Variables aleatorias bidemensionales

Parte 1 - Probabilidades Prof. María B. Pintarelli
83
5- VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
5.1 – Generalidades
Hasta ahora hemos considerado el caso de variables aleatorias unidimensionales. Esto es, el resultado
del experimento de interés se registra como un único número real.
En muchos casos, sin embargo, nos puede interesar asociar a cada resultado de un experimento aleatorio,
dos o más características numéricas. Por ejemplo, de los remaches que salen de una línea de producción
nos puede interesar el diámetro X y la longitud Y. Teniendo en cuenta la inevitable variabilidad en las
dimensiones de los remaches debido a las numerosas causas presentes en el proceso de fabricación, los
podemos representar asociándoles dos variables aleatorias X e Y que pueden pensarse como una variable
aleatoria bidimensional: ( )
Y
X , .
Sea ε un experimento aleatorio y S un espacio muestral asociado a él. Sean R
S
X →
: , R
S
Y →
: , que
a cada resultado S
s ∈ le asignan el par de números reales ( )
y
x,
Llamaremos a ( )
Y
X, variable aleatoria bidimensional.
Si en lugar de dos variables aleatorias, tenemos n variables aleatorias n
X
X
X ,...,
, 2
1 , llamaremos a
( )
n
X
,...,
X
,
X 2
1 variable aleatoria n-dimensional
En lo que sigue nos referiremos en particular a variables aleatorias n-dimensionales con n=2, es decir
nos concentraremos en variables aleatorias bidimensionales por cuanto son las más simples de
describir, fundamentalmente en relación a la notación. Pero debemos tener presente que las propiedades
que estudiemos para ellas se pueden extender sin demasiada dificultad al caso general.
Al conjunto de valores que toma la variable aleatoria bidimensional (X,Y) lo llamaremos recorrido de la
v.a. (X,Y) y lo indicaremos XY
R . En otras palabras ( ) ( ) ( )






∈
=
=
= S
s
con
s
Y
y
e
s
X
x
:
y
,
x
RXY , es
decir, es la imagen por ( )
Y
,
X del espacio muestral S.
Notar que el recorrido de (X,Y) es un subconjunto del espacio Euclidiano: 2
R
RXY ⊆ . Como antes,
puede considerarse al recorrido XY
R como un espacio muestral cuyos elementos son ahora pares de
números reales.
Como con cualquier espacio muestral, según el número de elementos que lo constituyen, podemos
clasificar a los recorridos XY
R en numerables (finitos o infinitos) y no-numerables.
Los recorridos numerables son, en general, de la forma
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
m
n
j
i
XY y
,
x
,...,
y
,
x
,
y
,
x
m
,..
,
j
y
n
,...,
,
i
con
y
,
x
R 2
1
1
1
2
1
2
1 =






=
=
= (finito)
( ) ( ) ( )
{ }
,...
y
,
x
,
y
,
x
,..
,
j
y
,...
,
i
con
y
,
x
R j
i
XY 2
1
1
1
2
1
2
1 =






=
=
= (infinito numerable)
Los recorridos no numerables son regiones o subconjuntos no numerables del plano Euclidiano. Por
ejemplo:
( )






≤
≤
≤
≤
= d
y
c
;
b
x
a
:
y
,
x
RXY (no numerable)

84
( )
{ }
1
:
, 2
2
≤
+
= y
x
y
x
RXY (no numerable)
( )






=
≤
≤
= 3
2
1 c
,
c
,
c
y
,
b
x
a
:
y
,
x
R j
j
XY (no numerable “mixto”)
cuyas gráficas se pueden apreciar en la figura siguiente. Notar en el último recorrido, X es v.a. continua
e Y discreta.
Clasificaremos a las variables aleatorias bidimensionales de la siguiente manera:
( )
Y
,
X es v.a. bidimensional discreta si X e Y son discretas
( )
Y
,
X es v.a. bidimensional continua si X e Y son continuas
El caso X continua, Y discreta (o viceversa) no lo consideramos.
Sea ( )
Y
,
X una variable aleatoria bidimensional discreta y sea XY
R su recorrido (numerable). Sea
R
R
:
p XY → una función que a cada elemento ( )
j
i y
,
x le asigna un número real ( )
j
i y
,
x
p tal que
( ) ( ) XY
j
i
j
i
j
i R
y
,
x
y
,
x
p
y
Y
,
x
X
P ∈
∀
=






=
= y que verifica.
a) ( ) ( ) XY
j
i
j
i R
y
,
x
y
,
x
p ∈
∀
≥ 0
b) ( ) ( )
( )
∑ ∑∑
∈
=
=
XY
j
i R
y
x
j
i
i j
j
i y
x
p
y
x
p
,
1
,
,
A esta función la llamaremos función de probabilidad puntual conjunta de la variable aleatoria
bidimensional ( )
Y
,
X . En forma abreviada la designaremos fdp conjunta.
Ejemplos:
1-Dos líneas de producción, señaladas I y II, manufacturan cierto tipo de artículo a pequeña escala.
Supóngase que la capacidad máxima de producción de la línea I es cinco artículos por día, mientras que
para la línea II es 3 artículos/día. Debido a los innumerables factores presentes en todo proceso de
producción, el número de artículos realmente producido por cada línea puede pensarse como una
variable aleatoria. En conjunto podemos pensar en una variable aleatoria bidimensional ( )
Y
,
X discreta,
donde la primera componente X corresponde a la producción de la línea I y la segunda componente
Y a los artículos que salen de la línea II. La fdp conjunta correspondiente a variables aleatorias
bidimensionales suele presentarse, por comodidad, como una tabla. Supongamos que la para la v.a.
( )
Y
,
X que nos interesa aquí la tabla correspondiente a ( )
j
i y
,
x
p es
0
0
0
0
0
a b x
c
d
y y y
1
2
3
1 2 a b x
RXY
c1
c2
c3
-1
-1

85
X
Y 0 1 2 3 4 5
0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05
¿Cuál es la probabilidad de qué salgan más artículos de la línea I que de la línea II?
Antes de calcular la probabilidad que nos pide el problema, hagamos algunas consideraciones sobre la
tabla que representa a ( )
j
i y
,
x
p .
Se trata de una tabla a doble entrada donde en la primera fila se indican los valores que puede tomar la
v.a. X (en este caso X=0,1,2,3,4,5) y la primera columna indica los valores que puede tomar la variable Y
( 0,1,2,3). Para determinar el valor de la ( )
j
i y
,
x
p cuando la v.a. ( )
Y
,
X toma el valor ( )
j
i y
,
x
consideramos el número que se encuentra en la columna correspondiente a i
x
X = y la fila
correspondiente a j
y
Y = . Por ejemplo: ( ) ( ) 05
0
2
4
2
4 .
Y
,
X
P
,
p =
=
=
= .
Podemos verificar fácilmente que la fdp conjunta definida por esta bien definida. En efecto verifica las
condiciones a) ( ) ( ) XY
j
i
j
i R
y
,
x
y
,
x
p ∈
∀
≥ 0 y b) ( )
( )
∑
∈
=
XY
j
i R
y
,
x
j
i y
,
x
p 1.
Para contestar la pregunta del enunciado, consideremos el suceso XY
R
B ⊂ definido
B: “es el suceso que ocurre cuando la línea I produce más artículos que la línea II” o,
{ }
Y
X
B >
= . Luego:
( ) ( ) ( )
∑ ∑
= >
=
=
>
=
3
0
j j
i
y y
x
j
i y
,
x
p
Y
X
P
B
P 0.01+0.03+0.05+0.07+0.09+0.04+0.05+0.06+0.08+
+0.05+0.05+0.06+0.06+0.05=0.75.
2- Hay tres cajas registradoras a la salida de un supermercado. Dos clientes llegan a las cajas en
diferentes momentos cuando no hay otros clientes ante aquellas. Cada cliente escoge una caja al azar e
independientemente del otro.
Sean las variables aleatorias X: “ nº de clientes que escogen la caja 1” e Y: “nº de clientes que escogen la
caja 2”. Hallar la fdp conjunta de (X,Y)
Podemos suponer que el espacio muestral original S es el conjunto de pares ordenados
{ }
)
3
,
3
(
);
2
,
3
(
);
1
,
3
(
);
3
,
2
(
);
2
,
2
(
);
1
,
2
(
);
3
,
1
(
);
2
,
1
(
);
1
,
1
(
=
S donde la primera componente del par indica la
caja elegida por el cliente 1 y la segunda componente del par indica la caja elegida por el cliente 2.
Además notar que X como Y pueden tomar los valores 0, 1, 2
El punto muestral (3,3) es el único punto muestral que corresponde al evento { }
0
,
0 =
= Y
X
Entonces
9
1
)
0
,
0
( =
=
= Y
X
P ; pensando de forma análoga los otros casos:
9
2
)
0
,
1
( =
=
= Y
X
P ;
9
1
)
0
,
2
( =
=
= Y
X
P ;
9
2
)
1
,
0
( =
=
= Y
X
P ,
9
2
)
1
,
1
( =
=
= Y
X
P ,
9
1
)
2
,
0
( =
=
= Y
X
P ; 0
)
2
,
2
(
)
2
,
1
( =
=
=
=
=
= Y
X
P
Y
X
P
Disponemos estas probabilidades en una tabla de la siguiente forma

86
5.2 - Funciones de distribución marginales de una v.a. (X,Y) discreta
En el ejemplo 1, supongamos que queremos saber cuál es la probabilidad de que el número de artículos
producidos por la línea I sea 2, o sea )
2
( =
X
P
Como el evento { }
2
=
X es igual a { } { } { } { } { }
( )
3
2
1
0
2 =
∪
=
∪
=
∪
=
∩
= Y
Y
Y
Y
X , y a su vez
{ } { } { } { } { }
( )
{ } { }
( ) { } { }
( ) { } { }
( ) { } { }
( )
3
2
2
2
1
2
0
2
3
2
1
0
2
=
∩
=
∪
=
∩
=
∪
=
∩
=
∪
=
∩
=
=
=
=
∪
=
∪
=
∪
=
∩
=
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
Y
Y
Y
X
Entonces
( )
{ } { }
( ) { } { }
( ) { } { }
( ) { } { }
( )
∑
=
=
=
=
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
=
=
=
∩
=
+
=
∩
=
+
=
∩
=
+
=
∩
=
=
=
=
3
0
)
,
2
(
)
3
,
2
(
)
2
,
2
(
)
1
,
2
(
)
0
,
2
(
3
2
2
2
1
2
0
2
2
j
j
Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
X
P
Razonando de la misma forma podemos escribir
( ) 5
,...,
1
,
0
)
,
(
3
0
=
=
=
=
= ∑
=
i
j
Y
i
X
P
i
X
P
j
Es decir obtenemos la función de distribución de probabilidad de X
Análogamente obtenemos
( ) 3
,
2
,
1
,
0
)
,
(
5
0
=
=
=
=
= ∑
=
j
j
Y
i
X
P
j
Y
P
i
Que es la función de distribución de probabilidad de Y
En general se las denomina distribuciones marginales de X e Y, y su definición sería la siguiente
Sea (X,Y) discreta y sea ( )
j
i y
,
x
p (i=1,2,…n, j=1,2,…,m) su función de probabilidad conjunta
(Eventualmente n y/o m pueden ser ∞).
La función de probabilidad marginal de X es
( ) ( ) ( )
∑
=
=
=
=
m
j
j
i
i
i y
x
p
x
X
P
x
p
1
, (i=1,2,…,n)
La función de probabilidad marginal de Y es
( ) ( ) ( )
∑
=
=
=
=
n
i
j
i
j
j y
x
p
y
Y
P
y
q
1
, (j=1,2,…,m)
Observación: Remarcamos que la función de probabilidad marginal de X, es decir ( )
i
x
p calculada a
partir de ( )
j
i y
,
x
p en la forma indicada, coincide con la función de probabilidad de la variable aleatoria
unidimensional X considerada en forma aislada. Análogamente la función de probabilidad marginal de
Y X 0 1 2
0 1/9 2/9 1/9
1 2/9 2/9 0
2 1/9 0 0

87
Y, es decir ( )
j
y
q calculada a partir de ( )
j
i y
,
x
p en la forma indicada, coincide con la función de
probabilidad de variable aleatoria unidimensional Y considerada en forma aislada.
Ejemplo:
Siguiendo con el ejemplo 1,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
28
0
05
0
06
0
08
0
09
0
3
5
2
5
1
5
0
5
5
5
.
.
.
.
.
,
p
,
p
,
p
,
p
X
P
p
=
+
+
+
=
+
+
+
=
=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
26
0
06
0
05
0
04
0
02
0
01
0
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
0
1
1
.
.
.
.
.
.
,
p
,
p
,
p
,
p
,
p
,
p
Y
P
q
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
=
=
Observemos que se verifica la condición de normalización para cada una de las marginales:
( )
∑
=
=
+
+
+
+
+
=
5
0
1
28
0
24
0
21
0
16
0
08
0
03
0
i
x
i .
.
.
.
.
.
x
p
( )
∑
=
=
+
+
+
=
3
0
1
24
0
25
0
26
0
25
0
j
y
j .
.
.
.
y
q
5.3 - Funciones de probabilidades condicionales
Consideremos nuevamente el ejemplo de las dos líneas I y II que producen cierto artículo a pequeña
escala. Definimos la v.a. ( )
Y
,
X cuya función de probabilidad conjunta ( )
j
i y
,
x
p está dada por la tabla
anterior que repetimos
X
Y 0 1 2 3 4 5 q(yj)
0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.25
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.26
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.25
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 0.24
p(xi) 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28 1
Supongamos que deseamos conocer la probabilidad de que la línea I produzca tres artículos sabiendo
que la línea II ha fabricado dos. Tenemos que calcular una probabilidad condicional. Entonces
( )
( )
( )
( )
2
.
0
25
.
0
05
.
0
2
2
,
3
2
2
,
3
2
3 =
=
=
=






=
=
=
=
=
q
p
Y
P
Y
X
P
Y
X
P
En general definimos la función de probabilidad puntual de X condicional a Y como sigue:
( ) ( ) ( )
( )
j
j
i
j
i
j
i
y
q
y
,
x
p
y
Y
x
X
P
y
x
p =
=
=
= , es decir como el cociente de la función de probabilidad
conjunta de ( )
Y
,
X y la función de probabilidad puntual marginal de Y.
Análogamente, definimos la función de probabilidad puntual de Y condicional a X :

88
( ) ( ) ( )
( )
i
j
i
i
j
i
j
x
p
y
,
x
p
x
X
y
Y
P
x
y
q =
=
=
= , es decir como el cociente de la función de probabilidad puntual
conjunta de ( )
Y
,
X y la función de probabilidad puntual marginal de X.
5.4– Variables aleatorias independientes
Ya se discutió el concepto de independencia entre dos eventos A y B. Esas mismas ideas podemos
trasladarlas en relación a dos variables aleatorias X e Y que, eventualmente, podemos considerarlas como
las componentes de una variable aleatoria bidimensional ( )
Y
,
X .
De acuerdo con esto, intuitivamente decimos que dos variables, X e Y, son independientes si el valor que
toma una de ellas no influye de ninguna manera sobre el valor que toma la otra. Esto lo establecemos
más formalmente:
Sea ( )
Y
,
X una variable aleatoria bidimensional discreta. Sea ( )
j
i y
,
x
p su fdp conjunta y ( )
i
x
p y ( )
j
y
q
las correspondientes fdp marginales de X e Y. Decimos que X e Y son variables aleatorias
independientes si y sólo si
( ) ( ) ( ) ( ) XY
j
i
j
i
j
i R
y
,
x
y
q
x
p
y
,
x
p ∈
∀
=
Observación: Notar que para poder afirmar la independencia de X e Y debe cumplirse la factorización
de la fdp conjunta como producto de las fdp marginales para todos los pares de valores de la v.a. ( )
Y
,
X .
Por lo tanto, para verificar la independencia es necesario demostrar la validez de la factorización para
todos los pares. En cambio, es suficiente encontrar un solo par que no la verifica, para afirmar, de
acuerdo con la definición, que las variables X e Y son no independientes, es decir, que son dependientes.
Esto es, para demostrar la dependencia es suficiente con encontrar un solo par que no verifique la
factorización señalada.
Vimos que dos sucesos A y B son independientes si y sólo si ( ) ( )
A
P
B
A
P = y ( ) ( )
B
P
A
B
P = (donde
por supuesto debía ser ( ) 0
≠
A
P y ( ) 0
≠
B
P ). En términos de variables aleatorias, esta forma de ver la
independencia se manifiesta en la igualdad entre las fdp condicionales y las correspondientes fdp
marginales, como demostramos en este
Teorema
Sea ( )
Y
,
X una variable aleatoria bidimensional discreta cuyas fdp conjunta, condicionales y marginales
son, respectivamente, ( )
j
i y
,
x
p ; ( )
j
i y
x
p , ( )
i
j x
y
q y ( )
i
x
p , ( )
j
y
q .
Entonces, X e Y son variables aleatorias independientes si y sólo si
1) ( ) ( ) ( ) XY
j
i
i
j
i R
y
,
x
x
p
y
x
p ∈
∀
= , o
2) ( ) ( ) ( ) XY
j
i
j
i
j R
y
,
x
y
q
x
y
q ∈
∀
= , que es equivalente a lo anterior

89
Dem.)
Demostraremos solamente 1). La equivalencia entre1) y 2) la dejamos como ejercicio.
Para demostrar 1) verificaremos la doble equivalencia entre ésta y la definición de v.a. independientes.
⇒)
Sean X e Y variables aleatorias independientes. Entonces ( ) XY
j
i R
y
,
x ∈
∀
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
i
j
j
i
j
j
i
j
i x
p
y
q
y
q
x
p
y
q
y
,
x
p
y
x
p =
=
=
Aquí la primera igualdad es la definición de fdp condicional y la segunda sale de la definición de
independencia al suponer que X e Y son independientes.
⇐)
Supongamos que se verifica 1). Entonces ( ) XY
j
i R
y
,
x ∈
∀
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j
i
j
i
i
j
j
i
i
j
i y
q
x
p
y
,
x
p
x
p
y
q
y
,
x
p
x
p
y
x
p =
→
=
→
= → X e Y independientes
Aquí, la primera implicación se debe a la definición de fdp condicional y la tercera a la definición de v.a.
independientes.
Ejemplo:
1- Supongamos que una máquina se usa para un trabajo específico a la mañana y para uno diferente en
la tarde. Representemos por X e Y el número de veces que la máquina falla en la mañana y en la tarde
respectivamente. Supongamos que la tabla siguiente da la función de probabilidad conjunta ( )
j
i y
,
x
p de
la variable aleatoria bidimensional discreta ( )
Y
,
X .
Y/X 0 1 2 q(yj)
0 0.1 0.2 0.2 0.5
1 0.04 0.08 0.08 0.2
2 0.06 0.12 0.12 0.3
P(xi) 0.2 0.4 0.4 1
Deseamos saber si las variables aleatorias X e Y son independientes o dependientes.
Para demostrar que son independientes debemos probar que se verifica ( ) XY
j
i R
y
,
x ∈
∀
( ) ( ) ( )
j
i
j
i y
q
x
p
y
,
x
p = Verificamos directamente que
( ) ( ) ( ) 5
0
2
0
0
0
1
0
0
0 .
.
q
p
.
,
p ×
=
=
=
( ) ( ) ( ) 2
0
2
0
1
0
04
0
1
0 .
.
q
p
.
,
p ×
=
=
=
( ) ( ) ( ) 3
0
2
0
2
0
06
0
2
0 .
.
q
p
.
,
p ×
=
=
=
( ) ( ) ( ) 5
0
4
0
0
1
2
0
0
1 .
.
q
p
.
,
p ×
=
=
=
( ) ( ) ( ) 2
0
4
0
1
1
08
0
1
1 .
.
q
p
.
,
p ×
=
=
=
( ) ( ) ( ) 3
0
4
0
2
1
12
0
2
1 .
.
q
p
.
,
p ×
=
=
=
( ) ( ) ( ) 5
0
4
0
0
2
2
0
0
2 .
.
q
p
.
,
p ×
=
=
=
( ) ( ) ( ) 2
0
4
0
1
2
08
0
1
2 .
.
q
p
.
,
p ×
=
=
=
( ) ( ) ( ) 3
0
4
0
2
2
12
0
2
2 .
.
q
p
.
,
p ×
=
=
=
Luego X e Y son independientes.

90
Podríamos haber usado las condiciones 1) ( ) ( ) ( ) XY
j
i
i
j
i R
y
,
x
x
p
y
x
p ∈
∀
= , o su equivalente
2) ( ) ( ) ( ) XY
j
i
j
i
j R
y
,
x
y
q
x
y
q ∈
∀
= . Veamos, como muestra para un solo valor, que se verifica
( ) ( )
( )
( )
2
4
0
2
0
08
0
1
1
2
1
2 p
.
.
.
q
,
p
p =
=
=
= . Para demostrar la independencia por este camino habría que
demostrar que se cumple la condición para el resto de los pares de valores. Se deja este cálculo como
ejercicio optativo.
Observaciones
1- De la definición de las fdp marginales, vemos que tanto en el caso discreto como en el continuo, la
fdp conjunta determina unívocamente las fdp marginales. Es decir, si ( )
Y
,
X es discreta del
conocimiento de la función de probabilidad conjunta ( )
j
i y
,
x
p podemos determinar unívocamente las
funciones de probabilidad ( )
i
x
p y ( )
j
y
q . Sin embargo la inversa no se cumple en general. Es decir del
conocimiento de ( )
i
x
p y ( )
j
y
q no se puede, en general, reconstruir ( )
j
i y
,
x
p a menos que X e Y sean
variables independientes en cuyo caso es ( ) ( ) ( )
j
i
j
i y
q
x
p
y
,
x
p = .
2- El concepto de independencia entre dos variables aleatorias se puede generalizar a n variables
aleatorias n
X
X
X ,...,
, 2
1
5.5 - Función de una variable aleatoria bidimensional
Existen muchas situaciones en las que dado una variable aleatoria bidimensional nos interesa considerar
otra variable aleatoria que es función de aquélla. Por ejemplo, supongamos que las variables aleatorias X
e Y denotan la longitud y el ancho, respectivamente, de una pieza, entonces Y
X
Z 2
2 +
= es una v.a. que
representa el perímetro de la pieza, o la v.a. Y
X
W .
= representa el área de la pieza. Tanto Z como W
son variables aleatorias.
En general, sea S un espacio muestral asociado a un experimento probabilístico ε , sean R
S
:
X → e
R
S
:
Y → dos variables aleatorias que definen una variable aleatoria bidimensional ( )
Y
,
X cuyo
recorrido es XY
R , y sea una función de dos variables reales R
R
:
H XY → que a cada elemento( )
y
,
x del
recorrido XY
R le hace corresponder un número real ( )
y
,
x
H
z = , entonces la función compuesta
( ) R
S
Y
X
H
Z →
= :
, es una variable aleatoria, puesto que a cada elemento S
s ∈ le hace corresponder
un número real ( ) ( )
[ ]
s
Y
,
s
X
H
z = . Diremos que la variable aleatoria Z es función de la variable
aleatoria bidimensional (X,Y).
Algunas variables aleatorias que son función de variables aleatorias bidimensionales son Y
X
Z +
= ,
Y
.
X
Z = , Y
/
X
Z = , ( )
Y
,
X
mín
Z = , ( )
Y
,
X
máx
Z = , etc.
Lo anterior se puede generalizar si en lugar de dos variables aleatorias tenemos n variables aleatorias
n
X
X
X ,...,
, 2
1 , y ( )
n
x
x
x
H
z ,...
, 2
1
= es una función de n variables a valores reales.

91
Ejemplos:
1- Sea )
,
(
~ p
n
B
Z
Podemos escribir a Z como suma de variables aleatorias de la siguiente forma.
Recordar que Z cuenta el número de éxitos en n repeticiones o ensayos del experimento ε
Si definimos




 −
=
contrario
caso
éxito
ocurre
de
repetición
ésima
í
la
en
si
Xi
0
1 ε
n
i ,...,
2
,
1
=
Notar que a cada i
X se la puede considerar )
,
1
( p
B , y además n
X
X
X ,...,
, 2
1 son independientes
Podemos escribir n
X
X
X
Z +
+
+
= ...
2
1
2- Sea Z v.a. binomial negativa con parámetros r y p, es decir )
,
(
~ p
r
BN
Z
Si definimos
1
X : “número de repeticiones del experimento requeridos hasta el 1º éxito”
2
X : “número de repeticiones del experimento adicionales requeridos hasta el 2º éxito”
3
Y en general
i
X : “número de repeticiones del experimento adicionales después del (i-1)–ésimo éxito requeridos hasta
el i-ésimo éxito”
Entonces cada variable tiene distribución geométrica con parámetro p y r
X
X
X
Z +
+
+
= ...
2
1
Notar además que r
X
X
X ,...,
, 2
Esperanza de una v.a. que es función de una v.a. bidimensional
Sea una variable aleatoria bidimensional ( )
Y
,
X cuya fdp conjunta es la función de probabilidad
conjunta ( )
j
i y
,
x
p si es discreta o la función de densidad de probabilidad conjunta ( )
y
,
x
f si es continua
y sea una función real de dos variables ( )
y
,
x
H
z = de manera que podemos definir una variable
aleatoria Z que es función de la variable aleatoria bidimensional ( )
Y
,
X de la forma ( )
Y
,
X
H
Z = . Si la
fdp de Z es ( )
i
z
q , siendo Z discreta, entonces la esperanza matemática de Z es, de acuerdo con la
definición general,
( ) ( )
∑
∈
=
X
i R
x
i
i z
q
.
z
Z
E (Z discreta)
Nuevamente lo interesante es considerar la posibilidad de evaluar ( )
Z
E sin tener que calcular
previamente la fdp de Z. El siguiente teorema nos muestra cómo hacerlo.
Teorema Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional y sea Z=H(X,Y) una variable aleatoria que es
función de (X,Y).
Si Z es variable aleatoria discreta que proviene de la variable aleatoria bidimensional discreta (X,Y) cuyo
recorrido es XY
R y su fdp conjunta es ( )
j
i y
,
x
p , entonces:
( ) ( )
[ ] ( ) ( )
( )
∑
∈
=
=
XY
j
i R
y
,
x
j
i
j
i y
,
x
p
y
,
x
H
Y
,
X
H
E
Z
E
Dem.) sin demostración

92
Esperanza de una suma de variables aleatorias
Dem.) en el teorema anterior consideramos y
x
y
x
H +
=
)
,
(
Si (X,Y) es discreta
( ) ( )
[ ] ( ) ( )
( )
=
+
=
=
= ∑
∑ ∈
∈
)
,
(
)
(
,
,
,
)
,
(
,
j
R
y
x
i
j
i
R
y
x
j
i
j
i y
x
p
y
x
y
x
p
y
x
H
Y
X
H
E
Z
E
XY
j
i
XY
j
i
Aplicando la propiedad distributiva y separando en dos sumas
( ) =
+
=
+
= ∑
∑
∑ ∈
∈
∈
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
j
R
y
x
i
j
j
i
R
y
x
i
j
R
y
x
i
j
i y
x
p
y
y
x
p
x
y
x
p
y
x
Z
E
XY
j
i
XY
j
i
XY
j
i
∑ ∑
∑ ∑
∑∑
∑∑ =
+
=
+
=
j i
j
i
j
i j
j
i
i
j
i
i j
j
j
i
i j
i y
x
p
y
y
x
p
x
y
x
p
y
y
x
p
x )
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
Pero )
(
)
,
(
∑ =
j
i
j
i x
p
y
x
p y )
(
)
,
(
∑ =
i
j
j
i y
q
y
x
p , por lo tanto
)
(
)
(
)
(
)
( Y
E
X
E
y
q
y
x
p
x
j
j
j
i
i
i +
=
+
= ∑
∑
Para el caso (X,Y) continua sigue siendo válida esta propiedad.
Podemos generalizar la propiedad anterior a un número finito cualquiera de variables aleatorias:
(leeremos: “la esperanza de la suma es la suma de las esperanzas”)
Dem.) Se deduce por inducción completa sobre el número n de variables aleatorias.
Observación: se deduce que la esperanza verifica la propiedad lineal:
( )
∑
∑ =
=
=





 n
i
i
i
n
i
i
i X
E
a
X
a
E
1
1
.
Ejemplos:
1- Vamos a aplicar algunas de las propiedades anteriores para calcular de una manera alternativa la
esperanza matemática de una variable aleatoria X distribuida binomialmente.
Sea entonces una v.a. X∼B(n,p).
Ya vimos que podemos escribir n
X
X
X
X +
+
+
= ...
2
1 donde cada i
,
1
( p
B ,
y además n
X
X
X ,...,
, 2
Sean X e Y dos variables aleatorias arbitrarias. Entonces ( ) ( ) ( )
Y
E
X
E
Y
X
E +
=
+ .
Sean n
X
,...,
X
,
X 2
1 n variables aleatorias arbitrarias. Entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
n
n X
E
...
X
E
X
E
X
...
X
X
E +
+
+
=
+
+
+ 2
1
2
1 o, en notación más concentrada,:
( )
∑
∑ =
=
=





 n
i
i
n
i
X
E
X
E
1
1
1

93
Entonces
p
X
P
X
P
X
P
X
E i
i
i
i =
=
=
=
×
+
=
×
= )
1
(
)
0
(
0
)
1
(
1
)
( para cualquier i
Por lo tanto
( ) ( ) ( ) ( ) np
p
p
p
X
E
X
E
X
E
X
X
X
E
X
E
veces
n
n
n =
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
4
4 3
4
4 2
1
...
...
...
)
( 2
1
2
1
Observación: muchas veces es conveniente descomponer una variable aleatoria como suma de otras más
simples para facilitar los cálculos
2- Esperanza de una v.a. binomial negativa
Cuando se trató la v.a. binomial negativa se dijo cuál era su esperanza. Ahora damos una demostración
Sea X v.a. binomial negativa con parámetros r y p, es decir )
,
(
~ p
r
BN
X
Si definimos
1
X : “número de repeticiones del experimento requeridos hasta el 1º éxito”
2
3
Y en general
i
X : “número de repeticiones del experimento adicionales después del (i-1)–ésimo éxito requeridos hasta
el i-ésimo éxito”
Entonces cada variable tiene distribución geométrica con parámetro p y r
X
X
X
X +
+
+
= ...
2
1
Por lo tanto
( ) ( ) ( ) ( )
p
r
p
r
p
p
p
X
E
X
E
X
E
X
X
X
E
X
E
veces
r
r
r =
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
1
1
...
1
1
...
...
)
( 2
1
2
1
4
4 3
4
4 2
1
3- Esperanza de una v.a. hipergeométrica
)
(
entonces
)
,
(
~
Si
N
nM
X
E
N
M,
n
H
X =
Para facilitar la demostración supongamos que tenemos N bolillas en una urna de las cuales M son rojas
y N-M son blancas. Queremos hallar el número esperado de bolillas rojas extraídas
Definimos las variables




 −
=
contrario
caso
extraída
es
roja
bolilla
ésima
i
la
si
Xi
0
1
Las variables M
X
X
X ,...
, 2
1 no son independientes
Se puede escribir M
X
X
X
X +
+
+
= ...
2
1 , además
N
n
n
N
n
N
X
P
X
E i
i =
















−
−








=
=
=
1
1
1
1
)
1
(
)
(
Por lo tanto

94
( ) ( ) ( ) ( )
N
nM
N
n
M
N
n
N
n
N
n
X
E
X
E
X
E
X
X
X
E
X
E
veces
M
Mr
M =
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
4
4 3
4
4 2
1
...
...
...
)
( 2
1
2
1
Ejemplo
El espesor X de una cuña de madera (en milímetros) tiene una función de densidad de probabilidad
a) Determine E(X)
b) Si Y denota el espesor de una cuña en pulgadas (1mm = 0.0394 pulgadas), determine E(Y)
c) Si se seleccionan tres cuñas de manera independiente y las apilamos una encima de otra, encuentre la me-
dia y la varianza del espesor total.
a) Verifique el lector que
5
)
5
(
4
3
4
3
)
(
6
4
2
=








−
−
= ∫ dx
x
x
X
E
b) X
Y 0394
.
0
= entonces 197
.
0
)
(
0394
.
0
)
0394
.
0
(
)
( =
=
= X
E
X
E
Y
E
c) Notar que si i
X : “espesor de cuña i” , i = 1, 2, 3 entonces X
X
X
X 3
2
1 +
+
= es el espesor total
Por lo tanto 15
5
5
5
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 3
2
1
3
2
1 =
+
+
=
+
+
=
+
+
= X
E
X
E
X
E
X
X
X
E
X
E
En general la esperanza de un producto de variables aleatorias no es igual al producto de las
esperanzas
(leeremos:” la esperanza del producto es el producto de las esperanzas”).
Dem.) análoga a la demostración de la propiedad anterior.
Para el caso (X,Y) continua sigue siendo válida esta propiedad.
Ejemplo:
Supongamos que debido a innumerables causas incontrolables la corriente i y la resistencia r de un
circuito varían aleatoriamente de forma tal que pueden considerarse como variables aleatorias I y R
independientes. Supongamos que las correspondientes fdp son:
( )




 ≤
≤
=
valores
demás
i
i
i
g
0
1
0
2
( )





≤
≤
=
valores
demás
r
r
r
h
0
3
0
9
2
Nos interesa considerar el voltaje r
.
i
v = de manera que podemos definir la variable aleatoria R
.
I
V = .
Hallar el valor esperado o esperanza matemática del voltaje: ( )
V
E .
Como I y R son independientes, usando la propiedad anterior
( ) )
(
)
( R
E
I
E
V
E =
Si ( )
Y
,
X es una variable aleatoria bidimensional tal que X e Y son variables aleatorias
independientes, entonces: ( ) ( ) ( )
Y
E
.
X
E
Y
.
X
E =
( )





≤
≤
−
−
=
lado
otro
en
0
6
4
4
5
3
4
3
)
(
2
x
x
x
f

95
3
2
3
2
)
2
(
)
(
1
0
3
1
0
=
=
= ∫
i
di
i
i
I
E 1
9
3
9
1
4
9
1
9
)
(
4
3
0
4
3
0
2
=
×
=
=








= ∫
r
dr
r
r
R
E
3
2
1
3
2
)
( =
×
=
∴ V
E
Varianza de una suma de variables aleatorias
.
Dem.) Escribimos la varianza en su forma alternativa
( ) [ ]
( ) ( )
[ ]2
2
Y
X
E
Y
X
E
Y
X
V +
−
+
=
+ . Desarrollamos los cuadrados y aplicamos la propiedad lineal de
la esperanza:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( )
[ ]
{ }
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Y
E
Y
E
X
E
X
E
Y
E
Y
.
X
E
X
E
Y
E
X
E
Y
Y
.
X
.
X
E
Y
X
V
+
+
−
+
+
=
+
−
+
+
=
+
Agrupando convenientemente:
( ) ( ) ( )
[ ]
{ } ( ) ( )
[ ]
{ } ( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
Y
E
X
E
Y
.
X
E
Y
V
X
V
Y
E
X
E
Y
.
X
E
Y
E
Y
E
X
E
X
E
Y
X
V
−
+
+
=
−
+
−
+
−
=
+
2
2
2
2
2
2
, es decir
( ) ( ) ( ) XY
σ
Y
V
X
V
Y
X
V 2
+
+
=
+
Observaciones:
1- Teniendo presente la definición de la desviación estándar de una v.a. X: ( )
X
V
σX = , vemos que a la
propiedad anterior la podemos escribir:
( ) XY
Y
X σ
σ
σ
Y
X
V 2
2
2
+
+
=
+
2- Análogamente se prueba que ( ) XY
Y
X
Y
X
V σ
σ
σ 2
2
2
−
+
=
−
3- X e Y son independientes, entonces ( ) ( ) ( )
Y
V
X
V
Y
X
V
Y
X
V +
=
−
=
+ )
(
Esto es porque si las variables aleatorias X e Y son independientes, entonces ( ) ( ) ( )
Y
E
.
X
E
Y
.
X
E = .
Por lo tanto la covarianza vale cero : ( ) ( ) ( ) 0
=
−
= Y
E
.
X
E
Y
.
X
E
σXY .
( ) ( ) ( ) XY
Y
V
X
V
Y
X
V σ
2
+
+
=
+ con ( ) ( ) ( )
Y
E
.
X
E
Y
.
X
E
σXY −
=
( ) ( ) ( )
Y
E
.
X
E
Y
.
X
E
σXY −
= se la llama la covarianza de X e Y.

96
4- Podemos generalizar, usando el principio de inducción completa, al caso de n variables aleatorias
independientes:
Si n
X
,...,
X
,
X 2
1 son n variables aleatorias independientes entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
n
n X
V
...
X
V
X
V
X
...
X
X
V +
+
+
=
+
+
+ 2
1
2
1 o, en forma más compacta, ( )
∑
∑ =
=
=





 n
i
i
n
i
i X
V
X
V
1
1
.
5- Vemos que la esperanza de la suma de dos variables aleatorias X e Y es igual a la suma de las
esperanzas ( ) ( ) ( )
Y
E
X
E
Y
X
E +
=
+ cualesquiera sean X e Y . En cambio la varianza de la suma de las
variables aleatorias X e Y es, en general, igual a la suma de las varianzas, ( ) ( ) ( )
Y
V
X
V
Y
X
V +
=
+ , sólo
si X e Y son variables independientes.
Ejemplos:
1- Podemos ejemplificar la aplicación de las propiedades de la varianza, calculando nuevamente la
varianza de una v.a. X distribuida binomialmente con parámetros n y p.
Sea entonces una v.a. X∼B(n,p). Vimos que se puede escribir:
n
X
X
X
X +
+
+
= ...
2
1 , donde las n variables aleatorias son independientes entre sí y tienen todas la
misma distribución:
( )
p
B
Xi ,
1
∼ n
,...,
,
i 2
1
=
∀
Entonces, tratándose de n variables aleatorias independientes
( ) ( ) ( ) ( )
n
X
V
X
V
X
V
X
V +
+
+
= ...
2
1 todas la varianzas son iguales y podemos escribir la suma como n
veces una cualquiera de ellas:
( ) ( )
i
X
nV
X
V = . Pero
( ) ( ) ( )
[ ]2
2
i
i
i X
E
X
E
X
V −
= .
Ya vimos que ( ) ( ) 0
1
0
.
1 =
−
+
= p
p
X
E i
Además es: ( ) ( ) p
p
p
X
E i =
−
+
= 1
0
.
1 2
2
2
Entonces: ( ) ( ) ( )
[ ] ( )
p
p
p
p
X
E
X
E
X
V i
i
i −
=
−
=
−
= 1
2
2
2
.
Luego:
( ) ( ) ( )
p
np
X
nV
X
V i −
=
= 1
que es el resultado que habíamos obtenido a partir de la definición y llevando las sumas involucradas a
la forma del desarrollo de un binomio de Newton.
2- Varianza de una v.a. binomial negativa
Ya vimos que podemos escribir r
X
X
X
X +
+
+
= ...
2
1 , donde cada variable i
X tiene distribución
geométrica con parámetro p
Por lo tanto
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
1
1
...
p
p
r
X
V
X
V
X
V
X
V r
−
=
+
+
+
=
5.6 - Covarianza
Sean X e Y dos variables aleatorias. La covarianza de X e Y se define:
( )
[ ] ( )
[ ]
{ } ( ) ( ) ( )
Y
E
X
E
Y
X
E
Y
E
Y
X
E
X
E
Y
X
Cov .
.
.
)
,
( −
=
−
−
=

97
Notación: la notación usual para la covarianza de X e Y es XY
σ o )
,
( Y
X
Cov
La última igualdad surge de desarrollar el producto y aplicar las propiedades de la esperanza:
( )
[ ] ( )
[ ]
{ } ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
Y
E
X
E
Y
.
X
E
Y
E
.
X
Y
.
X
E
Y
E
Y
.
X
E
X
E +
−
−
=
−
−
Teniendo presente que ( )
X
E y ( )
Y
E son constantes:
( )
[ ] ( )
[ ]
{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Y
E
.
X
E
Y
.
X
E
Y
E
X
E
Y
E
X
E
Y
E
.
X
E
Y
.
X
E
Y
E
Y
.
X
E
X
E −
=
+
−
−
=
−
− .
Dem. )
Según vimos, si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces ( ) ( ) ( )
Y
E
.
X
E
Y
.
X
E = , de donde
se sigue la propiedad.
Propiedades de la covarianza
Las siguientes propiedades son útiles y su verificación se deja como ejercicio
1- )
,
(
)
,
( Y
X
bdCov
dY
c
bX
a
Cov =
+
+
2- )
,
(
)
,
(
)
,
( Z
Y
Cov
Z
X
Cov
Z
Y
X
Cov +
=
+
3- ∑∑
∑
∑ = =
=
=
=







 n
i
m
j
j
i
m
j
j
n
i
i Y
X
Cov
Y
X
Cov
1 1
1
1
)
,
(
,
4- )
(
)
,
( X
V
X
X
Cov =
Ejemplos:
1)Varianza de una v.a. hipergeométrica






−
−





 −
=
1
)
(
entonces
)
,
(
~
Si
N
n
N
N
M
N
N
M
n
X
V
N
M,
n
H
X
Para facilitar la demostración supongamos que tenemos N bolillas en una urna de las cuales M son rojas
y N-M son blancas. Queremos hallar la varianza del número de bolillas blancas extraídas
Como antes definimos las variables




 −
=
contrario
caso
extraída
es
roja
bolilla
ésima
i
la
si
Xi
0
1
Las variables M
X
X
X ,...
, 2
1 no son independientes
Se puede escribir M
X
X
X
X +
+
+
= ...
2
1 , además
N
n
n
N
n
N
X
P
X
E i
i =
















−
−








=
=
=
1
1
1
1
)
1
(
)
( y
( ) 





−
=






−
=
−
=
N
n
N
n
N
n
N
n
X
E
X
E
X
V i
i
i 1
)
(
)
(
)
(
2
2
2
Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces 0
)
,
( =
Y
X
Cov .

98
Por lo tanto )
,
(
2
)
(
)
...
(
)
(
1 1
2
1 j
M
i M
j
i
i
i
M X
X
Cov
X
V
X
X
X
V
X
V ∑ ∑
= ≤
≤<
+
=
+
+
+
=
Por otro lado )
(
)
(
)
(
)
;
( j
i
j
i
j
i Y
E
X
E
X
X
E
X
X
Cov −
=
Y
)
1
(
)
1
(
)
(
−
−
=
N
N
n
n
X
X
E j
i , entonces
2
)
1
(
)
1
(
)
;
( 





−
−
−
=
N
n
N
N
n
n
X
X
Cov j
i
Aplicando algunos pasos algebraicos se llega a 





−






−
−
=






−
−
−
=
N
n
N
N
n
N
n
N
N
n
n
X
X
Cov j
i 1
1
1
)
1
(
)
1
(
)
;
(
2
Reemplazando












−






−
−








+






−
=
+
= ∑ ∑
= ≤
≤< N
n
N
n
N
M
N
n
N
n
M
X
X
Cov
X
V
X
V j
M
i M
j
i
i
i 1
1
1
2
2
1
)
,
(
2
)
(
)
(
1 1
Nuevamente, luego de algunos cálculos algebraicos se llega a






−
−





 −
=
1
)
(
N
n
N
N
M
N
N
M
n
X
V
2) De una caja con frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 plátanos se selecciona una muestra de
4 frutas.
Sean las variables aleatorias
X: “ nº de naranjas extraídas”
Y: “nº de manzanas extraídas”
Notar que la f.d.p. conjunta de (X,Y) es
4
1
;
2
,
1
,
0
;
3
,
2
,
1
,
0
4
8
4
3
2
3
)
,
( ≤
+
≤
=
=
















−
−
















=
=
= y
x
y
x
y
x
y
x
y
Y
x
X
P
Es un ejemplo de v.a. hipergeométrica bidimensional.
También se podría haber presentado la f.d.p. conjunta en una tabla, donde también figuran las distri-
buciones marginales de X e Y.
a) ¿Cuales son E(X) , V(X), E(Y) y V(Y)?
2
3
70
105
70
3
3
70
9
2
70
3
1
0
0
)
(
=
=
=
×
+
×
+
×
+
×
=
X
E
1
70
15
2
70
40
1
70
15
0
)
( =
×
+
×
+
×
=
Y
E
Verifique el lector que
28
15
)
( =
X
V y
7
3
)
( =
Y
V
X/Y 0 1 2
0 0 2/70 3/70 5/70
1 3/70 18/70 9/70 30/70
2 9/70 18/70 3/70 30/70
3 3/70 2/70 0 5/70
15/70 40/70 15/70

99
b) ¿Son X e Y independientes?
0
)
0
,
0
( =
=
= Y
X
P pero 0
70
15
70
5
)
0
(
)
0
( ≠
=
=
= Y
P
X
P
Por lo tanto X e Y son dependientes, lo que implica que 0
)
,
( ≠
Y
X
Cov
c) ¿Cuál es la Cov(X,Y)?
)
(
)
(
)
(
)
,
( Y
E
X
E
XY
E
Y
X
Cov −
=
70
90
0
2
3
70
2
1
3
70
3
0
3
70
3
2
2
70
18
1
2
70
9
0
2
70
9
2
1
70
18
1
1
70
3
0
1
70
3
2
0
70
2
1
0
0
0
0
)
(
=
×
×
+
×
×
+
×
×
+
+
×
×
+
×
×
+
×
×
+
+
×
×
+
×
×
+
×
×
+
+
×
×
+
×
×
+
×
×
=
XY
E
Entonces
14
3
1
2
3
7
9
)
(
)
(
)
(
)
,
( −
=
×
−
=
−
= Y
E
X
E
XY
E
Y
X
Cov
d) Z = X+Y simboliza el total de naranjas y manzanas extraídas
¿Cuál es la E(Z) y V(Z) ?
5
.
2
1
2
3
)
(
)
(
)
(
)
( =
+
=
+
=
+
= Y
E
X
E
Y
X
E
Z
E
28
15
14
3
2
7
3
18
15
)
,
(
2
)
(
)
(
)
( =








−
×
+
+
=
+
+
= Y
X
Cov
Y
V
X
V
Z
V
e) Supongamos que cada naranja cuesta 2$ y cada manzana cuesta 1.5$ entonces
Y
X
W 5
.
1
2 +
= es el costo del total de frutas extraídas. Hallar E(W) y V(W)
$
5
.
4
)
(
5
.
1
)
(
2
)
5
.
1
2
(
)
( =
+
=
+
= Y
E
X
E
Y
X
E
W
E
28
51
)
,
(
5
.
1
2
2
)
(
5
.
1
)
(
2
)
5
.
1
2
(
)
( 2
2
=
×
×
+
+
=
+
= Y
X
Cov
Y
V
X
V
Y
X
V
W
V
5.7 - Coeficiente de correlación lineal.
En realidad más que la covarianza aquí nos interesa considerar una cantidad relacionada con XY
σ y que
según veremos nos dará información sobre el grado de asociación que existe entre X e Y . Más
concretamente nos contará si existe algún grado de relación lineal entre X e Y . Esa cantidad es el
coeficiente de correlación lineal.
En el mismo sentido en que podemos tener una idea aproximada sobre la probabilidad de un suceso A si
repetimos el experimento y consideramos las ocurrencias de A en las n repeticiones,
así podemos tener también una primera idea sobre la existencia de una relación funcional,
específicamente una relación lineal, entre X e Y si consideramos un diagrama de dispersión. Consiste en

100
dibujar pares de valores ( )
j
i y
,
x medidos de la variable aleatoria ( )
Y
,
X en un sistema de coordenadas.
En la figura mostramos diversas situaciones posibles.
De la figura a se deduciría que entre X e Y no hay ningún tipo de relación funcional. La figura b sugiere
la posibilidad de que exista una relación funcional que corresponde a una parábola. La figura c, por su
parte, sugiere una relación lineal entre X e Y . Este último es el comportamiento que nos interesa
caracterizar. Con ese fin definimos el coeficiente de correlación lineal como sigue:
En consecuencia:
( )
[ ] ( )
[ ]
{ }
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Y
V
.
X
V
Y
E
.
X
E
Y
.
X
E
Y
V
.
X
V
Y
E
Y
.
X
E
X
E
ρXY
−
=
−
−
= .
Daremos una serie de propiedades de XY
ρ que nos permitirán establecer más concretamente su
significado.
Propiedad 1
Dem.) inmediata a partir del hecho que si X e Y son independientes entonces )
(
)
(
)
( Y
E
X
E
XY
E =
Observación: La inversa no es necesariamente cierta. Puede ser que 0
=
XY
ρ y sin embargo X e Y no
sean variables aleatorias independientes. En efecto si tenemos una v.a. bidimensional ( )
Y
,
X que da
lugar a un diagrama de dispersión como el que se muestra en la figura, veremos que correspondería a un
coeficiente de correlación lineal 0
=
XY
ρ y sin embargo la figura sugiere que entre X e Y existe la
relación funcional 1
2
2
=
+ Y
X , es decir X e Y son v.a. dependientes. En realidad, como veremos, XY
ρ es
0 0
a b c
x x
y y y
(xi yi)
x
Sea ( )
Y
,
X una variable aleatoria bidimensional. Definimos el coeficiente de correlación lineal entre
X e Y como
Y
X
XY
Y
X
Cov
σ
σ
ρ
)
,
(
=
Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces 0
=
XY
ρ .

101
una medida de la existencia de una relación lineal entre X e Y y una circunferencia se aleja mucho de
una línea recta.
Propiedad 2 :
Dem.)
Si consideramos la v.a.
Y
X
Y
X
σ
σ
+ entonces
( )
XY
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Cov
Y
V
X
V
Y
X
V ρ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
+
=
+
+
=








+
≤ 1
2
)
,
(
2
)
(
)
(
0 2
2
Implicando que XY
ρ
≤
−1
Por otro lado: ( )
XY
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Cov
Y
V
X
V
Y
X
V ρ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
−
=
−
+
=








−
≤ 1
2
)
,
(
2
)
(
)
(
0 2
2
Implicando que 1
≤
XY
ρ
1
1 ≤
≤
−
∴ XY
ρ
Propiedad 3 :
Dem.) Si 1
2
=
XY
ρ entonces 1
=
XY
ρ o 1
−
=
XY
ρ
Si 1
−
=
XY
ρ entonces de la demostración anterior se deduce que
y
x
0 1 2 3
-1
-2
-1
1
1
1 ≤
≤
− XY
ρ
Si 1
2
=
XY
ρ , entonces con probabilidad 1 es B
X
.
A
Y +
= donde A y B son constantes.

102
( ) 0
1
2 =
+
=








+ XY
Y
X
Y
X
V ρ
σ
σ
, lo que implica que la v.a.
Y
X
Y
X
Z
σ
σ
+
= tiene varianza cero. Según la
interpretación de varianza podemos deducir (en forma intuitiva) que la v.a. no tiene dispersión con
respecto a su esperanza, es decir la v.a. Z es una constante con probabilidad 1
Por lo tanto esto implica que B
X
.
A
Y +
= con 0
<
−
=
X
Y
A
σ
σ
Análogamente 1
=
XY
ρ implica que B
X
.
A
Y +
= con 0
>
=
X
Y
A
σ
σ
Propiedad 4 :
Dem.) se deja como ejercicio
Observación: Claramente las propiedades anteriores establecen que el coeficiente de correlación lineal
es una medida del grado de linealidad entre X e Y.
Ejemplo
En el ejemplo anterior
44721
.
0
5
5
7
3
28
15
14
3
)
(
)
(
)
,
(
−
=
−
=
−
=
=
Y
V
X
V
Y
X
Cov
XY
ρ
Si X e Y son dos variables aleatorias tales que B
X
.
A
Y +
= , donde A y B son constantes,
entonces 1
2
=
XY
ρ . Si 0
>
A es 1
=
XY
ρ y si 0
<
A es 1
−
=
XY
ρ .

103
6- SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS Y TEOREMA
CENTRAL DEL LÍMITE
6.1 – Suma de variables aleatorias independientes
Cuando se estudiaron las variables aleatorias bidimensionales se habló de una función de variable
aleatoria bidimensional. En particular se nombró la suma de n variables aleatorias, pero no se dijo nada
sobre la distribución de esa v.a. suma.
Es a menudo importante saber cuál es la distribución de una suma de variables aleatorias independientes.
Consideramos algunos ejemplos en el caso discreto
1- Suma de variables aleatorias independientes con distribución Poisson
)
(
~
ntes
independie
Y
y
;
)
(
~
;
)
(
~ 2
1
2
1 λ
λ
λ
λ +
+
⇒ P
Y
X
X
P
Y
P
X
Dem.)
Consideramos el evento { }
n
Y
X =
+ como unión de eventos excluyentes { } n
k
k
n
Y
k
X ≤
≤
−
=
= 0
,
, entonces
( )
=
−
=
−
=
=
=
−
=
=
=
=
+
−
−
=
−
=
=
∑
∑
∑ !
!
)
(
)
(
)
,
(
)
( 2
0
1
0
0
2
1
k
n
e
k
e
k
n
Y
P
k
X
P
k
n
Y
k
X
P
n
Y
X
P
k
n
n
k
k
n
k
n
k
λ
λ λ
λ
X e Y independientes
( ) ( )
( )n
k
n
n
k
k
n
k
k
n
k
n
e
k
n
k
n
n
e
k
n
k
e 2
1
)
(
2
0
1
)
(
0
2
1
)
(
!
!
!
!
!
!
!
2
1
2
1
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
=
−
=
−
=
+
−
−
=
+
−
=
−
+
−
∑
∑
Binomio de Newton
O sea X+Y tiene distribución Poisson con parámetro 2
1 λ
λ +
2- Suma de variables aleatorias binomiales independientes
)
,
(
~
ntes
independie
Y
y
;
)
,
(
~
;
)
,
(
~ 2
1
2
1 p
n
n
B
Y
X
X
p
n
B
Y
p
n
B
X +
+
⇒
Dem.)
Nuevamente consideramos el evento { }
k
Y
X =
+ como unión de eventos excluyentes
{ } 1
0
, n
i
i
k
Y
i
X ≤
≤
−
=
= , entonces
=
−








−
−








=
−
=
=
=
−
=
=
=
=
+ +
−
−
−
=
=
=
∑
∑
∑ i
k
n
i
k
i
n
i
n
k
n
i
n
i
p
p
i
k
n
p
p
i
n
i
k
Y
P
i
X
P
i
k
Y
i
X
P
k
Y
X
P 2
1
1
1
1
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
,
(
)
( 2
0
1
0
0
X e Y independientes








−








−
= ∑
=
−
+
i
k
n
i
n
p
p
n
i
k
n
n
k 2
0
1
1
2
1
)
1
(
En la expresión anterior si r
j > entonces 0
=








j
r

104
Por último usamos la siguiente identidad combinatoria ∑
=







 +
=








−








1
0
2
1
2
1
n
i k
n
n
i
k
n
i
n
Y entonces
k
n
n
k
p
p
k
n
n
k
Y
X
P −
+
−







 +
=
=
+ 2
1
)
1
(
)
( 2
1
O sea X+Y tiene distribución binomial con parámetros 2
1 n
n + y p
Observación: en los dos casos anteriores se puede generalizar el resultado a n variables aleatorias
independientes, usando el principio de inducción completa, es decir
1- Si n
X
X
X ,...,
, 2
1 son n variables aleatorias independientes donde )
(
~ i
i P
X λ para todo
n
i ,...,
2
,
1
= entonces )
(
~
0
0
∑
∑ =
=
n
i
i
n
i
i P
X λ
2- Si n
X
X
X ,...,
, 2
,
(
~ p
n
B
X i
i para todo
n
i ,...,
2
,
1
= entonces )
,
(
~
0
0
p
n
B
X
n
i
i
n
i
i ∑
∑ =
=
Suma de variables aleatorias normales independientes
Si X e Y son dos variables aleatorias continuas independientes con densidades g(x) y h(y)
respectivamente se puede probar (no lo demostraremos aquí) que la v.a. Y
X
Z +
= tiene densidad dada
por ∫
∞
∞
−
+ −
= dy
y
h
y
z
g
z
f Y
X )
(
)
(
)
(
Usando esto se puede demostrar el siguiente importante resultado:
Por inducción completa se puede generalizar este resultado a n variables:
De lo anterior y del hecho que ( ) )
,
~
,
~ 2
2
2
σ
µ
σ
µ a
b
N(a
b
aX
N
X +
+
⇒ tenemos:
Si n
X
X
X ,...,
, 2
,
(
~ 2
i
i
i N
X σ
µ para todo
n
i ,...,
2
,
1
= entonces )
,
(
~
1
2
0
0
∑
∑
∑ =
=
=
n
i
i
n
i
i
n
i
i N
X σ
µ
Si n
X
X
X ,...,
, 2
,
(
~ 2
i
i
i N
X σ
µ para todo
n
i ,...,
2
,
1
= entonces )
,
(
~
1
2
2
0
0
∑
∑
∑ =
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i a
a
N
X
a σ
µ donde n
a
a
a ,...,
, 2
1 son números reales
Si X e Y son variables aleatorias independientes donde ( )
,
~
2
1
1 σ
µ
N
X y ( )
,
~
2
2
2 σ
µ
N
Y entonces
( )
,
~
2
2
2
1
2
1 σ
σ
µ
µ +
+
+ N
Y
X

105
Se dice que ∑
=
n
i
i
i X
a
0
es una combinación lineal de variables aleatorias.
Ejemplos:
1- La envoltura de plástico para un disco magnético está formada por dos hojas. El espesor de cada
una tiene una distribución normal con media 1.5 milímetros y desviación estándar de 0.1 milí-
metros. Las hojas son independientes.
a) Determine la media y la desviación estándar del espesor total de las dos hojas.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el espesor total sea mayor que 3.3 milímetros?
Solución: Sean las variables aleatorias
X: “espesor de la hoja 1” e Y: “espesor de la hoja 2”
Entonces )
1
.
0
,
5
.
1
~ 2
N(
X ; )
1
.
0
,
5
.
1
~ 2
N(
Y y X e Y independientes
a) Si definimos la v.a. Z: “espesor total de las dos hojas” , entonces Y
X
Z +
=
Por lo tanto )
1
.
0
1
.
0
,
5
.
1
5
.
1
~ 2
2
+
+
N(
Z es decir )
02
.
0
,
3
~ N(
Z
En consecuencia 3
)
( =
Z
E , 02
.
0
)
( =
= Z
V
Z
σ
b) Se pide calcular )
3
.
3
( >
Z
P
( ) 017
.
0
983
.
0
1
12132
.
2
1
02
.
0
3
3
.
3
1
02
.
0
3
3
.
3
02
.
0
3
)
3
.
3
( =
−
=
Φ
−
=







 −
Φ
−
=







 −
>
−
=
>
Z
P
Z
P
2-Tengo tres mensajes que atender en el edificio administrativo. Sea Xi : “ el tiempo que toma el i-
ésimo mensaje” (i = 1, 2 ,3), y sea X4 : “ el tiempo total que utilizo para caminar hacia y desde el
edificio y entre cada mensaje”. Suponga que las Xi son independientes, normalmente distribui-
das, con las siguientes medias y desviaciones estándar:
3
,
12
,
2
,
8
,
1
,
5
,
4
min,
15 4
4
3
3
2
2
1
1 =
=
=
=
=
=
=
= σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
Pienso salir de mi oficina precisamente a las 10.00 a.m. y deseo pegar una nota en mi puerta que
dice “regreso a las t a.m.” ¿A qué hora t debo escribir si deseo que la probabilidad de mi llegada
después de t sea 0.01?
Solución: Definimos la v.a. Z: “tiempo transcurrido desde que salgo de mi oficina hasta que re-
greso”, entonces 4
3
2
1 X
X
X
X
T +
+
+
=
Por lo tanto 





∑
∑ =
=
4
1
2
4
1
,
~
i
i
i
i
N
T σ
µ , y se pide hallar t tal que 01
.
0
)
( =
> t
T
P
50
12
8
5
15
4
1
=
+
+
+
=
∑
=
i
i
µ y 30
3
2
1
4 2
2
2
4
1
2
2
=
+
+
+
=
∑
=
i
i
σ
Entonces 01
.
0
30
50
1
)
( =







 −
Φ
−
=
>
t
t
T
P , es decir 99
.
0
30
50
=







 −
Φ
t
Buscando en la tabla de la normal 7619
.
62
50
30
33
.
2
33
.
2
30
50
=
+
×
=
⇒
=
−
t
t
3- El ancho del marco de una puerta tiene una distribución normal con media 24 pulgadas y des-
viación estándar de 1/8 de pulgada. El ancho de la puerta tiene una distribución normal con me-
dia 23.875 de pulgadas y desviación estándar de 1/16 de pulgadas. Suponer independencia.
a) Determine la distribución, la media y la desviación estándar de la diferencia entre el ancho
del marco y de la puerta.

106
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre el ancho del marco y de la puerta sea ma-
yor que ¼ de pulgada?.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la puerta no quepa en el marco?.
Solución: Sean las variables aleatorias
X: “ancho del marco de la puerta en pulgadas”
Y: “ancho de la puerta en pulgadas”
Entonces )
1/8)
(
,
24
~ 2
N(
X , )
1/16)
(
,
875
.
23
~ 2
N(
Y , X e Y independientes
a) Se pide la distribución de X-Y , )
( Y
X
E − , )
( Y
X
V
Y
X −
=
−
σ
125
.
0
875
.
23
24
)
(
)
(
)
( =
−
=
−
=
− Y
E
X
E
Y
X
E
16
5
256
5
16
1
8
1
)
(
)
(
)
(
2
2
=
∴
=






+






=
+
=
− −Y
X
Y
V
X
V
Y
X
V σ
Por lo tanto
















−
2
16
5
,
125
.
0
~ N
Y
X
b) Se pide la probabilidad )
4
/
1
( >
−Y
X
P
1867
.
0
8133
.
0
1
)
8944
.
0
(
1
5
5
2
1
16
5
125
.
0
25
.
0
1
)
4
/
1
( =
−
=
Φ
−
=








Φ
−
=












−
Φ
−
=
>
−Y
X
P
c) Si la puerta no entra en el marco entonces se da el evento { }
Y
X < o equivalentemente
{ }
0
<
−Y
X , por lo tanto
1867
.
0
5
5
2
1
5
5
2
16
5
125
.
0
0
)
0
( =








Φ
−
=








−
Φ
=












−
Φ
=
<
−Y
X
P
4- Supongamos que las variables aleatorias X e Y denotan la longitud y el ancho en cm, respecti-
vamente, de una pieza.
Supongamos además que X e Y son independientes y que X ~ N(2 , 0.12
) , Y ~ N(5 , 0.22
).
Entonces Z = 2X + 2Y es una v.a. que representa el perímetro de la pieza.
Calcular la probabilidad de que el perímetro sea mayor que 14.5 cm.
Solución: tenemos que ( )
2
2
2
2
2
.
0
2
1
.
0
2
,
5
2
2
2
~ ×
+
×
×
+
×
N
Z , o sea ( )
0.2
,
14
~ N
Z
La probabilidad pedida es )
5
.
14
( >
Z
P , entonces
( ) 119
.
0
8810
.
0
1
1180
.
1
1
2
5
1
2
.
0
14
5
.
14
1
)
5
.
14
( =
−
=
Φ
−
=








Φ
−
=







 −
Φ
−
=
>
Z
P
5- Si se aplican dos cargas aleatorias 2
1 y X
X a una viga voladiza como se muestra en la figura si-
guiente, el momento de flexión en 0 debido a las cargas es 2
2
1
1 X
a
X
a + .
a) Suponga que 2
1 y X
X son v.a. independientes con medias 2
y 4 KLbs respectivamente, y desviaciones estándar 0.5 y
1.0 KLbs, respectivamente.

107
Si 5
1 =
a pies y 10
2 =
a pies, ¿cuál es el momento de flexión esperado y cuál es la desviación
estándar del momento de flexión?
b) Si 2
1 y X
X están normalmente distribuidas, ¿cuál es la probabilidad de que el momento de
flexión supere 75 KLbs?
Solución: Sea la v.a. Z: “momento de flexión en 0”, entonces 2
1 10
5 X
X
Z +
=
Por lo tanto
a) 50
4
10
2
5
)
(
10
)
(
5
)
( 2
1 =
×
+
×
=
+
= X
E
X
E
Z
E
4
65
4
65
1
10
25
.
0
25
1
10
5
.
0
5
)
( 2
2
2
2
=
∴
=
×
+
×
=
×
+
×
= Z
Z
V σ
b) Si 2
1 y X
X están normalmente distribuidas, entonces 





4
65
,
50
~ N
Z
Por lo tanto
( ) 0
1
1
20
.
6
1
13
65
10
1
4
65
50
75
1
)
75
( =
−
≈
Φ
−
=








Φ
−
=












−
Φ
−
=
>
Z
P
Promedio de variables aleatorias normales independientes
Dem.) Notar que
n
X
X
n
i
i
∑
=
= 1
es un caso particular de combinación lineal de variables aleatorias donde
n
ai
1
= para todo n
i ,...,
2
,
1
=
Además en este caso µ
µ =
i y 2
2
σ
σ =
i para todo n
i ,...,
2
,
1
=
Por lo tanto, X tiene distribución normal con esperanza µ
µ
µ
µ =
=
= ∑
∑ =
=
n
i
n
i
i n
n
n
n 1
1
1
1
1
y varianza
n
n
n
n
n
n
i
i
n
i
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1 σ
σ
σ
σ =






=






=






∑
∑ =
=
Es decir, 







n
N
X
2
,
~
σ
µ
Observación: a X se lo llama promedio muestral o media muestral
Si n
X
X
X ,...,
, 2
,
(
~ 2
σ
µ
N
Xi para todo
n
i ,...,
2
,
1
= entonces la v.a.
n
X
X
n
i
i
∑
=
= 1
tiene distribución normal con
media µ y varianza
n
2
σ

108
Ejemplos:
1) El diámetro interno de un anillo de pistón seleccionado al azar es una v.a. con distribución normal con
media 12 cm y desviación estándar de 0.04 cm.
a) Si X es el diámetro promedio en una muestra de 16
=
n anillos, calcule )
01
.
12
99
.
11
( ≤
≤ X
P
b) ¿Qué tan probable es que el diámetro promedio exceda de 12.01 cuando 25
=
n ?
Solución:
a) Sean las variables aleatorias :
i
X “diámetro del anillo i” 16
,...,
2
,
1
=
i
Entonces ( )
04
.
0
,
12
~ 2
N
X i para cada i.
Por lo tanto








16
04
.
0
,
12
~
2
N
X . Entonces
() ( )
6826
.
0
1
8413
.
0
2
1
)
1
(
2
1
1
16
04
.
0 2
12
99
.
11
16
04
.
0 2
12
01
.
12
)
16
04
.
0 2
12
01
.
12
16
04
.
0 2
12
16
04
.
0 2
12
99
.
11
(
)
01
.
12
99
.
11
(
=
−
×
=
=
−
=
−
−
=
















−
−
















−
=
=
−
≤
−
≤
−
=
≤
≤
φ
φ
φ
φ
φ
X
P
X
P
b) En este caso








25
04
.
0
,
12
~
2
N
X , entonces
1056
.
0
8944
.
0
1
)
25
.
1
(
1
25
04
.
0
12
01
.
12
1
)
01
.
12
( 2
=
−
=
−
=














−
−
=
> φ
φ
X
P
2)Una máquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de µ onzas por
botella. Se ha observado que la cantidad de contenido que suministra la máquina presenta una
distribución normal con 1
=
σ onza. De la producción de la máquina un cierto día, se obtiene una
muestra de 9 botellas llenas (todas fueron llenadas con las mismas posiciones del control operativo) y se
miden las onzas del contenido de cada una.
a) Determinar la probabilidad de que la media muestral se encuentre a lo más a 0.3 onzas de la
media real µ para tales posiciones de control
b) ¿Cuántas observaciones deben incluirse en la muestra si se desea que la media muestral esté a
lo más a 0.3 onzas de µ con una probabilidad de 0.95?
Solución:
a) Sean las variables aleatorias :
i
X “contenido en onzas de la botella i” 9
,...,
2
,
1
=
i

109
Entonces ( )
1
,
~ µ
N
Xi para cada i.
Por lo tanto 





9
1
,
~ µ
N
X . Se desea calcular
6318
.
0
1
)
9
.
0
(
2
)
9
.
0
(
)
9
.
0
(
9
.
0
9
.
0
3
.
0
3
.
0
3
.
0
3
.
0
)
3
.
0
3
.
0
(
)
3
.
0
(
=
−
Φ
=
=
−
Φ
−
Φ
=










≤
−
≤
−
=










≤
−
≤
−
=
=










≤
−
≤
−
=
≤
−
≤
−
=
≤
−
n
X
P
n
n
X
n
P
n
n
X
n
P
X
P
X
P
σ
µ
σ
σ
µ
σ
σ
σ
µ
σ
µ
µ
b) Ahora se pretende que
95
.
0
)
3
.
0
3
.
0
(
)
3
.
0
( =
≤
−
≤
−
=
≤
− µ
µ X
P
X
P
Entonces
95
.
0
3
.
0
1
3
.
0
3
.
0
3
.
0
)
3
.
0
( =










≤
−
≤
−
=










≤
−
≤
−
=
≤
− n
n
X
n
P
n
n
X
n
P
X
P
µ
σ
σ
µ
σ
µ
Mediante la tabla de la acumulada de la normal estándar se tiene que
( ) ( ) ( ) 96
.
1
3
.
0
0.975
3
.
0
95
.
0
1
3
.
0
2
3
.
0
1
3
.
0 =
⇒
=
Φ
⇒
=
−
Φ
=










≤
−
≤
− n
n
n
n
n
X
n
P
µ
O sea 68
.
42
3
.
0
96
.
1
2
=






≈
n
Si tomamos 43
=
n , entonces )
3
.
0
( ≤
− µ
X
P será un poco mayor que 0.95
6.2 - Teorema central del límite
Acabamos de ver que la suma de un número finito n de variables aleatorias independientes que están
normalmente distribuidas es una variable aleatoria también normalmente distribuida. Esta propiedad
reproductiva no es exclusiva de la distribución normal. En efecto, por ejemplo, ya vimos que existen
variables aleatorias discretas que la cumplen, es el caso de la Poisson y la Binomial.
En realidad, la propiedad que le da a la distribución normal el lugar privilegiado que ocupa entre todas
las distribuciones es el hecho de que la suma de un número muy grande, rigurosamente un número
infinito numerable, de variables aleatorias independientes con distribuciones arbitrarias (no
necesariamente normales) es una variable aleatoria que tiene, aproximadamente, una distribución
normal. Este es, esencialmente, el contenido del

110
Dem.) sin demostración
Observaciones:
1- Notar que ( ) ( ) µ
n
X
E
X
E
S
E
n
i
i
n
i
i
n =
=






= ∑
∑ =
= 1
1
y ( ) ( ) 2
1
1
σ
n
X
V
X
V
S
V
n
i
i
n
i
i
n =
=






= ∑
∑ =
=
Por lo tanto
2
σ
µ
n
n
S
Z n
n
−
= es la v.a. n
S estandarizada
2- Notar que










−
=














≤
−
=








≤
−
n
X
P
z
n
n
n
n
S
P
z
n
n
S
P
n
n
σ
µ
σ
µ
σ
µ
2
2
, por lo tanto también se puede enunciar
el Teorema central del límite de la siguiente forma
Donde
n
X
Zn
σ
µ
−
= es el promedio muestral estandarizado
3- Aunque en muchos casos el T.C.L. funciona bien para valores de n pequeños , en particular donde la
población es continua y simétrica, en otras situaciones se requieren valores de n mas grandes,
dependiendo de la forma de la distribución de las i
X . En muchos casos de interés práctico, si 30
≥
n , la
aproximación normal será satisfactoria sin importar cómo sea la forma de la distribución de las i
X . Si
30
<
n , el T.C.L. funciona si la distribución de las i
X no está muy alejada de una distribución normal
4- Para interpretar el significado del T.C.L., se generan (por computadora) n valores de una v.a.
exponencial con parámetro 5
.
0
=
λ , y se calcula el promedio de esos n valores. Esto se repite 1000
veces, por lo tanto tenemos 1000 valores de la v.a. X .
Teorema central del límite (T.C.L.):
Sean n
X
,...,
X
,
X 2
1 variables aleatorias independientes con ( ) µ
=
i
X
E y ( ) 2
σ
=
i
X
V para todo
n
,...,
,
i 2
1
= , es decir independientes idénticamente distribuidas
Sea la v.a. ∑
=
=
n
i
i
n X
S
1
y sea
2
σ
µ
n
n
S
Z n
n
−
= .
Entonces ( ) ( )
z
z
Z
P
lim n
n
Φ
=
≤
∞
→
, esto es ∫∞
−
−
∞
→
=








≤
− z
x
n
n
dx
e
z
n
n
S
P 2
2
2
2
1
lim
π
σ
µ
Sean n
X
,...,
X
,
X 2
1 variables aleatorias independientes con ( ) µ
=
i
X
E y ( ) 2
σ
=
i
X
V para todo
n
,...,
,
i 2
1
= , es decir independientes idénticamente distribuidas
Sea la v.a. promedio muestral ∑
=
=
n
i
i
X
n
X
1
1
y sea
n
X
Zn
σ
µ
−
= .
Entonces ( ) ( )
z
z
Z
P
lim n
n
Φ
=
≤
∞
→
, esto es ∫∞
−
−
∞
→
=








≤
−
z
x
n
dx
e
z
n
X
P 2
2
2
1
lim
π
σ
µ

111
Hacemos un histograma de frecuencias de X , esto es, tomamos un intervalo )
,
( b
a donde “caen”
todos los valores de X , y lo subdividimos en intervalos mas chicos de igual longitud. La frecuencia de
cada subintervalo es la cantidad de valores de X que caen en dicho subintervalo. Se grafican estas
frecuencias obteniéndose los gráficos siguientes que se pueden considerar una aproximación a la
verdadera distribución de X .
Se observa que a medida que aumenta el valor de n los gráficos se van haciendo más simétricos,
pareciéndose a la gráfica de una distribución normal.
Ejemplos:
1- Supóngase que 30 instrumentos electrónicos D1, D2, ......,D30, se usan de la manera siguiente: tan
pronto como D1 falla empieza a actuar D2. Cuando D2 falla empieza a actuar D3, etc. Supóngase que el
tiempo de falla de Di es una v.a. distribuida exponencialmente con parámetro λ = 0.1 por hora. Sea T el
tiempo total de operación de los 30 instrumentos. ¿Cuál es la probabilidad de que T exceda 350 horas?
Solución:
Si i
X : “tiempo de falla del instrumento i
D ” 30
,...,
2
,
1
=
i
Entonces )
1
.
0
(
~ Exp
X i para 30
,...,
2
,
1
=
i
El tiempo total de operación de los 30 instrumentos es ∑
=
=
30
1
i
i
X
T , donde
300
1
.
0
1
30
)
(
30
)
(
30
1
=
×
=
×
=






= ∑
=
i
i
i X
E
X
E
T
E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
50
100
150
1 2 3 4 56 7 8910
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
20
40
60
80
1 2 3 4 5 6 7 8 910
1112
13
14
1516
17
1819
20
21
2223
24
2526
27
2829
10
20
30
40
50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314 1516171819202122
10
20
30
40
n=2
n = 5
n = 15
n = 30

112
3000
1
.
0
1
30
)
(
30
)
( 2
30
1
=
×
=
×
=






= ∑
=
i
i
i X
V
X
V
T
V
Entonces por T.C.L. N(0,1)
~
3000
300
−
T
aproximadamente pues 30
=
n
La probabilidad pedida es
( ) 18141
.
0
81859
.
0
1
9128
.
0
1
3000
300
350
1
3000
300
350
3000
300
)
350
( =
−
=
Φ
−
=







 −
Φ
−
≈







 −
>
−
=
>
T
P
T
P
T.C.L.
2- Suponga que el consumo de calorías por día de una determinada persona es una v.a. con media
3000 calorías y desviación estándar de 230 calorías. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de
consumo de calorías diario de dicha persona en el siguiente año (365 días) sea entre 2959 y 3050?
Solución:
Definimos las variables aleatorias
i
X : “cantidad de calorías que una persona consume en el día i” 365
,...,
2
,
1
=
i
Se sabe que 3000
)
( =
i
X
E y 2
230
)
( =
i
X
V
Si ∑
=
=
365
1
365
1
i
i
X
X entonces 3000
)
( =
X
E y
365
230
)
(
2
2
=
=
n
X
V
σ
( )
( ) ( ) 1
0
1
40
.
3
15
.
4
365
230
3000
2959
365
230
3000
3050
365
230
3000
3050
365
230
3000
365
230
3000
2959
3050
2959
=
−
≈
−
Φ
−
Φ
=










−
Φ
−










−
Φ
≈
≈










−
≤
−
≤
−
=
≤
≤
X
P
X
P
T.C.L.
Aplicaciones del Teorema central del límite
Aproximación normal a la distribución binomial
El Teorema central del límite se puede utilizar para aproximar las probabilidades de algunas variables
aleatorias discretas cuando es difícil calcular las probabilidades exactas para valores grandes de los
parámetros.
Supongamos que X tiene una distribución binomial con parámetros n y p. Para calcular )
( k
X
P ≤
debemos hacer la suma ∑
=
=
=
≤
k
i
i
X
P
k
X
P
0
)
(
)
( o recurrir a las tablas de la F.d.a. , pero para valores de
n grandes no existen tablas, por lo tanto habría que hacer el cálculo en forma directa y muchas veces es
laborioso.
Como una opción podemos considerar a X como suma de variables aleatorias más simples,
específicamente, si definimos




 −
=
contrario
caso
éxito
ocurre
de
repetición
ésima
í
la
en
si
Xi
0
1 ε
n
i ,...,
2
,
1
=

113
entonces cada i
,
1
( p
B , y además n
X
X
X ,...,
, 2
Podemos escribir ∑
=
=
+
+
+
=
n
i
i
n X
X
X
X
X
1
2
1 ... y si n es grande entonces X tendrá aproximadamente
una distribución normal con parámetros np y )
1
( p
np − , es decir
( )
( )
1
,
0
1
.
.
2
N
p
p
n
p
n
X
n
n
X
Zn ≈
−
−
=
−
=
σ
µ
si n es lo suficientemente grande
Observaciones:
1- La aproximación normal a la distribución binomial funciona bien aun cuando n no sea muy grande si
p no está demasiado cerca de cero o de uno. En particular la aproximación normal a la binomial es buena
si n es grande , 5
>
np y 5
)
1
( >
− p
n , pero es más efectivo aplicar esta aproximación cuando 10
>
np
y 10
)
1
( >
− p
n
2- Corrección por continuidad.
Acabamos de ver que si X∼B(n,p) entonces, para n suficientemente grande, podemos considerar que
aproximadamente es X∼ ( )
[ ]
p
p
.
n
,
p
.
n
N −
1 . El problema que surge de inmediato si deseo calcular, por
ejemplo, la probabilidad de que k
X = (con k alguno de los valores posibles 0,1,2,…,n) es que la
binomial es una distribución discreta y tiene sentido calcular probabilidades como ( )
k
X
P = mientras
que la normal es una distribución continua y, en consecuencia, ( ) 0
=
= k
X
P puesto que para una
variable aleatoria continua la probabilidad de que ésta tome un valor aislado es cero. Esto se resuelve si
se considera ( ) 





+
≤
≤
−
≈
=
2
1
2
1
k
X
k
P
k
X
P
También se puede usar esta corrección para mejorar la aproximación en otros casos, específicamente en
lugar de )
( k
X
P ≤ calculamos






+
≤
≈
≤
2
1
)
( k
X
P
k
X
P
Y en lugar de 





−
≥
≈
≥
2
1
)
( k
X
P
k
X
P
En los gráficos siguientes se muestra para diferentes valores de n y p cómo aproxima la distribución
))
1
(
,
( p
np
np
N − a la distribución )
,
( p
n
B
5 10 15 20 25
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
0.175
2 4 6 8 10 12 14
0.05
0.1
0.15
0.2
n = 25
p = 0.7 n = 15
p = 0.5

114
5 10 15 20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
50 60 70 80 90 100
0.02
0.04
0.06
0.08
20 40 60 80 100 120 140
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
Ejemplos:
1- Sea X∼ B(25,0.4). Hallar las probabilidades exactas de que 8
≤
X y 8
=
X y comparar estos
resultados con los valores correspondientes encontrados por la aproximación normal.
Solución:
De la tabla de la F.d.a. de la binomial encontramos 274
.
0
)
8
( =
≤
X
P
Y 120
.
0
154
.
0
274
.
0
)
7
(
)
8
(
)
8
( =
−
=
≤
−
≤
=
= X
P
X
P
X
P
Ahora usamos la aproximación normal
( ) 2709
.
0
61
.
0
6
.
0
4
.
0
25
10
5
.
8
)
1
(
)
5
.
8
(
)
8
( =
−
Φ
≈








×
×
−
≤
−
−
=
≤
≈
≤
p
np
np
X
P
X
P
X
P
corrección por continuidad
Observar que el valor aproximado está muy cercano al valor exacto para 274
.
0
)
8
( =
≤
X
P
( )
1170
.
0
1593
.
0
2709
.
0
61
.
0
6
10
02
.
1
6
10
5
.
8
6
10
6
10
5
.
7
5
.
8
5
.
7
)
8
(
=
−
=
=








−
≤
−
≤
−
=







 −
≤
−
≤
−
=
≤
≤
≈
=
X
P
X
P
X
P
X
P
Nuevamente este valor aproximado está muy cerca del valor real de 120
.
0
)
8
( =
=
X
P
2- Suponga que el 10% de todos los ejes de acero producidos por cierto proceso están fuera de
especificaciones, pero se pueden volver a trabajar (en lugar de tener que enviarlos a la chatarra).
n =15
p = 0.9
n = 100
p = 0.7
n = 150
p = 0.1
n = 10
p = 0.1

115
Considere una muestra aleatoria de 200 ejes y denote por X el número entre ellos que estén fuera de
especificaciones y se puedan volver a trabajar. ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que X sea
a) a lo sumo 30?
b) menos de 30?
c) entre 15 y 25 (inclusive)?
Solución:
Sea la v.a. X: “número de ejes fuera de especificaciones”
Entonces )
1
.
0
,
200
(
~ B
X , además 5
20
1
.
0
200 >
=
×
=
np y 5
180
)
1
.
0
1
(
200
)
1
( >
=
−
×
=
− p
n
Por lo tanto podemos aplicar la aproximación normal a la binomial
a) la probabilidad pedida es )
30
( ≤
X
P
( ) 993244
.
0
474
.
2
18
20
5
.
30
18
20
5
.
30
)
1
(
)
5
.
30
(
)
30
( =
Φ
=







 −
Φ
≈







 −
≤
−
−
=
≤
≈
≤
p
np
np
X
P
X
P
X
P
b) La probabilidad pedida es )
30
( <
X
P
Al ser X una v.a. discreta con distribución binomial )
29
(
)
30
( ≤
=
< X
P
X
P
( ) 98745
.
0
2391
.
2
18
20
5
.
29
)
5
.
29
(
)
29
( =
Φ
=







 −
Φ
≈
≤
≈
≤ X
P
X
P
c)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 80294
.
0
1
90147
.
0
2
1
2963
.
1
2
2963
.
1
2963
.
1
18
20
5
.
14
18
20
5
.
25
5
.
25
5
.
14
25
15
=
−
×
=
−
Φ
=
−
Φ
−
Φ
=
=







 −
Φ
−







 −
Φ
≈
≤
≤
≈
≤
≤ X
P
X
P
3- El gerente de un supermercado desea recabar información sobre la proporción de clientes a los que no
les agrada una nueva política respecto de la aceptación de cheques. ¿Cuántos clientes tendría que incluir
en una muestra si desea que la fracción de la muestra se desvíe a lo mas en 0.15 de la verdadera
fracción, con probabilidad de 0.98?.
Solución:
Sea X: “número de clientes a los que no les agrada la nueva política de aceptación de cheques”
Entonces )
,
(
~ p
n
B
X donde p es desconocido y es la verdadera proporción de clientes a los que no
les agrada la nueva política de aceptación de cheques. El gerente tomará una muestra de n clientes para
“estimar” p con
n
X
X = ya que
n
X
X = es la proporción de clientes a los que no les agrada la nueva
política de aceptación de cheques en la muestra de n clientes. Si no se toman a todos los clientes,
entonces
n
X
X = no será igual a p.
La pregunta es cuál debe ser n para que
n
X
X = se aleje del verdadero p en menos de 0.15 con
probabilidad 0.98 por lo menos, o sea para que ( ) 98
.
0
15
.
0 ≥
≤
− p
X
P
Entonces planteamos
( ) ( ) ≈








−
≤
−
−
≤
−
−
=
≤
−
≤
−
=
≤
−
)
1
(
15
.
0
)
1
(
)
1
(
15
.
0
15
.
0
15
.
0
15
.
0
p
np
n
p
np
np
X
p
np
n
P
p
X
P
p
X
P
T.C.L.

116
98
.
0
1
)
1
(
15
.
0
2
)
1
(
15
.
0
)
1
(
15
.
0
≥
−








−
Φ
=








−
−
Φ
−








−
Φ
≈
p
np
n
p
np
n
p
np
n
Por lo tanto 99
.
0
2
1
98
.
0
)
1
(
15
.
0
=
+
≥








−
Φ
p
np
n
Además n
n
p
p
n
p
np
n
3
.
0
)
5
.
0
1
(
5
.
0
15
.
0
)
1
(
15
.
0
)
1
(
15
.
0
=
−
≥
−
=
−
Entonces debe cumplirse que 33
.
2
3
.
0 ≥
n o sea 3211
.
60
3
.
0
33
.
2
2
=






≥
n
O sea se debe tomar una muestra de al menos 61 clientes
Aproximación normal a la distribución Poisson
Se puede probar aplicando Teorema central del límite que
Es decir para λ suficientemente grande )
1
,
0
(
N
X
≈
−
λ
λ
En la práctica si 30
≥
λ la aproximación es buena.
Observación: la demostración es sencilla si λ es igual a un número natural n pues, si consideramos las
variables aleatorias )
1
(
~ P
Xi con n
i ,...,
2
,
1
= independientes, entonces ya sabemos que






∑
∑ =
=
n
i
n
i
i P
X
1
1
1
~ , es decir )
(
~
1
n
P
X
n
i
i
∑
=
Pero además por T.C.L. si n es grande ∑
=
n
i
i
X
1
tiene aproximadamente distribución normal con
parámetros n
n
n =
×
= 1
µ y n
n
n =
×
= 1
2
σ
O sea la distribución de ∑
=
n
i
i
X
1
que es exactamente Poisson con parámetro n, se puede aproximar con
una )
,
( n
n
N , por lo tanto )
1
,
0
(
N
n
n
X
≈
−
aproximadamente para valores de n suficientemente grandes
En los gráficos siguientes se muestra para diferentes valores de λ cómo aproxima la distribución
)
,
( λ
λ
N a la distribución )
(λ
P
Si )
(
~ λ
P
X entonces para λ suficientemente grande
λ
λ
−
X
tiene aproximadamente distribución
)
1
,
0
(
N

117
20 40 60 80 100
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
5 10 15 20 25 30
0.05
0.1
0.15
0.2
Ejemplo:
El número de infracciones por estacionamiento en cierta ciudad en cualquier día hábil tiene una
distribución de Poisson con parámetro λ = 50. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que:
a) entre 35 y 70 infracciones se expidan en un día en particular?
b) el número total de infracciones expedidas durante una semana de 5 días sea entre 225 y 275?
Solución:
Sea X: “número de infracciones por estacionamiento en cierta ciudad en cualquier día hábil”
Entonces )
(
~ λ
P
X donde 50
=
λ
Como 50
=
λ entonces )
1
,
0
(
50
50
N
X
≈
−
(aproximadamente)
a) la probabilidad pedida es
( ) ( ) ( )
9805
.
0
017
.
0
997599
.
0
12132
.
2
8284
.
2
50
50
35
50
50
70
70
35
=
−
=
=
−
Φ
−
Φ
=







 −
Φ
−







 −
Φ
≈
≤
≤ X
P
b) Sea Y: “número total de infracciones expedidas durante una semana de 5 días”
Entonces )
(
~ λ
P
Y donde 250
5
50 =
×
=
λ
( ) ( ) ( )
( ) 8859
.
0
1
94295
.
0
2
1
5811
.
1
2
5811
.
1
5811
.
1
250
250
225
250
250
275
275
225
=
−
×
=
−
Φ
=
=
−
Φ
−
Φ
=







 −
Φ
−







 −
Φ
≈
≤
≤ Y
P
50
=
λ
3
=
λ

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