estadistica descriptiva

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ESTE
VICERRECTORÍA DE POSGRADO
MAESTRÍA EN SALUD PÚBLICA
ASIGNATURA:
ESTADÍSTICA Y BIOESTADÍSTICA
Profesor: Dr. Tomás Díaz Valdés
República Dominicana
UNIDAD 2
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

2. 2
Función de distribución de probabilidad de variable aleatoria. Distribución de
Bernoulli (para variables aleatorias discretas). Distribución binomial (para
variables aleatorias discretas). Distribución geométrica (para variables
aleatorias discretas). Distribución binomial negativa (para variables
aleatorias discretas). Distribución de Poisson (para variables aleatorias
discretas).
Realizar el análisis de las propiedades de las distribuciones
de variables aleatorías
PLANIFICACIÓN
PRÓPOSITO

3. PERMUTACIONES
y
COMBINACIONES

4. Permutaciones sin repetición
 Denominamos permutaciones ordinarias o sin
repetición de n elementos, a cada uno de los
distintos grupos que pueden formarse de manera
que:
 En cada grupo entran todos los n elementos.
 Un grupo se diferencia de otro únicamente en el
orden de colocación de los elementos.
 No se pueden repetir.
 Influye el orden en el que se coloca

5. Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo
representaremos por nPr y se calculará:
nPr=n.(n-1).(n-2)...(n-r+1) = n!/(n-r)!
a este número lo llamaremos factorial de n y lo representaremos
por n! , esto es:
n!=1x2x3x……(n-1)n
Cuando r=n nPn=n!
Si n = 1, se define 1!=1
Si n = 0 se define 0!=1

6. 6
Ejemplo

7. 7
¿Cuántos números distintos de tres cifras diferentes se pueden escribir
con los dígitos: 1, 5, 7 ?
•Intervienen todos los elementos.
•No se pueden repetir.
•Influye el orden en el que se coloca.

8. ¿ De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de butacas
de un cine?

9. La cantidad de combinaciones de n elementos diferentes es el
número de selecciones distintas formadas cada una de r
elementos, sin tomar en consideración el orden o disposición
de tales elementos en el grupo, y nCr y se calcula:
•No se pueden repetir.
•No influye el orden en el que se coloca.
nCr= nPr/r! = n!/(n-r)!r!
Combinaciones

10. 10
Ejemplo

12. ¿De cuántas maneras puede seleccionarse un equipo de 9
personas a partir de un grupo de 12?
En una heladería tienen 12 sabores distintos.
¿Cuántos cucuruchos de 2 sabores distintos se pueden
elegir?

13. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística?
Todos los días nos hacemos preguntas donde utilizamos el
concepto de probabilidad.
La idea intuitiva es lo suficientemente correcta para lo que
necesitamos de ella en este curso.

14. Experimentos
Determinísticos
 Aleatorios
AZAR

15. Ejemplo 1
Se arroja un dado :
Si observamos su cara superior, el conjunto de
resultados posibles es
Ω: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

16. 16
Distribuciones de variable discreta. Se denomina distribución de
variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores
positivos en un conjunto de valores de {x│x} finito o infinito numerable. A dicha
función se le llama función de densidad de probabilidad
Función de probabilidad
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la
aplicación que asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi.
0 ≤ pi ≤ 1
p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1
Distribuciones discretas

17. Distribuciones discretas
Parámetros de una distribución de probabilidad
Desviación típica
Varianza
Media o esperanza matemática

18. 18
Una variable aleatoria X puede tomar los valores 30, 40, 50 y 60 con probabilidades
de 0.4, 0.2, 0.1 y 0.3 respectivamente.
a. Calcular la esperanza matemática de la v. a. X
b. Calcular la varianza de la v. a. X
c. Calcular la desviación estándar de la v. a. X

19. 19
Distribución de Bernoulli
Experimento de Bernoulli: solo son
posibles dos resultados: éxito o fracaso.
Podemos definir una variable aleatoria
discreta X tal que:
éxito  1
fracaso  0
Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1 - p,
podemos construir una función de probabilidad:
1
,
0
)
1
(
)
( 1


 
x
p
p
x
P x
x
Un típico experimento de Bernoulli es el lanzamiento de
una moneda con probabilidad p para cara y (1-p) para
cruz.

20. 20
1
,
0
)
1
(
)
( 1


 
x
p
p
x
P x
x
Función de distribución:







1
para
,
1
0
para
,
1
)
(
x
x
p
x
F

21. Ejercicio: Calcular la esperanza y la varianza
de la distribución de Bernoulli.
p
X
P
X
P
x
X
P
x
X
E
x









 

)
1
(
1
)
0
(
0
)
(
]
[
1
0

)
1
(
)
1
(
1
)
0
(
0
)
(
])
[
(
]
[
)
(
2
2
2
2
1
0
2
2
2
2
p
p
p
p
p
X
P
X
P
p
x
X
P
x
X
E
X
E
X
Var
x















 


22. Distribución binomial
La distribución binomial aparece cuando estamos
interesados en el número de veces que un suceso
A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de
un experimento.
P. ej.: # de caras en n lanzamientos de una moneda.
Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en
un intento, entonces 1-p es la probabilidad de que A
no ocurra (probabilidad de fracaso).

23. 23
Experimento aleatorio: n = 3 lanzamientos de una moneda.
Probabilidad de éxito en cada lanzamiento (cara) = p.
Probabilidad de fracaso en cada lanzamiento (cruz) = 1- p = q.
2
)
1
(
3 p
p 
)
1
(
3 2
p
p 
INICIO

24. Supongamos que el experimento consta de n
intentos y definamos la variable aleatoria:
X = Número de veces que ocurre A.
En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara.
Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n.
Si consideramos uno de estos valores, digamos el
valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n - x
no. Entonces la probabilidad de cada posible
ordenación es pxqn-x y existen idénticas
ordenaciones.








x
n

25. 25
La función de probabilidad P(X = x) será
la distribución binomial:
x
n
x
x
n
x
p
p
x
n
x
n
p
p
x
n
x
p
p
n
B 














 )
1
(
)!
(
!
!
)
1
(
)
(
)
,
(
Distribución binomial para n = 5 y
distintos valores de p, B(5, p)

26. 26

27. Ejercicio:
¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos
exactamente 2 sean niñas?
375
.
0
5
0
1
5
0
2
4
2
2
4
5
0
1
2
4
2






















 
-
x
n
x
)
.
-
(
)
.
(
)
p(
x
;
n
;
.
p
p)
(
p
x
n
p(x)

28. Ejercicio:
Si una décima parte de las personas tienen cierto grupo
sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre 100
personas escogidas al azar exactamente 8 de ellas
pertenezcan a este grupo sanguíneo?
115
.
0
1
0
1
1
0
8
100
8
8
100
1
0
1
92
8






















 
)
.
-
(
)
.
(
)
p(
x
;
n
;
.
p
p)
(
p
x
n
p(x) x
n
x

29. 29
¿Y si la pregunta es 8 como máximo?
3209
.
0
9
.
0
)
1
.
0
(
100
1
8
8
0
100
8
0



























x
x
x
x
x
n
x
)
(
x
p)
(
p
x
n
)
p(x

30. 30
Características de la distribución
binomial
n = 5 p = 0.1
n = 5 p = 0.5
Media
= E(X) = n p
= 5 · 0.1 = 0.5
= 5 · 0.5 = 0.25
Desviación estándar
0
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
.2
.4
.6
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
0
1
.
1
)
5
.
0
1
(
5
.
0
5
67
.
0
)
1
.
0
1
(
1
.
0
5
)
1
(














 p
np

31. Distribución hipergeométrica
)
...,
,
1
,
0
(
)
(
)
,
,
( n
x
n
N
x
n
A
N
x
A
x
P
A
N
n
H 






































































x
n
A
N
x
A
B
A
N
x
n
x
n
A
N
A
x
x
A
favorables
Casos
de
rojas
no
bolas
tomar
de
formas
diferentes
de
rojas
bolas
tomar
de
formas
diferentes

32. 32
Queremos seleccionar al azar dos bolas de una caja que contiene
10 bolas, tres de las cuales son rojas. Encuentra la función de
probabilidad de la variable aleatoria : X = Número de bolas rojas
en cada elección (sin reemplazo).
Tenemos N = 10, A = 3, N - A =B= 7, n = 2
07
.
0
45
3
)
2
(
47
0
45
21
)
1
(
)
0
(
2
10
2
7
3
)
( 





























 p
,
.
p
p
x
x
x
p
Escogemos sin reemplazo:

33. 33
Hipergeométrica
N = 24
X = 8
n = 5
Binomial
n = 5
p = 8/24 =1/3
x Error
0 0.1028 0.1317 -0.0289
1 0.3426 0.3292 0.0133
2 0.3689 0.3292 0.0397
3 0.1581 0.1646 -0.0065
4 0.0264 0.0412 -0.0148
5 0.0013 0.0041 -0.0028
P(x)
P(x)
N = 240
X = 80
n = 5
n = 5
p = 80/240 =1/3
x P(x) Error
0 0.1289 0.1317 -0.0028
1 0.3306 0.3292 0.0014
2 0.3327 0.3292 0.0035
3 0.1642 0.1646 -0.0004
4 0.0398 0.0412 -0.0014
5 0.0038 0.0041 -0.0003
P(x)
Observa que si N,
A, N-A son grandes
comparados con n
no hay gran
diferencia en qué
distribución
empleemos.
La distribución
binomial es una
aproximación
aceptable a la
hipergeométrica
si n < 5% de N.

34. Distribución de Poisson
Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la
probabilidad de éxito (p) es pequeña, la distribución binomial converge a la
distribución de Poisson:
0
2
1
0
,
!
)
( 






...
,
,
,
x
x
e
x
p
x
Observa que si p es pequeña, el éxito es
un “suceso raro”.
La distribución de Poisson, junto con la uniforme y la
binomial, son las distribuciones más utilizadas.
Donde: np =  (Letra lambda)
p(x) probabilidad de que x ocurra
7183
.
2

e

35. 35
Características de la distribución de
Poisson
= 0.5
= 6
1 2 3 4 5
X
2 4 6 8 10
X
Media
Desviación estándar
 
 
E X
 

( )
0
.2
.4
.6
0
P(X)
0
.2
.4
.6
0
P(X)
Nota: el máximo de la distribución
se encuentra en x  

36. 36
Distribución de Poisson para varios valores de .
La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de
una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’
(n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un
único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).
  n p = 

37. Ejemplo 1. El administrador de un hospital analiza los casos diarios de
urgencias durante un periodo de varios años y concluyó que se distribuye de
acuerdo a la ley de Poisson. Los registros del hospital revelan que los casos de
urgencias promedian tres por día durante ese periodo. Si el administrador tiene
razón respecto a la distribución de Poisson, calcular la probabilidad de que:
a) Ocurran exactamente dos casos de urgencia en un día dado
b) No ocurra un solo caso de urgencia en un día particular
c) Ocurran tres o cuatro casos de urgencia en un día particular
a) Solución. Sea =3 y X la variable aleatoria que denota el número de
casos diarios de urgencia (X=2). Entonces X sigue la distribución de
Poisson:
0
2
1
0
,
!
)
( 






...
,
,
,
x
x
e
x
p
x
7183
.
2

e

38. Ejemplo 1. El administrador de un hospital analiza los casos diarios de
urgencias durante un periodo de varios años y concluyó que se distribuye de
acuerdo a la ley de Poisson. Los registros del hospital revelan que los casos de
urgencias promedian tres por día durante ese periodo. Si el administrador tiene
razón respecto a la distribución de Poisson, calcular la probabilidad de que:
a) Ocurran exactamente dos casos de urgencia en un día dado
b) No ocurra un solo caso de urgencia en un día particular
c) Ocurran tres o cuatro casos de urgencia en un día particular
0
2
1
0
,
!
)
( 






...
,
,
,
x
x
e
x
p
x
b) Solución. Sea =3 y X la variable aleatoria que denota el número de
casos diarios de urgencia (X=0). Entonces X sigue la distribución de
Poisson:

39. Ejemplo 1. El administrador de un hospital analiza los casos diarios de
urgencias durante un periodo de varios años y concluyó que se distribuye de
acuerdo a la ley de Poisson. Los registros del hospital revelan que los casos de
urgencias promedian tres por día durante ese periodo. Si el administrador tiene
razón respecto a la distribución de Poisson, calcular la probabilidad de que:
a) Ocurran exactamente dos casos de urgencia en un día dado
b) No ocurra un solo caso de urgencia en un día particular
c) Ocurran tres o cuatro casos de urgencia en un día particular
0
2
1
0
,
!
)
( 






...
,
,
,
x
x
e
x
p
x
c) Solución. Sea =3 y X la variable aleatoria que denota el número de
casos diarios de urgencia (X=3 y X4; p(3)+ p(4). Entonces X sigue la
distribución de Poisson: