Este documento define las nociones básicas de esperanza y varianza para variables aleatorias discretas y continuas. La esperanza es el valor promedio esperado de una variable, mientras que la varianza mide la dispersión de sus valores alrededor de la esperanza. El documento explica cómo calcular la esperanza y varianza en cada caso, así como algunas propiedades importantes como la aditividad y que un factor constante puede sacarse del símbolo de la esperanza o varianza.

1. Variables Aleatorias,
Esperanza y Varianza
Esperanza y Varianza

2. La esperanza matemática o simplemente la
esperanza de una variable aleatoria X, se
simboliza por E(X) y su definición es la
siguiente:
Sea X una variable aleatoria discreta, la esperanza es un
número real que se calcula según:
1. Si X toma un número finito de valores x1, x2,…, xn con
probabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…, pn=Pr(X=xn):
2. Si X toma un número infinito de valores x1, x2,… con
probabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …:
Esperanza de una variable aleatoria discreta

3. Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad
es f(x), la esperanza es un número real que se calcula según:
A la esperanza también se le denomina medio poblacional o valor
esperado de la variable aleatoria y se la suele notar como μ.
Observación: si f(x) toma valores distintos de cero en un intervalo
[a, b], la esperanza se calcula como:
La esperanza posee varias propiedades,
independientes del tipo de la variable aleatoria.
Esperanza de una variable aleatoria continua

4. 1. La esperanza de una constante es el valor de la
constante:
2. Aditividad: la esperanza de la suma de dos
variables aleatorias es igual a la suma de las
esperanzas de los dos sumandos:
3. Un factor constante c se puede sacar del signo del
símbolo de la esperanza matemática:
Propiedades

5. 4. Sea y una función real, la esperanza de la
variable aleatoria Y=g(X) está definida por:
En particular si y(x) = X2 se tiene:
5. Si X y Y son dos variables aleatorias
independientes:
Propiedades

6. 1. Por las propiedades 2 y 3, si Y=aX + b, entonces:
2. Si la función de densidad es simétrica respecto a la
recta x = m, entonces E(X) = m.
3.
Dos variables aleatorias con la misma esperanza puedes
tener distribuciones diferentes. Para diferenciarlas es
necesario introducir otra característica teórica que
informa sobre la dispersión de sus posibles valores.

Observaciones

7. La idea de esperanza no indica cómo está
distribuida la masa en torno a su centro; esto se
expresa mediante la varianza de la variable
aleatoria X, que se nota Var(X) o σ2.

Definición: la varianza de una variable aleatoria X
es un número no negativo que se calcula por:
O equivalentemente por:
La Varianza

8. Según el tipo de variable aleatoria, se calcula de la
siguiente manera:
1. Para una variable aleatoria discreta que toma un
número finito de valores x1, x2,…, xn con
probabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…,
pn=Pr(X=xn):
2. Para una variable aleatoria discreta que toma un
número infinito de valores x1, x2,… con
probabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …:
La Varianza

9. 3. Para una variable aleatoria continua con función de
densidad f(x):
Observación: al igual que en la esperanza, si f(x) está
definida en [a, b]:
1. Una mayor varianza indica que los valores tienden a
estar más alejados de la media.
2. Una menor varianza indica que los valores tienden a
estar más concentrados alrededor de la media.
La Varianza

10. Definición la desviación estándar de una variable aleatoria X es
igual a la raíz cuadrada de la varianza:
Propiedades:
 La varianza de una constante es cero:
 Un factor constante c se puede sacar del signo del símbolo de la
varianza, elevándolo al cuadrado:
 Aditividad: la varianza de la suma de dos variables aleatorias
independientes es igual a la suma de las varianzas de los dos
sumandos:
 Observación: de las propiedades 1 y 2 se verifica que:
Desviación estándar