1. 211Álgebraytrigonometría
Introducción
En esta sección se usan las razones trigonométricas para resolver triángulos
oblicuángulos, esto es, triángulos que no tienen un ángulo interno que sea recto.
Para ello se estudia en primer lugar la ley de los senos y a continuación la ley de los
cosenos. La ley de los senos dice que en cualquier triángulo la razón de longitudes
de cualquier par de lados es igual a la razón de los senos de los ángulos opuestos
correspondientes.
Objetivos
1. Hallar todos los lados y ángulos desconocidos de un triángulo.
2. Deducir la ley de los senos en un triángulo.
3. Deducir la ley del coseno en un triángulo.
Preguntas básicas
1. ¿En qué consiste resolver un triángulo?
2. ¿Cómo se enuncia la ley del seno para triángulos?
3. ¿Cómo se enuncia la ley del coseno para rectángulos?
Contenido
19.1 Significado de la resolución de triángulos
19.2 Resolución del triángulo rectángulo
19.3 Resolución de triángulos
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Álgebra y trigonometría
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AlgebraTrigonometria/
19
Resolución de triángulos
Tales de Mileto
Taleseraunhombreesencialmente práctico:comerciante,
hábileningeniería,astrónomo,geómetra,estadista.Sele
incluyeportradiciónentrelosSietesabiosdeGrecia.Como
comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una
gran producción de aceitunas, monopolizó su proceso de
fabricación, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia.
Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo
dirigiendoobrashidráulicasysedicequedesvióelcursodel
río Halis mediante la construcción de diques.
Como astrónomo fue más célebre: predijo un eclipse total
de sol visible en Asia Menor y se cree que descubrió la
constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna
700vecesmenorqueelSol.Tambiénsecreequeconocióel
recorridodelSoldeuntrópicoaotro.Explicóloseclipsesde
sol y de luna y creía que el año tenía 365 días.
A Tales se le atribuyen cinco teoremas de la geometría
elemental:
1.Losángulosdelabasedeuntriánguloisóscelessoniguales.
2. Un círculo es bisectado por algún diámetro.
3. Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son
iguales.
4.Dostriángulossoncongruentessi ellostienendosángulos
y un lado igual.
5.Todoánguloinscritoenunasemicircunferenciaesrecto.

2. 212
Capítulo7:Trigonometríadeltriángulorectángulo
19.1 Significado de la resolución de triángulos
Resolver un triángulo equivale a encontrar todos los lados y ángulos desconoci-
dos del triángulo.
19.2 Resolución del triángulo rectángulo
Para la resolución del triángulo rectángulo se utilizarán las funciones trigonométricas
definidas antes.
Los ejemplos siguientes ilustran esta situación:
Ejemplo14
Resuelva el triángulo rectángulo si se conoce un ángulo y un lado como en el
triángulo siguiente (figura 19.1).
Figura 19.1
Solución
90º 32º10' 57º50',D
sen 32º10'
6.25
a
; 3.33a cm,
cos 32º10'
6.25
b
; 5.29b cm.
Hay que aclarar que en este capítulo se utilizará con frecuencia la calculadora
científica para hallar los valores de las funciones trigonométricas.
Ejemplo15
Resuelva el triángulo rectángulo si se conocen dos lados como en el triángulo
rectángulo siguiente (figura 19.2).
D

3. 213Álgebraytrigonometría
Módulo19:Resolucióndetriángulos
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Mileto en su multimedia de
Àlgebra y trigonometría
Figura 19.2
Solución
2.62
tan ;
4.32
E 31.2º.E
90º 31.2º;D 58.8º.D
2.62
sen 31.2º ;
c
5.06c cm.
19.2.3 Resolución de triángulos
Las leyes del seno y del coseno que se enunciarán más adelante desempeñan un
papel fundamental en la solución de triángulos oblicuos, es decir, triángulos que no
son rectángulos. La ley de senos es relativamente fácil de demostrar si se usan las
propiedades del triángulo rectángulo definidas antes.
La ley de senos que se ilustra mediante la figura 19.3 se enuncia así:
c
2.62cm
4.32cm
D
E
c
Figura 19.3
b a
ED
J

4. 214
Capítulo7:Trigonometríadeltriángulorectángulo
La ley dice que en cualquier triángulo de lados a, b, c y ángulos , ,D E J se cumple
que:
.
sen sen sen
a b c
D E J
Esta ley es útil cuando se conocen:
a. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados.
b. Dos ángulos y el lado opuesto a uno de los ángulos.
Ejemplo16
Resuelva el triángulo siguiente (figura 19.4).
Figura 19.4
Solución
28º 45º20' 180º; 106º40'.J J
sen sen 120 sen 28º
; ; 58.8.
sen 106º40'
a a
a c
D J
sen sen 120 sen 45º 20'
; ; 89.1.
sen 106º 40'
b b
b c
E J
Ejemplo17
Resuelva un triángulo con 26º, 10 cm y 18 cma bD (figura 19.5).
Solución
Si se trata de trazar un triángulo con esos valores, son posibles dos triángulos, a
saber:
c c’
120
Jb a
28º 45º20'
Figura 19.5
18
10
10
26º
E E
J
J

5. 215Álgebraytrigonometría
Módulo19:Resolucióndetriángulos
Figura 19.6. Caso en el que existen dos soluciones
Figura 19.7. Caso en el que no existe solución
Figura 19.8. Caso en que la solución es única
b a
D
Acá se verá que existen dos posibles valores para ,E usando una calculadora
científica, así:
sen sen 18sen 26º
; sen ; sen 0.7891.
10b a
E D
E E
De esta manera, 128º o 52º.E E
Por tanto, 26º o 102º.J J
Utilizando la ley de senos se tiene entonces que:
c = 10 cm o c = 22 cm.
Cuando se estudien funciones circulares, en el capítulo 8, se verá en forma precisa
por qué existen dos valores de E que cumplen que sen 0.7891.E
En general, si se da un ángulo ,D su lado adyacente b y su lado opuesto a, enton-
ces se puede formar más de un triángulo, exactamente uno, o ninguno. Las situacio-
nes descritas anteriormente las ilustran las figuras 19.6, 19.7 y 19.8.
b
aa
D
b
a
D

6. 216
Capítulo7:Trigonometríadeltriángulorectángulo
Esta situación la resume la tabla 19.1:
Tabla 19.1
Si en un triángulo se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o bien
si se conocen los tres lados, la ley de los senos no es útil en la solución de un
triángulo oblicuo. Sin embargo, el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos
se puede generalizar en otra ley denominada ley de los cosenos y que se expresa así
(figura19.9):
Figura 19.9. Triángulo ilustrativo de la ley de cosenos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos ,
2 cos ,
2 cos .
a b c bc
b a c ac
c a b ab
D
E
J
La ley es útil cuando se conocen:
a. Tres lados.
b. Dos lados y el ángulo comprendidos entre ellos.
Ejemplo18
Resuelva el triángulo siguiente (figura 19.10).
D E
J
ab
c
sen
sen
sen
b a a b
a b a
a b
a b a
t
Caso Número de triángulos
2
0
1
1

7. 217Álgebraytrigonometría
Módulo19:Resolucióndetriángulos
Figura 19.10
Solución
2 2 2
2 cos ;a b c bc D
2 2 2
cos ,
2
b c a
bc
D

12. 2 2 2
5.04 10.6 9.23
cos ; 60.5º.
2 5.04 10.6
D D
sen sen
a b
D E
;
5.04sen 60.5º
sen ; 28.4º.
9.23
E E

13. 180º 60.5º 28.4º ;J 91.1º.J
Ejemplo20
Resuelva el triángulo rectángulo de la figura 19.11:
Figura 19.11
Solución
Es claro que E = 60º. El lado a lo determinamos sabiendo que sen 30º =
12
a
. Por
tanto, a = 12 sen 30º =
1
12
2
§ ·
˜¨ ¸
© ¹
= 6.
D
J
E
10.6
5.04 9.23
12
a

14. 218
Como cos 30º =
12
b
, se tiene que b = 12 cos 30º, o sea b =
3
12
2
= 6 3.
Ejemplo21
Una escalera de 10 m de largo está apoyada contra un edificio. Si la base de la
escalera está a 1 m de la base del edificio, ¿cuál es el ángulo formado entre la escalera
y el edificio?
Solución
La figura 19.12 ayuda a ilustrar el problema.
Figura 19.12
Si T es el ángulo entre la escalera y el edificio, se tiene que sen
1
0.1.
10
T
Utilizando una calculadora se tiene que T | 5.73º.
Ejemplo22
Un satélite en órbita terrestre pasa directamente por encima de estaciones de obser-
vación situados en dos puntos A y B a 400 km de distancia. En un instante cuando
el satélite está entre estas dos estaciones, se observa que el ángulo de elevación es
de 60º en A y de 75º en B. ¿A qué distancia se encuentra el satélite del punto B?
Solución
La figura 19.13 ilustra la situación descrita.
Figura 19.13
Capítulo7:Trigonometríadeltriángulorectángulo

15. 219Álgebraytrigonometría
Se tiene que J + 60º + 75º = 180º. Por tanto, 45º.J
Usando la ley de senos se tiene:
sen 45º sen 60º 400 sen 60º
, ,
400 45º
a
a
3
400
2 ;
2
2
x
a a | 489.9km.
Por tanto la distancia del satélite al punto B es de aproximadamente 489.9 km.
Ejemplo23
Resuelva el triángulo que se muestra en la figura 19.14:
Figura 19.14
Solución
Como J + 20º + 25º = 180º, se tiene que J = 135º.
También se tiene que
sen 20º sen 25º
.
80.4a
Por tanto,
80.4 sen20º
.
sen 25º
a
Usando calculadora, se tiene que sen 20º | 0.342, sen 25º = 0.422 y a | 65.1.
Similarmente, para calcular b se tiene que:
sen 135º sen 25º 80.4 sen 135
; .
80.4 sen 25º
b
b
Como sen 135º = 0.707, b | 134.5.
Ejemplo24
Dado un triángulo de lados a, b, c y ángulos opuestos a cada lado ,D E J respec-
Módulo19:Resolucióndetriángulos

16. 220
tivamente, y si a = 2, b = 10 y D = 30º, encuentre E .
Solución
Se debe cumplir que sen sen
a b
D E y por consiguiente
sen 10sen30º
sen .
2
b
a
D
E
Por tanto,
10 0.5
sen 2.5.
2
E
u
Puesto que 2.5 1, no existe ningún ángulo E tal que sen E = 2.5.
En consecuencia, tal triángulo no existe.
Ejemplo25
Dado el triángulo de la figura 19.15 encuentre el valor del lado c.
Figura 19.15
Solución
Usando la ley de cosenos, se tiene que:
c2
= (15)2
+ (20)2
2u 15u 20 cos 100º.
Usando una calculadora, se tiene que cos 100º = 0.17365; por tanto,
c2
=729.19,
c | 27.0037.
Ejemplo26
Dado el triángulo de la figura 19.16 encuentre los ángulos , .D E J
Capítulo7:Trigonometríadeltriángulorectángulo

17. 221Álgebraytrigonometría
Módulo19:Resolucióndetriángulos
Figura 19.16
Solución
Por la ley de los cosenos se tiene que:
52
= 82
+ 122
2 u 8 u 12 cos ,D
2 2 2
8 12 5
cos 0.953125.
2 8 12
D
u u
Usando una calculadora, se tiene que 18ºD | . Además
82
=52
+ 122
2 u 5 u 12 cos ,E
2 2 2
5 12 8
cos 0.875,
2 5 12
29º.
E
E
u u
|
Por último se tiene que:
122
= 82
+ 52
2 u 8 u 5 cos ,J
2 2 2
8 5 12
cos 0.6875,
2 8 5
J
u u
J | 133º.