Ay t mod9-10

Muchas trayectorias, como el salto, son de tipo parabólico.
4Polinomios de
gradosuperior
Módulo9
•Polinomios de grado superior
•Teoremas del residuo y del factor
Módulo10
La división sintética
Ejercicios
Capítulo 4, módulos 9 y 10
Capítulo4
Presentación
Existen métodos para resolver ecuaciones polinómicas de primero y segundo gra-
dos; así, dadas las ecuaciones siguientes:
0,ax b+ = su solución es
b
x
a
= − con 0,a ≠
2
0,ax bx c+ + = su solución es
2
4
,
2
b b ac
x
a
− ± −
=
se puede demostrar que existen métodos directos para encontrar todas las solucio-
nes de ecuaciones polinómicas de tercero y cuarto grados. Évariste Galois demos-
tró, a la edad de 20 años, que para ecuaciones polinómicas de grado mayor que
cuatro no existe un proceso finito paso por paso que siempre conduzca a todas las
soluciones. Esta fue, tal vez, una de las contribuciones matemáticas de más alta
originalidad. Galois murió trágicamente a la edad de 21 años.
En este capítulo se estudiarán métodos para hallar o aproximar todas las soluciones
reales de polinomios con coeficientes reales.
Contenido breve

111Álgebraytrigonometría
Introducción
En este módulo se desarrollan teoremas que facilitan la búsqueda de las raíces de
polinomios de grado superior. Éstos, y otros teoremas que se estudiarán en módu-
los posteriores, permitirán, bajo ciertas condiciones, obtener todas las raíces de
polinomios de grado mayor que cuatro.
Objetivos
1. Hallar métodos para obtener ceros reales de un polinomio.
2. Hallar métodos para aproximar ceros reales de un polinomio.
3. Conocer las características de los ceros complejos de un polinomio.
Preguntas básicas
1. ¿Cómo se enuncia el teorema del factor?
2. ¿En qué consiste la regla de los signos de Descartes?
3. ¿Cómo se enuncia el algoritmo de la división para polinomios?
Contenido
9.1 Polinomios de grado superior
9.2 Teoremas del residuo y del factor
9.2.1Algoritmo de la división
9.2.2 Teorema del residuo
9.2.3 Teorema del factor
9.2.4 Teorema de los n ceros
9.2.5 Teorema de los ceros complejos
9.2.6 Regla de los signos de Descartes
Vea el módulo 9 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
9
Polinomios de grado superior
Teoremas del residuo y del factor
René Descartes (1596-1650)
Descartes tiene fama de filósofo y de ser el intelecto más
grande de los que contribuyeron a crear la llamada «Edad
delaRazón».
Lo inquietaron los métodos de los geómetras griegos para
llegarasusingeniosaspruebassinunsistemafundamental
de ataque y se propuso corregirlos mediante el manejo de
líneasyfigurastridimensionalesenunagráfica.Dibujabala
gráfica marcando unidades en una línea horizontal (ejex)
yunalíneavertical(ejey);así,cualquierpuntodelagráfica
podía describirse con dos números. El primer número
representaba una distancia en el eje x y el otro número
representabaunadistanciaenelejey.Aunqueconservaba
lasreglasdelageometríaeuclidiana,combinabael álgebra
ylageometría,consideradasentoncescomoindependientes,
para formar una nueva disciplina matemática llamada
geometría analítica.

112
9.1 Polinomios de grado superior
Se dice que una función polinómica es de grado superior si el grado de la función es
mayor o igual que tres. En una función polinómica, los ceros de P (x) corresponden
a las raíces de la ecuación P (x) = 0.
Existen métodos directos finitos para encontrar todas las soluciones o raíces, para
ecuaciones polinómicas de tercero o cuarto grados. Évariste Galois, matemático
francés, demostró a la edad de 20 años, que para ecuaciones polinómicas de grado
mayor que cuatro no hay un proceso finito paso por paso que siempre conduzca a
todas las soluciones. Debido a lo anterior, en este capítulo se desarrollarán méto-
dos para encontrar o aproximar todas las soluciones reales de polinomios con
coeficientes reales.
9.2 Teoremas del residuo y del factor
9.2.1 Algoritmo de la división
Para cada polinomio ( )P x de grado mayor o igual a 1 y para cada número γ existe
un polinomio único ( )Q x de un grado menor que el de ( )P x y un número único R,
tal que ( ) ( ) ( ) .P x x Q x Rγ= − +
Al polinomio ( )Q x se le denomina cociente, x γ− es el divisor y R es el residuo.
9.2.2 Teorema del residuo
Si R es el residuo de dividir el polinomio ( )P x entre ,x γ− entonces ( ) .P Rγ =
Demostración
Como ( ) ( ) ( )P x x Q x Rγ= − + por el algoritmo de la división, se tiene que si x γ= ,
( ) ( ) ( ) .P Q Rγ γ γ γ= − + O sea, ( )P Rγ = .
Ejemplo1
Halle el residuo de dividir el polinomio ( ) 4 3
4 10 19 5P x x x x= + + + entre 3.x +
Solución
3x + se puede escribir como ( )3 ,x − − por tanto 3.γ = −
( ) ( ) ( ) ( )
4 3
3 4 3 10 3 19 3 5P − = − + − + − +
= 2.
O sea que el residuo es 2.
Capítulo4:Polinomiosdegradosuperior

9.2.3 Teorema del factor
Si γ es un cero del polinomio ( ),P x entonces x γ− es un factor de ( ).P x
Demostración
Si γ es un cero de ( ),P x ( ) 0.P γ =
Pero por el algoritmo de la división, ( ) ( ) ( ) .P x x Q x Rγ= − +
Como ( ) 0P γ = , ( ) ( ) ( ) 0.P Q Rγ γ γ γ= − + =
Por tanto, 0R = y ( ) ( ) ( ).P x x Q xγ= −
Ejemplo2
Use el teorema del factor para probar que 1x + es un factor de 13
1.x +
Solución
( )1 1x x+ = − − , así 1.γ = −
( ) ( )
13
1 1 1 1 1 0.P − = − + = − + =
Luego –1 es un cero de ( ) 13
1.P x x= + Así, ( )1 1x x− − = + es un factor de 13
1.x +
9.2.4 Teorema de los n ceros
Todo polinomio de grado 1n ≥ con coeficientes reales o complejos se puede expre-
sar como el producto de n factores lineales. En consecuencia, tiene exactamente n
ceros, no necesariamente distintos.
Ejemplo3
Si –2 es un cero de multiplicidad 2 de ( ) 4 2
7 4 20,P x x x x= − + + escriba ( )P x como
un producto de factores lineales.
Solución
Como –2 es un cero de multiplicidad 2, el factor lineal (x + 2) aparece 2 veces y por
tanto:
( ) ( ) ( )
2
2 ,P x x Q x= +
( ) ( )
24 2
7 4 20 2 ,x x x x Q x− + + = +
Módulo9:Polinomiosdegradosuperior-Teoremasdelresiduoydelfactor
Escuche Contribución de Galois a
la solución de polinomios en su
multimedia de Álgebra y
trigonometría

114
4 2
2
4 3 2 3 2 2
2
2 2 2 2
2
2
7 4 20
( )
4 4
4 4 4 16 16 5 20 20
4 4
( 4 4) 4 ( 4 4) 5( 4 4)
4 4
4 5.
x x x
Q x
x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x
x x
x x
− + +
=
+ +
+ + − − − + + +
=
+ +
+ + − + + + + +
=
+ +
= − +
Al usar la fórmula cuadrática, se hallan los ceros de ( ),Q x que son 2 i− , 2 .i+ Así,
P(x) escrito como el producto de factores lineales, es
( ) ( 2)( 2)( 2 )( 2 ).P x x x x i x i= + + − + − −
9.2.5 Teorema de los ceros complejos
Los ceros complejos de polinomios con coeficientes reales, si existen, se presen-
tan en pares conjugados. Como consecuencia del teorema anterior, se sabe que si
un polinomio con coeficientes reales es de grado impar, siempre tiene al menos un
cero real.
Ejemplo4
Si P(x) es un polinomio de tercer grado con coeficientes reales, entonces una de las
siguientes afirmaciones es falsa:
a. P(x) tiene al menos un cero real.
b. P(x) tiene tres ceros.
c. P(x) puede tener dos ceros reales y uno complejo.
Solución
La afirmación c es falsa dado que los ceros complejos de polinomios con coeficien-
tes reales deben presentarse en pares conjugados. Si P(x) tiene dos ceros reales,
entonces el tercer cero debe ser también real.
9.2.6 Regla de los signos de Descartes
Dado un polinomio P(x) con coeficientes reales, entonces:
El número de ceros reales positivos de P(x) nunca es mayor que el número de
variaciones en el signo de P(x); si es menor, entonces siempre será en un número
par.
El número de ceros reales negativos de P(x) nunca es mayor que el número de
variaciones en el signo de ( );P x− si es menor, entonces siempre será en un número
par.
Se va a entender que, en un polinomio con coeficientes reales ordenado en forma
decreciente, ocurre una variación en el signo si dos términos sucesivos tienen
signos opuestos. Los términos no existentes, o sea los términos con coeficientes
cero, se ignoran. Véase el siguiente ejemplo:
Escuche HIstoria del plano
cartesiano en su multimedia de
Àlgebra y trigonometría

Ejemplo5
En 4 3
( ) 3 2 3 5P x x x x= − + − hay tres variaciones en el signo, por tanto existen tres
o una raíces reales positivas.
4 3
( ) 3( ) 2( ) 3( ) 5P x x x x− = − − − + − −
4 3
3 2 3 5.x x x= + − −
En ( )P x− hay una variación en el signo, por tanto existe una raíz real negativa.
Ejemplo6
Halle el residuo de dividir el polinomio 4 3 2
( ) 2 13 14 15P x x x x= − + + entre 5.x−
Solución
Por el teorema del residuo, tenemos que el residuo es:
4 3 2
(5) 2(5) 13(5) 14(5) 15 10.R P= = − + + =−
Ejemplo7
Halle el residuo de dividir el polinomio 4 3 2
( ) 4 2 6 5 1P x x x x x= + − − + entre
1
.
2
x+
Solución
El polinomio lineal
1
2
x+ se puede escribir como
1
.
2
x
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Por el teorema del
residuo, tenemos que el residuo es:
4 3 2
1 1 1 1 1
4 2 6 5 1 2.
2 2 2 2 2
R P
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − = − + − − − − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ejemplo8
Use el teorema del factor para determinar si el segundo polinomio es un factor del
primero:
a. 3 2
( ) 2 8 4; 2.P x x x x x= − − + −
b. 3 2
( ) 2 8 4; 1.P x x x x x= − − + +
Escuche Descartes en su
multimedia de Àlgebra y
trigonometría

116
Solución
a. Calculando 3 2
(2) 2(2) (2) 8(2) 4 0,P = − − + = por el teorema del factor tene-
mos que ( 2)x − es un factor de P(x).
b. x + 1 puede escribirse ( 1).x− −
Calculando 3 2
( 1) 2( 1) ( 1) 8( 1) 4 9,P − = − − − − − + = entonces 1− no es un
cero de P(x) y por tanto (x + 1) no es un factor de P(x).
Ejemplo9
Encuentre el polinomio de menor grado que tenga por ceros:
a. 2 (multiplicidad 2); 1 (multiplicidad 2) y –3.
b. 1 – 2i; 1 + 2i y 2 (multiplicidad 3).
Solución
a. Por el teorema del factor tenemos que:
2 2
2 2
4 3 2
5 4 3 2
( ) ( 2) ( 1) ( ( 3))
( 4 4)( 2 1)( 3)
( 6 13 12 4)( 3)
3 5 27 32 12.
P x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
= − − − −
= − + − + +
= − + − + +
= − − + − +
b. Por el teorema del factor tenemos que:
3
2 3 2
2 3 2
5 4 3 2
( ) ( 1 2 )( 1 2 )( 2)
(( 1) 4)( 6 12 8)
( 2 5)( 6 12 8)
8 29 62 76 40.
P x x i x i x
x x x x
x x x x x
x x x x x
= − + − − −
= − + − + −
= − + − + −
= − + − + −
Ejemplo10
Escriba el polinomio P(x) = x3
– 4x2
– 3x + 18 como producto de polinomios lineales
si 3 es un cero doble de P(x).
Solución
Como 3 es un cero de multiplicidad 2, por el teorema de los n ceros tenemos que
P(x) = x3
– 4x2
– 3x+ 18 = (x – 3)2
Q(x), donde Q(x) es un polinomio de grado 1 del
tipo (x – y). Reemplazando tenemos:

3 2 2 2
4 3 18 ( 3) ( ) ( 6 9)( )x x x x x x x xγ γ− − + = − − = − + −
3 2 2
6 9 6 9 ,x x x x xγ γ γ= − + − + −
de donde 2γ = − y por tanto 3 2 2
( ) 4 3 18 ( 3) ( 2).P x x x x x x= − − + = − +
Ejemplo11
Escriba el polinomio 5 4 3 2
( ) 8 8 16 16P x x x x x x= − + − + − como producto de
polinomios lineales si 2i es un cero doble de P(x).
Solución
Como 2i es un cero complejo, su conjugado es también un cero y tiene la misma
multiplicidad. Como ambos son ceros de multiplicidad 2, por el teorema de los ceros
tenemos que:
5 4 3 2 2 2
( ) 8 8 16 16 ( 2 ) ( 2 ) ( ),P x x x x x x x i x i Q x= − + − + − = − +
donde Q(x) es un polinomio de grado 1 del tipo ( ).x γ− Reemplazando tenemos:
[ ]
25 4 3 2 2 2
2 2 4 2
5 3 4 2
8 8 16 16 ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 )( 2 ) ( )
( 4) ( ) ( 8 16)( )
8 16 8 16 ,
x x x x x x i x i x x i x i x
x x x x x
x x x x x
γ γ
γ γ
γ γ γ
− + − + − = − + − = − + −
= + − = + + −
= + + − − −
de donde 1γ = y por tanto:
5 4 3 2 2 2
( ) 8 8 16 16 ( 2 ) ( 2 ) ( 1).P x x x x x x x i x i x= − + − + − = − + −
Ejemplo12
La soluciones de la ecuación 4
16 0x − = son las raíces cuartas de 16. ¿Cuántas
raíces cuartas de 16 existen? Hállelas.
Solución
Por el teorema de los n enteros, existen 4 raíces cuartas de 16.Aplicando la diferen-
cia de cuadrados tenemos:
2
4 2 2 2 2 2 2 2
16 ( ) (2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )( 2)( 2).x x x x x i x i x x− = − = + − = + − − +
Por tanto las raíces cuartas de 16 son 2 , 2 , 2 y 2.i i− −

118
Ejemplo13
En las siguientes ecuaciones, cuáles son las combinaciones posibles de soluciones
reales y complejas.
a. 3 2
2 4 3 0.x x x− − + =
b. 5 4 2
4 5 3 0.x x x x+ − − + =
c. 4 2
3 2 1 0.x x x+ + + =
Solución
a. Como es un polinomio de grado 3 y las raíces complejas siempre se presen-
tan en pares de números complejos conjugados las posibilidades son:
tres raíces reales.
una raíz real y un par de raíces complejas conjugadas.
b. Como es un polinomio de grado 5 las posibilidades son:
cinco raíces reales.
tres raíces reales y un par de raíces complejas conjugadas.
una raíz real y dos pares de raíces complejas conjugadas.
c. Como es un polinomio de grado 4 las posibilidades son:
cuatro raíces reales.
dos raíces reales y un par de raíces complejas conjugadas.
dos pares de raíces complejas conjugadas.
Ejemplo14
Dado 2
( ) 2 8P x x ix= − + muestre que i−2 es un cero de P(x) pero que 2i no lo es.
¿Contradice esto el teorema de las raíces complejas conjugadas?
Solución
2
2 8 ( 2 )( 4 ).x ix x i x i− + = + −
Por tanto, los ceros de este polinomio son 2 y 4i i− . Esto no contradice el teorema
de las raíces conjugadas, pues en este polinomio existe un coeficiente que no es
real.
Ejemplo15
Encuentre los otros dos ceros del polinomio 3 2
( ) 4 6P x x x x= + − + si 1 + i es un
cero de P(x).

Solución
Como 1 + i es un cero, su conjugado 1 i− también lo es. Sólo faltaría hallar el otro
cero que es real. Si denotamos este cero por γ tenemos:
3 2 2
2
3 2 2
( ) 4 6 ( 1 )( 1 )( ) (( 1) 1)( )
( 2 2)( )
2 2 2 2 ,
P x x x x x i x i x x x
x x x
x x x x x
γ γ
γ
γ γ γ
= + − + = − − − + − = − + −
= − + −
= − + − + −
de donde 3.γ = −
Ejemplo16
Analice, para los siguientes polinomios, el número posible de ceros reales positi-
vos y negativos usando la regla de los signos de Descartes:
a. 6 4
( ) 2 3.P x x x x= + − +
b. 5 4 3
( ) 4 2 5.P x x x x x= + − + −
c. 3 2
( ) 3 5.P x x x= + +
Solución
a. 6 4
( ) 2 3,P x x x x= + − + dos variaciones de signo, dos ceros reales positivos
o ninguno.
6 4
( ) 2 3,P x x x x− = + + + no hay variaciones de signo, no hay ceros reales
negativos.
b. 5 4 3
( ) 4 2 5,P x x x x x= + − + − tres variaciones de signo, tres ceros reales positi-
vos o uno.
5 4 3
( ) 4 2 5,P x x x x x− = − + + − − dos variaciones de signo, dos ceros reales
negativos o ninguno.
c. 3 2
( ) 3 5,P x x x= + + no hay variaciones de signo, no hay cerosrealespositivos.
3 2
( ) 3 5,P x x x− = − + + una variación de signo, un cero real negativo.
Ejemplo17
Sin graficar, pruebe que la gráfica del polinomio 5 3
( ) 3P x x x x= + + cruza el eje x
una sola vez.

120
Solución
Aplicando la regla de los signos de Descartes tenemos:
5 3
( ) 3 ,P x x x x= + + no hay variaciones de signo, no hay ceros reales positivos.
5 3
( ) 3 ,P x x x x− =− − − no hay variaciones de signo, no hay ceros reales negativos.
Como P(0) = 0, entonces 0 es el único cero real del polinomio y por tanto su gráfica
sólo interseca el eje x en el punto (0, 0).
Ejemplo18
Pruebe que 6 4 3
( ) 4 10P x x x x= + + − tiene cuatro ceros complejos y dos ceros rea-
les.
Solución
Aplicando la regla de los signos de Descartes tenemos:
6 4 3
( ) 4 10,P x x x x= + + − una variación de signo, tiene un cero real positivo.
6 4 3
( ) 4 10,P x x x x− = + − − una variación de signo, tiene un cero real negativo.
Como (0) 0,P ≠ entonces tiene únicamente dos ceros reales, uno positivo y otro
negativo. Por el teorema de los n ceros, los otros cuatro ceros son complejos.

Introducción
En este módulo se terminan de desarrollar teoremas que permiten hallar, a veces de
forma aproximada, los ceros de cualquier polinomio de grado superior. Éstos, jun-
tos con los teoremas que se desarrollaron en el módulo anterior, permitirán, bajo
ciertas condiciones, obtener todas las raíces de polinomios de grado mayor que
cuatro.
Objetivos
1. Desarrollar un método corto para dividir un polinomio entre otro de la forma
.x a−
2. Desarrollar teoremas que ayudarán a aproximar ceros reales.
3. Hallar métodos alternativos para aproximar ceros irracionales.
Preguntas básicas
1. ¿Cómo se enuncia la regla de la división sintética?
2. ¿En qué consiste el teorema de los ceros racionales?
3. ¿Cómo se enuncia el teorema de aislamiento de ceros?
4. ¿Qué es una cota superior e inferior para ceros reales?
Contenido
10.1 División sintética
10.2 Cotas superior e inferior de ceros reales
10.3 Teorema de aislamiento de ceros
10.4 Teorema de los ceros racionales
10.5Aproximación de los ceros irracionales
Vea el módulo 10 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
10
La división sintética

122
10.1 División sintética
Es un método rápido y exacto para dividir un polinomio P(x) entre un polinomio
lineal de la forma x γ− . El método se describe en la forma siguiente:
Se colocan los coeficientes de P(x) en orden descendente de las potencias de x,
poniendo cero como coeficiente de cada potencia que no aparezca. Después de
escribir el divisor en la forma x γ− , se usa γ para generar la segunda y la tercera
filas, así: se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por ;γ se suma el
producto al segundo coeficiente del dividendo, se multiplica esa suma por γ y se
suma al tercer coeficiente del dividendo. El proceso se sigue hasta que un producto
se suma al término constante del dividendo.
El último número de la tercera fila es el residuo; los otros números de la tercera
fila son los coeficientes del cociente, que es de un grado menor que P(x).
Ejemplo19
Use la división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir
5 3
( ) 4 15 40P x x x x= − − entre 2.x +
Solución
2 ( 2),x x+ = − − o sea que 2.γ = −
5 3 5 4 3 2
( ) 4 15 40 4 0 15 0 40 0.P x x x x x x x x x= − − = + − + − +
4 0 15− 0 40− 0 2−
8− 16 2− 4 72
4 8− 1 2− 36− 72
En consecuencia, el cociente es 4 3 2
( ) 4 8 2 36.Q x x x x x= − + − − El residuo es
72.R =
El siguiente teorema proporciona un método para hallar entre qué números reales se
encuentran los ceros reales de un polinomio P(x).
10.2 Cotas superior e inferior de ceros reales
Dado un polinomio con coeficientes reales de grado 1,n ≥ y tal que el coeficiente
del término enésimo es positivo, si este polinomio se divide sintéticamente por
,x γ− se tiene:
Si 0γ > y todos los números de las filas del cociente son no negativos, entonces
γ es una cota superior de los ceros de P(x).

Si 0γ < y todos los números de la fila del cociente alternan de signo, entonces γ es
una cota inferior de los ceros de P(x).
Ejemplo20
Encuentre el menor entero positivo y el mayor entero negativo que sean cotas
superior e inferior del polinomio 3 2
( ) 3 18 4.P x x x x= − − +
Solución
Para hallar la cota inferior, hay que obrar por inspección analizando con
1, 2, 3γ = − − − etc. Es fácil verificar que la cota inferior es 4.γ = − Dividiendo
sintéticamente se tiene que:
1 3− 18− 4 4−
4− 28 40−
1 7− 10 36−
Obrando de manera similar se demuestra que γ = 6 es una cota superior de ese
polinomio. Como consecuencia, cualquier cero real del polinomio anterior es menor
que 6 y mayor que –4.
10.3 Teorema de aislamiento de ceros
Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales, y si P(a) y P(b) son de signo
opuesto, entonces existe al menos un cero real entre a y b.
Ejemplo21
Muestre que existe al menos un cero real en el polinomio
4 3
( ) 2 3 3 4P x x x x= − − − entre 2 y 3.
Solución
4 3
(2) 2(2) 3(2) 3(2) 4 2.P = − − − = −
4 3
(3) 2(3) 3(3) 3(3) 4 68.P = − − − =
Ya que P(2) y P(3) tienen signos opuestos, existe al menos un cero real entre 2
y 3.
10.4 Teorema de los ceros racionales
Todo cero racional del polinomio 1
1 1 0( ) ...n n
n nP x a x a x a x a−
−= + + + + es de la for-
ma
b
c
, donde b es un factor de 0a y c es un factor de .na
Módulo10:Ladivisiónsintética

124
Ejemplo22
Halle todos los posibles ceros racionales del polinomio 4 3
( ) 2 3 9.P x x x x= − + −
Solución
0 9,a = − por tanto b consta de los divisores de –9, o sea: 1, 3, 9.± ± ±
2,na = por tanto c consta de los divisores de 2, o sea: 1, 2.± ±
En consecuencia, los posibles ceros racionales de P(x) son los de la forma ,
b
c
o sea
que son:
1 3 9
1, 3, 9, , , .
2 2 2
± ± ± ± ± ±
Así, si P(x) posee ceros racionales deben ser los de la lista anterior.
Ejemplo23
Encuentre todos los ceros racionales de 3 2
( ) 2 8 4.P x x x x= − − +
Solución
En este proceso se van a utilizar varios teoremas, así:
como 3 2
( ) 2 8 4,P x x x x= − − + y hay dos variaciones de signo, existen dos
ceros reales positivos o ninguno;
como 3 2
( ) 2 8 4,P x x x x− = − − + + y hay una variación de signo, se puede
asegurar que hay un cero real negativo;
como 0 4a = y 2,na = los posibles ceros racionales son:
1
1, 2, 4, .
2
± ± ± ±
Se puede verificar que 2 es un cero real así:
2 1− 8− 4 2
4 6 4−
2 3 2− 0
Por tanto, 2
( ) ( 2)(2 3 2).P x x x x= − + −
Los ceros de 2
( ) 2 3 2Q x x x= + − se hallan resolviendo la ecuación cuadrática y
son
1
2
y –2.

Así, los ceros racionales de P(x) son: 2, 2− ,
1
2
.
10.5 Aproximación de los ceros irracionales
Para hallar los ceros irracionales en forma aproximada, se buscan dos reales a y b
tales que P(a) y P(b) sean de signo diferente. Se divide ese intervalo en una serie de
subintervalos y se halla un c entre a y b que cumpla que P(a) y P(c) o P(c) y P(b)
sean de signos diferentes. El proceso se repite tantas veces como se desee, hasta
obtener una aproximación al cero irracional con la precisión pedida.
Ejemplo24
Utilice la división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir
el polinomio P(x) entre el polinomio Q(x) de grado 1.
a. 4 3 2
( ) 3 5 6 3; ( ) 4.P x x x x x Q x x= − − + − = −
Solución
Escribiendo los coeficientes del polinomio P(x), el cero del polinomio Q(x) que es 4
y aplicando el algoritmo de la división sintética, tenemos:
1 3− 5− 6 3− 4
4 4 4− 8
1 1 1− 2 5
Por tanto el cociente es el polinomio 3 2
2x x x+ − + y el residuo es 5, lo que signi-
fica que:
4 3 2
3 2( ) 3 5 6 3 5
2 .
( ) 4 4
P x x x x x
x x x
Q x x x
− − + −
= = + − + +
− −
b.
3 2 3
( ) 4 4 7 6; ( ) .
2
P x x x x Q x x= + − − = +
Solución
Escribiendo los coeficientes del polinomio P(x), el cero del polinomio Q(x) que es
3
2
− y aplicando el algoritmo de la división sintética, tenemos:

126
4 4 7− 6− 3
2
−
6− 3 6
4 2− 4− 0
Por tanto el cociente es el polinomio 2
4 2 4x x− − y el residuo es 0, lo que significa
que:
3 2
2( ) 4 4 7 6
4 2 4.
3( )
2
P x x x x
x x
Q x x
+ − −
= = − −
+
c. 5 2
( ) 10 5 2; ( ) 2.P x x x x Q x x= + + + = +
Solución
Escribiendo los coeficientes del polinomio 5 2
( ) 10 5 2P x x x x= + + + =
5 4 3 2
0 0 10 5 2,x x x x x+ + + + + el cero del polinomio Q(x) que es 2− y aplicando el
algoritmo de la división sintética, tenemos:
1 0 0 10 5 2 2−
2− 4 8− 4− 2−
1 2− 4 2 1 0
Por tanto el cociente es el polinomio 4 3 2
2 4 2 1x x x x− + + + y el residuo es 0, lo que
significa que:
5 2
4 3 2( ) 10 5 2
2 4 2 1.
( ) 2
P x x x x
x x x x
Q x x
+ + +
= = − + + +
+
Ejemplo25
Encuentre la menor cota positiva y la mayor cota negativa para los ceros reales del
polinomio 3 2
( ) 4 5 8.P x x x x= − − +
Solución
Para hallar la menor cota positiva hay que obrar por inspección dividendo
sintéticamente el polinomio por 1, 2, 3,...x x x− − − hasta hallar que todos los coefi-
cientes del polinomio cociente son no negativos.

1 4 5 8 1
1 3 8
1 3 8 0
− −
− −
− −
1 4 5 8 2
2 4 18
1 2 9 10
− −
− −
− − −
1 4 5 8 3
3 3 24
1 1 8 16
− −
− −
− − −
1 4 5 8 4
4 0 20
1 0 5 12
− −
−
− −
1 4 5 8 5
5 5 0
1 1 0 8
− −
−
Como todos los coeficientes del polinomio cociente x2
+ x son no negativos, enton-
ces 5 es una cota superior para los ceros del polinomio P(x). Realizando el mismo
procedimiento, dividiendo ahora por x + 1, x + 2, ... encontramos la cota inferior
cuando el polinomio cociente tenga todos sus coeficientes que alternen sus sig-
nos. En este caso, si aparece el 0 como coeficiente puede considerarse con el signo
conveniente.
1 4 5 8 1
1 5 0
1 5 0 8
− − −
−
−
Como todos los coeficientes del polinomio cociente 2
5 0x x− + alternan su signo,
entonces 1− es una cota inferior para los ceros del polinomio P(x). Por tanto los
ceros reales de este polinomio están entre 1− y 5.
Ejemplo26
Encuentre la menor cota positiva y la mayor cota negativa para los ceros reales del
polinomio 4 3 2
( ) 4 2 12 3.P x x x x x= + − − −

128
Solución
Siguiendo el procedimiento del ejercicio anterior, tenemos que:
1 4 2 12 3 1
1 5 3 9
1 5 3 9 12
− − −
−
− −
1 4 2 12 3 2
2 12 20 16
1 6 10 8 13
− − −
Como el polinomio cociente 3 2
6 10 8x x x+ + + tiene todos sus coeficientes no ne-
gativos, los ceros reales de P(x) tienen como cota superior el número 2. Para la cota
inferior procedemos como en el ejercicio anterior:
1 4 2 12 3 1
1 3 5 7
1 3 5 7 4
− − − −
− −
−
1 4 2 12 3 2
2 4 12 0
1 2 6 0 3
− − − −
− −
− −
1 4 2 12 3 3
3 3 15 9
1 1 5 3 12
− − − −
− − −
− −
1 4 2 12 3 4
4 0 8 16
1 0 2 4 13
− − − −
−
− −

1 4 2 12 3 5
5 5 15 135
1 1 3 27 132
− − − −
− −
− −
Como todos los coeficientes del polinomio cociente 3 2
3 27x x x− + − alternan su
signo, entonces –5 es una cota inferior para los ceros del polinomio P(x). Por tanto
los ceros reales de este polinomio están entre –5 y 2.
Ejemplo27
En los siguientes polinomios, muestre que existe al menos un cero real entre a y b.
a. P(x) = x4
– 2x3
– 6x2
+6x + 9, a = 1, b = 2.
Solución
Evaluando tenemos:
P(1) = 1 – 2 – 6 + 6 + 9 = 8 > 0.
P(2) = (2)4
– 2(2)3
– 6(2)2
+ 6(2) + 9 = 16 – 16 – 24 + 12 + 9 = –3 < 0.
Por el teorema del aislamiento de ceros, existe un cero real entre 1 y 2.
b. P(x) = x3
– 3x2
– 3x + 9, a = –2, b = –1.
Solución
Evaluando tenemos:
P(–2) = (–2)3
– 3(–2)2
– 3(–2) + 9 = – 8 – 12 + 6 + 9 = –5 < 0.
P(–1) = (–1)3
– 3(–1)2
– 3(–1) + 9 = – 1 – 3 + 3 + 9 = 8 > 0.
Por el teorema del aislamiento de ceros, existe un cero real entre –2 y –1.
Ejemplo28
Escriba todos los posibles ceros racionales del polinomio P(x) = 3x3
+ 2x2
– 5x – 8.
Solución
Si
b
c
es un cero racional de P(x), entonces por el teorema de los ceros racionales b
debe ser un factor de –8 y c debe ser un factor de 3. Entonces tenemos:
b
c

130
Valores posibles de b: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8.
Valores posibles de c: 1, 3.± ±
Por tanto todos los posibles ceros racionales del polinomio son:
1 2 4 8
1, 2, 4, 8, , , , .
3 3 3 3
± ± ± ± ± ± ± ±
Ejemplo29
Halle todos los ceros racionales del polinomio 3 2
( ) 3 10 6.P x x x x= + + −
Solución
Primero se hace una lista de todos los posibles ceros racionales del polinomio. Si
b
c
es un cero racional de P(x), entonces por el teorema de los ceros racionales b es un
factor de 6− y c es un factor de 3. Por tanto tenemos:
Valores posibles de b: 1, 2, 3, 6.± ± ± ±
Valores posibles de c: 1, 3.± ±
Por tanto todos los posibles ceros racionales del polinomio son:
1 2
1, 2, 3, 6, , .
3 3
± ± ± ± ± ±
Aplicando la regla de los signos de Descartes:
3 2
( ) 3 10 6,P x x x x= + + − una variación de signo; tiene un cero real positivo.
3 2
( ) 3 10 6,P x x x x− =− + − − dos variaciones de signo; tiene dos ceros reales negativos o
ninguno.
Probando los posibles ceros positivos, tenemos:
(1) 3 10 1 6 8,
(2) 24 40 2 6 60,
(3) 81 90 3 6 168,
(6) 648 360 6 6 1008,
1 1 10 1 40
6 ,
3 9 9 3 9
2 8 40 2
6 0.
3 9 9 3
P
P
P
P
P
P
= + + − =
= + + − =
= + + − =
= + + − =
⎛ ⎞
= + + − =−⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= + + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠

Como
2
3
es un cero, para hallar los restantes ceros el polinomio puede escribirse
así:
2
( ) ( ),
3
P x x Q x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
donde Q(x) lo obtenemos por división sintética:
2
3 10 1 6
3
2 8 6
3 12 9 0
−
Por tanto 2 2
( ) 3 12 9 3( 4 3) 3( 3)( 1),Q x x x x x x x= + + = + + = + + lo que significa que
los otros dos ceros racionales son 3− y 1.−
Ejemplo30
Halle todos los ceros reales del polinomio 3 2
( ) 2 5 8 6.P x x x x= − − +
Solución
Hallemos primero los ceros racionales. Como b es factor de 6 y c es factor de 2,
entonces los posibles ceros racionales son:
1 3
1, 2, 3, 6, , .
2 2
± ± ± ± ± ±
3 2
( ) 2 5 8 6,P x x x x= − − + dos variaciones de signo; tiene dos ceros reales positivos o
ninguno.
3 2
( ) 2 5 8 6,P x x x x− =− − + + una variación de signo; tiene un cero real negativo.
Busquemos por inspección el único cero real negativo:
( 1) 2 5 8 6 7,
( 2) 16 20 16 6 14,
( 3) 54 45 24 6 69,
( 6) 432 180 48 6 558,
1 1 5 17
4 6 ,
2 4 4 2
3 27 45
12 6 0.
2 4 4
P
P
P
P
P
P
− = − − + + =
− = − − + + =−
− = − − + + =−
− = − − + + =−
⎛ ⎞
− = − − + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
− =− − + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠

132
Como
3
2
− es un cero, para hallar los restantes ceros el polinomio puede escribirse
así:
3
( ) ( ),
2
P x x Q x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
2 5 8 6
2
3 12 6
2 8 4 0
− − −
− −
−
Por tanto 2 2
( ) 2 8 4 2( 4 2).Q x x x x x= − + = − + Aplicando la fórmula para las raíces
de la ecuación cuadrática, tenemos que los ceros reales positivos son 2 2,± que
no son racionales sino irracionales.
Ejemplo31
Halle todos los ceros de 3 2
( ) 2 7 6 5.P x x x x= − + +
Solución
Hallemos primero los ceros racionales. Como b es factor de 5 y c es factor de 2,
entonces los posibles ceros racionales son:
1 5
1, 5, , ,
2 2
± ± ± ±
3 2
( ) 2 7 6 5,P x x x x= − + + dos variaciones de signo; tiene dos ceros reales positivos
o ninguno.
3 2
( ) 2 7 6 5,P x x x x− =− − − + una variación de signo; tiene un cero real negativo.
( 1) 2 7 6 5 10,
( 5) 250 175 30 5 450,
1 1 7
3 5 0.
2 4 4
P
P
P
− = − − − + =−
− = − − − + =−
⎛ ⎞
− = − − − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠

Como
1
2
− es un cero, para hallar los restantes dos ceros tenemos que el polinomio
puede escribirse así:
1
( ) ( ),
2
P x x Q x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2 7 6 5
2
1 4 5
2 8 10 0
− −
− −
−
Por tanto:
2 2 2
2 2
( ) 2 8 10 2( 4 5) 2( 4 4 1)
2 ( 2) ( ) 2( 2 )( 2 ).
Q x x x x x x x
x i x i x i
= − + = − + = − + +
⎡ ⎤= − − = − − − +⎣ ⎦
Es decir, los restantes dos ceros son los números complejos conjugados 2 + i y
2 .i−
Ejemplo32
Halle todos los ceros reales del polinomio 3
( ) 2 7.P x x x= + + Aproxime los ceros
irracionales hasta dos decimales.
Solución
Hallemos primero los ceros racionales si existen. Como b es factor de 7 y c es factor
de 1, entonces los posibles ceros racionales son:
1, 7.± ±
3
( ) 2 7,P x x x= + + no hay variaciones de signo; no tiene ceros reales positivos.
3
( ) 2 7,P x x x− = − − + una variación de signo; tiene un cero real negativo.

134
( 1) 1 2 7 4,
( 7) 343 14 7 350.
P
P
− =− − + =
− =− − + =−
De lo anterior se concluye que el polinomio no tiene ceros racionales. Por tanto el
único cero negativo es irracional y los otros dos ceros números complejos conjuga-
dos. Como ( 1) 4 0P − = > y ( 7) 0,P − < entonces por el teorema de aislamiento de
ceros el cero irracional está entre –7 y –1. El punto medio del intervalo [ 7, 1]− − es
0 4.x =− Evaluando tenemos que ( 4) 65 0,P − =− < por tanto por el teorema del
aislamiento, como ( 1) 4 0,P − = > el cero irracional está en el intervalo [ 4, 1].− − El
punto medio de este intervalo es x1
= –2.5 y evaluando tenemos
( 2.5) 13.625 0,P − =− < por tanto el cero está en el intervalo [ 2.5, 1].− − El valor
–2.5 es la aproximación de este cero con un decimal. Repitiendo el procedimiento, el
punto medio de este intervalo es 1.75− que es un valor aproximado hasta dos
decimales del cero irracional buscado. Por supuesto que este procedimiento puede
prolongarse, aproximándose cada vez más al valor real del cero.

1. Usando división sintética halle el cociente y el residuo de dividir:
a. 4
3 4x x− − entre x + 1. RTA: 3 2
3 3 3 4, 0.x x x R− + − =
b. 5
1x + entre x + 1. RTA: 4 3 2
1, 0.x x x x R− + − + =
c. 4 3 2
2 13 14 15x x x− + + entre 5.x− RTA: 3 2
2 3 5, 10.x x x R− − − = −
d. 4 3 2
4 2 6 5 1x x x x+ − − + entre
1
.
2
x + RTA: 3
4 6 2, 2.x x R− − =
2. Usando división sintética halle el cociente y el residuo de dividir:
a. 4 2
5 2 3x x− − entre 1.x−
b. 3 2
2 4 9 11x x x+ + − entre 3.x+
c. 5 2
10 5 2x x x+ + + entre 5.x−
d. 3 2
3 2x x x− + + entre
3
.
2
x+
3. Determine si el segundo polinomio es un factor del primero sin emplear la división sintética:
a. 4 3
3 2 5 6; 1.x x x x− + − − RTA: Sí.
b. 3 2
3 7 8 2; 1.x x x x− − + + RTA: Sí.
c. 4 2
4 4 1; 2.x x x x− − − − RTA: No.
4. Determine si el segundo polinomio es un factor del primero sin dividir ni emplear división sintética:
a. 3 2
3 7 8 2x x x− − + ; x + 1.
b. 4 3
3 2 5 6x x x− + − ; 1x − .
c. 18
1x − ; 1x − .
5. Encuentre el polinomio de menor grado que tenga por ceros:
a. 3 (multiplicidad 2) y 4.− RTA: 2
( 3) ( 4).x x− +
b. 7− (multiplicidad 3),
2
3
y 5.− RTA:
3 2
( 7) ( 5).
3
x x x
⎛ ⎞
+ − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
c. (2 3 ),(2 3 )i i− + y 4− (multiplicidad 2). RTA: 2 2
( 4 13)( 4) .x x x− + +
Ejercicios del capítulo 4 (módulos 9 y 10)

136
6. Encuentre el polinomio de menor grado que tenga por ceros:
a. 3− de multiplicidad 2 y –4.
b. 7− de multiplicidad 3,
2
3
y –5.
c. 2 3 ,i− − 2 + 3i, 4− de multiplicidad 2.
7. Escriba P(x) como producto de factores lineales:
a. 3 2
( ) 9 24 16P x x x x= + + + si –1 es un cero. RTA: 2
( 4) ( 1).x x+ +
b. P(x) = x4
– 1 si 1 y –1 son ceros. RTA: ( 1)( 1)( )( ).x x x i x i− + + −
c. 3 2
( ) 2 17 90 41P x x x x= − + − si 1/2 es un cero. RTA: (2 1)( 4 5 )( 4 5 ).x x i x i− − − − +
8. Escriba a 4 2
( ) 2 1P x x x= + + como producto de factores lineales si i es un cero doble.
9. En las ecuaciones siguiente determine las combinaciones posibles de soluciones reales y complejas:
a. 4 3 2
4 5 1 0.x x x− + + = RTA: cuatro ceros reales; dos ceros reales y un par de ceros complejos conjugados;
dos pares de ceros complejos conjugados.
b. 3
2.x x+ + RTA: tres ceros reales; un cero real y un par de ceros complejos conjugados.
c. 5 3 2
4 9.x x x x+ + + + RTA: cinco ceros reales; tres ceros reales y un par de ceros complejos conjugados;
un cero real y dos pares de ceros complejos conjugados.
10. En las ecuaciones siguientes cuáles son las combinaciones posibles de soluciones reales y complejas:
a. 4 3
3 5 6 0.x x x− + − =
b. 6 4 3
3 7 0.x x x x− + − − =
c. 5 4 2
4 5 3 0.x x x x+ − − + =
11. La soluciones de la ecuación 3
27x + son las raíces cúbicas de 27.− ¿Cuántas raíces cúbicas de 27− existen?
Hállelas. RTA: 3 raíces:
3 3 3 3 3 3
3, , .
2 2
i i+ −
−
12. Las soluciones de la ecuación 3
8 0x − = son las raíces cúbicas de 8. ¿Cuántas raíces cúbicas de 8 existen? Hállelas.
13. Muestre que i es un cero del polinomio 2
2x ix+ + y que i− no es un cero de este polinomio. ¿Contradice esto el
teorema de los ceros complejos? RTA: ( ) 0; ( ) 2.P i P i= − = No lo contradice pues el polinomio tiene coeficientes
complejos.

Capítulo 5: Ecuaciones polinómicas
14. Dado ( ) 2
2 5,P x x ix= + − con un cero que es 2 ,i− demuestre que 2 i+ no es un cero de ( ).P x ¿Contradice esto
el teorema de las raíces conjugadas?
15. En los siguientes polinomios muestre que existe al menos un cero real entre a y b:
a. 2
( ) 3 2; 1; 0.P x x x a b= − − = − = RTA: ( 1) 2 0; (0) 2 0.P P− = > =− <
b.
3
( ) 3 5; 3; 2.P x x x a b= − + =− =− RTA: ( 3) 13 0; ( 2) 3 0.P P− =− < − = >
c. 3 2
( ) 3 3 9; 1; 2.P x x x x a b= − − + = = RTA: (1) 4 0; (2) 1 0.P P= > = − <
16. En los siguientes polinomios muestre que existe al menos un cero real entre a y b:
a. ( ) 2
3 2;P x x x= − − 3,a = 4b = .
b. ( ) 2
3 1;P x x x= + + 3,a = − 2b = − .
c. ( ) 3 2
3 3 9;P x x x x= − − + 2,a = − 1b = − .
17. Encuentre, para cada uno de los siguientes polinomios, el menor entero positivo y el mayor entero negativo que son,
respectivamente, cota superior e inferior de sus ceros reales:
a. 3 2
( ) 6 6.P x x x x= − − + RTA: 3− y 3.
b. 3
( ) 2 6.P x x x= − − RTA: 2− y 3.
c. 5 3
( ) 3 2 5.P x x x x= − + − RTA: 2− y 2.
18. Encuentre la menor cota positiva y la mayor cota negativa para los ceros reales de los siguientes polinomios:
a. ( ) 3 2
2 3.P x x x= − +
b. ( ) 4 3
2 4 3.P x x x x= − + +
19. Para los polinomios del ejercicio 17 halle el número posible de ceros reales usando la regla de los signos de Descartes.
a. RTA: ninguno o dos ceros positivos; un cero negativo.
b. RTA: un cero positivo; ninguno o dos ceros negativos.
c. RTA: uno o tres ceros positivos; ninguno o dos ceros negativos.
20. Analice, para los siguientes polinomios, el número posible de ceros reales usando la regla de los signos de Descartes:
a. ( ) 3 2
6 6.P x x x x= − − +
b. ( ) 4 3 2
4 2 12 3.P x x x x x= + − − −
c. ( ) 5 3
3 2 5.P x x x x= − + −

138
21. Muestre queelpolinomio 6 4 2
( ) 3 1P x x x x x= + + − − tienedoscerosrealesydos pares de ceros complejos conjugados.
RTA: por la regla de Descartes el polinomio tiene un cero real positivo y un cero real negativo. Como (0) 1 0,P = − ≠
entonces los restantes cuatro ceros son complejos y aparecen en pares de números complejos conjugados.
22. Pruebe que 4 2
( ) 3 5P x x x x= + − − tiene dos ceros complejos, y dos reales, sin usar calculadora.
23. Muestre que el polinomio 5 4
( ) 4 3P x x x= − + + tiene un cero real positivo y dos pares de ceros complejos conjugados.
RTA: por la regla de Descartes, el polinomio tiene un cero real positivo y no tiene ceros reales negativos. Como
(0) 3 0,P = ≠ entonces los restantes cuatro ceros son complejos y aparecen en pares de números complejos conjugados.
24. Pruebe que 3 2
( ) 3 5P x x x= + + tiene un cero real negativo y dos complejos, sin usar calculadora.
25. Dado el polinomio 6 4
( ) 4 3,P x x x= + + muestre, sin dibujar su gráfica, que ésta no cruza el eje x. RTA: por la regla
de Descartes no tiene ceros reales positivos ni negativos. Como (0) 3 0,P = ≠ entonces el polinomio no tiene
ceros reales, es decir, su gráfica no cruza el eje de las x.
26. Pruebe que la gráfica del polinomio 4 2
( ) 3 7P x x x= + + no cruza el eje x, sin graficar la función.
27. Dados los siguientes polinomios, halle todos los ceros racionales:
a. 3 2
( ) 3 6.P x x x= − + RTA: No tiene.
b. 4 3 2
( ) 2 2 8 8.P x x x x x= − − + − RTA: 2; 2.−
c. 4 3 2
( ) 3 8 6 17 6.P x x x x x= − − + + RTA: 1/ 3; 2.−
28. Halle todas las raíces, racionales, irracionales y complejas, de las siguientes ecuaciones:
a. 5 4
2 3 2 3 0.x x x− − + =
b. 4 2
2 16 15 0.x x x− − − =
c. 4 3 2
4 20 20 0.x x x x+ − − − =
d. 3 2
2 5 1 0.x x− + =
29. Aproxime los ceros irracionales de los siguientes polinomios, con un decimal, en el intervalo indicado:
a. 3 2
( ) 5 3; [4,5].P x x x= − + RTA: 4.9.
b. 3
( ) 1; [0,1].P x x x= + − RTA: 0.7.
30. Halle los ceros reales de los siguientes polinomios (aproxime los ceros irracionales):
a. 4 3 2
( ) 10 28 18.P x x x x x= − + − +
b. 4
( ) 6 7.P x x x= + −
c. 5 4 3 2
( ) 2 5 7 4 21 9.P x x x x x x= − − + + +

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