El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.

2. Función Lineal Destrezas Previas: Hacer gráficas Relación y función Dominio y campo de valores Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS

3. Haz la gráfica de x + y = 5 1. Hacer una tabla de valores con por lo menos 5 puntos. x x + y =5 y 1 1 + y = 5 4 2 2 + y = 5 3 0 0 + y = 5 5 -1 -1 + y = 5 6 -2 -2 + y = 5 7 2. Localizar estos puntos en el plano cartesiano.

4. Dominio Conjunto de valores de la variable x. Campo de Valores Conjunto de valores de la variable y.

5. 3. Se unen todos los puntos 4. Se identifica la función. x + y = 5 5. Dominio: Reales 6. Rango: Reales

6. Haz la gráfica de y = 2x

7. Haz la gráfica de y = 2x y = 2x Dominio: Reales CV: Reales

8. Haz la gráfica de

9. Haz la gráfica de Dominio: Reales CV: y > 0

10. Haz la gráfica de

11. Haz la gráfica de Dominio: x > 0 CV: y > 0

12. Determina los rangos de las siguientes funciones si el dominio {-3,-2, 0 ,1,2,3} Para determinar el rango de éstas funciones, se debe sustituir cada valor del dominio.

13. Determina los rangos de las siguientes funciones si el dominio {-3,-2, 0 ,1,2,3} Para determinar el rango de éstas funciones, se debe sustituir cada valor del dominio. Resultados: {-9,-4,0,-1,-4,-9} {-1,0,2,3,4,5} {-9,-6,0,3,6,9} {0,0,1, , ,2} {12,10,6,4,2,0}

14. Práctica: Folleto de Ejercicios de práctica Parte I, II, III Algebra Glencoe p. 275 (1-31) impares Cuaderno pág. 36 (1-7) pág. 38

15. Relación y Función A. Identificar relaciones que son funciones por: G r áficas Diagrama Tabla Pares ordenados B. Evaluar una función Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS

16. Def. Relación Es un conjunto de pares ordenados.

17. Def. Función Es una relación en el cuál no hay dos pares ordenados que tengan la misma coordenada x.

18. Ejemplo 1: Es una funci ón No hay puntos que tengan la misma coordenada x Puntos: (0,0) (1,1) (-1,1) (2,4) (-2,4)

19. Ejemplo 2: No es una función. Puntos: (0,0) (4,2) (4,-2) Hay dos puntos que tienen la misma coordenada x. * *

20. Ejemplo 3: x y x y -2 4 -1 1 0 0 1 4 5 -7 Función No Función -5 -1 -4 -8 3 4 7 4 -5 3 11 -5 0

21. Ejemplo 4: Determina si el conjunto es una solución si: a. A = {-5,3),(4,3),(11,-1)} b. B = {(-5,1),(-1,-6),(-1,-5),(4,-6)} a. Es una funci ón . b. No es una funci ón porque hay dos puntos que tienen la misma coordenadas de x.

22. Ejemplo 5 -3 1 0 15 Dominio Rango 2 5 6 Es Funci ón 4 3 -2 0 3 5 No es función Dominio Rango

23. Evaluando una función: Si , evalúa:

24. Evaluando una función: Si , evalúa : = -4(-2) + 8 = 8 + 8 = 16

25. Función Par Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x). Toda gráfia par es simétrica con respecto al eje y.

26. Ejemplo: Indica si la función es par y gráfica. f (x) = x 2 + 2

27. Ejemplo: Indica si la función es par y gráfica. f (x) = x 2 + 2 f(-x) = (-x) 2 + 2 = x 2 + 2 Si la función es par, entonces f (-x) = f(x) La función es par.

28. Gráfica f (x) = x 2 + 2 f (-x) = f (x) Esta gráfica es simétrica con el eje de y.

29. Función Impar Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x). Toda gráfia impar es simétrica con respecto al origen.

30. Ejemplo: Indica si la función es impar y gráfica. f (x) = x

31. Ejemplo: Indica si la función es impar y gráfica. f (x) = x f(-x) = (-x) = -x Si la función es impar, entonces f (-x) = -f(x) La función es impar.

32. Gráfica f (x) = x f (-x) = f (x) Esta gráfica es simétrica con el eje de y.

33. Práctica Determina si las gráficas son pares o impares e indica el por qué.

34. 1

35. 3

36. 4

37. 2

38. Contestaciones Par; simétrica con el eje de y. Par, simétrica con el eje de y. Impar, simétrica con el origen. Impar, simétrica con el origen.

39. Indica sin hacer la gráfica si son función par o impar.

40. Contestaciones. Impar Impar Ninguna Par ninguna

41. Ejercicios: Folleto de Ejercicios de Práctica Parte IV -VII Algebra y Trigonometría Barnett 172-174 p.186-187 (35-48) Algebra Glencoe p. 266-267 (1-33) impares Cuaderno p.35 p.36

42. Función Lineal Determinar la pendiente de una recta. Hacer gráfica con la pendiente y un punto. Determinar la pendiente de una recta con dos puntos. Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS

43. Pendiente Definición: Razón de cambio vertical con respecto a cambio horizontal.(m) m =

44. Determina la pendiente de la recta Ej. 1

45. Determina la pendiente de la recta Ej. 1

46. Ej. 2

47. Haz una gráfica con la información dada . (-5,3); m = -2 3 2. (4,5); m = -3

48. Haz la gráfica con la información dada . (-5,3); m = -2 3 2. (4,5); m = -3

49. La pendiente con dos puntos: (5,1), (7,-3) (-6,7),(-4,4)

50. (5,1), (7,-3) (-6,7),(-4,4)

51. (5,1), (7,-3) (-6,7),(-4,4) m = 4 - 7 = -3 -4 – (-6) 2

52. Descubriendo el Intercerpto de Y Descubrir : Ecuación lineal en forma standard Significado de intercepto en y La pendiente y el intercepto de una recta dada la ecuación. Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS

53. y = 3x + 2 2. y = 2x - 3 3. y = -3x + 2 y = -2x + 3 y = -3x - 2 A. ¿Qué semejanzas hay en estas ecuaciones?

54. y = 3x + 2 2. y = 2x - 3 3. y = -3x + 2 y = -2x + 3 y = -3x - 2 A. ¿Qué semejanzas hay en estas ecuaciones? Todas estan escritas de la forma y = mx + b, esto es la forma estándar de una ecuación lineal.

55. B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones? y = 3x + 2 2. y = 2x - 3 3. y = -3x + 2 y = -2x + 3 y = -3x - 2 Para saberlo hagamo la gráfica de cada una de ellas.

56. y = 3x + 2

57. y = 2x - 3

58. y = -3x + 2

59. y = -2x + 3

60. y = -3x -2

61. B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones? y = 3x + 2 2. y = 2x - 3 3. y = -3x + 2 y = -2x + 3 y = -3x - 2 Pendiente e interceptos son diferentes.

62. B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones? y = 3x + 2 2. y = 2x - 3 3. y = -3x + 2 y = -2x + 3 y = -3x - 2 Llenemos la siguiente tabla para conocer un poco más sobre las diferencias. pendiente Corte en el eje de y Inclinación positiva/negativa

63. B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones? y = 3x + 2 2. y = 2x - 3 3. y = -3x + 2 y = -2x + 3 y = -3x - 2 Llenemos la siguiente tabla para conocer un poco más sobre las diferencias. pendiente Corte en el eje de y Inclinación positiva/negativa 3 (0,2) Positiva 2 (0,-3) Positiva -3 (0,2) Negativa -2 (0,-3) Negativa -3 (0,-2) Negativa

64. Intercepto de y Cuando la ecuación se escribe de la forma y = mx + b m = pendiente y b = intercepto en y. ¿Qué es intercepto en y? Es por donde pasa la recta en el eje de y. Le das valor a la x de 0.

65. Ejercicio: Determina la pendiente y el eje de y para cada ecuación. y = -5x –3 y = 2x + 1/5 y = -1/2 x y = 3x 3x – 5y = 2 3y = -2x – 1

66. Ejercicio: Determina la pendiente y el eje de y para cada ecuación. y = -5x –3 y = 2x + 1/5 y = -1/2 x y = 3x 3x – 5y = 2 3y = -2x – 1 m = -5 b = (0,-3) m = 2 b = (0,1/5) m = -1/2 b = (0,0) m = 3 b = (0,0) m = -3/5 b = (0,-2/5) m = -2/3 b = (0,-1/3)

67. E. ¿Cuál sería el intercepto en x? ¿Se podría obtener de la ecuación standard? El intercepto en x, es cuando se le da el valor de y = 0, ó cuando la recta pasa por el el eje de x. No, no se puede obtener directamente de la ecuación standard.

68. ¿Cómo se obtendría el intercepto en x? El intercepto en x se define como el punto donde una recta pasa por el eje de x. Se obtiene cuando le damos valor de y = 0. Ejemplo: Halla el intercepto de x de la recta que pasa por y = 3x + 2. El intercepto en x, NO se puede obtener a simple vista, la forma más fácil de obtener es escribiendo la ecuación en forma standard y le da valor y = 0 . y – 3x = 2 Si y = 0, obtnemos que x = -2/3

69. Halla los interceptos de x + 2y = 2. Si x = 0, obtenemos el intercepto en y. 0 + 2y = 2 y = 1 (0,1) Si y = 0 , obtnemos el intercepto en x. x + 2(0) = 2 x = 2 (2,0)

70. Trabajo: Folleto de trabajo Parte VIII- XIII Algebra Glencoe p. .329 (1-35) impares Pag. 37 , 41

71. Laboratorio para descubrir la pendiente e interceptos de rectas horizontales o verticales. Rectas Horizontales y Verticales Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS

72. A. Utilizando la calculadora gráfica traza la gráfica de las siguientes ecuaciones y observa la tabla de valores de cada una de ellas. 1. y = 4 2. y = -4 3. y = 2 4. y = -2 5. y = -1/2

73. A. Utilizando la calculadora gráfica traza la gráfica de las siguientes ecuaciones y observa la tabla de valores de cada una de ellas. 1. y = 4 2. y = -4 3. y = 2 4. y = -2 5. y = -1/2 (2,4) ,(0,4),(3,4), (-4,4)… (2,-4), (2,-4), (1,-4)… (0,2),(2,2),(-1,2)…

74. B. Utilizando un papel cuadriculado y traza la gráfica de las siguientes ecuaciones observa la tabla de valores de cada una de ellas. 1. x = 4 2. x = -4 3. x = 2 4. x = -2 5. x = -1/2

75. B. Utilizando un papel cuadriculado y traza la gráfica de las siguientes ecuaciones observa la tabla de valores de cada una de ellas. 1. x = 4 2. x = -4 3. x = 2 4. x = -2 5. x = -1/2 (4,-1), (4,2), (4,0)… (-4,0),(-4,2), (-4,-1)… (2,4),(2,-1),(2,0)…

76. A C. Compara las gráficas de la parte A y la parte B. Qué puedes concluir?

77. A C. Compara las gráficas de la parte A y la parte B. Qué puedes concluir? Las gráficas de la parte A son gráficas horizontales y las de la parte B son gráficas verticales.

78. Como podrías escribir estas ecuaciones de la forma estándar? Parte A: 1. y = 0x + 4 2. y = 0x - 4 3. y = 0x + 2 4. y = 0x – 2 5. y = 0x - 1/2

79. Como podrías escribir estas ecuaciones de la forma estándar? Parte A: 1. y = 0x + 4 2. y = 0x - 4 3. y = 0x + 2 4. y = 0x – 2 5. y = 0x - 1/2 Parte B 1. Las gráficas verticales no tienen pendiente y no se podría escribir como forma estándard. Cuando se expresa x = 2 2 es el intercepto en x. (2,0)

80. E. Encuentra la pendiente y los interceptos de cada una de ellas. 1. x = 4 2. x = -4 3. x = 2 4. x = -2 5. x = -1/2

81. E. Encuentra la pendiente y los interceptos de cada una de ellas. Parte A 1. m = 0 (0,4) 2. m = 0 (0,-4) 3. m = 0 (0,2) 4. m = 0 (0,-2) 5. m = 0 ( 0,-1/2) Parte B Las gráficas verticales no tienen pendiente ni intercepto de y.

82. Ejercicios Encuentra la pendiente y el intercepto en y de cada una de las siguientes ecuaciones lineales.Determina si es ascendente, descendente, horizontal o vertical. y = 5x – 3 y = 4 x = 5 y = 2x

83. Ejercicios Encuentra la pendiente y el intercepto en y de cada una de las siguientes ecuaciones lineales.Determina si es ascendente, descendente, horizontal o vertical. y = 5x – 3 y = 4 x = 5 y = -2x m = 5 ; (0,-3) ascendente m = 0 (0,4) horizontal m= indefinida , no tiene, vertical m = -2, (0,0); descendente

84. Rectas Paralelas Grafica y = 5x y = 5x – 3 y = 5x + 2 ¿Son éstas gráficas paralelas? ¿Qué tienen en común?

85. Rectas Paralelas y = 5x y = 5x – 3 y = 5x + 2 Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

86. Rectas Perpendiculares Grafica: y = 5x y = ¿Son éstas gráficas perpendiculares? Observa la pendiente en la ecuación. ¿Qué puedes concluir?

87. Hallando la ecuación de una recta. Ejemplo 1: Halla la ecuación de una recta que es paralela a y = 5x – 3 y pasa por (0,4)

88. Hallando la ecuación de una recta. Ejemplo 1: Halla la ecuación de una recta que es paralela a y = 5x – 3 y pasa por (0,4) La pendiente de la recta paralela es 5. Si la ecuación de la recta es y = mx + b, donde m es la pendiente y b el intercepto, entonces obtendrémos: y = 5x + 4

89. Hallando la ecuación de una recta. Ejemplo 2: Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4)

90. Hallando la ecuación de una recta. Ejemplo 2: Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4) Si la pendiente de la recta es perpendicular a 3, entonces la recta tendrá una pendiente opuesta y recíproca a ésta. Por lo tanto, lo opuesto y recíproco a 3 es: -1/3. Si tenemos la pendiente un punto (x.,y) obtendrémos entonces el intercepto sustituyendo en y = mx + b

91. Hallando la ecuación de una recta. Ejemplo 2: Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4) y = mx + b Entonces la ecuación de la recta perpendicular a y = 3x – 2 es:

92. Ejercicios Folleto de trabajo Parte XIIIy XIV

93. Variación Directa Se describe mediante la ecuación de la forma: y = kx donde k ≠ 0 K es la constante de variación y se dice que y varía proporcionalmente con x.

94. El número de galones de agua que uno usa depende directamente del tiempo que uno se demora en ducharse. 90 15 72 12 54 9 36 6 18 3 y(galones) x(min)

95. La ecuación para esta variación directa sería: y = 6x La constante de variación es K. Por lo tanto en este caso es 6.

96. ¿La ecuación y = 2x expresa una variación directa?

97. ¿La ecuación y = 2x expresa una variación directa? Si, porque lo podemos expresar como:

101. La constante de proporcionalidad es -6.

104. y = 28

105. Variación Inversa Se describe con una ecuación de la forma : donde k ≠ 0 K es la contante de variación y se dice que y es inversamente proporcional a x.

106. Ejemplo: Escribe una ecuación que describa la relación entre y y x. 128 ½ 32 2 8 8 4 16 2 32 ½ 128 ¼ 256 -2 -32 -16 -4 x y

107. Ejemplo: Escribe una ecuación que describa la relación entre y y x. La ecuación sería xy = 64 128 ½ 32 2 8 8 4 16 2 32 ½ 128 ¼ 256 -2 -32 -16 -4 x y

118. Variación Combinadas

126. Práctica Folleto de trabajo Parte XVI y XVII Algebra Glencoe p 243

127. Referencias: Las Funciones http://www.google.com.pr/search?hl=es&q=las+funciones+sonya&meta=