Este documento introduce los sistemas numéricos y las progresiones aritméticas y geométricas. Explica brevemente los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, y cómo se relacionan entre sí. Luego define las progresiones aritméticas como sucesiones donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, y las progresiones geométricas como sucesiones donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por un factor constante.

1. 33Álgebraytrigonometría
Sistemas numéricos
Introducción
En este módulo se enunciarán, de manera muy breve, los diferentes sistemas numé-
ricos y cómo se relacionan entre ellos. Se comenzará con los familiares números
naturales, 1, 2, 3,..., presentes desde nuestra primera infancia; se pasará por los
enteros, los racionales y los reales y se terminará con los complejos. Los números
complejos se tratarán con más profundidad en los módulos correspondientes al
capítulo doce.
Objetivos
1. Abordar el estudio somero de los diferentes sistemas numéricos.
2. Establecer relaciones y diferencias entre losnúmeros naturales, enteros, racionales,
irracionales, reales y complejos.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es un número racional?
2. ¿Qué es un número irracional?
3. ¿Habrá números que sean racionales e irracionales a la vez?
4. ¿Habrá números que sean enteros y racionales a la vez?
Contenido
2.1 Introducción a los sistemas numéricos
2.2 Relación entre los sistemas numéricos
Vea el módulo 2 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
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http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
2
Euclides (300 a. C.)
Muypocosesabedesuvida.Sinduda,lagranreputaciónde
EuclidessedebeasufamosaobratituladaLoselementosde
geometría, conocida simplemente por los Elementos.Tal es
la importancia de esta obra que se ha usado como texto de
estudiosdurantecercade2.000años,veintesiglos,sinque
se le hicieran correcciones de importancia salvo peque-
ñas modificaciones. Los Elementos están constituidos por
trece libros. A aquéllos se ha agregado un libro XIV que
comprende un trabajo de Hipsicles del siglo II de nuestra
era, e incluso un libro XV con un trabajo de menor
importancia.

2. 34
2.1 Introducción a los sistemas numéricos
La necesidad de comparar los elementos de un par de conjuntos motivó el "contar"
esos elementos y, con ello, la aparición de unos entes abstractos: los números
naturales. Posteriormente hubo necesidad de referirse a estos entes y por consi-
guiente se les asignó nombres y se les representó mediante los símbolos 1, 2, 3, 4,...
Una vez creados los números naturales, con sus símbolos correspondientes, se
definieron con ellos las operaciones de suma, resta y multiplicación y se resolvieron
problemas dentro de este conjunto.
Algunos de ellos eran problemas del tipo siguiente: resolver la ecuación a + x = b
cuando a yb son naturales y b < a. Esto daba lugar a la posible solución x b a= − que
no era un número natural. Surgieron así los números enteros que constan de núme-
ros de la forma ... − 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3,...
Un nuevo problema surgió al tratar de resolver la ecuación a · x = b cuya solución no
pertenece al conjunto de los enteros y que es de la forma x = b/a con a ≠ 0. Surgie-
ron entonces los números racionales, que se definen como aquellos que se pueden
escribir como el cociente de dos enteros, donde el entero del denominador es dife-
rente de cero.
En circunstancias similares, el deseo de resolver la ecuación
2
2x = dio origen al
concepto de números irracionales, que se caracterizan porque no se pueden escri-
bir como el cociente de dos enteros. La unión de los anteriores conjuntos dio lugar
al campo de los números reales.
Por último, el problema de resolver la ecuación 2
2 0x + = condujo al nacimiento de
los números complejos, que se definen como números de la forma a + bi, donde
i = 1.−
2.2 Relación entre los sistemas numéricos
El sistema de los números reales es el sistema en el cual se ha trabajado en los ciclos
básico y medio del sistema educativo. La tabla 2.1 describe el conjunto de los
números reales y sus respectivos subconjuntos. En la tabla se cumple la siguiente
cadena de inclusiones: N Z Q R C⊆ ⊆ ⊆ ⊆ . Además, si el conjunto de los núme-
ros irracionales lo denotamos por I, se tiene que .Q I R∪ =
Hay que volver a decir que un número irracional es aquel número real que no se
puede escribir como el cociente de dos enteros. Existen muchos números irracionales
famosos como el número π y el número e.
Es conocida la fórmula que relaciona los cinco números más famosos de la matemá-
tica, a saber , , 0,1,e iπ . La fórmula es la siguiente:
1 0.i
eπ
+ =
Capítulo1:Elementosdearitmética

3. 35Álgebraytrigonometría
Módulo2:Sistemasnuméricos
Tabla 2.1. Relación entre los sistemas numéricos
Símbolo Sistema de Números Descripción
N
Z
Q
R
C
Números naturales Números para contar.
Números enteros Conjunto de números naturales,
sus negativos y el cero.
Números racionales Números que se pueden representar en la
forma a/b con a y b enteros, 0.b ≠
Números relaes Conjunto que consta de la unión de los
números racinales y los irracionales.
Números complejos Números de la forma a + bi con a y b
números reales e 1.i = −

4. 36

5. 37Álgebraytrigonometría
Introducción
En este módulo se estudiarán progresiones. Una progresión es una lista de núme-
ros que siguen una ley general de formación. Según como sea esa ley, las
progresiones que se verán serán aritméticas o geométricas. Se verá cómo estas
progresiones tienen aplicación en el cálculo de interés compuesto y en el crecimien-
to exponencial de algunos seres vivos.
Objetivos
1. Caracterizar sucesiones de números reales o complejos.
2. Deducir fórmulas compactas para la suma de estas sucesiones.
Preguntas básicas
1. ¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una geométrica?
2. ¿Habrá progresiones que sean a la vez aritméticas y geométricas?
3. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progre-
sión geométrica?
4. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progre-
sión aritmética?
Contenido
3.1 Progresiones aritméticas
3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética
3.2 Progresiones geométricas
3.2.1 Suma de términos de una progresión geométrica
Progresiones aritméticas y geométricas
Vea el módulo 3 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
3
Zenón de Elea (s. V a. C.)
Fueunfilósofogriegodelaescuelaeleática,nacidoenElea
(Italia meridional). Fue discípulo de Parménides (uno de
los filósofos griegos más importantes de la época y de los
más señalados en la escuela eleática) y, según varios
escritores, enseñó en Atenas durante algún tiempo.
Zenóntratódemostrarquelarealidadesunaeinvariable
y que todo movimiento es ilusorio. Era costumbre suya
mostrarloabsurdodealgunascreenciasyfrecuentemente
se valía de paradojas (expresión o situación que parece
absurda y sin embargo es razonable), en las que dice que
todo movimiento es un engaño.
Contrastadas con la realidad, las pruebas de Zenón contra
elmovimientoserevelanalpuntocomoparadojasycomo
auténticosparalogismos(argumentoocontradicciónfalsa).

6. 38
3.1 Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números reales de la forma siguiente:
1 2 3 4, , , ,..., ,na a a a a donde la diferencia entre cualquier par de números consecu-
tivos es siempre constante, es decir, 1n na a d−− = para todo n. El término d se llama
diferencia constante.
En la notación anterior se tendrá que:
a1
: primer término de la progresión.
d: diferencia común.
n: número de términos.
Según lo anterior, otra forma de escribir la progresión aritmética es:
1 1 1 1 1, , 2 , 3 ,..., ( 1) .a a d a d a d a n d+ + + + − Como consecuencia de lo anterior, en
una progresión aritmética en la cual la diferencia común es d y el primer término es
1,a se tiene que el enésimo término se denota por 1 ( 1) .na a n d= + −
Ejemplo15
La sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 es una progresión aritmética en la cual el primer
término es 3 y la diferencia común es 3.
Ejemplo16
Halle el término de lugar 12 de la progresión aritmética 10, 7, 4, ...
Solución
Se tiene que 1a = 10, 3d = − . Se sabe que 1 ( 1) .na a n d= + − En consecuencia, para
n = 12 se tiene que ( )( )12 10 12 1 3 ,a = + − − 12 23.a = −
Ejemplo17
Si el cuarto término de una progresión aritmética es 14 y el noveno es 34, encuentre
el primer término.
Solución
Como 1 ( 1) ,na a n d= + − se tiene entonces que:
para n = 4, 114 3 .a d= +
para n = 9, 134 8 .a d= +
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que 1 2a = y d = 4.
Ejemplo18
Encuentre una progresión aritmética de siete términos cuyo primer término es 1/2 y
cuyo último término es 13/2.
Capítulo1:Elementosdearitmética
Escuche Historia del ajedrez
en su multimedia de
Àlgebra y trigonometría

7. 39Álgebraytrigonometría
Módulo3:Progresionesaritméticasygeométricas
Escuche La paradoja de
Zenón en su multimedia de
Álgebra y trigonometría
Solución
Se sabe que ( )1 1
1
, 7, 1 .
2
na n a a n d= = = + −
En nuestro caso se tiene que ( )
13 1
7 1
2 2
d= + − . Por tanto, 6 = 6d o sea que
d = 1. De lo anterior se concluye que la progresión aritmética es:
1 3 5 7 9 11 13
, , , , , ,
2 2 2 2 2 2 2
.
3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética
Dada una progresión aritmética con n términos, de la forma
1 1 1 1 1, , 2 , 3 ,..., ( 1) ,a a d a d a d a n d+ + + + − de este modo su suma se expresa
como 1 1 1 1 12 3 ... ( 1) .Sn a a d a d a d a n d= + + + + + + + + + − Se puede fácilmen-
te demostrar que Sn viene dada por la siguiente fórmula compacta:
( )12 1 .
2
n
n
S a n d= + −⎡ ⎤⎣ ⎦
Demostración
Si Sn denota la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, se
tiene:
[ ]1 1 1 1( ) ( 2 ) ... ( 1) .nS a a d a d a n d= + + + + + + + −
Si invertimos el orden de la suma anterior, se tiene:
[ ] [ ] [ ]1 1 1 1( 1) ( 2) ... .nS a n d a n d a d a= + − + + − + + + +
Si se suman las dos igualdades anteriores, se tiene:
[ ] [ ] [ ]1 1 12 2 ( 1) 2 ( 1) ... 2 ( 1) .nS a n d a n d a n d= + − + + − + + + −
Puesto que hay n términos de la forma[ ]12 ( 1) ,a n d+ − podemos decir que:
[ ]12 2 ( 1)nS n a n d= ⋅ + − .
Por lo tanto, [ ]12 ( 1)
2
n
n
S a n d= ⋅ + − .
Como el enésimo término de una progresión aritmética es 1 ( 1) ,na a n d= + − enton-
ces también 1( ).
2
n n
n
S a a= ⋅ +

8. 40
Capítulo1:Elementosdearitmética
Ejemplo19
Halle la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética 5, 1, 3, 7,− − …
Solución
Se tiene que 1 5, 4, 10.a d n= − = =
( ) ( )( )10
10
2 5 10 1 4
2
130.
S = × − + − ×
=
Ejemplo20
La suma de los primeros 15 términos de una progresión aritmética es 360. Halle el
primer término y la diferencia común si el término de lugar 15 es 39.
Solución
Se sabe que ( )1 .
2
n n
n
S a a= +
Se sabe también que 15 15360, 39.S a= =
( )1
1
1
15 39
360 , 15 585 720,
2
9.
a
a
a
+
= + =
=
Como ( )1 1 ,na a n d= + − entonces 39 9 14 ,d= +
15
.
7
d =
Ejemplo21
Encuentre la suma de los enteros impares de 1 hasta 51 inclusive.
Solución
1 1, 2, 51na d a= = = .
Como ( )1 1 ,na a n d= + − entonces
( )51 1 1 2,
26.
n
n
= + − ×
=
Por consiguiente,

9. 41Álgebraytrigonometría
( )26
26
1 51
2
676.
S = × +
=
3.2 Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una expresión de la forma 1 2 3 4, , , ,..., na a a a a y en
donde la razón r de dos términos consecutivos cualesquiera es constante; es decir,
1k
k
a
r
a
+
= , para 1 ,k n≤ ≤ es constante.
Hay que notar que como consecuencia de la definición, en toda progresión
geométrica se cumple que 1
1 ,n
na a r −
= donde na es el término situado en el lugar
enésimo.
Ejemplo22
La sucesión 4, 12, 36, 108, 324, 972 es una progresión geométrica que consta de seis
términos.
Ejemplo23
Dada una progresión geométrica donde r = 3, 1 2a = , halle el quinto término.
Solución
Si en la fórmula en que 1
1
n
na a r −
= se toma 1 2a = , r = 3, n = 5, se tiene que
5 162.a =
Ejemplo24
Si en una progresión geométrica el octavo término es 32 y el quinto es 4, halle los
cuatro primeros términos.
Solución
Se sabe que 1
1 .n
na a r −
= En consecuencia, se tendrán las siguientes dos ecuaciones:
8 1
132 ,a r −
= haciendo n = 8, y
5 1
14 ,a r −
= haciendo n = 5.
De las anteriores ecuaciones se tiene que 3
8r = y, por tanto, r = 2, y reemplazando
este valor en cualquiera de las ecuaciones anteriores se tiene que a1
= 1/4. Por
consiguiente, los primeros cuatro términos de la progresión son: 1/4, 1/2, 1, 2.
Módulo3:Progresionesaritméticasygeométricas

10. 42
3.2.1 Suma de términos de una progresión geométrica
Dada una progresión geométrica con n términos de la forma
2 3 1
1 1 1 1 1, , , ,..., ,n
a a r a r a r a r −
la suma que se denota por Sn viene dada por
2 3 1
1 1 1 1 1... .n
nS a a r a r a r a r −
= + + + +
Se puede demostrar fácilmente que Sn viene dada por la siguiente fórmula compacta:
1 (1 )
,
1
n
n
a r
S
r
−
=
−
con 1.r ≠
Demostración
Si Sn
denota la suma de los n términos de una progresión geométrica, se tiene que:
2 1
1 1 1 1... n
nS a a r a r a r −
= + + + +
y por tanto:
2 3
1 1 1 1... .n
nrS a r a r a r a r= + + + +
Restando miembro a miembro, se tiene:
1 1
1
1
,
(1 )
(1 ) (1 ), .
1
n
n n
n
n
n n
S rS a a r
a r
r S a r S
r
− = −
−
− = − =
−
Como el enésimo término de una progresión geométrica viene dado por 1
1
n
na a r −
=
con 2,n ≥ entonces también 1 1
.
1
n
n
a a r
S
r
−
=
−
1
1 1
1
1
.
1
n
n
n
a ra r
S
r
a ra
r
−
−
=
−
−
=
−
Cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1, es decir, 1,r < se puede
demostrar que la «suma» de los infinitos términos de una proyección geométrica de
este tipo viene dada por
1
.
1
n
a
S
r
=
−
Ejemplo25
Halle la suma de los 7 primeros términos de la sucesión 5, 10,20,− …
La progresión es geométrica con 5, 2 y 7.a r n= = − =
Capítulo1:Elementosdearitmética

11. 43Álgebraytrigonometría
( )( )
( )
7
7
5 1 2
215.
1 2
S
× − −
= =
− −
Ejemplo26
Halle la suma de una progresión geométrica en la cual el primer término es 4, el
ultimo término es
1
8
y la razón común es
1
.
2
Solución
1
1
1 1
4, , .
8 2
1 1
4
638 2
.
11 81
2
n
n
n
a a r
a ra
S
r
= = =
⎛ ⎞
− ×⎜ ⎟− ⎝ ⎠= = =
− −
Ejemplo27
Divida el número 195 en tres partes que formen una progresión geométrica cuyo
tercer término exceda al primero en 120.
Solución
Sea x el primer término y r la razón común de la progresión.
Se debe cumplir que:
2
2
195,
120.
x xr xr
xr x
+ + =
= +
De la segunda ecuación se tiene:
( )2
2
120
1 120, .
1
x r x
r
− = =
−
Por tanto,
2
2 2 2
120 120 120
195.
1 1 1
r r
r r r
+ + =
− − −
Simplificando se obtiene que 2 7
5 8 21 0, 3,
5
r r r r− − = = = − y por tanto
15, 125.x x= = Así: 15, 45, 135 y 125, 175,− 245 son progresiones geométricas
que cumplen estas posibilidades.
Módulo3:Progresionesaritméticasygeométricas