El documento describe el sistema de coordenadas polares, en el cual cada punto en un plano se define por una distancia y un ángulo desde un punto de origen. Explica cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, y cómo representar curvas como círculos, líneas y rosas polares mediante ecuaciones polares. También cubre extensiones de las coordenadas polares a tres o más dimensiones.

1. COORDENADAS POLARES
Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas
bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un
ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama
origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje
polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este
sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias
entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par
ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el
eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido anti horario
y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada
radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo
polar».
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido.
En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
REPRESENTACION DE PUNTOS CON COORDENADAS POLARES
Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único
punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes,
lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de
coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y
el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:
 Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el
indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la
misma distancia. En general, el punto ( , θ) se puede representar como (
, θ ± ×360°) o (− , θ ± (2 + 1)180°), donde es un número entero
cualquiera.
 El centro de coordenadas está definido por una distancia nula,
independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se
utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que
independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se
encuentra siempre en el polo. Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para
evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única
representación de un punto, se suele limitar a números no negativos ≥ 0 y θ
al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).
Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes,
dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima

2. utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente
la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas
en radianes.
En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el
centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para
referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el
eje OL.
 El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas
con un ángulo de 60º sobre OL.
 El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un
ángulo de 210º sobre OL.
CONVERSION DE COORDENADAS
Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa

3. Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las
coordenadas cartesianas.
En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir
un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r
al centro de coordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre el eje x.
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su
distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x, y), se tiene
que la coordenada polar r es:
(Aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
 Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
 Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de
tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (
denota la inversa de la función tangente):
Para obtener en el intervalo , se considera que
es una función creciente en su dominio:

4. Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el
signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función
atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los
lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como
parámetro la coordenada x.
ECUACIONES POLARES
Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en
coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo
como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (
(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función .
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función
polar . Si (−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si
(180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) =
(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas
se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana
sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la
espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen
restricciones en el dominio y rango de la curva.

5. Circunferencia
Un círculo con ecuación (θ) = 1.
La ecuación general para una circunferencia con centro en ( 0, φ) y radio es
En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por
ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:
Línea
Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la
ecuación
Donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan donde es
la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que
cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto ( 0, φ) tiene la ecuación

6. Rosa polar
Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ.
La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede
expresarse como una ecuación polar simple,
Para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas
ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par.
Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos
solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc.
pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.
Si tomamos solo valores positivos para r y valores en el intervalo para
, la gráfica de la ecuación:
Es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si , la
gráfica es una circunferencia de radio

7. Espiral de Arquímedes
Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π.
La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual
puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la
ecuación
Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b
controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La
espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos
están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical
produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las
secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal
ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.
Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.
Secciones cónicas
Elipse, indicándose su semilado recto.

8. Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje
horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es
dada por:
donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco
desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1,
define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0
resulta en un círculo de radio .
EXTENSION A MAS DE DOS DIMENSIONES
Tres dimensiones
El sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos
sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilíndricas y el sistema
de coordenadas esféricas. El sistema de coordenadas cilíndricas añade una coordenada
de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esféricas añade una coordenada
angular.
Coordenadas cilíndricas
Un punto representado en coordenadas cilíndricas.
El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que
extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide
la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas
cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar
por h, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r, θ, h).
Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la
siguiente manera:

9. Coordenadas esféricas
Un punto representado en coordenadas esféricas.
Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones usando
las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto
al eje z (medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las
coordenadas polares, entre 0º y 360º) Este sistema de coordenadas es similar al sistema
utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra,
donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo
complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y la longitud l viene dada por θ − 180°.
Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la
siguiente manera:
Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos
determinan la función, como en el caso de la hélice.
n dimensiones
Es posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de
representación para 4 o más dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene

10. APLICACIONES
Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden
usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las
más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente
ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de
revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los
ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares
definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas
cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como
los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los
fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de
modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del
sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.
Posición y navegación
Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la
dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto
considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares
ligeramente modificado para la navegación.
Modelado
Los Sistemas son Busterniano simetría radial poseen unas características
adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como
polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de las aguas subterráneas
cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. De la misma manera, los sistemas
influenciados por una fuerza central son también buenos candidatos para el uso de las
coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioeléctricas, o los campos
gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (véase el problema de los
dos cuerpos).
Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con
coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrófono, que caracteriza la
sensibilidad del micrófono en función de la dirección del sonido recibido, puede
representarse por curvas polares. La curva de un micrófono cardioide estándar, el más
común de los micrófonos, tiene por ecuación r = 0,5 + 0,5 sen θ.

11. Campos escalares
Un problema en el análisis matemático de funciones de varias variables es la
dificultad para probar la existencia de un límite, ya que pueden obtenerse diferentes
resultados según la trayectoria de aproximación al punto. En el origen de coordenadas,
uno de los puntos que tienen más interés para el análisis (por anular habitualmente
funciones racionales o logarítmicas), este problema puede solventarse aplicando
coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de
referencia y así aplicar el truco.
Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes
equivalencias en coordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un
límite de una única variable, lo que resulta fácil de calcular por ser el seno y el coseno
funciones acotadas y r un infinitésimo. Si el resultado no muestra dependencia angular,
es posible aseverar que el límite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha
aproximado.