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Funciones
Exponenciales y Logarítmicas
Función Exponencial
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Reconocer una función exponencial con cualquier base.
Evaluar una función exponencial con cualquier base.
Describir las características de la función exponencial.
Dibujar la gráfica de una función exponencial.
Hallar la solución de ecuaciones exponenciales.
Objetivos
2
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La Función exponencial de base “ ”, a ≠ 1, es la
aplicación de en los reales estrictamente positivos
que hace corresponder a cada “ ” real una imagen
real positiva.
Función Exponencial
3
Sea ∈ 	 , 0	y	 1
Para cualquier “ ” se cumple que
	 	 y
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Práctica
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 1
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Clasifique como función exponencial o no-exponencial, de ser
exponencial identifique su base e indique en cuál de los intervalos, 0
1 ó 1 queda contenida su base.
Práctica:
a) E / NE
b) 2 5 E / NE
c) E / NE
d) 2 E / NE
e) 1 ! E / NE
f) E / NE
Función Exponencial
5
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Clasifique como función exponencial o no-exponencial, de ser
exponencial identifique su base e indique en cuál de los intervalos, 0
1 ó 1 queda contenida su base.
Práctica:
a) E / NE
b) 2 5 E / NE
c) E / NE
d) 2 E / NE
e) 1 ! E / NE
f) E / NE
Función Exponencial
5
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Veamos la gráfica de "	 	#
	
Para dibujar la gráfica se evalúan
algunos valores de para hallar sus
respectivos valores de $. Luego se
localizan los puntos % , $& . Por
último se dibuja la gráfica.
$ 2 2' ( (
)
$ 2 2' (
*
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$ 2 2,
1
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Gráfica, Función Exponencial
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La gráfica de " % &	
	
donde 0	$	 1.
"
1
0 1 2-1-2 3
$
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Propiedades de la función exponencial.
• Dominio: ∞, ∞
• Alcance: 0, ∞ 	
• Si 1 entonces su gráfica tiene
comportamiento creciente en todo su
dominio.
• Pasa por el punto 0, 1 , intercepto en el
eje de $, no hay intersecciones en el eje
de .
• lim
→'2
0 ⟹ $ 0 es una asíntota
horizontal por la izquierda.
Modelo de la función creciente
Gráfica, Función Exponencial
7
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Veamos la gráfica de $	 	 *
1
0
2
3
4
1 2-1-2 3
$
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3
$ 8 4 2 1 ( (
+
(
)
Para dibujar la gráfica se evalúan
algunos valores de para hallar sus
respectivos valores de $. Luego se
localizan los puntos ( , $& y después
se dibuja la gráfica.
$ ( ( '
2 8
$ ( ( '
2 4
$ ( ( ,
1
$ ( ( ( (
$	 	 (
Gráfica, Función Exponencial
8
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La gráfica de " % &	
	
donde 0	$	 1.
Propiedades de la función exponencial.
• Dominio: ∞, ∞
• Alcance: 0, ∞ 	
• Si 0 1 entonces su gráfica tiene
comportamiento decreciente en todo su
dominio.
• Pasa por el punto 0, 1 , intercepto en el
eje de $, no hay intersecciones en el eje
de .
• lim
→62
0 ⟹ $ 0 es una asíntota
horizontal por la derecha.
1
0 1 2-1-2 3
$
-3
Modelo de la función decreciente
"
Gráfica, Función Exponencial
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Ejemplo:
Bosqueje la gráfica de % & 2 1
Solución:
• Dominio: ∞, ∞
• Alcance: 1, ∞ 	
• Como 2 1, por lo tanto la
gráfica de la función es creciente
en todo su dominio.
• Pasa por el punto 0, 2 , que es el
intercepto en el eje de $, no hay
intersecciones en el eje de .
• lim
→'2
% 2 1& 1 ⟹ $ 1 es una
asíntota horizontal por la
izquierda.
" #
1
0
2
3
4
1 2-1-2 3
$
-3
Dibujar la asíntota y el intercepto en el
eje de $. Luego trazar la gráfica creciendo.
Gráfica, Función Exponencial
10
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Solución:
• Dominio: ∞, ∞
• Alcance: ∞, 1 	
• Como 2 1, la gráfica de la
función seria creciente pero el reflejo
hace que decrezca en todo su dominio.
• Pasa por el punto 0, *
, que es el
intercepto en el eje de $ y 1, 0 , que
es el intercepto en el eje de .
• lim
→'2
% 2 '(
1& 1 ⟹ $ 1 es una
asíntota horizontal por la izquierda. " # '
1
0
2
3
-1
1 2-1-2 3
$
-3
-2
Dibujar la asíntota, las intersecciones en
los ejes y dibujar la gráfica decreciendo.
Gráfica, Función Exponencial
11
Ejemplo:
Bosqueje la gráfica de % & 2 '(
1
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Práctica
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 2
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Práctica:
Bosqueje la gráfica de
13
Gráfica, Función Exponencial
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Práctica:
Bosqueje la gráfica de
Solución:
• Dominio: ∞, ∞
• Alcance: 0, ∞ 	
• Como 0 1, la gráfica de la
función es decreciente en todo su
dominio.
• Pasa por el punto 0, 1 , que es el
intercepto en el eje de $ y 1,
+
7
, no hay
intercepto en el eje de .
• lim
→2
0 ⟹ $ 0 es una asíntota
horizontal por la derecha.
"
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0
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Dibujar la asíntota, las intersecciones en
los ejes y dibujar la gráfica decreciendo.
13
Gráfica, Función Exponencial
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Gráfica, Función Exponencial
Práctica:
Bosqueje la gráfica de 3 1
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Solución:
• Dominio: ∞, ∞
• Alcance: ∞, 1 	
• Como 3 1, la gráfica de la función
seria creciente pero el reflejo hace
que decrezca en todo su dominio.
• Pasa por el punto 0, 2 , que es el
intercepto en el eje de $ y 1, 4 , no
hay intercepto en el eje de .
• lim
→2
% 3 1& 1 ⟹ $ 1es una
asíntota horizontal por la derecha.
" 9
-1
0
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1 2-1-2 3
$
-3
-3
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Dibujar la asíntota, las intersecciones en
los ejes y dibujar la gráfica decreciendo.
14
Gráfica, Función Exponencial
Práctica:
Bosqueje la gráfica de 3 1
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Regla:
Si : ;, entonces : ;
15
Solución de ecuaciones exponenciales
Al igual que se resuelven las ecuaciones,
buscando el valor de la variable que hace cierta la
igualdad. En las ecuaciones exponenciales se aplica
el procedimiento de igualar las bases para luego
igualar los exponentes y finalmente se despeja para
la variable.
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Ejemplo:
Halle el conjunto solución de 2 ' 16.
Solución:
2 '
16
2 '
2+
2 4
6
Finalmente se despeja la
variable de la ecuación.
16
Solución de ecuaciones exponenciales
Luego aplicamos la regla, ‘’si las
bases son iguales, los exponentes también
son iguales”.
Después de pensar un poco notamos
que el exponente correcto de la base 2
es	4.
Se necesita obtener el
exponente de la base 2 que la transforma
en 16.
Inicialmente se igualan las bases de
ambos lados de la ecuación. En este caso
la base común es 2.
4
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Ejemplo:
Halle el conjunto solución de 2 '( 3 7.
Finalmente se despeja la variable de la
ecuación.
Solución:
2 '( 3 7
2 '( 4
2 '( 2
1 2
3
17
Solución de ecuaciones exponenciales
Luego aplicamos la regla, ‘’si las bases son
iguales, los exponentes también son iguales’’.
Se necesita obtener el
exponente de la base 2 que la transforma en
4. El exponente correcto de la base 2 es	2.
En este caso la
base común es 2.
Luego se igualan las bases de
ambos lados de la ecuación.
Inicialmente se despeja para la expresión
exponencial.
2
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Ejemplo:
Halle el conjunto solución de 6 .
18
Solución de ecuaciones exponenciales
El número de Euler es la constante > 2.71828. Se obtiene
a partir de la expresión 1 @
A
a medida que B → ∞.
'(
+
Solución:
6
6% 6 &
+ 6
4 2 1
4 1
Por ultimo se despeja
la variable de la ecuación.
Luego aplicamos la regla,
‘’si las bases son iguales, los exponentes
también son iguales’’.
Inicialmente se aplican las reglas de los
exponentes para escribir las expresiones de
ambos lados de la ecuación con una sola base
y su exponente.
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Práctica
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 4
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3 6( 27 8 6( 16 4 · 8 2
Práctica:
Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
20
Solución de ecuaciones exponenciales
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3 6( 27 8 6( 16 4 · 8 2
Nota:
Recuerde que las reglas de exponente aplican en estos ejercicios.
Práctica:
Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
20
Solución de ecuaciones exponenciales
Solución
3 6(
3
3 6( 27
1 3
2
Solución
2 6(
2+
8 6(
16
3 3 4
3
2 6
2+
Solución
2 2 2
4 · 8 2
2 3
3
2 6
2
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Práctica:
Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
5 ' 1 9 6(
0 3 E 27 9
21
Solución de ecuaciones exponenciales
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Práctica:
Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
5 ' 1 9 6(
0 3 E 27 9
21
Solución de ecuaciones exponenciales
Solución
5 '
5,
5 ' 1
2 0
2
Solución
9 6( 0
Solución
3 E 3 3
3 E 27 9
3 2
3
3 '
3
No tiene solución,
por definición la base
debe ser mayor que
cero.
Nota:
Recuerde que las reglas de exponente aplican en estos ejercicios.
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Funciones Exponenciales
Esta es una muestra de algunas páginas de la
presentación funciones exponenciales. Si deseas la
presentación completa la puedes obtener en
matematicaspr.com. Espero que esta muestra ayude a
aclarar sus dudas de las funciones exponenciales.

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Funciones exponenciales

  • 1. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Funciones Exponenciales y Logarítmicas Función Exponencial 1
  • 2. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Reconocer una función exponencial con cualquier base. Evaluar una función exponencial con cualquier base. Describir las características de la función exponencial. Dibujar la gráfica de una función exponencial. Hallar la solución de ecuaciones exponenciales. Objetivos 2
  • 3. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. La Función exponencial de base “ ”, a ≠ 1, es la aplicación de en los reales estrictamente positivos que hace corresponder a cada “ ” real una imagen real positiva. Función Exponencial 3 Sea ∈ , 0 y 1 Para cualquier “ ” se cumple que y
  • 4. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 1 4
  • 5. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Clasifique como función exponencial o no-exponencial, de ser exponencial identifique su base e indique en cuál de los intervalos, 0 1 ó 1 queda contenida su base. Práctica: a) E / NE b) 2 5 E / NE c) E / NE d) 2 E / NE e) 1 ! E / NE f) E / NE Función Exponencial 5
  • 6. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Clasifique como función exponencial o no-exponencial, de ser exponencial identifique su base e indique en cuál de los intervalos, 0 1 ó 1 queda contenida su base. Práctica: a) E / NE b) 2 5 E / NE c) E / NE d) 2 E / NE e) 1 ! E / NE f) E / NE Función Exponencial 5
  • 7. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Veamos la gráfica de " # Para dibujar la gráfica se evalúan algunos valores de para hallar sus respectivos valores de $. Luego se localizan los puntos % , $& . Por último se dibuja la gráfica. $ 2 2' ( ( ) $ 2 2' ( * ( + $ 2 2'( ( ( $ 2 2, 1 $ 2 2( 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 $ ( ) ( + ( 1 2 4 8 1 0 2 3 4 1 2-1-2 3 $ -3 " # Gráfica, Función Exponencial 6
  • 8. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. La gráfica de " % & donde 0 $ 1. " 1 0 1 2-1-2 3 $ -3 Propiedades de la función exponencial. • Dominio: ∞, ∞ • Alcance: 0, ∞ • Si 1 entonces su gráfica tiene comportamiento creciente en todo su dominio. • Pasa por el punto 0, 1 , intercepto en el eje de $, no hay intersecciones en el eje de . • lim →'2 0 ⟹ $ 0 es una asíntota horizontal por la izquierda. Modelo de la función creciente Gráfica, Función Exponencial 7
  • 9. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Veamos la gráfica de $ * 1 0 2 3 4 1 2-1-2 3 $ -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 $ 8 4 2 1 ( ( + ( ) Para dibujar la gráfica se evalúan algunos valores de para hallar sus respectivos valores de $. Luego se localizan los puntos ( , $& y después se dibuja la gráfica. $ ( ( ' 2 8 $ ( ( ' 2 4 $ ( ( , 1 $ ( ( ( ( $ ( Gráfica, Función Exponencial 8
  • 10. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. La gráfica de " % & donde 0 $ 1. Propiedades de la función exponencial. • Dominio: ∞, ∞ • Alcance: 0, ∞ • Si 0 1 entonces su gráfica tiene comportamiento decreciente en todo su dominio. • Pasa por el punto 0, 1 , intercepto en el eje de $, no hay intersecciones en el eje de . • lim →62 0 ⟹ $ 0 es una asíntota horizontal por la derecha. 1 0 1 2-1-2 3 $ -3 Modelo de la función decreciente " Gráfica, Función Exponencial 9
  • 11. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Bosqueje la gráfica de % & 2 1 Solución: • Dominio: ∞, ∞ • Alcance: 1, ∞ • Como 2 1, por lo tanto la gráfica de la función es creciente en todo su dominio. • Pasa por el punto 0, 2 , que es el intercepto en el eje de $, no hay intersecciones en el eje de . • lim →'2 % 2 1& 1 ⟹ $ 1 es una asíntota horizontal por la izquierda. " # 1 0 2 3 4 1 2-1-2 3 $ -3 Dibujar la asíntota y el intercepto en el eje de $. Luego trazar la gráfica creciendo. Gráfica, Función Exponencial 10
  • 12. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Solución: • Dominio: ∞, ∞ • Alcance: ∞, 1 • Como 2 1, la gráfica de la función seria creciente pero el reflejo hace que decrezca en todo su dominio. • Pasa por el punto 0, * , que es el intercepto en el eje de $ y 1, 0 , que es el intercepto en el eje de . • lim →'2 % 2 '( 1& 1 ⟹ $ 1 es una asíntota horizontal por la izquierda. " # ' 1 0 2 3 -1 1 2-1-2 3 $ -3 -2 Dibujar la asíntota, las intersecciones en los ejes y dibujar la gráfica decreciendo. Gráfica, Función Exponencial 11 Ejemplo: Bosqueje la gráfica de % & 2 '( 1
  • 13. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 2
  • 14. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Bosqueje la gráfica de 13 Gráfica, Función Exponencial
  • 15. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Bosqueje la gráfica de Solución: • Dominio: ∞, ∞ • Alcance: 0, ∞ • Como 0 1, la gráfica de la función es decreciente en todo su dominio. • Pasa por el punto 0, 1 , que es el intercepto en el eje de $ y 1, + 7 , no hay intercepto en el eje de . • lim →2 0 ⟹ $ 0 es una asíntota horizontal por la derecha. " 2 3 # 1 0 2 3 -1 1 2-1-2 3 $ -3 -2 Dibujar la asíntota, las intersecciones en los ejes y dibujar la gráfica decreciendo. 13 Gráfica, Función Exponencial
  • 16. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.14 Gráfica, Función Exponencial Práctica: Bosqueje la gráfica de 3 1
  • 17. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Solución: • Dominio: ∞, ∞ • Alcance: ∞, 1 • Como 3 1, la gráfica de la función seria creciente pero el reflejo hace que decrezca en todo su dominio. • Pasa por el punto 0, 2 , que es el intercepto en el eje de $ y 1, 4 , no hay intercepto en el eje de . • lim →2 % 3 1& 1 ⟹ $ 1es una asíntota horizontal por la derecha. " 9 -1 0 1 -2 1 2-1-2 3 $ -3 -3 -4 Dibujar la asíntota, las intersecciones en los ejes y dibujar la gráfica decreciendo. 14 Gráfica, Función Exponencial Práctica: Bosqueje la gráfica de 3 1
  • 18. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Regla: Si : ;, entonces : ; 15 Solución de ecuaciones exponenciales Al igual que se resuelven las ecuaciones, buscando el valor de la variable que hace cierta la igualdad. En las ecuaciones exponenciales se aplica el procedimiento de igualar las bases para luego igualar los exponentes y finalmente se despeja para la variable.
  • 19. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Halle el conjunto solución de 2 ' 16. Solución: 2 ' 16 2 ' 2+ 2 4 6 Finalmente se despeja la variable de la ecuación. 16 Solución de ecuaciones exponenciales Luego aplicamos la regla, ‘’si las bases son iguales, los exponentes también son iguales”. Después de pensar un poco notamos que el exponente correcto de la base 2 es 4. Se necesita obtener el exponente de la base 2 que la transforma en 16. Inicialmente se igualan las bases de ambos lados de la ecuación. En este caso la base común es 2. 4
  • 20. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Halle el conjunto solución de 2 '( 3 7. Finalmente se despeja la variable de la ecuación. Solución: 2 '( 3 7 2 '( 4 2 '( 2 1 2 3 17 Solución de ecuaciones exponenciales Luego aplicamos la regla, ‘’si las bases son iguales, los exponentes también son iguales’’. Se necesita obtener el exponente de la base 2 que la transforma en 4. El exponente correcto de la base 2 es 2. En este caso la base común es 2. Luego se igualan las bases de ambos lados de la ecuación. Inicialmente se despeja para la expresión exponencial. 2
  • 21. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Halle el conjunto solución de 6 . 18 Solución de ecuaciones exponenciales El número de Euler es la constante > 2.71828. Se obtiene a partir de la expresión 1 @ A a medida que B → ∞. '( + Solución: 6 6% 6 & + 6 4 2 1 4 1 Por ultimo se despeja la variable de la ecuación. Luego aplicamos la regla, ‘’si las bases son iguales, los exponentes también son iguales’’. Inicialmente se aplican las reglas de los exponentes para escribir las expresiones de ambos lados de la ecuación con una sola base y su exponente.
  • 22. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 4 19
  • 23. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 3 6( 27 8 6( 16 4 · 8 2 Práctica: Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 20 Solución de ecuaciones exponenciales
  • 24. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 3 6( 27 8 6( 16 4 · 8 2 Nota: Recuerde que las reglas de exponente aplican en estos ejercicios. Práctica: Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 20 Solución de ecuaciones exponenciales Solución 3 6( 3 3 6( 27 1 3 2 Solución 2 6( 2+ 8 6( 16 3 3 4 3 2 6 2+ Solución 2 2 2 4 · 8 2 2 3 3 2 6 2
  • 25. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 5 ' 1 9 6( 0 3 E 27 9 21 Solución de ecuaciones exponenciales
  • 26. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 5 ' 1 9 6( 0 3 E 27 9 21 Solución de ecuaciones exponenciales Solución 5 ' 5, 5 ' 1 2 0 2 Solución 9 6( 0 Solución 3 E 3 3 3 E 27 9 3 2 3 3 ' 3 No tiene solución, por definición la base debe ser mayor que cero. Nota: Recuerde que las reglas de exponente aplican en estos ejercicios.
  • 27. © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.22 Funciones Exponenciales Esta es una muestra de algunas páginas de la presentación funciones exponenciales. Si deseas la presentación completa la puedes obtener en matematicaspr.com. Espero que esta muestra ayude a aclarar sus dudas de las funciones exponenciales.