
De acuerdo a esto, E[XY] = E[Z] = 1.680

17. E[2X + 1 / Y = 1 ]
Aplicando propiedades, E[2X + 1/Y= 1]= 2 E[X / Y = 1] + 1 = 2(2.0098) + 1= 5.0196
E[2X + Y / Y = 1]. Como ya ha ocurrido el evento { Y = 1 } entonces ya se conoce el valor
de Y, por ello E[2X + Y / Y = 1] = E[2X + 1 / Y = 1] = 5.0196
Igualmente, E[XY / Y = 1 ] = E[X(1) / Y = 1] = E[X / Y = 1 ] = 2.0098
ariablesaleatoriasindependientes
Caso discreto:
Sea (X1, X2, ..., Xn) una variable aleatoria n-dimensional discreta donde p(x1, x2, ..., xn) es
su función de probabilidad conjunta y p(x1), p(x2), ... p(xn) sus funciones de distribución
marginal respectivas. Diremos que X11, X2, ..., Xn son variables aleatorias independientes
si p(x1, x2, ..., xn) = p(x1,)p( x2,) ...,p(xn)
Caso continuo:
Si (X1, X2, ..., Xn) es una variable aleatoria n-dimensional continua conf su distribución de
probabilidad conjunta y g(x1), g(x2), ..., g(xn) son sus funciones de distribución marginales
respectivas. Diremos que X1, X2, ..., Xnson variables aleatorias independientes si su
función de densidad conjunta es el producto de sus respectivas distribuciones marginales.
Esto quiere decir que f(x1, x2, ..., xn) = g(x1,)g( x2,) ...,g( xn)
Ejemplo 174
Dada la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y), determine si X e Y son
independientes o no.
Y X 0 1 2 q(y)
0 0.2 0.1 0.1 0.40
1 0.1 0.3 0.2 0.6
p(x) 0.3 0.4 0.3
Aplicando la definición, tenemos
Según la distribución conjunta p(0, 0) = P(X = 0 , Y= 0) = 0.2 y
Del mismo modo, P(X = 0) . P(Y= 0) = 0.3 x 0.4 = 0.12
Como existe un (x, y) en la cual no se cumple la definición, entonces X e Y no son
variables aleatorias independientes.
Ejemplo 175
Dada la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y), determine si X e Y son
independientes o no.
Y X 0 1 2 q(y)
0 0.21 0.14 0.35 0.70

18. 1 0.09 0.06 0.15 0.30
p(x) 0.30 0.20 0.50
Aplicando la definición, tenemos
Si p(0, 0) = 0.21 y P(X ≤ 0) . P(Y ≤ 0) = 0.3 x 0.7 = 0.21 ⇒ Se cumple
Si p(1, 0) = 0.14 y P(X = 1) . P(Y= 0) = 0.2 x 0.7 = 0.14 ⇒ Se cumple
Si p(2, 0) = 0.35 y P(X = 2) . P(Y= 0) = 0.5 x 0.7 = 0.35 ⇒ Se cumple
Si p(0, 1) = 0.09 y P(X = 0) . P(Y = 1) = 0.3 x 0.3 = 0.09 ⇒ Se cumple
Si p(1, 1) = 0.06 y P(X = 1) . P(Y= 1) = 0.2 x 0.3 = 0.06 ⇒ Se cumple
Si p(2, 1) = 0.15 y P(X = 2) . P(Y= 1) = 0.15 ⇒ Se cumple
Por tanto, como para todo (x, y) se cumple que p(x, y) = P(X = x, Y = y) entonces X e Y
son variables aleatorias independientes.
Covarianza de dos variables
Sean X e Y dos variables aleatorias con μX = E[X], μY = E[Y], del mismo modo, σ2 = V[X]
y σ2 = V[Y]. Diremos que Cov(X, Y) es la covarianza de X e Y, la que será definida como
Cov(X, Y) = E[(X - μX)(Y - μY)]
Teorema
Cov(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y)
En efecto,
Cov(X,Y) = E[XY - XμY- μXY + μX μY]
= E(XY)-E(X) μY - μXE(Y) + μXμY
=E(XY)- μX μY
La covarianza permite saber si existe alguna relación entre las dos variables. En las
siguientes figuras hemos trazado la gráfica de la venta del pollo y su precio.
En la primera figura tenemos la demanda (X) vs el precio (Y)
En la segunda, la oferta (X) vs el precio (Y)
En la tercera, en la tercera gráfica, X puede ser considerada como la demanda u oferta
del pollo mientras que Y será el precio.
En la primera figura podemos apreciar que, cuando la demanda aumenta, también
aumenta el precio mientras que en la segunda, cuando aumenta la oferta del pollo, el precio
del mismo disminuye.
En la tercera figura cuando la variable X aumenta, nada puede decirse de Y pues ésta
aumenta o disminuye, independientemente de X.
En la primera y segunda figura existe relación entre la demanda u oferta del pollo y su
precio. En el primer caso hay una relación directa positiva; en la segunda existe una relación
inversa negativa. En la tercera figura podemos apreciar que las dos variables (X e Y) son
independientes.

19. Ejemplo 176
El administrador de una playa pública desea realizar un estudio sobre los ingresos que
tiene en cada temporada veraniega. Estos ingresos son de preocupación ya que en cada
nuevo verano se van reduciendo. Sin embargo sospecha también que esto podría deberse
al incremento de la gasolina que impide que los usuarios tengan un gasto adicional. ¿Se
podría decir que sus ingresos dependen del precio de la gasolina? Los datos se encuentran
en el siguiente cuadro:
Mes Ingreso Gasolina ($/litro)
Enero 290 0.40
Febrero 200 0.34
Marzo 250 0.31
Abril 490 0.25
Mayo 410 0.25
Junio 360 0.34
Julio 300 0.27
Agosto 150 0.39
Setiembre 200 0.33
Octubre 100 0.35
Solución
Obtenga la covarianza de los ingresos y el precio de la gasolina.
Sea X la variable Ingresos y Y la variable Gasolina.
Ingrese los datos a una hoja del Excel, como se muestra en la siguiente gráfica:
Cómo calcular la covarianza en Excel:
Podemos hacerlo de dos formas:
Primera forma:
Usando la función: =Covar(Mariz1,Matriz2)

20. Donde Matriz1 y Matriz2 representan los rangos de la primera y segunda variable,
respectivamente.
En este ejemplo, En F3 digitemos: =Covar(B1:B11,C1:C11)
Lo que nos dará como resultado: -3.885.
Segunda forma:
Usando la herramienta Covarianza del grupo [Análisis de datos] de la ficha [Datos]
En la ventana que se obtiene a continuación, se debe ingresar los datos como se muestra
en la siguiente imagen:
Al hacer clic en [Aceptar] obtendremos los siguientes resultados a partir de E2:
Ingreso Gasolina
Ingreso 1305
Gasolina -3.885 0.002541
Esta herramienta del Excel, además de la covarianza = -3.885, nos proporciona la
varianza poblacional de cada una de las variables, las que se encuentran en la diagonal.
Antes de interpretar la covarianza, construyamos el diagrama de dispersión de estas dos
variables. Dicha gráfica se muestra en la figura 4.49 En ella podemos apreciar que, a medida
que el precio de la gasolina se incrementa, los ingresos se reducen. Interpretación de la
covarianza
Tomando en cuenta lo dicho anteriormente, podemos concluir en lo siguiente:
La covarianza permite saber si dos variables están relacionadas o no.
Si Cov(X, Y) > 0 se dirá que la relación existente es directa; es decir, cuando una variable
aumenta, la otra variable también aumenta.

21. Si Cov(X, Y) < 0 se dirá que la relación existente es inversa; es decir, cuando una variable
aumenta, la otra variable se reduce.
Si Cov(X,Y) = 0 diremos que no existe relación entre las dos variables, o lo que es lo
mismo, las dos variables son independientes.
Coeficiente de correlación
Sean X e Y dos variables aleatorias con μX = E[X], μY = E[Y], del mismo modo, σ2 = V[X]
y σ2 = V[Y]. Diremos que ρ es el coeficiente de correlación entre X e Y, la que estará definido
como
Propiedades
1. Si las variables aleatorias X e Y son independientes entonces ρ = 0
2. Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces Cov(X, Y) = 0
3. Si Z = aX ± bY ⇒ V[aX ± bY] = a2 V[X] + b2 V[Y] ± 2 a b Cov(X, Y)
4. Si ρ es el coeficiente de correlación entre X e Y entonces -1 ≤ ρ(X, Y) ≤ 1.
Observación:
1. Si ρ = +1, diremos que entre X e Y existe una correlación perfecta positiva.
2. Si ρ = -1, diremos que entre X e Y existe una correlación perfecta negativa.
3. Para valores de ρ, cercanos a ± ½ diremos que existe una correlación moderadamente
perfecta positiva o negativa, respectivamente.
4. El hecho de que ρ = ± 1, implica que existe una relación de una variable respecto de
la otra. Por costumbre y porque coincide con el tratamiento que hemos hecho de X e Y,
supondremos que, bajo las circunstancias en que ρ → ± 1, es posible definir a Y como una
combinación lineal de X; es decir Y = A X + B, donde A y B son números reales con A > 0
cuando ρ = +1 y A < 0 cuando ρ = - 1.
Esta última observación da origen a un teorema, que lo enunciaremos sin demostración.

22. Ejemplo 177
Dada la función de probabilidad conjunta de X e Y
Y X 0 1
0 0.13 0.13
1 0.25 0.13
2 0.25 0.13
Hallar:
a) Cov(X, Y)
b) V[X], V[Y]
c) ρ(X, Y)
d) V[X + Y]
e) ρ(2X, 3Y + 4)
Solución
E[X] = 0(5/8) + 1(3/8) = 3/8
E[Y] = 0(2/8) + 1(3/8) + 2(3/8) = 9/8
E[XY] = 0(6/8) + 1(1/8) + 2(1/8) = 3/8

23. Ejemplo 178
Un puerto tiene capacidad para acomodar 4 naves de cierto tipo durante la noche.
Las tarifas del puerto producen una utilidad de $ 1,000 por nave atracada. Sea X la
variable aleatoria que representa el número de naves buscando atracadero por noche,
donde p(X = k) = 1/6, para k = 1, 2, 3, 4, 5 es la función de probabilidad de X.
Un segundo puerto está disponible para manejar el exceso de naves, si existen. Sea Y
representa el número de naves buscando atracadero en el segundo puerto (lo cual sólo
ocurrirá si el primer puerto está lleno).
Calcular
a) La distribución de probabilidad conjunta de X e Y
b) Las distribuciones marginales de X e Y
c) La distribución condicional de Y, dado X = 4
d) ¿Son independientes las variables X e Y?
e) V[X], V[Y]
f) La covarianza de X e Y
g) El coeficiente de correlación de X e Y
Solución
Sea X la variable que representa “Numero de naves que obtienen espacio en el primer
puerto”
Sea Y la variable que representa “Número de naves que van a un segundo puerto”
Nota:

24. Observe que el número de naves que puede aceptar el primer puerto es hasta 4. Por lo
que diremos que X = 0, 1, 2, 3, 4. Pero como k = 1, 2, 3, 4, 5, entonces P(X >4) = 2/6.
Toda vez que X  4, no hay naves que vayan al segundo puerto, por lo que Y = 0
Toda vez que X > 4, las restantes naves van al segundo puerto, por lo que Y = 1, 2,...
Pero por noche sólo son 5 naves que buscan atracadero. Esto quiere decir que tomará
valores entre 0 y 1. Por tanto X = 0, 1, 2, 3, 4; mientras que Y = 0, 1.
a) La distribución de probabilidad conjunta de X e Y es
b) Las distribuciones marginales de X e Y se muestran en el cuadro anterior
c) p(y / X = 4) = p(4,y) / P/X = 4) = (p(4,0) + p(4, 1) ) / p(4) = 1.
d) Puesto que p(xi)q(yj) es diferente a p(xi,yj) para algú n i = 1, 2, 3, 4, 5, ó j = 1, 2 entonces
X e Y no son variables aleatorias independientes.
e) Para encontrar las varianzas:
E[X] = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 12/6 = 3
E[Y] = 0 + 2/6 = 2/6
E[X2] = 0 + 1/6 + 4/6 + 9/6 + 48/6 = 62/6
E[Y2] = 0 + 2/6 = 2/6
Luego V[X] = 4/3 ; igualmente V[Y] = 2/9
f) Antes de encontrar la covarianza debemos hallar E[XY].
E[XY] = 0 + 0 + 0 + 0 + 8/6 = 4/3
Cov(X, Y) = 4/3 – (3)(2/6) = 1/3
g) Cálculo del coeficiente de correlación:
ρ(X, Y) = cov(X, Y) / √ (V(X)V(Y)) = (1/3) / &raidc; (8/27) = 0.6124. Era de esperarse este
resultado.
http://www.aulaclic.es/estadistica-excel/t_5_1.htm