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1. Sistema de Coordenadas Polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera
coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la
segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se
determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le
llama origen o polo, y una recta dirigida que pasa por O, llamada eje polar
(equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con
este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar
distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano
corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es
el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor
θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r(r ≥ 0) se
conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es
la «coordenada angular» o «ángulo polar».

2. .
En este tipo de representación los puntos del plano tienen asociados dos
coordenadas: su distancia al polo y el ángulo con el eje polar. A la distancia se le
suele llamar radio y se designa por la letra r o la letra griega r(rho), al ángulo se le
suele designar por la letra griega q (theta). El valor θ crece en sentido
antihorario y decrece en sentido horario.

3. La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos (x,y) para los
cuales
x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ).
En otros términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el
plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación
dada.
Para la solución de ciertos problemas es necesario saber cómo pasar de un
sistema de
Coordenadas a otro. Las relaciones son las siguientes:
x = r cosθ, y = rsenθ, r=
Que son las ecuaciones de cambio, para cambiar las coordenadas de un punto o
de una ecuación cartesiana en polar y viceversa.

4. Para localizar puntos o para bosquejar las gráficas, se hace en papel coordenado
polar, que se construye de la siguiente forma: A partir de un punto que es el polo,
se trazan círculos concéntricos igualmente espaciados. Los puntos situados sobre
el lado terminal del ángulo corresponden a valores positivos de las distancias y los
puntos situados sobre la prolongación del lado terminal del serán para los valores
negativos de las distancias.
Comprende las ecuaciones polares
1. 1
Comprende que en el sistema de coordenadas polares debes indicar un punto
mediante (R, θ), en donde R es la distancia polar y θ es el ángulo polar en grados.
2. 2
Usa radianes o grados para medir θ. Para convertir radianes a grados multiplica el
valor por 180/π. Por ejemplo, π/2 X 180/π = 90 grados.
3. 3
Debes saber que existen muchas formas de curva dadas por las ecuaciones
polares. Algunas de estas son círculos, caracoles, cardioides y curvas en forma de
rosa. Las curvas caracol se consiguen con la forma R= A ± B sin(θ) y R= A ± B
cos(θ), en donde A y B son constantes. Las curvas cardioides (forma de corazón)
son curvas especiales de la familia de las de caracol. Las curvas con pétalos de
rosa tienen ecuaciones polares de la forma R= A sin(nθ) o R= A cos(nθ). Cuando
n es un número impar la curva tiene n pétalos, pero cuando n es par la curva tiene
2n pétalos.
Cómo simplificar la representación gráfica de las ecuaciones polares
1. 1
Busca obtener simetría cuando traces estas funciones. Como ejemplo usa la
ecuación polar R=4 sin(θ). Solamente necesitas encontrar los valores para θ entre
π (Pi) debido a que después de π los valores se repiten, dado que la función seno
es simétrica.
2. 2
Elige los valores de θ que hagan a R máxima, mínima o cero en la ecuación. En el
ejemplo dado anteriomente, R= 4 sin (θ), cuando θ es igual a 0 el valor para R es
0. Por lo tanto (R, θ) es (0, 0). Este es un punto de intersección.

5. 3. 3
Encuentra otros puntos de intersección de manera similar.
Cómo graficar ecuaciones polares
1. 1
Considera R= 4 sin(θ) como un ejemplo para aprender cómo graficar coordenadas
polares.
2. 2
Evalúa la ecuación para valores de (θ) entre el intervalo de 0 y π. Haz que (θ) sea
igual a 0, π /6 , π /4, π /3, π /2, 2π /3, 3π /4, 5π /6 y π. Calcula los valores para R
sustituyendo estos datos en la ecuación.
3. 3
Usa una calculadora gráfica para determinar los valores de R. Por ejemplo, haz
que (θ) = π /6. Escribe 4 sin(π /6) en la calculadora. El valor de R es 2 y el punto
(R, θ) es (2, π /6). Encuentra R para todos los valores de (θ) del paso 2.
4. 4
Traza los puntos (R, θ) resultantes del paso 3, que son (0,0), (2, π /6), (2.8, π /4),
(3.46,π /3), (4,π /2), (3.46, 2π /3), (2.8, 3π /4), (2, 5π /6), (0, π) en papel para
gráficos y conecta estos puntos. La gráfica es un círculo con un radio de 2 y centro
en (0, 2). Para obtener una mayor precisión al trazar, usa papel para gráficos
polares.
5. 5
Grafica las ecuaciones para caracoles, cardioides o cualquier otra curva dada por
una ecuación polar siguiendo el procedimiento descrito anteriormente
AREA DE UNA REGION EN EL PLANO DE COORDENADAS POLARES
Ahora, bien cuando se quiere hallar el área comprendida entre dos gráficas
polares, se emplea el procedimiento conocido de sustraer un área de otra. Aunque
en el siguiente ejemplo los cálculos no fueron sencillos, con frecuencia, determinar
los límites de integración es la parte más desafiante para hallar el área de una
región polar.

6. Ejemplo .- Hallar el área de la región A comprendida dentro del caracol
r  1 2 cos y el exterior del circulo r  2
Solución: Si observamos la figura se puede apreciar las dos ecuaciones
donde el área A entre ellos esta sombreada. Los puntos de intersección del círculo
y el caracol están dados por:
1  2 cos   2 , igualando
1 2  2 cos   0
1 1 1
 1  2 cos   0 , entonces: 2 cos  = 1, luego cos   , por lo que   cos y
2 2
además     / 3
Estos valores son los límites de integración que se necesitan, luego:

7. π π
A
1

3 
2 π  
 2

1  2cosθ  2  dθ
2



0
3
 2
 4cosθ  4cos θ  3 dθ
3
π
3
 
  4cosθ  2cos2θ  1 d Linealidad y Teorema Fundamenta l del Cálculo.
0
π 5 2
 (4cosθ  sen2θ  θ) 3  3 π Unidades cuadradas (u )
0 2 3

8. ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo
se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este
gráfico es:

9. ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al
gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres
hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

10. CARDIOIDES
A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para
este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que
apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de
un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha
generado es:

11. Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este
tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la
siguiente función:

12. LIMACONES O CARACOLES
Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo
descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII
y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar
su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan
limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:
r = 1 + b cos
Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra
un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función
para este gráfico es la siguiente:

13. Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un
lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo.
Veamos:

14. Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el
caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar,
este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el
gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:

15. Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está
dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con
hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha:

16. Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico
diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado,
el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:

17. CIRCUNFERENCIA
Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente
la circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente
función:

18. Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única
diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos
conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo
del radio inicial. La función con su gráfico es esta:

19. LEMNISCATA
En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente
ecuación en coordenadas polares:
La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La
curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en
matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo
de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación: