1. 56

2. 57Álgebraytrigonometría
El número es una conquista del pensamiento humano.
2Potenciación y
radicación
Módulo5
Leyes de los exponentes y los
radicales
Racionalización
Ejercicios
Capítulo 2, módulo 5
Capítulo2
Presentación
En álgebra es esencial manejar cierto tipo de operaciones con el fin de cambiar o
reducir determinadas expresiones algebraicas.
Se entenderá por expresión algebraica una expresión que está formada por constan-
tes y variables y por operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, divi-
sión, potenciación y radicación.
Se entenderá por constante cualquier símbolo que se utiliza para nombrar exacta-
mente una cosa; una variable es cualquier símbolo usado como concepto válido
para constantes tomadas de un conjunto de referencia.
En este capítulo se definirán los conceptos de exponenciación y radicación en los
números reales.
Contenido breve

3. 58

4. 59Álgebraytrigonometría
Leyes de los exponentes y los radicales
Racionalización
Introducción
En este módulo se le dará significado a expresiones como ,
p
q
a donde a, p, q son
números, y se enunciarán las leyes que los rigen. Esta nueva notación nos permite
obtener «economía» de símbolos al expresar grandes números. Con esta notación,
100
10 es una representación breve para un número que en la notación usual requiere
de 101 cifras. Se estudiará también el concepto de racionalización.
Objetivos
1. Definir el concepto de base y exponente en los números reales.
2. Establecer las propiedades de los exponentes.
3. Definir el concepto de raíz enésima.
4. Definir el concepto de racionalización.
Preguntas básicas
1. ¿Qué significa racionalizar una expresión?
2. ¿Qué es la raíz cuadrada de un número?
3.¿ Qué es base y qué es exponente?
4. ¿Cuáles son las principales leyes de los exponentes?
Contenido
5.1 Exponentes
5.2 Propiedades de los exponentes
5.3 Raíz enésima
5.4 Exponentes racionales
5.5 Radicales
5.6 Racionalización
5.7 Factor racionalizador
Vea el módulo 5 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
5
Alejandría
Porelaño300a.C.laciudadgriegadeAlejandría,fundada
por Alejandro Magno en la costa mediterránea de Egipto,
era la urbe más grande del mundo. Tenía avenidas de 30
metrosdeancho,unmagníficopuertoyungigantescofaro
para anunciar a los marinos que allí se dirigían que se
acercabanasudestino.Elfarofueunadelassietemaravillas
delmundoantiguo.
Alejandríaeraunaciudadcosmopolitadondeconvivíanen
pazciudadanosdemuchasnacionalidades;eraellugarideal
para un centro internacional de investigación. Ese centro
eralabibliotecaymuseodeAlejandría.Elmuseo,unlugar
dedicado a las especialidades de las nueve musas, era el
centrodeinvestigacionespropiamentedicho.Labiblioteca
se guiaba por el ideal de reunir una colección de libros del
mundoconobrasgriegasytraduccionesalgriegodeobras
escritas originalmente en otras lenguas del Mediterráneo,
el Medio Oriente y la India.

5. 60
5.1 Exponentes
Sean a un número real y n un entero positivo, entonces:
1. · · ... ,n
a a a a a n= veces.
2. 0
1a = , con 0,a ≠ 00
no está definido.
3.
1
,n
n
a
a
−
= con 0.a ≠
5.2 Propiedades de los exponentes
Si m y n son enteros y a y b son números reales, entonces:
1. · .m n m n
a a a +
=
2. ( ) .
.
mn n m
a a=
3. , con 0.
m m
m
a a
b
b b
⎛ ⎞
= ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠
4. ( )· · .
m m m
a b a b=
5.
, con 0.1
m n
m
n
n m
a
a
a
a
a
−
−
⎧
⎪
= ≠⎨
⎪
⎩
Para que las definiciones anteriores sean razonables, no se define 0
0 . Si se tratara de
definir se llegaría a situaciones como las que denota el siguiente ejemplo:
0 2 0 2 2
0 · 0 0 0 0 0 0.+
= = = × = O sea que como 2
0 0,= entonces 0
0 podría ser cual-
quier número real y por tanto no estaría determinado de forma única.
Ejemplo1
24
= 2 × 2 × 2 × 2 = 16; 230
=1.
3
3
1
7 .
7
−
= ;
5 7 5 7
2
1
· .a a a
a
− −
= =
5
5
1
.a
a
−
= ; ( )
32
6
1
.a
a
−
=
( )
3 3 3
· · .a b a b= ;
7 7
7
.
a a
b b
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
5.3 Raíz enésima
La raíz cuadrada de un número b es un número r tal que r2
= b. La raíz cúbica de un
número b es un número r tal que r3
= b. Se dirá, en general, que r es una raíz enésima
de b si rn
= b.
Capitulo2:Potenciaciónyradicación
Escuche La historia de
Alejandría en su multimedia de
Álgebra y trigonometría

6. 61Álgebraytrigonometría
Módulo5:Leyesdelosexponentesylosradicales-Racionalización
Ejemplo2
2 y –2 son dos raíces cuartas de 16.
4− no tiene raíz cuadrada real porque no existe ningún número real a que cumpla
que 2
4.a = −
Si n N∈ y ,b R∈ se dice que 1/ n
b en una raíz enésima de b.
Si n es par y b es positivo, entonces 1/n
b representa la raíz enésima real positiva de
b, y 1/ n
b− representa la raíz enésima real negativa de b. Hay que hacer notar que
1/
( ) n
b− no representa un número real.
Si n es impar y b es positivo o negativo, entonces 1/ n
b representa la raíz enésima real
de b. Para todo n perteneciente a los enteros positivos, 1/
0 0.n
=
Ejemplo3
¿Cómo podría definirse un símbolo como 2/ 3
7 ?
Solución
Como las propiedades de los exponentes son válidas para exponentes racionales,
se tiene que:
( )
22/ 3 1/ 3
7 7 .=
O sea que la expresión anterior representa el cuadrado de la raíz cúbica de 7. Lo
anterior motiva la siguiente definición:
5.4 Exponentes racionales
Sean m y n enteros positivos y b cualquier número real, con excepción de que b no
puede ser negativo cuando n es par, entonces:
1. ( ) ( )
1/
1/
.
m
m n
n mn
b b b= =
2.
1
.
m
n
m
n
b
b
−
=
5.5 Radicales
Para n mayor que 1 y entero y b número real, excepto que b sea negativo cuando n
es par, se define la raíz enésima de b como b1/n
y se denota como .n
b

7. 62
Capitulo2:Potenciaciónyradicación
El símbolo se llama radical.
El símbolo n se llama índice.
El símbolo b se llama radicando.
De lo anterior se concluye que:
1. ( )
1
.
m
nm mn nb b b= =
2. ( )
1
.
mm
m
nn n
b b b
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las expresiones radicales gozan de las siguientes propiedades:
1. .n n
x x=
2. · .nn nxy x y=
3. .
n
n
n
x x
y y
=
4. .
.m n m n
x x=
Las propiedades de los radicales proporcionan medios para cambiar gran variedad
de expresiones algebraicas que contienen radicales a formas equivalentes. Se dice
que una expresión algebraica que contiene radicales está simplificada o en la forma
radical más simple, si se satisfacen las siguientes condiciones:
1. El radicando no contiene ningún factor con exponente mayor o igual al
índice del radical.
2. El exponente delradicandoyel índicedelradical no tienen otro factor común
aparte del 1.
3. No aparece ninguna fracción dentro del radical.
4. No aparece ningún radical en el denominador.
Ejemplo 4
Escriba en la forma radical más simple la expresión 3 5 2
12 .x y z
Solución
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 23 5 2 2 4 2 2 2 2
12 4 3 2 3 2 3 2 3 .x y z x y z xy xy z xy xy z xy xy z xy= = = =
5.6 Racionalización
Racionalizar una expresión algebraica que contiene radicales en un denominador
consiste en eliminar los radicales en un denominador.

8. 63Álgebraytrigonometría
Módulo5:Leyesdelosexponentesylosradicales-Racionalización
Escuche Los grandes números en
su multimedia de Álgebra y
trigonometría
Las expresiones algebraicas que contienen denominadores se suman, se restan y
multiplican siguiendo las mismas reglas empleadas para las operaciones con frac-
ciones de números reales, es decir:
· ·
,
a c a d b c
b d bd
+
+ = con b y d diferentes de cero.
·
· ,
·
a c a c
b d b d
= con b y d diferentes de cero.
·
,
·
a c a d
b d b c
÷ = con b y c diferentes de cero.
· · .
a c
a d b c
b d
= ⇔ =
·
,
·
k a a
k b b
= con k diferente de cero.
En las anteriores igualdades, a , b, c, d representan expresiones algebraicas.
Ejemplo5
Racionalice la expresión
2
3
6
.
9
x
x
Solución
32 2 2
3 3 3 2
6 6 3
·
9 9 3
x x x
x x x
= (¿Por qué?).
( )
3 3 32 2 2 2 2 2
3 3 33
6 3 6 3 6 3
327 3
x x x x x x
xx x
= = =
3 2
2 3 .x x=
Ejemplo6
Simplifique 4 43 3 5 3
27 3 .a b a b

9. 64
Capitulo2:Potenciaciónyradicación
Solución
( )( )
( )
( )
( )
4 43 3 5 3 3 3 5 34
4 8 6
42 24
4 42 24
1/ 442 2 2 2
2
27 3 27 3
81
3
3
3 3
3
a b a b a b a b
a b
a b b
a b b
a b b a b b
a
=
=
=
=
= =
= 1/ 2
2
·
3 .
b b
a b b=
5.7 Factor racionalizador
Una expresión con radicales se llama factor racionalizador de otra expresión con
radicales, si su producto es libre de radicales.
Ejemplo7
3 1− es factor racionalizador de 3 1+ porque( )( )3 1 3 1 2.− + =
a x b y+ es factor racionalizador de a x b y− (¿Por qué?).
Ejemplo8
3 3x y− es factor racionalizador de 3 2 23 33
x x y y+ + porque su producto es
.x y−
Ejemplo9
Racionalice la siguiente expresión: .
a b
a b
+
−
Solución
Notemos que a b+ es un factor racionalizador del denominador, pues
( )( ) .a b a b a b+ − = −
Multiplicando el numerador y el denominadorporel factor racionalizador se obtiene:
( )( ) 2
.
( )( )
a b a b a b a a b b
a ba b a b a b
+ + + + +
= =
−− − +

10. 65Álgebraytrigonometría
Ejemplo10
Simplifique y exprese con exponentes positivos
111
2 432
2 2 2
.
ay bx y
x y a b
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Solución
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 21 1 1 2 2 2
3 3 32 2 2 4 4 4
1 1 1 1 1 2 11 1 1 1 1
3 2 3 2 2 3 22 2 6 6 3
1
3
1
6
111
2 432
2 2 2
.
ay bx y
a y x b x y y a b
x y a b
a b x y b x y
y
xb
−− − −
− − − +− − −
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =
=
Ejemplo11
Simplifique y exprese con exponentes positivos
31
2 1 4
1 3
.
n n
n
a a b
a ab
+
+
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Solución
31 31 34
84
1 3 11
8 82 2
1 1 1
4 4
2 1 2
1 3
.
n n
n
n
n
a a b a a a b
aa b a b
a ab a baa
+
+
⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ejemplo12
Simplifique y exprese con exponentes positivos
( )
1
2 2
2
2
.
a
b
a b
b
a b
ab b
x y
x
y
+
−
−
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Solución
( ) 2
1 2 2
2 2
2
2
2 2
.
a
ab bb
a b
a b
a b
a b
b
ba b a b b b
a b b
a b
ab b
x y x y y x y y x x
yx yxx
y
+
+
−
+
+
−
− −
−
−
+
⎛ ⎞
= = = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Módulo5:Leyesdelosexponentesylosradicales-Racionalización

11. 66
Ejemplo13
Simplifique y exprese con exponentes positivos
3
1
2 2 7 3 9
.
2 2 1 9 27
n n a a
a
n n a a
+
+
− + +
÷
− + +
Solución
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
3 3
1 1
3
2 2 7 3 9 2 2 7 9 27
2 2 1 9 27 2 2 1 3 9
2 2 1 7 9 1 3
2 2 1 1 3 1 3
7 2 1 9
7 3 21.
32 1
a
a
n n a a n n a a
a
n n a a n n a a
n a a
n a a
n
n
+ +
+ +
⎛ ⎞− + + − + +
÷ = ⋅⎜ ⎟
− + + − + +⎝ ⎠
⎛ ⎞− + +
⎜ ⎟= ⋅
⎜ ⎟− + +⎝ ⎠
+
= ⋅ = ⋅ =
+
Ejemplo14
Simplifique y exprese con exponentes positivos
( ) ( )
( )
2 2
2
2
.
1
x x x x
x x
x x
x x
a a a a
a a
a a
a a
− −
−
−
−
+ − −
⎛ ⎞−
+ −⎜ ⎟
+⎝ ⎠
Solución
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
22
2
22
2 2
2 2
1
4 2 2
.
2 1
x x x x x x x x
x x x xx x
x xx x
x x x x
x
x x x
x x
x x
a a a a a a a a
a a a aa a a aa a
a a a a
a
a a a
a a
a a
− − − −
− −−
−−
− −
−
−
−
+ − − + + − + −
=
+ + − + −⎛ ⎞− ++ −⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
= = =
+ +
+
+
Ejemplo15
Simplifique y exprese con exponentes positivos
2 2
2 2
2
.
a b a b a b
a b
a b a b a b
− + +
⋅ + ⋅ −
+ − −
Capitulo2:Potenciaciónyradicación

12. 67Álgebraytrigonometría
Solución
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 22 2
2 2
2
.
a b a b a b a a b b a b a b
a b
a b a b a b a b a b a ba b
a a b b a b a b
a b a b
b b a b
a ba b
− + + − + +
⋅ + ⋅ − = + −
+ − + − − +−
− + + − −
=
− +
− −
= = −
−−
Ejemplo16
Simplifique y exprese con exponentes positivos
3 2 5
2
3 3 5 7
2 18 50 32
.
5
a b a b a
a
ab ab b b
+ + −
Solución
3 2 5 2 2 2
2
3 3 5 7 2 3
2
2 2 2
2
2 18 50 32 2 3 2 5 2 4 2
5 5
2 3 2 2 4 2
2 3 2 2 4 2
2 2
.
a b a b a a a a b a a b a
a
ab ab b b b b b ab b b ab b
a a a a a a
b b b ab b b b b
a a a a
b ab
a ab
bb ab
+ + − = + + −
= + + −
+ + −
=
= =
Ejemplo17
Racionalice
2 2
2 2
1 1
.
1 1
x x
x x
+ − −
+ + −
Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factor
racionalizador:
2 2
1 1x x+ − − .
Módulo5:Leyesdelosexponentesylosradicales-Racionalización

13. 68
Entonces,
( )( )
( )( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 4
2 2
1 1 1 11 1
1 1 1 1 1 1
1 1 2 (1 )(1 )
1 (1 )
2 2 1 1 1
.
2
x x x xx x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x x
+ − − + − −+ − −
=
+ + − + + − + − −
+ + − − + −
=
+ − −
− − − −
= =
Ejemplo18
Racionalice
2
2
9 3
.
9 3
x
x
+ −
+ +
Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factor
racionalizador:
2
9 3x+ − .
Entonces,
( )( )
( )( )
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
9 3 9 39 3
9 3 9 3 9 3
9 9 6 9 6 9 18
.
9 9
x xx
x x x
x x x x
x x
+ − + −+ −
=
+ + + + + −
+ + − + − + +
= =
+ −
Ejemplo19
Racionalice
2 6
.
2 3 5+ −
Solución. Utilizando como factor racionalizador ( 2 3) 5+ + se obtiene:
Capitulo2:Potenciaciónyradicación

14. 69Álgebraytrigonometría
( )
( )( ) ( )
2
2 6 2 3 52 6 4 3 6 2 2 30
2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5
4 3 6 2 2 30 4 3 6 2 2 30
2 3 2 6 5 2 6
4 18 6 12 2 180 12 2 12 3 12 5
2 3 5.
12 12
+ + + +
= =
+ − + − + + + −
+ + + +
= =
+ + −
+ + + +
= = = + +
Ejemplo20
Racionalice
3 2 23
1
.
x y+
Solución. En este caso para hallar el factor racionalizador se utiliza la fórmula de la
suma de cubos:
( )( )3 3 2 2
.a b a b a ab b+ = + − +
En ocasiones también es necesario usar la fórmula de la diferencia de cubos:
( )( )3 3 2 2
.a b a b a ab b− = − + +
Utilizando entonces como factor racionalizador:
( )3 34 2 2 43 3
,x x y y− +
se obtiene
( )
( )( )
3 34 2 2 43 3
3 2 2 3 3 32 2 4 2 2 43 3 3 3
3 4 2 2 43 3
2 2
1
.
x x y y
x y x y x x y y
x x y y
x y
− +
=
+ + − +
− +
=
+
Módulo5:Leyesdelosexponentesylosradicales-Racionalización

15. 70
1. Simplifique ( )
1
63 1 2 1 2 4
.ab c a b c
−− − − − −
RTA:
1
2
a .
2. Simplifique
1 1
1 1
3 2
.
2 3
− −
− −
+
−
3. Simplifique ( )2 21
2
1
.
n
n
n n
n n nx
x x x
x
−− +
⎡ ⎤
⎡ ⎤+ ÷ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
RTA: 1.
4. Simplifique
12 1 1
2 1 1
·
.
·
a a b
a a b
−− − −
− − −
⎛ ⎞+
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
5. Simplifique
1
9 27
.
3 9
nn n
n n
⎛ ⎞+
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
RTA: 3.
6. Simplifique
( ) ( )
1 1
1 11
2 4
.
2 2
n n
n nn n
+ +
− +−
÷
7. Simplifique
1
2 2
3 2
3( )
.
a
n
a b
a b
a a ab
x
a
x
−
+
−
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟
⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
RTA: 3 ( )n a b
a +
.
8. Simplifique
1
2 1
.
2 1
mmx
mx
⎡ ⎤ −
⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥⎣ ⎦
9. Simplifique
1
4
13 2 2 2
5
2 3 2 2
.
a b b a
b a a b
− −− −
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
RTA:
1 1
5 5
.a b
10. Racionalice la siguiente expresión:
2
.
3
m
m n+
11. Simplifique
( ) ( )
1 1
1 11
2 4
.
2 2
n n
n nn n
+ +
− +−
÷ RTA:
1
.
4
12. Racionalice la siguiente expresión: 3
1
.
0.008
13. Simplifique
4 1
2
3 6 3
.
7 3
n n
n
+ +
+
− ⋅
⋅
RTA: 1.
14. Racionalice la siguiente expresión:
2
.
3 2−
Capítulo 3: Potenciación y radicación
Ejercicios del capítulo 2 (módulo 5)

16. 71Álgebraytrigonometría
15. Simplifique ( )
1 4
322 4 3 36
2 4 .
163 8 81
x x x
x x
x x
+
−⋅
⋅ ⋅ +
⋅
RTA: 6 3
3
.
2 x+
16. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
2
1
3 · 2 4 · 2
.
2 2
n n
n n
−
−
−
−
17. Simplifique
( )( )
( )
( ) ( )
11
22 2
4 4
2 2
2 .
x xx x
x x x x x x x x
e eae ae
e e ae ae e e e e
−−
− − − −
⎡ ⎤⎡ ⎤ +− ⎢ ⎥⎢ ⎥+ ÷
⎢ ⎥− +⎢ ⎥ + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
RTA: 2.
18. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
( )
( )
2 2 2
1
2
·
.
x y x y
x y
+ −
−
19. Simplifique
( ) ( )
( )
1 22 ( 1)
1 11
3 81 243
.
3 27
a aa a a a
a aa
− − −
+ +−
⋅ RTA: 9.
20. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
4 1
2
3 6 · 3
.
7 · 3
n n
n
+ +
+
−
21. Simplifique
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 1
2 2 1
1 3 1 22
5 5 3 5
.
3225 5 3 3
n
n n n n
n n nn n
−
+
+ −
⎡ ⎤÷ ⎡ ⎤
⎢ ⎥÷ ⎢ ⎥
⎢ ⎥÷ ⎣ ⎦⎣ ⎦
RTA: 2.025.
22. Simplifique completamente
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
.
m n m n
m n m n
− −
− −
+ − −
+ + −
23. Simplifique y racionalice
( )
2 23
23
( )( )
.
b c b c
b c
− −
+
RTA:
( )
22 23
.
( )
b c
b c
−
+
24. Demuestre que .
1 1n n
n n
n
x x−
+ =
− −
25. Simplifique y racionalice
3 3
.
3 3
x y x y
x y x y
− +
+
+ −
RTA:
2 2
2 2
2 9
.
9
x x y
x y
−
−
26. Demuestre que 2 1 4 1
4 · 6 1
.
44 2
n
n
n n+ +
=
+
27. Racionalice
2
2 2
.
y
x x y+ −
RTA:
2 2
.x x y− −
28. Demuestre que
3
1
2 2 7
7.
2 2 1
n n
n n
+
+
− +
=
− +

17. 72
29. Racionalice
2 3
.
2
a b a b
a b a b
+ + −
+ − −
RTA:
( )2 2
7 8
.
3 5
a b a b
a b
+ + −
+
30. Racionalice
2 5 7
.
2 5 7
− −
+ +
31. Racionalice
2 2 3
.
1 2 3
+
+ +
RTA: 1 2 3.− +
32. Demuestre que
1 1
1.
1 1m n n m
x x− −
+ =
+ +
33. Racionalice
3 6
.
5 3 2 12 32 50
+
− − +
RTA: 3.
34. Simplifique completamente
3 8 5 18
.
2
+
35. Racionalice
2 3 5
.
2 3 5
− +
+ −
RTA:
6 15
.
3
+
36. Simplifique completamente
4 4
2 2
.
m n
m n
x x
x x
−
+
37. Racionalice 3
1
.
2 3−
RTA:
3 3
2(4 3 9)
.
5
+ +
38. Simplifique completamente
1 1
1 1
( ) ( )
.
( ) ( )
m n m n
m n m n
− −
− −
+ − −
+ + −
39. Racionalice 3 2 233
1
.
x xy y+ +
RTA:
3 3
.
x y
x y
−
−
40. Escriba en la forma más simple
1
1
.
4
9 · 3 · 3
.
3 · 3
n n
n
n
+
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
41. Racionalice 33 3
1
.
9 6 4+ +
RTA: 33
3 2.−
42. Demuestre que
11
2 2
. .
p q p q p p q p
p qp q p q
−−
⎡ ⎤⎡ ⎤+ − − + −
⎢ ⎥ =⎢ ⎥
+ + − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦