1. “ Familia Exponencial”
Prof. Matías Hernández Sergio Alejandro
Integrantes:
Romero González Verónica
Ponce Rosas Diana Gisela Gpo.1502
Universidad Nacional Autónoma De México
Facultad de Estudios Superiores Acatlán
MAC
4. Introducción
IMPORTANCIA:
Si la distribución de Probabilidad de la muestra representada
por f( •, θ) admite la descomposición exponencial, esto
facilita el cálculo de un estadístico suficiente de dimensión k
para θ (parámetro poblacional)
5. mu
Tenemos muestra aleatoria x1,…,xn
f(•,θ) , tal que la función de
densidad se pueda expresar como:
Entonces dicha distribución pertenece
a la FAMILIA EXPONENCIAL y no es una
estadística suficiente.
De hecho, se puede demostrar que la
estadística suficiente para obtener es mínima.
muestra
θ=
?
6. Parámetros
Poblacionales
m.a.
Estadísticos
Muéstrales
Para cada parámetro poblacional se elige un estadístico
muestra
Estimación
Máxima
verosimilitud
Método de los
Momentos
Estimación
Mínima Chi-
Cuadrada
MÉTODOS DE ESTIMACIÓN PUNTUAL
Estimador
de θ
PROPIEDADES
DESEALES
INSESGADO
EFICIENT
E
CONSISTENT
E
SUFICIENCI
A
7. Familia Exponencial de Densidades
DEFINICIÓN. Una familia con un parámetro (θ es unidimensional)
de densidad f(*,θ) se puede expresar como:
Para y para una elección adecuada de las
funciones se definen concretamente a la
familia exponencial o clase exponencial.
10. K-Parámetros de la Familia Exponencial
DEF. Una familia de densidad
puede ser expresada como:
11. K-Parámetros de la Familia Exponencial
Para una elección adecuada de las funciones
pertenece a la familia exponencial.
Observación: note que el número de
términos en la suma de exponentes es k y
por tanto la dimensión del parámetro.
14. Distribución Beta
Tenemos la función de densidad de una distribución beta
Entonces se puede expresar
∴ pertenece a la clase exponencial
donde
15. Conclusiones
Una herramienta para encontrar los mejores
estimadores, es verificar que pertenecen a la CLASE
EXPONENCIAL
brinda:
Estimadores con CARACTERÍSTICAS DESEABLES.
f(•,θ) de una m.a es MIEMBRO DE LA CLASE
EXPONENCIAL con k-parámetros entonces
d(x) es suficiente.
Condensa la info.
en la muestra sin
perder la info. de θ
16. ¿Por qué es una estadística suficiente
mínima?
Si pusiste atención…
Al pertenecer a la clase exponencial cumple con
ser insesgado, eficiente, y suficiente.
Donde tenemos 2 estimadores insesgados (T y T´)
y var (T)≤ var (T´) con mínima varianza entonces,
NO solamente tenemos un estimador insesgado
sino un UMVUE.(Estimador Uniformemente
insesgado de mínima varianza)
17. •Mood, Alexander McFarlane.
“Introduction to the theory of statistics”
Ed. McGraw – Hill. 1913
•Cepeda Cuervo, Edilberto.
“Estadística Matemática” Ed.
Universidad Nacional de Colombia
• Mateos, Gregoria. et. al. “Statistical
Methods”
Bibliografía